Materi: Matematika (Lingkaran)
A. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Garis dan Ciri-cirinya Busur
Ciri-ciri
1. Berupa kurva lengkung.
2. Berhimpit dengan lingkaran.
3. Jika kurang dari setengah lingkaran (sudut pusat < 180°) disebut busur minor.
4. Jika lebih dari setengah lingkaran (sudut pusat > 180°) disebut busur mayor.
5. Busur setengah lingkaran berukuran sudut pusat = 180°.
Jari-jari
Ciri-ciri
1. Berupa ruas garis.
2. Menghubungkan titik pada lingkaran dengan titik pusat.
Penulisan simbol: OD, PM, dan QS (dengan garis di atas huruf).
Diameter
Ciri-ciri
1. Berupa ruas garis.
2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.
3. Melalui titik pusat lingkaran.
Penulisan simbol: $\overline{BD}$, $\overline{JM}$, dan $\overline{SU}$
Tali busur
Ciri-ciri
1. Berupa ruas garis.
2. Menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Penulisan simbol: $\overline{FE}$, $\overline{IR}$, dan $\overline{SU}$
Apotema
Ciri-ciri
1. Berupa ruas garis.
2. Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur.
3. Tegak lurus dengan tali busur.
Penulisan simbol: $\overline{OG}$, $\overline{PQ}$
Tidak memiliki apotema terhadap tali busur $\overline{SU}$ (di Gambar tali busur)
B. Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Luasan serta Ciri-cirinya
Juring
Ciri-ciri
1. Berupa daerah di dalam lingkaran.
2. Dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran.
3. Jari-jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaran.
Tembereng
Ciri-ciri
1. Berupa daerah di dalam lingkaran.
2. Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.
Sudut Pusat
Ciri-ciri
1. Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut).
2. Kaki sudut berhimpit dengan jari-jari lingkaran.
3. Titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran.
Pada gambar di bawah ini sudut pusat AOB ditulis "$\angle AOB$" atau "α",
sudut pusat JPG ditulis "$\angle JPG$" atau "β",
dan sudut pusat KQJ ditulis "$\angle KQJ$" atau "θ".
$
\angle AOB \quad \angle JPG \quad \angle KQJ
$
---
Keterangan:
Untuk istilah busur, juring, tembereng, maupun sudut, jika tidak disebutkan secara spesifik minor atau mayor, maka kita sepakati minor.
Persamaan Lingkaran
- Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari = r.
$x^2+y^2=r^2$
$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$
$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$
Syarat:
Koefisien x² dan y² harus sama dan tidak sama dengan nol.
Persamaan tersebut mempunyai:
- Pusat (P) = (-a,-b)
- Jari - jari (r) = $\sqrt{(-a)^2 + (-b)^2 - c}$
Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan L: x²+y²+ 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A($x_1,у_1$) Kedudukan titik A($x_1,у_1$) terhadap lingkaran L adalah: Kp = $x_1^2 + y_1^2 + 2ax_1 + 2by_1 +c $
Keterangan:
- Jika Kp > 0 maka titik A($x_1,у_1$) berada di luar lingkaran
- Kp < 0 maka titik A($x_1,у_1$) berada di dalam lingkaran
- Kp = 0 maka titik A($x_1,у_1$) berada pada lingkaran
Jika dibuat garis singgung pada lingkaran yang melalui A($x_1,у_1$) maka jarak dari titik A($x_1,у_1$) ke titik singgungnya adalah d = $\sqrt{Kp}$ dengan A($x_1,у_1$) berada di luar lingkaran.
Hubungan Garis dengan Lingkaran
Diberikan garis \( g: y = mx + n \) dan lingkaran \( L: x^2 + y^2 = r^2 \). Substitusikan \( g \) ke \( L \):
\( x^2 + (mx+n)^2 - r^2 = 0 \)
\( x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 = 0 \)
\( (1+m^2)x^2 + 2mnx + (n^2 - r^2) = 0 \)
Diskriminan persamaan kuadrat di atas:
\( D = b^2 - 4ac = (2mn)^2 - 4(1+m^2)(n^2 - r^2) = 4m^2r^2 - 4n^2 + 4r^2 \)
- \( D > 0 \): garis memotong lingkaran pada dua titik.
- \( D = 0 \): garis menyinggung lingkaran pada satu titik.
- \( D < 0 \): garis tidak memotong/menyinggung lingkaran.
Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran
1) Titik singgung \(P(x_1,y_1)\) dan garis melalui \(P\)
Garis singgung melalui \(P\): \( (y - y_1) = m_2 (x - x_1) \).
Jika pusat lingkaran \(C(x_p,y_p)\), maka jari-jari \(CP\) tegak lurus garis singgung: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) dengan
\( m_1 = \dfrac{y_1 - y_p}{x_1 - x_p} \).
2) Lingkaran pusat \(O(0,0)\): \( x^2 + y^2 = r^2 \)
Garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \): \( x_1 x + y_1 y = r^2 \).
3) Lingkaran umum: \( x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \).
Garis singgung di \( P(x_1,y_1) \): \( x_1 x + y_1 y + a(x_1 + x) + b(y_1 + y) + c = 0 \).
4) Dengan gradien \(m\) (pusat di \(O\), jari-jari \(r\))
Bentuk garis singgung: \( y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} \).
Garis Singgung (gradien m) pada Lingkaran
Lingkaran: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Rumus garis singgung: \( y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1+m^2} \)
Menentukan Jari-jari
Pusat \( (x_1,y_1) \), garis \( Ax + By + C = 0 \)
\( r = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
