Materi: Matematika (Program Linear)

A. PENGERTIAN PERSAMAAN

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan berbentuk:

$
ax + b = 0
$

dengan $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a \ne 0$, serta:

$x$: variabel real
$a$: koefisien $x$
$b$: konstanta

---

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk:

$
ax + by + c = 0
$

dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$, dan $a$ dan $b$ tidak keduanya nol, di mana:

$x$: variabel real
$a$: koefisien $x$
$b$: koefisien $y$

---

📌 Misalkan $a, b,$ dan $c$ bilangan real dan $a, b$ keduanya tidak nol.
Himpunan penyelesaian persamaan linear $ax + by = c$ adalah himpunan semua pasangan $(x, y)$ yang memenuhi persamaan linear tersebut.

---

Sifat-sifat:

Misal $l$ adalah persamaan linear, maka:

a. Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan $l$ tidak mengubah solusi persamaan tersebut.

b. Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada persamaan $l$ tidak mengubah solusi persamaan tersebut.

B. SELESAIAN PLDV

Penentuan solusi (penyelesaian) PLDV dapat dilakukan dengan menebak atau dengan melakukan operasi aljabar .
Solusi PLDV dalam himpunan bilangan bulat dikenal sebagai persamaan Diophantine .

---

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

$
x + 3y = 6
$

untuk $x, y \in \mathbb{C}$ (himpunan bilangan cacah).

---

Jawab:

Diketahui:

$
x + 3y = 6, \quad x, y \in \mathbb{C}
$

Untuk $x = 0$:

$
0 + 3y = 6 \Rightarrow y = 2
$

Untuk nilai $x$ dan $y$ yang lain, dapat dilihat dari tabel berikut:

| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| -------- | - | --- | --- | - | --- | --- | - | --- |
| $y$ | 2 | 5/3 | 4/3 | 1 | 2/3 | 1/3 | 0 | |
| $x + 3y$ | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | |

Untuk $x = 1, 2, 4, 5$, nilai $y$ adalah bilangan pecahan (bukan bilangan cacah), yaitu:

$x = 1 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$
$x = 2 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$
$x = 4 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$
$x = 5 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$

Nilai-nilai tersebut tidak memenuhi syarat cacah .

---

Kesimpulan:

Himpunan penyelesaiannya adalah:

$
\{(0,2), (3,1), (6,0)\}
$

SPLDV

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat diekspresikan dalam bentuk:

$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$

---

Metode Substitusi (Metode Pengganti)

Solusi (penyelesaian) dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan metode substitusi berarti kita menggantikan salah satu variabel menggunakan bentuk eksplisit, misalnya:

$
y = mx + n \quad \text{atau} \quad x = my + n
$

Kemudian hasil substitusi dimasukkan ke bentuk implisit:

$
ax + by + c = 0
$

agar diperoleh persamaan linear satu variabel (PLSV) , yang lebih mudah diselesaikan.