Materi: Matematika (Fungsi Komposisi Dan Invers)
A. PENGERTIAN FUNGSI (PEMETAAN)Pemetaan adalah relasi (hubungan) yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain .
Notasi fungsi:
$
f : A \rightarrow B \quad \text{(dibaca: fungsi } f \text{ memetakan himpunan } A \text{ ke himpunan } B)
$
Himpunan A disebut daerah asal ( domain )
Himpunan B disebut daerah kawan ( kodomain )
Himpunan hasil pasangan dari A ke B disebut daerah hasil ( range )
B. MENENTUKAN BANYAK PEMETAAN
Jika $A = \{2, 3, 5, 7\}$ dan $B = \{4, 6, 8, 9, 10\}$, tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin.
Diketahui:
$n(A) = 4$
$n(B) = 5$
---
Banyak pemetaan $f: A \rightarrow B$
Ditentukan oleh rumus:
$
n(f: A \rightarrow B) = (n(B))^{n(A)}
$
Sehingga:
$
n(f: A \rightarrow B) = 5^4 = 625 \text{ pemetaan}
$
---
Banyak pemetaan $f: B \rightarrow A$
Ditentukan oleh rumus:
$
n(f: B \rightarrow A) = (n(A))^{n(B)}
$
Sehingga:
$
n(f: B \rightarrow A) = 4^5 = 1024 \text{ pemetaan}
$
---
Menentukan banyak korespondensi satu-satu
Jika $n(A) = n(B) = n$, maka banyak korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B ditentukan oleh:
$
n(f: A \overset{1-1}{\rightarrow} B) = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1 = n!
$
C. MENULIS FORMULA/RUMUS FUNGSI
Jika notasi $f : x \rightarrow y$ dituliskan dalam bentuk rumus fungsi, maka diperoleh:
$
y = f(x)
$
---
Contoh:
Jika $f(x) = x^2 - 4x$, tentukan nilai $f(x - 3)$.
Jawab:
$
f(x) = x^2 - 4x
$
$
f(x - 3) = (x - 3)^2 - 4(x - 3) \quad \text{(substitusikan } x - 3 \text{ ke dalam } x)
$
$
= x^2 - 6x + 9 - 4x + 12 \quad \text{(penjabaran)}
$
$
= x^2 - 10x + 21 \quad \text{(penyederhanaan)}
$
\(\textbf{1. Fungsi Komposisi}\)
\(\text{Definisi:}\)
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x))
\]
\(\text{Artinya: masukkan } x \text{ ke dalam } g, \text{ hasilnya ke dalam } f.\)
\(\text{Contoh:}\)
\[
f(x) = 2x + 1, \quad g(x) = x^2
\]
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1
\]
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]
---
\(\textbf{2. Fungsi Invers}\)
\(\text{Definisi:}\)
\[
f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{dan} \quad f^{-1}(f(x)) = x
\]
\(\text{Langkah mencari invers } f^{-1}(x):\)
\[
\begin{aligned}
1. &\quad y = f(x) \\
2. &\quad x = f(y) \quad (\text{tukar } x \leftrightarrow y) \\
3. &\quad \text{Selesaikan untuk } y \\
4. &\quad \text{Ganti: } f^{-1}(x) = \ldots
\end{aligned}
\]
\(\text{Contoh:}\)
\[
f(x) = 2x + 3
\]
\[
y = 2x + 3 \Rightarrow x = 2y + 3 \Rightarrow y = \frac{x - 3}{2}
\]
\[
f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}
\]
\(\text{Verifikasi:}\)
\[
f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x
\]
\[
f^{-1}(f(x)) = \frac{2x + 3 - 3}{2} = x
\]