Materi: Matematika (Eksponensial)

$\textbf{PEMDAS} \quad \text{(Urutan operasi bilangan)}$

$\text{P = Parentheses (tanda kurung): } (\,\,) $
$\text{E = Exponents (pangkat/akar): } a^2,\, \sqrt{a} $
$\text{M = Multiplication (perkalian): } \times $
$\text{D = Division (pembagian): } \div $
$\text{A = Addition (penjumlahan): } + $
$\text{S = Subtraction (pengurangan): } - $

$\text{Catatan: Perkalian dan pembagian dikerjakan dari kiri ke kanan, begitu juga penjumlahan dan pengurangan.}$

$\textbf{Contoh:} \quad 6 + 4 \div 2 \times (1 + 2)^2$

$\text{Langkah:} $
$(1 + 2) = 3 \quad \text{(Parentheses)} $
$3^2 = 9 \quad \text{(Exponents)} $
$4 \div 2 = 2 \quad \text{(Division)} $
$2 \times 9 = 18 \quad \text{(Multiplication)} $
$6 + 18 = 24 \quad \text{(Addition)} $

$\boxed{24}
$Eksponen adalah bilangan berpangkat:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \quad \text{(sebanyak n kali)}$

$a = \text{bilangan pokok}, \quad n = \text{bilangan pangkat}$

Aturan-aturan untuk setiap a, b bilangan real dan n, m bilangan bulat:

$1.\quad a^n \cdot a^m = a^{n+m} $

$2.\quad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $

$3.\quad (a^n)^m = a^{n \cdot m} $

$4.\quad \sqrt[m]{a^n} = a^{n/m} $

$5.\quad \frac{1}{a^n} = a^{-n} $

$6.\quad (ab)^n = a^n \cdot b^n $

$7.\quad a^0 = 1, \quad a \ne 0 $

$8.\quad 0^n = 0, \quad n > 0$

Perbandingan bentuk eksponen:

$Jika \ c^{f(x)} > c^{g(x)} \ \text{maka berlaku:}$

\begin{cases}
0 < c < 1 \Rightarrow f(x) < g(x) \\
c > 1 \Rightarrow f(x) > g(x)
\end{cases}

Aturan-aturan lainnya:

$1.\quad a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) $

$2.\quad a^{f(x)} = b^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 $

$3.\quad a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow \log a^{f(x)} = \log b^{g(x)} \Rightarrow f(x) \cdot \log a = g(x) \cdot \log b $

$4.\quad a^{f(x)} = a^{g(x)}:$

\begin{cases}
f(x) = g(x) \Rightarrow a = 1 \\
a = 0 \Rightarrow \text{jika } f(x) \text{ dan } g(x) \text{ memuat suku konstan positif} \\
a = -1 \Rightarrow \text{jika } f(-1) \text{ dan } g(-1) \text{ sama-sama genap atau sama-sama ganjil}
\end{cases}

$5.\quad a^{2f(x)} \pm a^{f(x)} \pm b = 0 \Rightarrow \text{persamaan kuadrat:}$

$\left(a^{f(x)}\right)^2 \pm a^{f(x)} \pm b = 0 \Rightarrow p^2 \pm p \pm b = 0, \quad \text{dengan } p = a^{f(x)}$

$\textbf{MERASIONALKAN BENTUK AKAR}$

\[
\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
\]

\[
\frac{c}{a - \sqrt{b}} = \frac{c}{a - \sqrt{b}} \cdot \frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a + \sqrt{b})}{a^2 - b}
\]

\[
\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}
\]

\[
\frac{\sqrt{c} + \sqrt{d}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{c} + \sqrt{d}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{c} + \sqrt{d})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}
\]$\textbf{BENTUK AKAR LAINNYA} $
Di bawah ini beberapa $\textbf{rumus bentuk akar}$ lainnya:

$\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}, \quad (a > b)$
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots}}} = a$
$\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4a})$
$\sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a - \cdots}}} = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{1 + 4a})$$\textbf{A. PENGERTIAN & SIFAT AKAR}$

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang menghasilkan bilangan irrasional.

Bentuk $ \sqrt{a} $ terdefinisi jika $ a \geq 0 $

$\textbf{Sifat Dasar Bentuk Akar:}$

$ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c} $
$ a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c} $
$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $

$\textbf{Rumus bantu:}$

$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

$\textbf{C. BENTUK AKAR LAINNYA}$

Di bawah ini beberapa $\textbf{rumus bentuk akar}$ lainnya.

\[
\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]

\[
\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}, \quad (a > b)
\]

\[
\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots}}} = a
\]

\[
\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots}}} = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{1 + 4a}\right)
\]

\[
\sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a - \cdots}}} = \frac{1}{2}\left(-1 + \sqrt{1 + 4a}\right)
\]$\textbf{B. PERSAMAAN EKSPONEN}$

$\textbf{a. Bentuk Dasar}$

\[
a^{f(x)} = 1 \Rightarrow f(x) = 0
\]
\[
a^{f(x)} = b^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0
\]
\[
a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)
\]

$\textbf{b. Bentuk: } b(x)^{f(x)} = b(x)^{g(x)}$

Kemungkinan penyelesaian adalah:

\[
f(x) = g(x)
\]
\[
h(x) = 1
\]
\[
h(x) = -1, \text{ syarat: } (-1)^{f(x)} = (-1)^{g(x)}
\]
\[
h(x) = 0, \text{ syarat: } f(x) > 0 \text{ dan } g(x) > 0
\]

$\textbf{c. Bentuk: } g(x)^{f(x)} = b(x)^{f(x)}$

Kemungkinan penyelesaian adalah:

\[
g(x) = h(x)
\]
\[
f(x) = 0, \text{ syarat: } g(x) \ne 0 \text{ dan } h(x) \ne 0
\]

$\textbf{d. Bentuk: } g(x)^{f(x)} = 1$

Kemungkinan penyelesaian adalah:

\[
g(x) = 1
\]
\[
f(x) = 0, \text{ syarat: } g(x) \ne 0
\]
\[
g(x) = -1, \text{ syarat: } f(x) \text{ genap}
\]