Materi: Matematika (Peluang)

A. ATURAN PERKALIAN
Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan:
$n_1$ = banyak cara untuk menyusun unsur pertama
$n_2$ = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
$n_3$ = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun

$n_k$ = banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:
B. N FAKTORIAL

Jika n bilangan asli maka n! (dibaca “n faktorial”) didefinisikan dengan:

n! = n . (n-1). (n-2). (n-3). (n-4). ......
PERMUTASI

Permutasi $k$ unsur dari $n$ unsur yang tersedia biasanya dituliskan $P_k^n$ atau $P_{n}^{k}$ serta $P(n, k)$ dengan $k \leq n$. Di beberapa negara $P_k^n$ juga ditulis dengan $P_n^k$.

Banyak permutasi $n$ unsur ditentukan dengan aturan

$
P_n^n = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1 = n!
$

Banyak permutasi $k$ unsur dari $n$ unsur yang tersedia, dapat ditentukan dengan:

$
P_k^n = \frac{n!}{(n - k)!}
$

**Sifat-sifat**
Diketahui $P_k^n = \frac{n!}{(n - k)!}$, dengan $n \geq k$.

1. Jika $n - k = 1$, maka

$
P_k^n = \frac{n!}{(n - k)!} = n!
$

2. Jika $k = 1$, maka

$
P_k^n = \frac{n!}{(n - 1)!} = n
$

3. Jika $n - k = 0$, maka

$
P_k^n = \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{n!}{0!} = n!
$

Misalkan dari $n$ unsur terdapat $k_1, k_2, k_3, \ldots, k_r$ unsur yang sama dengan:

$
k_1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_r \leq n
$

Banyak permutasi dari $n$ unsur tersebut adalah:

$
P_{k_1, k_2, k_3, \ldots, k_r}^n = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3! \cdot \ldots \cdot k_r!}
$

Misalkan dari $n$ unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari $n$ unsur tersebut dinyatakan:

$
P_{\text{siklis}} = (n - 1)!
$
KOMBINASI

Kombinasi $k$ unsur dari $n$ unsur biasa dituliskan $C_k^n$, ${}_nC_k$, $C(n, k)$, atau $\binom{n}{k}$.

Banyak kombinasi $k$ unsur dari $n$ unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan:

$
C_k^n = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}, \quad \text{dengan } n \geq k, \; n, k \text{ merupakan bilangan asli.}
$

**Sifat-sifat:**

Diketahui $C_k^n = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$, dengan $n \geq k$.

1. Jika $n - k = 1$, maka

$
C_k^n = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} = n
$

2. Jika $k = 1$, maka

$
C_k^n = \frac{n!}{(n - 1)! \cdot 1!} = n
$

3. Jika $n = k$, maka

$
C_k^n = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1
$

4. Jika $P_k^n = \frac{n!}{(n - k)!}$, maka

$
C_k^n = \frac{P_k^n}{k!}
$