Materi: Matematika (Logika Matematika)
\( \equiv \) adalah Ekuivalen → kedua pernyataan punya nilai kebenaran yang \(\textbf{sama persis di semua kondisi}\)\(\Rightarrow \) adalah Implikasi logis → jika bagian kiri \(\textbf{benar}\), maka bagian kanan \(\textbf{harus benar}\)
✅ 1. Modus Ponens (aturan implikasi langsung)
\((p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q\)
Jika "p maka q", dan p benar → maka q benar.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
p & q & p \rightarrow q & (p \rightarrow q) \land p & q & (p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
✅ 2. Modus Tollens (negasi implikasi)
atauran BAKU
Premis 1 : \( A \rightarrow B\)
Premis 2 : \( \neg B\)
kesimpulan : \( \neg A\)
bentuk umumnya \( (A \rightarrow B) \land \neg B\) maka \(\neg A\)
\((p \rightarrow q) \land \sim q \Rightarrow \sim p\)
Jika "p maka q", dan q salah maka p juga salah.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
p & q & p \rightarrow q & \sim q & \sim p & (p \rightarrow q) \land \sim q & (p \rightarrow q) \land \sim q \Rightarrow \sim p \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
✅ 3. \(\textbf{silogisme hipotetik}\) adalah bentuk inferensi logis yang mengambil dua pernyataan implikasi:
\(\text{Premis 1: } P \rightarrow Q \)
\(\text{Premis 2: } Q \rightarrow R \)
Maka \(\textbf{kesimpulan yang sah}\) (valid) adalah:
\(
\boxed{P \rightarrow R}
\)
* Bentuk formal:
\( (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R) \)
1. $P$, $Q$, $R$
2. $P \rightarrow Q$
3. $Q \rightarrow R$
4. $P \rightarrow R$
5. LHS = $(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R)$
6. Final: $\text{LHS} \Rightarrow (P \rightarrow R)$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{Baris} & P & Q & R & P \rightarrow Q & Q \rightarrow R & P \rightarrow R & (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) & (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
8 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
✅ 4. Dilema Disjungtif (disjungsi dengan dua implikasi)
\((p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \Rightarrow r\)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{Baris} & p & q & r & p \lor q & p \rightarrow r & q \rightarrow r & (p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) & (p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \Rightarrow r \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}
✅ 5. Resolusi (gabungan dua disjungsi dengan negasi silang)
\((A \lor B) \land (\lnot B \lor C) \;\Rightarrow\; (A \lor C)\)
Jika "A atau B", dan "tidak-B atau C" → maka "A atau C"
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{Baris} & A & B & C & A \lor B & \sim B \lor C & (A \lor B) \land (\sim B \lor C) & A \lor C & (A \lor B) \land (\sim B \lor C) \Rightarrow (A \lor C) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
✅ 6. Disjungsi dan Implikasi Campuran
Bentuk:
\((p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow (\lnot p \lor r)\)
\((\sim p \lor q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow (\lnot p \lor r)\)
Disebut campuran , karena bentuk awal berupa implikasi dan yang kedua disjungsi , lalu disimpulkan dengan resolusi .
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{Baris} & p & q & r & p \rightarrow q & \lnot q \lor r & (p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) & \lnot p \lor r & (p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow \lnot p \lor r \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
8 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
✅7. Silogisme disjungtif
$(A \lor B) \land \neg A \Rightarrow B$
✅8. Constructive dilemma
$(A \lor B) \land \ A \rightarrow C \Rightarrow C \lor B$
✅9. Silogisme Kategorik
Premis 1 : Semua $F$ adalah $I$
Premis 2 : Semua $F \land R$ adalah $B$
Simpulan : Semua $F$ adalah $I$
\[
\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c||c|}
\hline
F & I & R & B & F \rightarrow I & (F \land R) \rightarrow B & P_1 \land P_2 & (P_1 \land P_2) \rightarrow (F \rightarrow I) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{Identitas logika}\)
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Nama} & \textbf{Bentuk Proposisi} & \textbf{Ekuivalensi} \\
\hline
\text{Kontraposisi} & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p \\
\hline
\text{Hukum Identitas} & p \land T & p \\
& p \lor F & p \\
\hline
\text{Hukum Dominasi} & p \lor T & T \\
& p \land F & F \\
\hline
\text{Hukum Idempoten} & p \lor p & p \\
& p \land p & p \\
\hline
\text{Hukum Negasi} & p \lor \neg p & T\\
& p \land \neg p & F \\
\hline
\text{Hukum Komutatif} & p \lor q & q \lor p\\
& p \land q & q \land p \\
\hline
\text{Hukum Asosiatif} & (p \lor q) \lor r & p \lor (q \lor r)\\
& (p \land q) \land r & p \land (q \land r) \\
\hline
\text{Hukum Distributif} & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r)\\
& p \land (q \lor r) & (p \land q) \lor (p \land r) \\
\hline
\text{Hukum De Morgan} & \neg (p \lor q) & \neg p \land \neg q\\
& \neg (p \land q) & \neg p \lor \neg q \\
\hline
\end{array}
\begin{array}{|c|l|l|l|}
\hline
\textbf{Proposisi} & \textbf{Bentuk Proposisi} & \textbf{Logika Predikat Verbal} & \textbf{Logika Predikat Simbolik} \\
\hline
\text{A} & \text{Semua A adalah B} & \text{Untuk semua } x, \text{ jika } x \text{ adalah A, maka } x \text{ adalah B} & \forall x (A(x) \rightarrow B(x)) \equiv \neg \exists x (A(x) \land \neg B(x)) \\
\hline
\text{E} & \text{Tidak ada A adalah B} & \text{Tidak ada } x, \text{ jika } x \text{ adalah A, maka } x \text{ adalah B} & \forall x (A(x) \rightarrow \neg B(x)) \equiv \neg \exists x (A(x) \land B(x)) \\
\hline
\text{I} & \text{Beberapa A adalah B} & \text{Ada } x, \text{ sedemikian sehingga } x \text{ adalah A dan } x \text{ adalah B} & \exists x (A(x) \land B(x)) \\
\hline
\text{O} & \text{Beberapa A bukan B} & \text{Ada } x, \text{ sedemikian sehingga } x \text{ adalah A dan } x \text{ bukan B} & \exists x (A(x) \land \neg B(x)) \\
\hline
\end{array}\(\equiv\) adalah Ekivalen atau setara
1. \(p \Rightarrow q \equiv \sim p \lor q\)
\begin{array}{c|c|c|c|c}
p & q & p \Rightarrow q & \sim p & \sim p \lor q \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
2. \(\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \) (De Morgan)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
p & q & p \land q & \sim(p \land q) & \sim p & \sim q & \sim p \lor \sim q \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
3. \(\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q \) (De Morgan)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
p & q & p \lor q & \sim(p \lor q) & \sim p & \sim q & \sim p \land \sim q \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
4. \(p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
p & q & p \Rightarrow q & q \Rightarrow p & (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) & p \Leftrightarrow q \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
5. \( \sim(\sim p) \equiv p\)
\begin{array}{c|c|c}
p & \sim p & \sim(\sim p) \\
\hline
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
6. \(\lnot (p \rightarrow q) \equiv p \land \lnot q \)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{No} & p & q & p \rightarrow q & \lnot(p \rightarrow q) & \lnot q & p \land \lnot q \\
\hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]\[
\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|c||c|c|c|}
\hline
\text{No} & p & q & \sim p & \sim q & p \land q & p \lor q & p \oplus q & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p & q \Rightarrow p & p \Leftrightarrow q \\
\hline
& & & \frac{Not}{Ingkaran} p & \frac{Not}{Ingkaran} q & \text{And (konjungsi)} & \text{Or (disjungsi)} & \text{Xor (eksklusif)} & \text{Implikasi} & \text{Kontraposisi} & \text{Konvers} & \text{Biimplikasi} \\
& & & & & & & & & & \text{Tidak digunakan} & \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
\(\text{-} \quad \sim q \Rightarrow \sim p \quad \text{kontraposisi dari } p \Rightarrow q \)
\(\text{Simbol } \therefore \text{ dibaca "Jadi" atau "karena itu" atau "maka"}.\)
\begin{array}{|c|l|l|}
\hline
\text{No} & \text{Kata} & \sim \text{kata (ingkaran)} \\
\hline
1 & \text{Semua} & \text{Tidak Semua, Ada, Beberapa, Sesuatu} \\
2 & \text{Perlu} & \text{Tidak Perlu} \\
3 & \text{Dan} & \text{Atau} \\
4 & \text{Ada / Beberapa} & \text{Semua... tidak...} \\
5 & \text{Sama dengan } (=) & \text{Tidak sama dengan } (\neq) \\
6 & \text{Lebih dari } (>) & \text{Kurang dari atau sama dengan } (\leq) \\
7 & \text{Lebih dari atau sama dengan } (\geq) & \text{Kurang dari } (<) \\
8 & \text{Kurang dari } (<) & \text{Lebih dari atau sama dengan } (\geq) \\
9 & \text{Kurang dari atau sama dengan } (\leq) & \text{Lebih dari } (>) \\
\hline
\end{array}
\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\
\hline
\text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} \\
\text{B} & \text{S} & \text{S} & \text{B} & \text{S} & \text{S} \\
\text{S} & \text{B} & \text{S} & \text{B} & \text{B} & \text{S} \\
\text{S} & \text{S} & \text{S} & \text{S} & \text{B} & \text{B} \\
\hline
\end{array}
\begin{aligned}
\text{Konvers:} &\quad q \Rightarrow p \\
\text{Invers:} &\quad \sim p \Rightarrow \sim q \\
\text{Kontraposisi:} &\quad \sim q \Rightarrow \sim p
\end{aligned}
\begin{aligned}
\text{sifat Implikasi} \\
1.&\quad p \Rightarrow q \equiv \sim p \lor q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p \\
2.&\quad q \Rightarrow p \equiv \sim q \lor p \equiv \sim p \Rightarrow \sim q \\
\end{aligned}Simbol-simbol kuantor dalam logika matematika dibaca sebagai berikut:
✅ 1. Simbol ∀ (Kuantor Universal)
Simbol: $\forall$
Arti: “ Untuk semua ” atau “ Setiap ”
Contoh bacaan:
\(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0 \)
→ “Untuk semua $x$ di himpunan bilangan real, $x^2$ lebih besar atau sama dengan nol.”
✅ 2. Simbol ∃ (Kuantor Eksistensial)
Simbol: $\exists$
Arti: “ Ada ” atau “ Terdapat ”
Contoh bacaan:
\(\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = 25\)
→ “Ada bilangan bulat $x$ sehingga $x^2 = 25$.”
🔁 Kombinasi Keduanya
Terkadang keduanya digabung:
\(\forall x\ \exists y\ (x < y)\)
→ “Untuk setiap $x$, ada $y$ sehingga $x < y$”
Artinya: Tak ada angka terbesar — selalu ada angka yang lebih besar.
\[
\begin{array}{|c|l|l|}
\hline
\textbf{No} & \textbf{Kalimat Bahasa Natural} & \textbf{Simbol Logika} \\
\hline
1 & \text{Semua A adalah B} & \forall x [A(x) \rightarrow B(x)] \\
\hline
2 & \text{Sebagian A adalah B} & \exists x [A(x) \land B(x)] \\
\hline
3 & \text{Tidak semua A adalah B} & \exists x [A(x) \land \neg B(x)] \\
\hline
4 & \text{Tidak ada A yang B} & \forall x [A(x) \rightarrow \neg B(x)] \\
\hline
5 & \text{Semua A bukan B} & \forall x [A(x) \rightarrow \neg B(x)] \\
\hline
6 & \text{Sebagian A bukan B} & \exists x [A(x) \land \neg B(x)] \\
\hline
7 & \text{Jika A maka B} & A(x) \rightarrow B(x) \\
\hline
8 & \text{A dan B} & A(x) \land B(x) \\
\hline
9 & \text{A atau B} & A(x) \lor B(x) \\
\hline
10 & \text{Tidak A} & \neg A(x) \\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{Kalimat alami} & \text{Simbol logika} \\
\hline
\text{Semua yang suka A juga suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\
\text{Semua yang suka A dan suka B} & \forall x\ (A(x) \land B(x)) \\
\text{Ada yang suka A dan suka B} & \exists x\ (A(x) \land B(x)) \\
\text{Ada yang suka A tetapi tidak suka B} & \exists x\ (A(x) \land \lnot B(x)) \\
\text{Tidak ada yang suka A dan B} & \lnot \exists x\ (A(x) \land B(x)) \\
\text{Semua tidak suka A} & \forall x\ (\lnot A(x)) \\
\text{Jika suka A maka tidak suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow \lnot B(x)) \\
\text{Ada yang tidak suka A dan tidak suka B} & \exists x\ (\lnot A(x) \land \lnot B(x)) \\
\text{Semua yang suka A juga suka B dan C} & \forall x\ (A(x) \rightarrow (B(x) \land C(x))) \\
\text{Ada yang suka A atau suka B} & \exists x\ (A(x) \lor B(x)) \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{Semua yang suka A atau suka B pasti suka C} & \forall x\ ((A(x) \lor B(x)) \rightarrow C(x)) \\
\text{Semua yang suka A tidak suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow \lnot B(x)) \\
\text{Tidak semua yang suka A suka B} & \lnot \forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\
\text{Semua A adalah B, tetapi tidak semua B adalah A} &
\left\{
\begin{array}{l}
\forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\
\lnot \forall x\ (B(x) \rightarrow A(x))
\end{array}
\right. \\
\text{Tidak semua A adalah B} & \exists x\ (A(x) \land \lnot B(x)) \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|l|c|}
\hline
\text{Kondisi Evaluasi} & \text{Hasil} \\
\hline
\text{Premis } \exists x\, (P(x)) \text{ terpenuhi sekali saja} & \checkmark \text{ Premis benar} \\
\text{Semua premis (universal dan eksistensial) benar} & \checkmark \text{ Simpulan boleh ditarik} \\
\text{Premis eksistensial tidak terpenuhi sama sekali} & \times \text{ Tidak boleh tarik simpulan} \\
\hline
\end{array}
\]
Dalam logika predikat (kuantor), terdapat dua hukum dasar kuantor , khususnya mengenai ingkaran (negasi) , yaitu:
✅ 1. Hukum Ingkaran Kuantor Universal
\(
\lnot (\forall x\ P(x)) \equiv \exists x\ \lnot P(x)
\)
> "Tidak semua $x$ memenuhi P(x)" sama artinya dengan
> "Ada paling tidak satu $x$ yang tidak memenuhi P(x)"
Contoh:
$\lnot (\forall x, x \geq 0)$
↔ $\exists x, x < 0$
---
✅ 2. Hukum Ingkaran Kuantor Eksistensial
\(
\lnot (\exists x\ P(x)) \equiv \forall x\ \lnot P(x)
\)
> "Tidak ada satu pun $x$ yang memenuhi P(x)" sama artinya dengan
> "Untuk semua $x$, $x$ tidak memenuhi P(x)"
Contoh:
$\lnot (\exists x, x < 0)$
↔ $\forall x, x \geq 0$
1. Negasi Kuantor Eksistensial
\(\lnot (\exists x\, P(x)) \equiv \forall x\, \lnot P(x) \)
2. Negasi Kuantor Universal
\(\lnot (\forall x\, P(x)) \equiv \exists x\, \lnot P(x) \)
3. Universal Instantiation (UI)
\(\forall x\, P(x) \Rightarrow P(a) \)
4. Existential Instantiation (EI)
\(\exists x\, P(x) \Rightarrow P(a) \)
5. Universal Generalization (UG)
\(P(a) \text{ untuk semua } a \Rightarrow \forall x\, P(x) \)
6. Existential Generalization (EG)
\(P(a) \Rightarrow \exists x\, P(x) \)