Materi: Matematika (Barisan Dan Deret)
### 📘 Materi: Barisan BilanganBarisan bilangan adalah susunan angka yang memiliki pola atau aturan tertentu.
Contoh barisan:
$2, 4, 6, 8, 10, \dots$
Diberi notasi:
$U_1 = 2$ (suku pertama)
$U_2 = 4$
$U_3 = 6$
...
$U_n$: suku ke-$n$
---
### 🔍 Contoh Soal:
Diketahui rumus suku ke-$n$:
$
U_n = 2n^2 - 1
$
Tentukan tiga suku pertama dari barisan tersebut.
---
### ✅ Penyelesaian:
Untuk $n = 1$:
$
U_1 = 2 \cdot 1^2 - 1 = 2 - 1 = 1
$
Untuk $n = 2$:
$
U_2 = 2 \cdot 2^2 - 1 = 8 - 1 = 7
$
Untuk $n = 3$:
$
U_3 = 2 \cdot 3^2 - 1 = 18 - 1 = 17
$
---
### ✨ Kesimpulan:
Tiga suku pertama barisan dengan rumus $U_n = 2n^2 - 1$ adalah:
$
\boxed{1,\ 7,\ 17}
$
Jika Anda ingin saya buatkan soal sejenis atau penjelasan lanjut tentang jenis barisan lain seperti aritmetika/geometri, silakan beri tahu.
## 🧮 B. BARISAN ARITMETIKA
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih (beda) tetap atau konstan.
---
### 🔍 Contoh Barisan:
$
1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \dots
$
$U_1 = 1$
$U_2 = U_1 + 2 = 1 + 2 = 3$
$U_3 = U_2 + 2 = 3 + 2 = 5$
$U_4 = U_3 + 2 = 5 + 2 = 7$
➡️ Terlihat bahwa setiap suku ditambah bilangan konstan (dalam hal ini 2). Bilangan ini disebut beda barisan dan dilambangkan dengan $b$.
---
### 📌 Rumus Penting:
#### 🔸 Menentukan beda $b$ pada barisan aritmetika:
$
b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = \dots = U_n - U_{n-1}
$
#### 🔸 Rumus suku ke-$n$ dalam barisan aritmetika:
$
U_n = U_1 + (n - 1) \cdot b
$
## 📘 C. BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana rasio antara dua suku yang berurutan selalu konstan.
---
### 🔍 Contoh Barisan Geometri:
$
1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \dots
$
$U_1 = 1$
$U_2 = U_1 \times 2 = 1 \times 2 = 2$
$U_3 = U_2 \times 2 = 2 \times 2 = 4$
$U_4 = U_3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$
➡️ Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap $r = 2$.
---
### 📌 Rumus Penting Barisan Geometri:
#### 🔸 Rasio $r$:
$
r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = \dots = \frac{U_n}{U_{n-1}}
$
#### 🔸 Rumus suku ke-$n$:
$
U_n = a \cdot r^{n-1}
$
di mana:
$a$: suku pertama
$r$: rasio
$n$: nomor suku
## 📘 D. DERET
Deret adalah penjumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan.
### 🔍 Contoh Deret:
i. Deret aritmetika:
$
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots
$
ii. Deret aritmetika dengan beda 5:
$
4 + 9 + 14 + 19 + 24 + \dots
$
iii. Deret geometri:
$
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + \dots
$
iv. Deret geometri pecahan:
$
\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \dots
$
v. Deret umum:
$
U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \dots + U_n
$
## 📘 E. DERET ARITMETIKA
Jika barisan $U_1, U_2, U_3, \dots$ adalah barisan aritmetika, maka penjumlahannya disebut deret aritmetika:
$
S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n
$
### 🔷 Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama Deret Aritmetika:
$
S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)b \right]
$
Dengan:
$a$: suku pertama
$b$: beda (selisih antar suku)
$n$: jumlah suku yang dijumlahkan
---
### ✅ Contoh Soal Deret Aritmetika
Diketahui deret:
$
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots
$
Diketahui:
$a = 2$
$b = 2$
Hitung:
$S_5 = \frac{5}{2} [2 \cdot 2 + (5-1) \cdot 2] = \frac{5}{2} \cdot [4 + 8] = \frac{5}{2} \cdot 12 = 30$
$S_{100} = \frac{100}{2} [2 \cdot 2 + (100-1) \cdot 2] = 50 \cdot [4 + 198] = 50 \cdot 202 = 10.100$
---
## 📘 F. DERET GEOMETRI
Jika barisan $U_1, U_2, U_3, \dots$ adalah barisan geometri, maka penjumlahannya disebut deret geometri.
### 🔷 Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama Deret Geometri:
Jika:
$r < 1$:
$
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
$
Jika:
$r > 1$:
$
S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
$
Dengan:
$a$: suku pertama
$r$: rasio
$n$: jumlah suku yang dijumlahkan
---
### ✅ Contoh Soal Deret Geometri
Diketahui deret:
$
2 + 4 + 8 + 16 + \dots
$
Diketahui:
$a = 2$
$r = 2$
$n = 7$
$
S_7 = \frac{2(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{2(128 - 1)}{1} = 2 \cdot 127 = 254
$
Jadi, jumlah 7 suku pertama adalah 254.
---
### ✨ Kesimpulan:
Jumlah 5 suku pertama deret aritmetika: 30
Jumlah 100 suku pertama deret aritmetika: 10.100
Jumlah 7 suku pertama deret geometri: 254