Isi

Materi: Matematika (Fungsi Komposisi Dan Invers)

A. PENGERTIAN FUNGSI (PEMETAAN)

Pemetaan adalah relasi (hubungan) yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain .

Notasi fungsi:

$
f : A \rightarrow B \quad \text{(dibaca: fungsi } f \text{ memetakan himpunan } A \text{ ke himpunan } B)
$

Himpunan A disebut daerah asal ( domain )
Himpunan B disebut daerah kawan ( kodomain )
Himpunan hasil pasangan dari A ke B disebut daerah hasil ( range )

B. MENENTUKAN BANYAK PEMETAAN

Jika $A = \{2, 3, 5, 7\}$ dan $B = \{4, 6, 8, 9, 10\}$, tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin.

Diketahui:

$n(A) = 4$
$n(B) = 5$

---

Banyak pemetaan $f: A \rightarrow B$

Ditentukan oleh rumus:

$
n(f: A \rightarrow B) = (n(B))^{n(A)}
$

Sehingga:

$
n(f: A \rightarrow B) = 5^4 = 625 \text{ pemetaan}
$

---

Banyak pemetaan $f: B \rightarrow A$

Ditentukan oleh rumus:

$
n(f: B \rightarrow A) = (n(A))^{n(B)}
$

Sehingga:

$
n(f: B \rightarrow A) = 4^5 = 1024 \text{ pemetaan}
$

---

Menentukan banyak korespondensi satu-satu

Jika $n(A) = n(B) = n$, maka banyak korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B ditentukan oleh:

$
n(f: A \overset{1-1}{\rightarrow} B) = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1 = n!
$

C. MENULIS FORMULA/RUMUS FUNGSI

Jika notasi $f : x \rightarrow y$ dituliskan dalam bentuk rumus fungsi, maka diperoleh:

$
y = f(x)
$

---

Contoh:

Jika $f(x) = x^2 - 4x$, tentukan nilai $f(x - 3)$.

Jawab:

$
f(x) = x^2 - 4x
$

$
f(x - 3) = (x - 3)^2 - 4(x - 3) \quad \text{(substitusikan } x - 3 \text{ ke dalam } x)
$

$
= x^2 - 6x + 9 - 4x + 12 \quad \text{(penjabaran)}
$

$
= x^2 - 10x + 21 \quad \text{(penyederhanaan)}
$

A. Pengertian Fungsi

Relasi, yaitu aturan pengkawanan himpunan dengan aturan tertentu. Fungsi atau pemetaan \( f \) merupakan suatu relasi yang khusus.

Suatu fungsi dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) didefinisikan sebagai suatu relasi dengan ketentuan setiap anggota \( A \) dipasangkan dengan tepat satu anggota \( B \), ditulis \( f: A \rightarrow B \).

  • Himpunan \( A \) disebut daerah asal atau domain.
  • Himpunan \( B \) disebut daerah kawan atau kodomain.
  • Himpunan bagian \( B \) yang berpasangan dengan \( A \) disebut daerah hasil atau range.

B. Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi:

  • \( g: A \rightarrow B \), maka \( y = g(x) \)
  • \( f: B \rightarrow C \), maka \( z = f(x) \)

Fungsi komposisi \( g \) dan \( f \) dapat dituliskan:

\( h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

  • Tidak komutatif: \( f \circ g \ne g \circ f \)
  • Asosiatif: \( f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = f \circ g \circ h \)
  • Mempunyai identitas: \( I \) adalah fungsi identitas di mana \( I(x) = x \)
  • \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
  • Fungsi invers komposisi: \( (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \)

Domain Fungsi Komposisi

\( D(f \circ g) = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \} \)

Keterangan:

  • \( D_f \): domain fungsi \( f \)
  • \( D_g \): domain fungsi \( g \)
  • \( R_f \): range fungsi \( f \)
  • \( D(f \circ g) \): domain komposisi fungsi \( f \circ g \)

A. Fungsi Invers

Suatu fungsi \( f: A \rightarrow B \) mempunyai fungsi invers \( f^{-1}: B \rightarrow A \), jika A dan B berkorespondensi satu-satu.

Daerah hasil dari \( f \) merupakan daerah asal bagi \( f^{-1} \)
dan
Daerah asal dari \( f \) merupakan daerah hasil bagi \( f^{-1} \)

Sehingga jika \( f(x) = y \), maka \( f^{-1}(y) = x \)

Fungsi invers berlaku:

  • Jika \( f(a) = b \), maka \( f^{-1}(b) = a \)

Secara grafis, \( f^{-1} \) adalah hasil pencerminan grafik \( f(x) \) terhadap garis \( y = x \).

D. Invers Fungsi Komposisi

Bila \( f: A \rightarrow B \) dan \( g: B \rightarrow C \), maka:

\[ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \]

Invers dari fungsi komposisi berlaku:
Jika \( (g \circ f)(a) = b \), maka \( (g \circ f)^{-1}(b) = a \)

Cara Cepat:
Jika \( f \circ g(x) = h(x) \), maka \( f(x) = h(g^{-1}(x)) \)

Daftar Fungsi dan Invers

No.f(x)f⁻¹(x)
1.\( ax + b \)\( \frac{x - b}{a} \)
2.\( \frac{x}{a} + b \)\( a(x - b) \)
3.\( x^a + b \)\( (x - b)^{\frac{1}{a}} \)
4.\( (ax + b)^c \)\( \left( \frac{x^c - b}{a} \right) \)
5.\( a^{bx} \)\( \frac{\log x^a}{b} \)
6.\( a^{bx + c} \)\( \frac{\log x^a - c}{b} \)
7.\( \frac{ax + b}{cx + d} \)\( \frac{-dx + b}{cx - a} \)
8.\( \sqrt[n]{ax + b} \)\( \frac{x^n - b}{a} \)
9.\( \log_a x \)\( a^x \)

E. Menentukan Fungsi

Jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui:

  • Jika diketahui \( f(x) \) dan \( f \circ g(x) = h(x) \), maka:
    \( g(x) = f^{-1}(h(x)) \)
  • Jika diketahui \( f(x) \) dan \( g \circ f(x) = h(x) \), maka:
    \( g(x) = h(f^{-1}(x)) \)