Materi: Matematika (Peluang)

Prinsip Perkalian (Multiplication Rule)

Dasar Teori Prinsip Perkalian

Jika suatu pekerjaan terdiri dari \(k\) tahap berurutan, dengan banyak pilihan tiap tahap berturut-turut \(n_1, n_2, \dots, n_k\), maka banyak cara total: \[ N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k. \]

Syarat: setiap tahap berdiri sendiri, dan setiap hasil tahap bisa dipasangkan dengan semua hasil tahap berikutnya.

Penjelasan Intuitif

Setiap pilihan di tahap pertama dapat dipasangkan dengan semua pilihan di tahap kedua, dan seterusnya. Karena itu jumlah cara = hasil kali banyak pilihan tiap tahap.

Soal 1 (A) — Pakaian

Seorang siswa memiliki 4 kemeja dan 3 celana. Berapa banyak cara memilih 1 kemeja dan 1 celana?

Soal 2 (B) — Paket Makanan

Sebuah katering menawarkan 3 lauk (ayam, ikan, tahu) dan 2 minuman (teh, jeruk). Berapa banyak paket berbeda (1 lauk + 1 minuman)?

Lauk \(=3\). Minuman \(=2\).
Total: \(3 \times 2 = 6\).

Soal 3 (C) — Password

Password terdiri dari 2 huruf (A–Z) diikuti 2 digit (0–9). Berapa banyak password berbeda?

Contoh 6 kombinasi pertama (mengurut dari huruf lalu digit):

1. AA00
2. AA01
3. AA02
4. AA03
5. AA04
6. AA05

Soal 4 (D) — Rute Kota

Dari A ke B ada 3 jalur, dari B ke C ada 4 jalur. Berapa banyak rute dari A ke C melalui B?

A→B \(=3\), B→C \(=4\).
Total: \(3 \times 4 = 12\).

Soal 5 (E) — Plat Nomor

Plat nomor terdiri dari 1 huruf (A–Z) diikuti 3 digit (0–9). Berapa banyak plat berbeda?

Huruf \(=26\), tiap digit \(=10\).
Total: \(26 \times 10 \times 10 \times 10 = 26{,}000\).

Prinsip Penjumlahan (Addition Rule)

Dasar Teori Prinsip Penjumlahan

Jika suatu pekerjaan dapat dilakukan dengan beberapa cara yang saling lepas (tidak ada tumpang tindih), maka banyak cara total adalah jumlah cara dari tiap pilihan.

Secara matematis: jika pekerjaan A dapat dilakukan dengan \(m\) cara dan pekerjaan B dapat dilakukan dengan \(n\) cara, dan A serta B tidak bisa terjadi bersamaan, maka total cara: \[ N = m + n \]

Penjelasan Intuitif

Prinsip penjumlahan dipakai saat kita memilih salah satu dari beberapa kegiatan berbeda. Kita tinggal menjumlahkan banyaknya cara masing-masing kegiatan.

Soal 6 (A) — Buku

Seorang siswa ingin membeli 1 buku. Ada 5 buku matematika dan 4 buku fisika. Berapa cara siswa itu dapat memilih 1 buku?

Jumlah cara memilih 1 buku: \( 5 + 4 = 9 \).

Soal 7 (B) — Transportasi

Dari rumah ke sekolah, Ani bisa naik bus dengan 3 rute berbeda atau naik kereta dengan 2 rute berbeda. Berapa banyak pilihan transportasi Ani?

Bus \(=3\) cara, Kereta \(=2\) cara.
Total: \(3+2 = 5\) cara.

Soal 8 (C) — Pilih Makanan

Sebuah kantin menyediakan 4 jenis nasi kotak atau 3 jenis mi. Jika hanya boleh memilih salah satu, berapa banyak pilihan yang ada?

Nasi kotak \(=4\), Mi \(=3\).
Total: \(4+3 = 7\).

Soal 9 (D) — Ruang Kuliah

Mahasiswa dapat belajar di 2 ruang perpustakaan atau 5 ruang kelas. Jika memilih salah satu ruangan, ada berapa banyak pilihan?

Perpustakaan \(=2\), Kelas \(=5\).
Total: \(2+5 = 7\).

Soal 10 (E) — Pakaian

Toko pakaian menawarkan 6 model kemeja atau 4 model jaket. Jika seseorang hanya membeli salah satu, berapa banyak pilihan yang tersedia?

Kemeja \(=6\), Jaket \(=4\).
Total: \(6+4 = 10\).

Prinsip Penyisipan / Aturan Sisipan5

Dasar Teori Prinsip Penyisipan / Aturan Sisipan

Prinsip penyisipan: susun dulu objek utama untuk membentuk slot, lalu sisipkan objek lain ke slot-slot tersebut sesuai syarat (mis. tidak berdampingan). Jika ada \(k\) objek utama tersusun dalam satu baris, maka slot yang tersedia berjumlah \(k+1\) (termasuk dua ujung).

Skema umum:

1. Susun objek utama (permutasi atau variasi lain yang relevan).
2. Hitung jumlah slot (\(k+1\)).
3. Pilih slot untuk objek sisipan (kombinasi), lalu susun objek sisipan jika dibedakan (permutasi).

Soal 11 — Selang-seling Laki–Perempuan

Ada 4 laki-laki (L) dan 3 perempuan (P) berbeda. Berapa banyak cara menyusun mereka dalam satu baris sehingga tidak ada dua perempuan berdampingan?

Pembahasan:

Hasil akhir (aturan perkalian):

\[ \text{Total} = 4!\times \binom{5}{3}\times 3! \;=\; 24 \times 10 \times 6 \;=\; \boxed{1440}. \]

Intuisi singkat: Menaruh P hanya di slot memastikan tidak ada dua P bersebelahan. Memilih 3 slot yang berbeda menjamin P terpisah, lalu urutkan P karena ketiganya berbeda.

Susun 4 L dahulu: \(4! = 24\).
Ini membentuk \(4+1=5\) slot (□ L □ L □ L □ L □).
Pilih 3 slot untuk 3 P: \(\binom{5}{3}=10\).
$ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10 $ Perempuan berbeda → atur: \(3!=6\).

Jadi total susunan: \(4!\times \binom{5}{3}\times 3! = 24\times 10\times 6 = 1440\).

Alur logikannya

Soal 12 — Tanpa Dua Angka Genap Bersebelahan

Dari digit berbeda \(\{0,1,2,3,4\}\), bentuk semua bilangan 5-digit yang tidak memiliki dua angka genap bersebelahan. (Genap: 0,2,4). Bilangan tidak boleh diawali 0.
Berapa banyak bilangan 5-digit yang bisa dibentuk dari digit 0–4 (tanpa pengulangan), dengan syarat:
Tidak ada dua digit genap (0,2,4) yang bersebelahan.:
Angka pertama (ribuan-tertinggi) tidak boleh 0.:

Pembahasan:

1) Data & aturan (Diketahui)
* Digit tersedia (semua berbeda): {0,1,2,3,4}.
* Genap = {0,2,4} (tiga buah), ganjil = {1,3} (dua buah).
* Bentuk bilangan 5-digit → harus memakai semua digit tepat sekali.
* Tidak boleh ada dua genap berdampingan.
* Tidak boleh diawali 0.

2) Pola bentuk yang mungkin

Karena ada 3 genap dan 2 ganjil, agar genap tidak berdampingan, setiap genap harus ipisah oleh ganjil.
Dengan hanya 2 ganjil, satu-satunya pola 5 posisi yang memisah 3 genap adalah:
E(Even) Genap
O(Odd) Ganjil
$ \boxed{E\;-\;O\;-\;E\;-\;O\;-\;E} $
Tidak ada pola lain:

* Pola yang diawali/diakhiri ganjil (mis. O–E–O–E–O) butuh **3 ganjil**, padahal kita hanya punya 2.
* Pola seperti E–E–… langsung melanggar aturan (dua genap berdampingan).
Jadi, posisi 1,3,5 = Genap dan posisi 2,4 = Ganjil.

3) Konsekuensi larangan awalan 0
Posisi-1 adalah Genap, tetapi tidak boleh 0.
Jadi digit di posisi-1 hanya bisa 2 atau 4.

4) Hitung penempatan digit Genap (0,2,4) ke posisi {1,3,5}
Kita ingin menyusun {0,2,4} ke slot {1,3,5} **dengan syarat** slot-1 ≠ 0.
Cara langsung:
* Total susunan {0,2,4} ke {1,3,5}: $3! = 6$.
* Kurangi (kasus terlarang) (slot-1 = 0).
Jika slot-1 = 0, sisa {2,4} bisa di {3,5} dalam $2!=2$ cara.
* Jadi banyak susunan Genap yang valid = $6 - 2 = \mathbf{4}$.

(Alternatif melihatnya: pilih salah satu dari {2,4} untuk posisi-1 → 2 cara; lalu dua slot genap tersisa diisi {0, genap sisa} → $2!=2$ cara. Total $2\times2=\mathbf{4}$.)

5) Hitung penempatan digit Ganjil (1,3) ke posisi {2,4}
* Dua digit ganjil {1,3} ke dua slot {2,4}: $2! = \mathbf{2}$ cara.

6) Total
Kalikan pilihan genap × pilihan ganjil:
$ \boxed{4 \times 2 = \mathbf{8}} $

7) (Opsional) Verifikasi daftar
21034, 21430, 23014, 23410, 41032, 41230, 43012, 43210 — semuanya:
* panjang 5, pakai tiap digit sekali,
* pola E–O–E–O–E,
* tidak diawali 0.

Soal 13 — Menyisipkan Huruf Vokal

Dari 5 konsonan berbeda \(\{B,C,D,F,G\}\) dan 2 vokal berbeda \(\{A,E\}\), berapa banyak cara menyusun 7 huruf sehingga tidak ada dua vokal berdampingan?

Pembahasan:

Siap. Kita uraikan pelan-pelan, detail, jelas, dan rinci.
Data & Syarat (diketahui)

* Huruf konsonan (semua berbeda): $\{B,C,D,F,G\}$ → 5 huruf.
* Huruf vokal (semua berbeda): $\{A,E\}$ → 2 huruf.
* Disusun menjadi 7 huruf.
* Syarat: tidak boleh ada dua vokal berdampingan.

Langkah 1 — Susun konsonan dulu
Susun 5 konsonan berbeda dalam baris:
$ 5! = 120 \text{ cara} $
Contoh salah satu susunan (hanya ilustrasi):
$C\;D\;B\;F\;G$

Langkah 2 — Lihat “celah” untuk menaruh vokal
Setelah konsonan disusun, akan terbentuk 6 celah di sekitar konsonan (di depan, di antara, dan di belakang):
$ \_\, C \, \_ \, D \, \_ \, B \, \_ \, F \, \_ \, G \, \_ $
Secara umum, untuk 5 konsonan ada $5+1=6$ celah.
Sebut celahnya $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6$.

Langkah 3 — Pilih celah untuk vokal
Kita punya 2 vokal (A dan E) dan tidak boleh berdampingan.
Jika dua vokal ditempatkan di celah yang sama, mereka akan berdampingan (melanggar syarat).
Maka harus menempatkan masing-masing vokal pada celah yang berbeda.
Jadi kita memilih 2 celah berbeda dari 6 celah:
$ \binom{6}{2} = 15 \text{ cara} $
> Intuisi: satu celah hanya boleh memuat maksimum satu vokal agar tidak ada dua vokal bersebelahan. Karena vokal ada 2, kita butuh tepat 2 celah.
---
Langkah 4 — Urutkan vokal di celah terpilih
Vokalnya berbeda (A dan E). Begitu 2 celah dipilih, kita masih bisa menukar urutan A dan E (A di celah pertama, E di celah kedua; atau sebaliknya):
$ 2! = 2 \text{ cara} $

Langkah 5 — Kalikan semua pilihan (Rule of Product)
* Susun konsonan: $5!$
* Pilih celah vokal: $\binom{6}{2}$
* Urutkan vokal: $2!$
$ \text{Total} = 5!\times \binom{6}{2}\times 2! = 120 \times 15 \times 2 = \boxed{3600} $

Soal 14 — Selang-seling Dimulai Perempuan

Ada 3 perempuan \(\{P_1,P_2,P_3\}\) dan 3 laki-laki \(\{L_1,L_2,L_3\}\). Susun dalam satu baris secara selang-seling dan harus dimulai dengan perempuan.

Pembahasan:

1) Data dan syarat (diketahui)
* Perempuan: $\{P_1, P_2, P_3\}$
* Laki-laki: $\{L_1, L_2, L_3\}$
* Harus disusun dalam satu baris dengan pola selang-seling .
* Barisan harus dimulai dengan perempuan.

2) Pola posisi
Karena jumlah perempuan = jumlah laki-laki = 3, dan barisan dimulai dengan perempuan, maka polanya tetap :
$ P\;-\;L\;-\;P\;-\;L\;-\;P\;-\;L $
Jadi:
* Posisi ke-1,3,5 = perempuan.
* Posisi ke-2,4,6 = laki-laki.

3) Susun perempuan
Ada 3 perempuan berbeda ($P_1,P_2,P_3$).
Mereka harus mengisi 3 posisi khusus (posisi 1,3,5).
Banyak cara menyusun mereka = permutasi $3!$:
$ 3! = 6 \text{ cara} $

4) Susun laki-laki
Ada 3 laki-laki berbeda ($L_1,L_2,L_3$).
Mereka harus mengisi 3 posisi khusus (posisi 2,4,6).
Banyak cara menyusun mereka = $3!$:
$ 3! = 6 \text{ cara} $

5) Gabungkan
Karena penyusunan perempuan dan laki-laki independen , total cara adalah hasil kali:
$ \text{Total} = 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36 $

6) Contoh beberapa susunan
1. $P_1\;L_1\;P_2\;L_2\;P_3\;L_3$
2. $P_2\;L_3\;P_1\;L_2\;P_3\;L_1$
3. $P_3\;L_2\;P_1\;L_1\;P_2\;L_3$
dan seterusnya hingga 36 kemungkinan.
Jawaban akhir: $\mathbf{36}$ cara .

Soal 15 — Huruf Dengan Larangan Bersebelahan

Dari 4 konsonan berbeda \(\{B,C,D,F\}\) dan 2 vokal \(\{A,E\}\), susun semua huruf sehingga dua vokal tidak bersebelahan.

Pembahasan:

1) Data dan syarat * Konsonan berbeda: $\{B,C,D,F\}$ → 4 huruf.
* Vokal berbeda: $\{A,E\}$ → 2 huruf.
* Total huruf = 6.
* **Syarat:** tidak boleh ada dua vokal berdampingan.

2) Susun konsonan dulu
Susun 4 konsonan dalam satu baris:
$ 4! = 24 \quad \text{cara} $
Contoh: $B \; C \; D \; F$.

3) Hitung jumlah “celah”
Setelah konsonan ditaruh, ada $4+1=5$ celah untuk meletakkan vokal:
$ \_ \; C_1 \; \_ \; C_2 \; \_ \; C_3 \; \_ \; C_4 \; \_ $
Celah = 5 tempat.

4) Pilih celah untuk vokal
Kita punya 2 vokal berbeda ($A,E$).
Agar **tidak berdampingan**, mereka **harus ditempatkan di celah yang berbeda**.
Jumlah cara memilih 2 celah dari 5:
$ \binom{5}{2} = 10 $

5) Urutkan vokal
Begitu 2 celah dipilih, kita bisa menaruh A dan E dengan urutan berbeda:
$ 2! = 2 $
---
6) Total cara $ \text{Total} = (4!) \times \binom{5}{2} \times (2!) = 24 \times 10 \times 2 = 480 $
--- **Jawaban akhir:** Ada $\mathbf{480}$ susunan huruf yang memenuhi syarat.

Kaedah Pencacahan Lanjutan

Dasar Teori Kaedah Pencacahan Lanjutan

Selain prinsip perkalian, penjumlahan, permutasi, dan kombinasi, ada beberapa kaedah pencacahan lanjutan yang sering dipakai:

• Prinsip Komplemen: menghitung jumlah cara dengan mengurangi total kemungkinan dengan kasus yang dilarang.
• Prinsip Inklusi–Eksklusi: menghitung jumlah elemen gabungan beberapa himpunan dengan mengoreksi irisan.
• Prinsip Binomial: memanfaatkan teorema binomial untuk menghitung banyak cara distribusi.
• Distribusi Bola ke Kotak: (identik vs berbeda, kosong vs tidak boleh kosong).

Soal 16 — Prinsip Komplemen

Sebuah password 4 digit (0–9, boleh berulang) ingin dihitung banyaknya. Berapa banyak password yang tidak semuanya digit sama?

Pembahasan:

Total semua password = \(10^4 = 10000\).
Kasus semua digit sama: 10 (0000,1111,...,9999).
Maka jumlah yang diminta = \(10000 - 10 = 9990\).

Soal 17 — Prinsip Inklusi–Eksklusi

Dari 1 sampai 100, ada berapa bilangan yang habis dibagi 2 atau 5?

Pembahasan:

Kelipatan 2: \(\lfloor 100/2 \rfloor = 50\).
Kelipatan 5: \(\lfloor 100/5 \rfloor = 20\).
Kelipatan 10 (irisan): \(\lfloor 100/10 \rfloor = 10\).
Total = \(50+20-10=60\).

Soal 18 — Prinsip Binomial

Hitung koefisien \(x^3 y^2\) dalam pengembangan \((x+y)^5\).

Pembahasan:

$(x+y)^5$ artinya apa?
$ (x+y)^5 = (x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y) $
Bayangkan ada 5 kotak , dan di setiap kotak ada dua pilihan: $x$ atau $y$.
Kalau kita ambil satu dari tiap kotak, lalu semua dikalikan, maka terbentuk satu suku .
---
Contoh 1: pilih semua x
Kotak: (x) (x) (x) (x) (x)
Hasil: $x \times x \times x \times x \times x = x^5$.
---
Contoh 2: pilih empat x dan satu y
Kotak: (y) (x) (x) (x) (x)
Hasil: $y \times x \times x \times x \times x = x^4 y$.
Kalau posisi y berbeda, misalnya (x)(y)(x)(x)(x), hasilnya tetap $x^4y$.
Jadi ada beberapa cara berbeda menghasilkan suku yang sama bentuknya .
Inilah alasan kenapa ada koefisien (angka di depan suku).
---
Contoh 3: ingin $x^3y^2$
Kita ingin tepat 3 kali pilih x dan 2 kali pilih y .
Misalnya:
* (x)(x)(x)(y)(y) → hasil $x^3y^2$
* (x)(y)(x)(y)(x) → hasil $x^3y^2$
* (y)(x)(x)(y)(x) → hasil $x^3y^2$
dll.
Setiap susunan berbeda dari 5 kotak tetap menghasilkan bentuk yang sama $x^3y^2$.
Nah, jumlah susunan berbeda inilah yang menentukan koefisien .
---
Hitung banyak susunan
Ada 5 kotak, pilih 2 kotak untuk $y$ (sisanya otomatis $x$):
* Banyak cara memilih = $\binom{5}{2} = 10$.
Artinya ada 10 cara berbeda menghasilkan $x^3y^2$.
---
Jadi
Koefisien $x^3y^2$ dalam $(x+y)^5$ adalah 10 . ✅

Cara lain
Kita ingin lihat semua **10 susunan** yang menghasilkan $x^3 y^2$ dari 5 faktor $(x+y)$.
---
Aturan
* Ada 5 slot: $\_\;\_\;\_\;\_\;\_$
* Isi tiap slot dengan $x$ atau $y$.
* Harus ada tepat 3 $x$ dan 2 $y$.
---
Semua susunan (10 cara memilih posisi y)
1. $y\,y\,x\,x\,x$
2. $y\,x\,y\,x\,x$
3. $y\,x\,x\,y\,x$
4. $y\,x\,x\,x\,y$
5. $x\,y\,y\,x\,x$
6. $x\,y\,x\,y\,x$
7. $x\,y\,x\,x\,y$
8. $x\,x\,y\,y\,x$
9. $x\,x\,y\,x\,y$
10. $x\,x\,x\,y\,y$
---
Cek
* Setiap baris punya **3 $x$** dan **2 $y$**.
* Hasil kali selalu $x^3 y^2$.
Karena ada **10 susunan berbeda**, maka koefisien $x^3 y^2 = 10$.

Soal 19 — Distribusi Bola ke Kotak

Ada 4 bola identik akan dimasukkan ke 3 kotak berbeda tanpa syarat. Berapa banyak cara?

Pembahasan:

Situasi(Diketahui)
* Ada **4 bola yang sama persis**.
* Ada **3 kotak berbeda**: kotak 1, kotak 2, kotak 3.
* Pertanyaan: berapa banyak cara mengisi kotak-kotak itu dengan bola, kalau semua bola harus dipakai?
---
Langkah alami: coba semua kemungkinan jumlah di kotak 1

a) Kalau **semua bola masuk kotak 1**
Kotak 1: 4, Kotak 2: 0, Kotak 3: 0
→ hanya **1 cara**.
---
b) Kalau **3 bola di kotak 1**
Sisa 1 bola harus masuk ke kotak 2 atau kotak 3:
* Kotak 2: 1, Kotak 3: 0
* Kotak 2: 0, Kotak 3: 1
→ total **2 cara**.
---
c) Kalau **2 bola di kotak 1**
Sisa 2 bola bisa dibagi ke kotak 2 dan 3:
* Kotak 2: 2, Kotak 3: 0
* Kotak 2: 1, Kotak 3: 1
* Kotak 2: 0, Kotak 3: 2
→ total **3 cara**.
---
d) Kalau **1 bola di kotak 1**
Sisa 3 bola bisa dibagi ke kotak 2 dan 3:
* Kotak 2: 3, Kotak 3: 0 * Kotak 2: 2, Kotak 3: 1

* Kotak 2: 1, Kotak 3: 2
* Kotak 2: 0, Kotak 3: 3
→ total **4 cara**.
---
e) Kalau **0 bola di kotak 1**
Semua 4 bola masuk ke kotak 2 dan 3:
* Kotak 2: 4, Kotak 3: 0
* Kotak 2: 3, Kotak 3: 1
* Kotak 2: 2, Kotak 3: 2
* Kotak 2: 1, Kotak 3: 3
* Kotak 2: 0, Kotak 3: 4
→ total **5 cara**.
---
Hitung semua
Jumlah semua kemungkinan:
* a) 1 cara
* b) 2 cara
* c) 3 cara
* d) 4 cara
* e) 5 cara
$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $
---
Kesimpulan
Ada **15 cara berbeda** untuk membagi 4 bola identik ke dalam 3 kotak berbeda.
Cara lain
membagi 4 bola identik ke dalam 3 kotak berbeda.
1. (4, 0, 0)
2. (3, 1, 0)
3. (3, 0, 1)
4. (2, 2, 0)
5. (2, 1, 1)
6. (2, 0, 2)
7. (1, 3, 0)
8. (1, 2, 1)
9. (1, 1, 2)
10. (1, 0, 3)
11. (0, 4, 0)
12. (0, 3, 1)
13. (0, 2, 2)
14. (0, 1, 3)
15. (0, 0, 4)
Total = 15 cara.
cara lain
Rumus umum (bintang–garis)
Untuk $n$ bola identik ke $k$ kotak berbeda (boleh kosong):
$ \binom{n+k-1}{k-1}. $
Di sini $n=4,\; k=3 \Rightarrow \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{6}{2}=15.$

Soal 20 — Komplemen + Inklusi

Dari 3 huruf berbeda \(\{A,B,C\}\) dibuat semua susunan 3 huruf (permutasi). Berapa banyak susunan yang tidak mengandung huruf A di posisi pertama maupun terakhir?

Pembahasan:

Total permutasi = \(3! = 6\).
Kasus A di depan: 2! = 2.
Kasus A di belakang: 2! = 2.
Kasus ganda (A depan & belakang) tidak mungkin karena hanya ada satu A.
Jadi jumlah dilarang = 4.
Maka valid = \(6-4=2\).

B. Permutasi

Permutasi adalah susunan objek yang memperhatikan urutan.
Jumlah permutasi dari \( n \) unsur diambil semuanya:

\( P_n = n! \)

Jumlah permutasi dari \( n \) unsur diambil \( r \):
\( ^nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} \)

Permutasi dengan elemen yang sama:
Jika terdapat a, b, c unsur yang sama maka:
\( \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!} \)

Definisi Permutasi

Rumus Dasar Permutasi

Permutasi sebagian elemen

Permutasi dengan elemen sama (repetisi)

Hubungan Permutasi & Kombinasi

Aplikasi Permutasi

Kasus 1: Permutasi Semua Elemen

Pada kasus ini, semua elemen berbeda disusun seluruhnya. Kita mulai dari contoh sederhana, lalu lihat polanya.

Contoh Soal 1

Berapa banyak susunan berbeda dari 2 huruf A dan B?

Pembahasan:
Tuliskan semua kemungkinan:
1. AB
2. BA
Maka total ada 2 susunan. Jika menggunakan pola perkalian: \(2 \times 1 = 2\).

Contoh Soal 2

Berapa banyak susunan berbeda dari huruf A, B, C?

Pembahasan:
Tuliskan semua susunan:
1. ABC    2. ACB
3. BAC    4. BCA
5. CAB    6. CBA
Total ada 6 susunan. Dengan pola perkalian: \(3 \times 2 \times 1 = 6\).

Contoh Soal 3

Berapa banyak cara menyusun 4 siswa berbeda pada 4 kursi?

Pembahasan:
Untuk 4 objek, jika ditulis manual akan ada 24 susunan. Dengan pola perkalian: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\).

Contoh Soal 4

Kata “LOVE” terdiri dari 4 huruf berbeda. Berapa banyak susunan huruf yang mungkin?

Pembahasan:
Jika ditulis manual akan ada 24 susunan berbeda. Pola umum: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\).

Contoh Soal 5

Berapa banyak cara mengatur 5 bendera berbeda pada satu tiang secara vertikal?

Pembahasan:
Jika dituliskan satu per satu, akan ada 120 susunan. Menggunakan pola: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

Kesimpulan Pola

Dari contoh-contoh di atas: - 2 objek → \(2 \times 1 = 2\) - 3 objek → \(3 \times 2 \times 1 = 6\) - 4 objek → \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) - 5 objek → \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) Sehingga untuk \(n\) objek, jumlah susunan = \(n!\).

Kasus 2: Permutasi Sebagian Elemen

Pada kasus ini, kita menyusun sebagian dari total objek yang tersedia. Rumus umum:

\( P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \)

Soal 6

Dari huruf A, B, C diambil 2 huruf untuk disusun. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Tuliskan semua kemungkinan:
1. AB    2. AC
3. BA    4. BC
5. CA    6. CB
Total ada 6 susunan. Dengan pola: \( P(3,2) = \tfrac{3!}{(3-2)!} = 6 \).

Soal 7

Dari 4 siswa (A, B, C, D), dipilih 2 orang untuk duduk di kursi berjajar. Berapa banyak susunan?

Pembahasan:
Jika ditulis semua: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC → total 12 susunan. Dengan rumus: \( P(4,2) = \tfrac{4!}{(4-2)!} = 12 \).

Soal 8

Dari 4 huruf A, B, C, D disusun menjadi 3 huruf. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Daftar Susunan (24 total)
Menggunakan {A, B, C}:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Menggunakan {A, B, D}:
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
Menggunakan {A, C, D}:
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
Menggunakan {B, C, D}:
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Jika ditulis manual akan ada 24 susunan.
Dengan rumus: \( P(4,3) = \tfrac{4!}{(4-3)!} = 24 \).

Soal 9

Dari 5 angka 1,2,3,4,5 diambil 2 angka untuk membuat bilangan dua digit. Berapa banyak bilangan berbeda?

Pembahasan:
Daftar Kombinasi (20 bilangan) uluhan = 1 → 12, 13, 14, 15
Puluhan = 2 → 21, 23, 24, 25
Puluhan = 3 → 31, 32, 34, 35
Puluhan = 4 → 41, 42, 43, 45
Puluhan = 5 → 51, 52, 53, 54
Dengan rumus: \( P(5,2) = \tfrac{5!}{(5-2)!} = 20 \).

Soal 10

Dari 6 siswa dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan jabatan?

Pembahasan:
Blok contoh (Ketua = A) → 5×4 = 20 susunan

Sekretaris bisa: B, C, D, E, F .
Untuk setiap sekretaris, Bendahara = sisa 4 orang.
* Sekretaris B → Bendahara: C, D, E, F
(A, B, C), (A, B, D), (A, B, E), (A, B, F)
* Sekretaris C → Bendahara: B, D, E, F
(A, C, B), (A, C, D), (A, C, E), (A, C, F)
* Sekretaris D → Bendahara: B, C, E, F
(A, D, B), (A, D, C), (A, D, E), (A, D, F)
* Sekretaris E → Bendahara: B, C, D, F
(A, E, B), (A, E, C), (A, E, D), (A, E, F)
* Sekretaris F → Bendahara: B, C, D, E
(A, F, B), (A, F, C), (A, F, D), (A, F, E)

Itu 20 susunan untuk Ketua = A .
Lanjut ke blok Ketua = B → 5×4 = 20 susunan:

* Sekretaris A → Bendahara: C, D, E, F
(B, A, C), (B, A, D), (B, A, E), (B, A, F)
* Sekretaris C → Bendahara: A, D, E, F
(B, C, A), (B, C, D), (B, C, E), (B, C, F)
* Sekretaris D → Bendahara: A, C, E, F
(B, D, A), (B, D, C), (B, D, E), (B, D, F)
* Sekretaris E → Bendahara: A, C, D, F
(B, E, A), (B, E, C), (B, E, D), (B, E, F)
* Sekretaris F → Bendahara: A, C, D, E
(B, F, A), (B, F, C), (B, F, D), (B, F, E)
sampai Blok Ketua = F... Penyelesaian dengan rumus Posisi ketua bisa dipilih dari 6 orang, sekretaris dari 5 orang, bendahara dari 4 orang. Jumlah susunan = \(6 \times 5 \times 4 = 120\). Dengan rumus: \( P(6,3) = \tfrac{6!}{(6-3)!} = 120 \).

Kasus 3: Permutasi dengan Elemen Sama

Pada kasus ini, ada elemen yang sama (identik). Karena identik, beberapa susunan sebenarnya tidak unik. Rumus umum:

\( P = \dfrac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \)

Soal 11

Kata "MAMA" terdiri dari 4 huruf, dengan 2 M dan 2 A. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Jika semua huruf dianggap berbeda, jumlahnya \(4! = 24\). Namun karena 2 M sama dan 2 A sama, tiap susunan dihitung ganda. Jumlah unik = \( \tfrac{4!}{2! \times 2!} = 6 \). Susunan unik misalnya: MAMA, MAAM, AMMA, AAMM, AMAM, M A M A.

Soal 12

Kata "LILI" terdiri dari 4 huruf, dengan 2 L dan 2 I. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Daftar semua susunan unik: 1. LLII
2. LILI
3. LIIL
4. ILLI
5. ILIL
6. IILL
Tanpa memperhatikan kesamaan huruf: \(4! = 24\). Huruf L berulang 2 kali dan huruf I berulang 2 kali. Jumlah unik = \( \tfrac{4!}{2! \times 2!} = 6 \).

Soal 13

Kata "BANANA" terdiri dari 6 huruf, dengan 3 A, 2 N, dan 1 B. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Jika huruf dianggap semua berbeda: \(6! = 720\). Perhatikan ada 3 A identik dan 2 N identik. Jumlah unik = \( \tfrac{6!}{3! \times 2!} = \tfrac{720}{12} = 60 \).

Soal 14

Kata "PEPPER" terdiri dari 6 huruf, dengan 3 P, 2 E, dan 1 R. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Jika dianggap semua berbeda: \(6! = 720\). Karena ada 3 P identik dan 2 E identik, jumlah unik = \( \tfrac{6!}{3! \times 2!} = \tfrac{720}{12} = 60 \).

Soal 15

Kata "STATISTICS" terdiri dari 10 huruf, dengan S = 3, T = 3, I = 2, A = 1, C = 1. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Tanpa memperhatikan kesamaan: \(10! = 3.628.800\). Karena ada pengulangan (3 S, 3 T, 2 I), jumlah unik = \( \tfrac{10!}{3! \times 3! \times 2!} = \tfrac{3.628.800}{72} = 50.400 \).

Kasus 4: Permutasi Siklis (Melingkar)

Pada kasus ini, susunan dianggap melingkar. Susunan yang hanya berbeda karena diputar dianggap sama. Rumus umum:

\( P_{siklis}(n) = (n-1)! \)

Soal 16

Ada 3 orang (A, B, C) duduk di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Jika linear, ada \(3! = 6\) susunan. Namun dalam lingkaran, susunan ABC, BCA, dan CAB dianggap sama karena hanya diputar. Begitu juga ACB, CBA, dan BAC adalah sama. Maka total susunan unik hanya 2. Rumus: \((3-1)! = 2\).

Soal 17

Ada 4 orang (A, B, C, D) duduk di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Jika linear, ada \(4! = 24\) susunan. Tetapi dalam lingkaran, setiap 4 susunan linear yang hanya berbeda rotasi dihitung sama. Maka jumlah unik = \(\tfrac{24}{4} = 6\). Rumus: \((4-1)! = 3! = 6\).

Soal 18

Ada 5 orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Linear: \(5! = 120\). Setiap 5 rotasi dianggap sama, sehingga jumlah unik = \(\tfrac{120}{5} = 24\). Rumus: \((5-1)! = 4! = 24\).

Soal 19

Ada 6 orang duduk di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Linear: \(6! = 720\). Setiap 6 rotasi dianggap sama, sehingga jumlah unik = \(\tfrac{720}{6} = 120\). Rumus: \((6-1)! = 5! = 120\).

Soal 20

Ada 7 orang duduk di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?

Pembahasan:
Linear: \(7! = 5040\). Setiap 7 rotasi dianggap sama, sehingga jumlah unik = \(\tfrac{5040}{7} = 720\). Rumus: \((7-1)! = 6! = 720\).

Kasus 5: Permutasi dengan Pengulangan

Pada kasus ini, setiap elemen boleh dipakai berulang kali. Rumus umum:

\( P = n^r \), dengan \(n\) = banyak pilihan, \(r\) = banyak posisi.

Soal 21

Berapa banyak susunan dua huruf jika tersedia huruf A dan B, dengan boleh diulang?

Pembahasan:
Tuliskan semua kemungkinan:
1. AA    2. AB
3. BA    4. BB
Total ada 4 susunan. Dengan rumus: \( 2^2 = 4 \).

Soal 22

Berapa banyak kode dua digit yang bisa dibuat dari angka 0–9 jika boleh diulang?

Pembahasan:
Untuk digit pertama ada 10 pilihan (0–9). Untuk digit kedua juga ada 10 pilihan. Jumlah kode = \(10 \times 10 = 100\). Dengan rumus: \( 10^2 = 100 \).

Soal 23

Berapa banyak kode tiga digit yang bisa dibuat dari angka 0–9 jika boleh diulang?

Pembahasan:
Digit pertama ada 10 pilihan, digit kedua 10 pilihan, digit ketiga 10 pilihan. Jumlah = \(10 \times 10 \times 10 = 1000\). Dengan rumus: \( 10^3 = 1000 \).

Soal 24

Berapa banyak PIN empat digit yang bisa dibuat dari angka 0–9 jika boleh diulang?

Pembahasan:
Setiap digit ada 10 pilihan. Ada 4 digit. Jumlah = \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\). Dengan rumus: \( 10^4 = 10000 \).

Soal 25

Berapa banyak kata sandi 3 huruf yang bisa dibuat dari huruf A, B, C jika boleh diulang?

Pembahasan:
Posisi pertama ada 3 pilihan, posisi kedua 3 pilihan, posisi ketiga 3 pilihan. Jumlah = \(3 \times 3 \times 3 = 27\). Dengan rumus: \( 3^3 = 27 \).

Kasus 6: Permutasi Khusus (Derangement & Syarat Tertentu)

Kasus ini muncul pada soal dengan pembatasan atau syarat tertentu. Ada dua tipe yang sering muncul di materi lanjutan:

1. Derangement: tidak ada elemen yang menempati posisi semula.
2. Permutasi dengan syarat: misalnya orang tertentu tidak boleh berdampingan, atau huruf vokal harus berdekatan.

Soal 26

Ada 3 orang (A, B, C) duduk di kursi bernomor 1, 2, 3 sesuai urutan namanya. Berapa banyak cara mereka duduk sehingga tidak ada yang di kursi semula?

Pembahasan:
Tuliskan semua permutasi dari ABC:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Hilangkan yang ada di posisi semula:
- ABC (A di kursi 1, B di kursi 2, C di kursi 3) → tidak valid.
- ACB (A di kursi 1) → tidak valid.
- BAC (A di kursi 3) → masih ada yang sama → tidak valid.
- BCA (semua berpindah) → valid.
- CAB (semua berpindah) → valid.
- CBA (B di kursi 2) → tidak valid.
Total = 2 cara.
Rumus derangement \(D_3 = 2\).

Soal 27

Ada 4 orang dan 4 kursi. Berapa banyak cara duduk tanpa ada yang menempati kursi semula?

Pembahasan:
Rumus derangement:
\( D_n = n! \left(1 - \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} - \tfrac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \tfrac{1}{n!}\right) \).
Untuk \(n=4\):
\( D_4 = 4! \left(1 - 1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{24}\right) \)
\( = 24 \times \tfrac{9}{24} = 9 \).

Soal 28 (Syarat: orang tidak boleh berdampingan)

5 orang (A, B, C, D, E) duduk berjejer. Berapa banyak susunan jika A dan B tidak boleh berdampingan?

Pembahasan:
- Jumlah total tanpa syarat: \(5! = 120\).
- Jumlah susunan A dan B berdampingan: anggap A dan B jadi 1 blok → \(4! \times 2! = 48\).
- Maka jumlah susunan sah = \(120 - 48 = 72\).

Soal 29 (Syarat: huruf vokal berdekatan)

Kata "MAJU" terdiri dari huruf M, A, J, U. Berapa banyak susunan jika huruf vokal (A, U) harus berdekatan?

Pembahasan:
Anggap AU sebagai 1 blok → hurufnya {M, J, (AU)} = 3 objek.
Jumlah susunan = \(3! = 6\).
Tapi blok AU bisa berupa AU atau UA → dikali 2. Total = \(6 \times 2 = 12\).

Soal 30 (Syarat: posisi tertentu)

Ada 5 kursi berjajar. Berapa banyak cara menempatkan 5 siswa berbeda jika C harus duduk di kursi tengah?

Pembahasan:
Tempat kursi tengah sudah pasti C. Tinggal menyusun 4 siswa lain di kursi tersisa. Jumlah = \(4! = 24\).

Dasar Teori: Kombinasi Tanpa Syarat

Definisi. Kombinasi adalah cara memilih \(r\) objek dari \(n\) objek tanpa memperhatikan urutan.

Rumus utama. \(\displaystyle \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), untuk \(0\le r\le n\).

Hubungan dengan permutasi. \(\displaystyle P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\)

Sifat-sifat penting.
1) Simetri: \(\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
2) Identitas Pascal: \(\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}\).
3) Nilai tepi: \(\displaystyle \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).

Kombinasi Tanpa Syarat

Soal 31

Dari huruf {A, B, C}, dipilih 2 huruf. Berapa banyak pilihan?

Pembahasan:
Tulis semua pasangan (urutan diabaikan): AB, AC, BC → total 3.
Baru rumus: \(\binom{3}{2}=3\).

Soal 32

Dari 5 siswa {A, B, C, D, E}, dipilih 3 orang untuk tim.

Pembahasan:
Contoh beberapa pilihan (tanpa urutan): ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Terlihat banyaknya kombinasi meningkat cepat.
Gunakan rumus: \(\displaystyle \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=10\).

Soal 33

Dari 6 siswa dipilih 2 orang untuk mengikuti lomba.

Pembahasan:
Secara eksplisit, pasangan tanpa urutan bisa dibayangkan (AB, AC, …), namun jumlahnya cepat banyak. Lebih efisien gunakan rumus:
\(\displaystyle \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\,4!}=15\).

Soal 34

Sebuah kelas berisi 10 siswa. Berapa cara memilih 4 orang sebagai panitia (tanpa jabatan)?

Pembahasan:
Tidak ada urutan/jabatan, jadi kombinasi murni. Secara konsep, semua kumpulan 4 orang berbeda dihitung satu kali.
Rumus: \(\displaystyle \binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\,6!}=210\).

Soal 35

Dari 12 buku yang berbeda, dipilih 5 untuk dibawa.

Pembahasan:
Memilih tanpa urutan (urutan buku dalam tas tidak penting). Jumlah cara:
\(\displaystyle \binom{12}{5}=\frac{12!}{5!\,7!}=792\).

Dasar Teori: Kombinasi dengan Syarat Tertentu

Definisi. Kombinasi dengan syarat tertentu berarti memilih r objek dari n, tetapi dengan pembatasan khusus (misalnya harus ada minimal 1 perempuan, atau tidak boleh memilih objek tertentu).

Cara umum:

• Gunakan kombinasi dasar, lalu pilih kasus sesuai syarat.
• Bisa dengan pengurangan kasus (total − tidak memenuhi syarat).
• Bisa dengan perhitungan langsung (pilih bagian khusus + sisanya).

Kombinasi dengan Syarat Tertentu

Soal 36

Dari 5 siswa {A, B, C, D, E}, dipilih 3 orang. Syarat: harus ada A.

Pembahasan:
Langsung: A sudah pasti terpilih. Tinggal pilih 2 dari 4 siswa lainnya (B, C, D, E).
Jumlah = \(\binom{4}{2}=6\).

Soal 37

Dari 6 siswa, 3 laki-laki dan 3 perempuan. Dipilih 4 orang. Syarat: minimal 2 perempuan.

Pembahasan:
Pecah jadi kasus:
- 2 perempuan + 2 laki-laki: \(\binom{3}{2}\times\binom{3}{2}=3\times3=9\).
- 3 perempuan + 1 laki-laki: \(\binom{3}{3}\times\binom{3}{1}=1\times3=3\).
- 4 perempuan: tidak mungkin, karena hanya ada 3.
Total = 12.

Soal 37-1

Hitung berdasarkan banyaknya perempuan (P) yang terpilih:
* 2P + 2L: $\binom{4}{2}\binom{6}{2}=6\times15=90$
* 3P + 1L: $\binom{4}{3}\binom{6}{1}=4\times6=24$
* 4P + 0L: $\binom{4}{4}\binom{6}{0}=1\times1=1$
Total $=90+24+1=115$.

Soal 38

Dalam kelas 10 siswa, 4 di antaranya sudah jadi pengurus kelas. Dipilih 3 orang untuk lomba. Syarat: paling sedikit 1 bukan pengurus kelas.

Pembahasan:
Total cara tanpa syarat: \(\binom{10}{3}=120\).
Kasus tidak sah = semua dari pengurus (3 dari 4) = \(\binom{4}{3}=4\).
3 dari 4 didapat dari syarat paling sedikit 1 bukan pengurus kelas
Maka jumlah sah = 120 − 4 = 116.

Soal 39

Dari 8 orang, dipilih 3. Syarat: dua orang tertentu (misalnya A dan B) tidak boleh bersama.

Pembahasan:
Total tanpa syarat: \(\binom{8}{3}=56\).
Kasus tidak sah: A dan B terpilih, lalu 1 lagi dari 6 orang lain = \(\binom{6}{1}=6\).
Jumlah sah = 56 − 6 = 50.

Soal 40

Dari 12 siswa, dipilih 5 untuk lomba. Syarat: harus ada minimal 1 dari 3 siswa unggulan (X, Y, Z).

Pembahasan:
Total tanpa syarat: \(\binom{12}{5}=792\).
Kasus tidak sah: tidak ada X, Y, Z → pilih 5 dari 9 = \(\binom{9}{5}=126\).
Jumlah sah = 792 − 126 = 666.

Dasar Teori: Kombinasi dengan Pengulangan

Definisi. Kombinasi dengan pengulangan berarti memilih \(r\) objek dari \(n\) jenis objek, dengan setiap objek boleh dipilih lebih dari satu kali. Urutan tidak penting.

Rumus utama. \[ \binom{n+r-1}{r} \] dengan \(n\) = banyak jenis objek, \(r\) = banyak objek yang dipilih.

Alat bantu visual: sering disebut stars and bars, bintang mewakili objek, garis pemisah mewakili batas antar jenis.

Kombinasi dengan Pengulangan

Soal 41

Dari 2 jenis buah (apel dan jeruk), dipilih 3 buah. Berapa banyak cara berbeda?

Pembahasan:
Pilihan eksplisit: (3 apel, 0 jeruk), (2 apel, 1 jeruk), (1 apel, 2 jeruk), (0 apel, 3 jeruk). Total 4 cara. Rumus: \(\binom{2+3-1}{3} = \binom{4}{3} = 4\).

Soal 42

Dari 3 rasa es krim (vanila, cokelat, stroberi), pilih 2 scoop (boleh sama). Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Contoh eksplisit: VV, VC, VS, CC, CS, SS → total 6 cara. Rumus: \(\binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = 6\).

Soal 43

Dari 4 jenis permen, dipilih 3 butir (boleh sama). Berapa banyak pilihan berbeda?

Pembahasan:
Menggunakan rumus: \(\binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = 20\).

Soal 44

Seorang anak ingin membeli 5 kelereng dari 3 warna berbeda (merah, biru, hijau). Berapa banyak cara kombinasi?

Pembahasan:
Rumus: \(\binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = 21\).

Soal 45

Ada 5 jenis buku. Seseorang memilih 4 buku (boleh sama jenisnya). Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Rumus: \(\binom{5+4-1}{4} = \binom{8}{4} = 70\).

Dasar Teori: Kombinasi Bertingkat (Multistep)

Definisi. Kombinasi bertingkat berarti pemilihan dilakukan dalam beberapa tahap: hasil pilihan tahap pertama menjadi dasar pilihan tahap berikutnya.

Rumus umum.
Jika dari \(n\) objek dipilih \(r\), lalu dari hasil itu dipilih \(k\), maka jumlah cara = \[ \binom{n}{r} \times \binom{r}{k}. \]

Catatan. Kadang bisa juga diselesaikan dengan cara langsung, tetapi bentuk bertingkat menekankan proses berlapis.

Kombinasi Bertingkat

Soal 46

Dari 10 siswa dipilih 5 untuk panitia. Lalu dari 5 orang itu dipilih 2 sebagai perwakilan rapat. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Tahap 1: pilih 5 dari 10 → \(\binom{10}{5}=252\).
Tahap 2: pilih 2 dari 5 → \(\binom{5}{2}=10\).
Total = \(252 \times 10 = 2520\).

Soal 47

Dari 8 siswa, dipilih 4 untuk lomba. Lalu dari 4 itu dipilih 1 ketua. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Tahap 1: pilih 4 dari 8 → \(\binom{8}{4}=70\).
Tahap 2: pilih ketua dari 4 → \(\binom{4}{1}=4\).
Total = \(70 \times 4 = 280\).

Soal 48

Dari 12 pemain, dipilih 6 untuk tim inti. Lalu dari 6 itu dipilih 3 sebagai penyerang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Tahap 1: pilih 6 dari 12 → \(\binom{12}{6}=924\).
Tahap 2: pilih 3 penyerang dari 6 → \(\binom{6}{3}=20\).
Total = \(924 \times 20 = 18.480\).

Soal 49

Dari 7 orang, dipilih 3 sebagai panitia. Lalu dari 3 itu dipilih 1 bendahara dan 1 sekretaris (tanpa jabatan ketua). Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Tahap 1: pilih 3 dari 7 → \(\binom{7}{3}=35\).
Tahap 2: dari 3 itu, pilih 2 untuk jabatan → \(\binom{3}{2}=3\). Tapi 2 orang itu bisa diatur dalam 2 jabatan berbeda (bendahara-sekretaris) → \(2!=2\).
Tahap 2 total = \(3 \times 2 = 6\).
Total = \(35 \times 6 = 210\).

Soal 50

Dari 15 siswa, dipilih 5 untuk lomba matematika. Lalu dari 5 itu dipilih 2 sebagai wakil OSN. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Tahap 1: pilih 5 dari 15 → \(\binom{15}{5}=3003\).
Tahap 2: pilih 2 dari 5 → \(\binom{5}{2}=10\).
Total = \(3003 \times 10 = 30.030\).

Dasar Teori: Kombinasi untuk Peluang

Ide utama. Pada ruang sampel berpeluang sama (mis. kartu, undian tanpa urutan), peluang dihitung dengan: \[ P(A)=\frac{\text{banyak cara kejadian A}}{\text{banyak cara total}} \] dan banyak cara biasanya dihitung dengan kombinasi.

Alur kerja. 1) Tentukan ruang sampel (total cara) dengan kombinasi.
2) Hitung kejadian yang diinginkan (favorable) dengan kombinasi (bisa pecah kasus).
3) Bagi: \(P=\dfrac{\text{favorable}}{\text{total}}\). Sederhanakan bila perlu.

Kombinasi untuk Peluang

Soal 51

Dari satu set kartu 52, diambil 2 kartu sekaligus. Peluang keduanya As?

Pembahasan:
Total cara ambil 2 kartu: \(\binom{52}{2}=1326\).
Kartu As ada 4; cara ambil 2 As: \(\binom{4}{2}=6\).
Peluang: \(\displaystyle \frac{6}{1326}=\frac{1}{221}\).

Soal 52

Ambil 3 kartu dari 52. Peluang tepat 2 kartu hati (♥)?

Pembahasan:
Total cara: \(\binom{52}{3}=22100\).
Pilih 2 hati dari 13: \(\binom{13}{2}=78\). Pilih 1 non-hati dari 39: \(\binom{39}{1}=39\).
Favorable: \(78\times39=3042\).
Peluang: \(\displaystyle \frac{3042}{22100}=\frac{117}{850}\).

Soal 53

Tersedia 5 putri dan 4 putra (9 siswa). Diambil 3 acak. Peluang terambil minimal 1 putri?

Pembahasan:
Total (Rurang Sampel): \(\binom{9}{3}=84\).
Komplemen (tanpa putri = semua putra): \(\binom{4}{3}=4\).
Favorable: \(84-4=80\). Peluang: \(\displaystyle \frac{80}{84}=\frac{20}{21}\).

Soal 54

Di sebuah kotak ada 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 tanpa pengembalian. Peluang tepat 2 merah?

Pembahasan:
Total: \(\binom{10}{3}=120\).
Ambil 2 merah dari 6: \(\binom{6}{2}=15\). Ambil 1 biru dari 4: \(\binom{4}{1}=4\).
Favorable: \(15\times4=60\). Peluang: \(\displaystyle \frac{60}{120}=\frac{1}{2}\).

Soal 55

Dari 8 orang termasuk Alice (A) dan Bob (B), dipilih 4. Peluang A terpilih dan B tidak?

Pembahasan:
Total (Ruang sampel): \(\binom{8}{4}=70\).
Favorable: A harus terpilih, B tidak → pilih 3 orang sisanya dari 6 orang lain: \(\binom{6}{3}=20\).
dari 8 , diambi A dan dibuang B maka tinggal orang yang akan dipilih 6, yang dipilih 4, sedangkan A sudah pasti dipilih,,maka yang dipilih tinggal 3
Peluang: \(\displaystyle \frac{20}{70}=\frac{2}{7}\).

Dasar Teori: Kombinasi Multikelompok

Definisi. Kombinasi multikelompok berarti membagi sekumpulan objek menjadi beberapa kelompok dengan ukuran tertentu, tanpa memperhatikan urutan dalam tiap kelompok.

Rumus umum (multinomial coefficient):

\[ \binom{n}{n_1,n_2,\dots,n_k} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots \, n_k!}, \quad \text{dengan } n_1+n_2+\dots+n_k=n \]

Keterangan. Rumus ini adalah generalisasi kombinasi biasa. Misalnya membagi 10 siswa ke 3 kelompok dengan ukuran berbeda.

Kombinasi Multikelompok

5 siswa akan dibagi menjadi 2 kelompok: 3 orang dan 2 orang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
1. {A, B, C} | {D, E}
2. {A, B, D} | {C, E}
3. {A, B, E} | {C, D}
4. {A, C, D} | {B, E}
5. {A, C, E} | {B, D}
6. {A, D, E} | {B, C}
7. {B, C, D} | {A, E}
8. {B, C, E} | {A, D}
9. {B, D, E} | {A, C}
10. {C, D, E} | {A, B}

Jadi ada 10 cara total.
Gunakan: \(\tfrac{5!}{3! \, 2!} = 10\).

Soal 56

10 siswa akan dibagi menjadi 2 kelompok: 6 orang dan 4 orang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Gunakan rumus: \(\tfrac{10!}{6! \, 4!} = 210\).
Artinya memilih 6 orang otomatis menentukan 4 sisanya.

Soal 57

12 siswa dibagi menjadi 3 kelompok: masing-masing 4 orang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Gunakan: \(\tfrac{12!}{4! \, 4! \, 4!} = 34.650\).
Ini menghitung pembagian ke kelompok 1, 2, 3 (diasumsikan kelompok berbeda).

Soal 58

15 pemain akan dibagi menjadi 3 tim: 5 orang, 5 orang, dan 5 orang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Gunakan: \(\tfrac{15!}{5! \, 5! \, 5!} = 756.756\).
Hitungan ini berlaku bila tim dianggap berbeda (misal tim A, tim B, tim C).

Soal 59

Dari 8 siswa, dipilih 2 untuk tim debat, 3 untuk tim matematika, sisanya 3 untuk tim sains. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Rumus: \(\tfrac{8!}{2! \, 3! \, 3!} = 560\).
Setiap siswa pasti masuk satu tim, pembagian sesuai ukuran kelompok.

Soal 60

20 siswa dibagi menjadi 4 kelompok masing-masing 5 orang. Berapa banyak cara?

Pembahasan:
Rumus: \(\tfrac{20!}{5! \, 5! \, 5! \, 5!}\).
Nilai ini sangat besar (≈ 4,42 × 10¹¹). Biasanya ditinggalkan dalam bentuk faktorial.

Teori Singkat: Frekuensi Harapan

Definisi. Frekuensi harapan (expected frequency) adalah banyaknya kejadian yang diharapkan terjadi pada suatu kategori berdasarkan model probabilitas/proporsi teoretis.

Rumus dasar (goodness-of-fit, satu variabel): \[ E_i = n \times p_i \] dengan \(n\) = total pengamatan, \(p_i\) = peluang/proporsi teoritis kategori ke-\(i\).

Rumus tabel kontingensi (uji independensi, 2 variabel): \[ E_{ij} = \frac{(\text{total baris } i) \times (\text{total kolom } j)}{n} \]

Catatan praktis: Pada uji \(\chi^2\), biasanya disarankan setiap \(E_i \ge 5\) agar pendekatan \(\chi^2\) valid.

Soal & Jawaban — Frekuensi Harapan

Soal 61

Sebuah dadu fair dilempar \(60\) kali. Berapakah frekuensi harapan untuk masing-masing mata dadu 1–6?

Jawab:
Peluang tiap mata \(p_i=\tfrac{1}{6}\). Dengan \(n=60\):
\(E_i = 60 \times \tfrac{1}{6} = 10\) untuk setiap \(i=1,\dots,6\).
Jadi harapannya: \((10,10,10,10,10,10)\).

Soal 62

Sebuah roda undian memiliki 3 sektor dengan peluang teoretis \(p=(0{,}5,\,0{,}3,\,0{,}2)\). Roda diputar \(200\) kali. Berapa frekuensi harapan tiap sektor?

Jawab:
Gunakan \(E_i=n p_i\). Dengan \(n=200\):
Sektor 1: \(E_1=200\times0{,}5=100\).
Sektor 2: \(E_2=200\times0{,}3=60\).
Sektor 3: \(E_3=200\times0{,}2=40\).
Total \(=100+60+40=200\) (cek konsistensi).

Soal 63

Dalam survei selera minuman, model teoretis menyatakan proporsi teh : kopi : jus = 2 : 3 : 5. Jika ada \(400\) responden, berapa frekuensi harapan tiap kategori?

Jawab:
Total bagian \(=2+3+5=10\). Maka \(p=(\tfrac{2}{10},\tfrac{3}{10},\tfrac{5}{10})=(0{,}2,0{,}3,0{,}5)\).
\(E_{\text{teh}}=400\times0{,}2=80\).
\(E_{\text{kopi}}=400\times0{,}3=120\).
\(E_{\text{jus}}=400\times0{,}5=200\).
Cek: \(80+120+200=400\).

Soal 64

(Tabel kontingensi) Sebuah kelas diuji preferensi mata pelajaran (Matematika/M) vs jenis kelamin (L/P). Diperoleh total baris/kolom berikut:

• Total Laki-laki: 30
• Total Perempuan: 20
• Suka Matematika: 36
• Tidak Suka Matematika: 14
• Total keseluruhan \(n=50\)

Hitung frekuensi harapan sel \((\text{Laki-laki}, \text{Suka M})\) dan \((\text{Perempuan}, \text{Tidak Suka M})\) jika L/P dan preferensi dianggap independen.

Jawab:
Gunakan \(E_{ij}=\dfrac{(\text{total baris }i)(\text{total kolom }j)}{n}\).
\(E_{\text{L},\text{Suka M}}=\dfrac{30\times36}{50}=21{,}6\).
\(E_{\text{P},\text{Tidak Suka M}}=\dfrac{20\times14}{50}=5{,}6\).

Soal 65

Sebuah dadu tidak fair memiliki peluang teoretis untuk mata 1–6 berturut-turut: \(p=(0{,}10,\,0{,}15,\,0{,}20,\,0{,}20,\,0{,}20,\,0{,}15)\). Dadu dilempar \(n=200\) kali. Berapa frekuensi harapan tiap mata?

Jawab:
Kalikan \(200\) dengan masing-masing \(p_i\):
\(E_1=20,\;E_2=30,\;E_3=40,\;E_4=40,\;E_5=40,\;E_6=30\).
Cek jumlah: \(20+30+40+40+40+30=200\).

Dasar Teori: Peluang Kejadian Sederhana

Definisi. Peluang kejadian sederhana adalah peluang dari kejadian yang hanya memuat satu hasil dalam ruang sampel.

Rumus. Jika ruang sampel \(S\) memiliki \(n\) hasil sama mungkin, dan kejadian \(A\) terdiri dari 1 hasil, maka: \[ P(A) = \frac{1}{n} \]

Contoh. Melempar dadu, peluang keluar angka 4 = \(\tfrac{1}{6}\).

Peluang Kejadian Sederhana

Soal 66

Melempar sebuah dadu. Berapa peluang keluar mata dadu angka 5?

Jawaban: Ruang sampel ada 6, kejadian hanya 1 (angka 5). \[ P=\tfrac{1}{6} \]

Soal 67

Melempar sebuah koin. Peluang keluar gambar?

Jawaban: Ruang sampel = {angka, gambar}, total 2. Hasil yang diinginkan hanya 1 (gambar). \[ P=\tfrac{1}{2} \]

Soal 68

Mengambil satu kartu dari set 52. Peluang mendapat kartu As hati (♥A)?

Jawaban: Total 52 kartu, hanya ada 1 kartu As hati. \[ P=\tfrac{1}{52} \]

Soal 69

Mengambil sebuah bola dari kotak berisi 10 bola bernomor 1–10. Peluang keluar bola bernomor 7?

Jawaban: Total 10 bola, hanya 1 nomor 7. \[ P=\tfrac{1}{10} \]

Soal 70

Sebuah spinner dibagi 8 sektor sama besar bernomor 1–8. Berapa peluang jarum berhenti tepat di nomor 3?

Jawaban: Total 8 sektor, 1 yang diinginkan (nomor 3). \[ P=\tfrac{1}{8} \]

Dasar Teori: Peluang Kejadian Majemuk

Definisi. Peluang kejadian majemuk adalah peluang suatu kejadian yang memuat lebih dari satu hasil dalam ruang sampel.

Rumus umum. Jika kejadian \(A\) berisi \(k\) hasil dari total \(n\) hasil sama mungkin: \[ P(A) = \frac{k}{n} \]

Jenis. Bisa berupa gabungan beberapa hasil (misal angka genap), atau syarat lebih kompleks.

Peluang Kejadian Majemuk

Soal 71

Melempar dadu. Peluang muncul angka genap?

Jawaban: Angka genap = {2,4,6} → 3 hasil. Total 6. \[ P=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2} \]

Soal 72

Melempar dadu. Peluang muncul angka prima?

Jawaban: Bilangan prima di dadu = {2,3,5} → 3 hasil. Total 6. \[ P=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2} \]

Soal 73

Mengambil satu kartu dari 52. Peluang mendapat kartu bergambar (J, Q, K)?

Jawaban: Dalam 1 jenis ada 3 bergambar, total 4 jenis → 12 kartu. \[ P=\tfrac{12}{52}=\tfrac{3}{13} \]

Soal 74

Kotak berisi 10 bola bernomor 1–10. Peluang mendapat nomor kelipatan 3?

Jawaban: Kelipatan 3 = {3,6,9} → 3 hasil. Total 10. \[ P=\tfrac{3}{10} \]

Soal 75

Spinner dengan 8 sektor bernomor 1–8. Peluang jarum berhenti pada bilangan ganjil?

Jawaban: Bilangan ganjil = {1,3,5,7} → 4 hasil. Total 8. \[ P=\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2} \]

Dasar Teori: Peluang Kejadian Saling Lepas

Definisi. Dua kejadian disebut saling lepas (mutually exclusive) jika keduanya tidak bisa terjadi bersamaan, artinya \(A \cap B = \varnothing\).

Rumus. \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{(karena } P(A \cap B) = 0\text{)} \]

Contoh. Dalam pelemparan dadu, kejadian A = {1}, B = {6}. Tidak mungkin keluar 1 dan 6 sekaligus → saling lepas.

Peluang Kejadian Saling Lepas

Soal 76

Melempar dadu. Peluang keluar angka 2 atau 5?

Jawaban:
1) Ruang sampel
Dadu standar punya 6 sisi: $\{1,2,3,4,5,6\}$.
Total kemungkinan = 6 , semuanya sama mungkin.

2) Peristiwa yang ditanya
* “Keluar angka 2 atau 5” = kejadian $\{2,5\}$.
* Jadi ada 2 kejadian yang menguntungkan .

3) Hitung peluang
$ P(\text{2 atau 5}) = \frac{\text{kejadian menguntungkan}}{\text{total kejadian}} = \frac{2}{6}. $
Sederhanakan:
$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. $

4) Interpretasi
Artinya, peluang dadu menunjukkan angka 2 atau 5 adalah sepertiga (≈ 33,3%).

✅ Jawaban akhir:
$ P(\text{keluar 2 atau 5}) = \boxed{\tfrac{1}{3}} $

Soal 77

Mengambil 1 kartu dari 52. Peluang mendapat As atau King?

Jawaban:
1) Fakta dasar
* Satu set kartu = 52 kartu.
* Jumlah As = 4 (As♠, As♥, As♦, As♣).
* Jumlah King = 4 (K♠, K♥, K♦, K♣).

2) Peristiwa yang ditanya
* “As atau King” berarti kejadian = {4 As} ∪ {4 King}.
* Jumlah kejadian menguntungkan = $4 + 4 = 8$.

3) Hitung peluang
$ P(\text{As atau King}) = \frac{8}{52}. $

Sederhanakan:
$ \frac{8}{52} = \frac{2}{13}. $

4) Interpretasi
Artinya, peluang mendapat kartu As atau King dari setumpuk 52 kartu adalah sekitar 15,38% .

✅ Jawaban akhir:
$ P(\text{As atau King}) = \boxed{\tfrac{2}{13}} $

Soal 78

Mengambil bola dari kotak berisi 15 bola bernomor 1–15. Peluang mendapat nomor 7 atau 12?

Jawaban:
A={7}, B={12}, saling lepas. \[ P=\tfrac{1}{15}+\tfrac{1}{15}=\tfrac{2}{15} \]

Soal 79

Melempar dadu. Peluang keluar angka 1 atau 6?

Jawaban:
A={1}, B={6}, saling lepas. \[ P=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3} \]

Soal 80

Mengambil kartu dari set 52. Peluang mendapat kartu Q atau kartu 10?

Jawaban:
Q ada 4, 10 ada 4, tidak ada irisan → saling lepas. \[ P=\tfrac{4}{52}+\tfrac{4}{52}=\tfrac{8}{52}=\tfrac{2}{13} \]

Dasar Teori: Peluang Kejadian Saling Bebas

Definisi. Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent) jika terjadinya A tidak memengaruhi peluang B, sehingga: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B). \]

Catatan. Berbeda dengan "saling lepas". Saling lepas berarti tidak mungkin terjadi bersama, sedangkan saling bebas berarti keduanya bisa terjadi, tetapi tidak saling memengaruhi.

Peluang Kejadian Saling Bebas

Soal 81

Melempar koin sekali dan dadu sekali. Peluang muncul gambar pada koin dan angka genap pada dadu?

Jawaban:
1. Ruang sampel
* Koin: 2 kemungkinan sama besar → {Angka, Gambar}.
* Dadu: 6 kemungkinan sama besar → {1,2,3,4,5,6}.
* Total kombinasi = $2 \times 6 = 12$.

2. Peristiwa yang ditanya
* Koin → **gambar** (1 dari 2 kemungkinan).
* Dadu → **genap** = {2,4,6} (3 dari 6 kemungkinan).

3. Peluang masing-masing
* $P(\text{koin gambar}) = \tfrac{1}{2}$.
* $P(\text{dadu genap}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.

4. Karena koin dan dadu independen
$ P(\text{gambar dan genap}) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}. $
✅ Jadi jawabannya:
$ P = \tfrac{1}{4} = 0{,}25. $

Soal 82

Melempar dadu dua kali. Peluang muncul angka 6 pada lemparan pertama dan angka 5 pada lemparan kedua?

Jawaban:
1. Fakta dasar
* Dadu punya 6 sisi: $\{1,2,3,4,5,6\}$.
* Dua kali lempar → total peluang sama besar = $6 \times 6 = 36$.

2. Peristiwa yang ditanya
* Lemparan pertama = 6.
* Lemparan kedua = 5.
→ Hanya **1 kombinasi** dari 36 kemungkinan: (6,5).

3. Hitung dengan cara peluang
* Peluang lemparan pertama = 6 → $\tfrac{1}{6}$.
* Peluang lemparan kedua = 5 → $\tfrac{1}{6}$.
* Karena independen:
$ P = \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}. $

Jadi peluangnya adalah
$ \boxed{\tfrac{1}{36} \approx 0{,}0278} $

Soal 83

Mengambil satu kartu dari set 52, kemudian dikembalikan, lalu ambil lagi satu kartu. Peluang pertama As, kedua juga As?

Jawaban:
# 1) Pahami situasi & istilah
* Satu set kartu standar: 52 kartu .
* Jumlah As = 4 (As♠, As♥, As♦, As♣).

* Proses:
1. Ambil kartu pertama .
2. Kembalikan kartu itu ke tumpukan (sehingga tumpukan kembali utuh 52).
3. Ambil kartu kedua .
* Target peristiwa (berurutan):
A₁ = kartu pertama As, A₂ = kartu kedua As.
Ditanya $P(A_1 \cap A_2)$.
Kata kunci “dikembalikan” artinya ukuran tumpukan dan komposisinya kembali sama sebelum pengambilan kedua. Inilah yang membuat pengambilan pertama tidak mempengaruhi peluang pada pengambilan kedua ⇒ independen .

# 2) Hitung peluang tiap tahap
a) Peluang kartu pertama As
Ada 4 As dari 52 kartu:
$ P(A_1)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}. $

b) Setelah dikembalikan (independen)
Karena kartu pertama dikembalikan, tumpukan kembali 52 kartu dengan 4 As .
Maka peluang kartu kedua As tetap sama :
$ P(A_2)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}. $

# 3) Gabungkan (aturan perkalian untuk kejadian independen)
Karena dua pengambilan independen:
$ P(A_1 \cap A_2)=P(A_1)\times P(A_2) =\frac{1}{13}\times\frac{1}{13} =\frac{1}{169}. $

# 4) Verifikasi dengan cara “menghitung hasil yang mungkin”
* Pengambilan berurutan dengan pengembalian ⇒ setiap urutan dua kartu setara dengan pasangan terurut dari 52 pilihan untuk kartu pertama dan 52 pilihan untuk kartu kedua. Total pasangan terurut: $52\times 52 = 2704$.
* Kasus menguntungkan: (As, As). Ada 4 pilihan As untuk kartu pertama dan 4 pilihan As untuk kartu kedua ⇒ $4\times 4 = 16$.
Peluang:
$ \frac{16}{2704}=\frac{16\div 16}{2704\div 16} =\frac{1}{169}. $
Hasil konsisten .

# 5) Representasi pohon peluang (intuisi visual)

``` Ambil 1:
├─ As (4/52 = 1/13)
│ └─ Ambil 2:
│ └─ As (4/52 = 1/13) → jalur target
└─ Bukan As (48/52) → jalur ini tidak dihitung untuk target

Peluang jalur target = $(1/13) × (1/13) = 1/169$.

# 6) Interpretasi angka
$ \frac{1}{169} \approx 0{,}00592 \; \text{(≈ 0,592%)}. $
Artinya, dalam skenario dengan pengembalian, peluang mendapatkan As lalu As lagi sekitar setengah persen .

Jawaban akhir
$ \boxed{P(\text{As pertama dan As kedua})=\frac{1}{169}} $

Soal 84

Ambil sebuah bola dari kotak (3 merah, 2 biru), dikembalikan, lalu ambil lagi. Peluang keluar merah dua kali?

Jawaban:
1) Data dasar
* Isi kotak: 3 merah , 2 biru → total 5 bola .

* Proses:
1. Ambil bola pertama.
2. Kembalikan (jadi isi kotak kembali seperti semula: 3 merah, 2 biru).
3. Ambil bola kedua.

* Ditanya: peluang merah pada dua kali pengambilan .

2) Hitung peluang setiap langkah
* Peluang merah pada satu kali ambil:
$ P(\text{merah}) = \tfrac{3}{5} $

Karena setelah pengembalian isi kotak sama lagi, maka pengambilan kedua independen dari yang pertama.
Jadi peluang merah pada pengambilan kedua juga:
$ P(\text{merah}) = \tfrac{3}{5}. $

3) Gabungkan (aturan perkalian)
Kita ingin merah pertama DAN merah kedua .

$ P(\text{merah dua kali}) = P(\text{merah pertama}) \times P(\text{merah kedua}) = \tfrac{3}{5} \times \tfrac{3}{5} = \tfrac{9}{25}. $

4) Interpretasi
* Angka $\tfrac{9}{25} = 0,36$.
* Artinya, ada peluang 36% bola yang diambil berurutan (dengan pengembalian) akan keduanya merah .

✅ Jawaban akhir:
$ P(\text{dua kali merah dengan pengembalian}) = \boxed{\tfrac{9}{25}} $

Soal 85

Melempar koin 3 kali. Peluang semua hasilnya gambar?

Jawaban:
1) Ruang sampel
Melempar koin 3 kali → setiap lempar ada 2 kemungkinan: angka (H) atau gambar (G) .
Total kemungkinan berurutan = $2^3 = 8$.
Contoh urutan: HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG.

2) Peristiwa yang ditanya
“Semua hasilnya gambar” berarti urutan yang muncul adalah GGG .
Itu hanya 1 kemungkinan dari total 8.

3) Hitung peluang
$ P(\text{GGG}) = \frac{1}{8}. $

Atau pakai aturan perkalian:
* Peluang gambar sekali = $\tfrac{1}{2}$.
* Karena 3 kali lempar independen:
$ \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}. $

4) Interpretasi
$\tfrac{1}{8} = 0{,}125$.
Artinya, peluang semua 3 kali lempar koin menghasilkan gambar adalah 12,5% .

✅ Jawaban akhir:
$ P(\text{semua gambar}) = \boxed{\tfrac{1}{8}} $

Dasar Teori: Peluang Kejadian Komplemen

Definisi. Komplemen kejadian A adalah kejadian “bukan A”, dilambangkan \(A^c\).

Rumus inti. \[ P(A^c) = 1 - P(A) \] Sering lebih mudah menghitung peluang “bukan A” lalu mengomplemen.

Peluang Kejadian Komplemen

Soal 86

Melempar sebuah dadu. Peluang tidak muncul angka 6?

Jawaban:
1) Ruang sampel
Dadu = $\{1,2,3,4,5,6\}$, total 6 kemungkinan sama mungkin.

2) Peristiwa yang ditanya
* “Tidak muncul angka 6” = hasilnya $\{1,2,3,4,5\}$.
* Jadi jumlah kejadian yang mendukung = 5 .

3) Hitung peluang
$ P(\text{tidak 6})=\frac{5}{6}. $

Jadi peluangnya adalah $\tfrac{5}{6} \approx 0,833$.

Soal 87

Melempar koin 3 kali. Peluang minimal satu kali muncul gambar?

Jawaban:
1) Ruang sampel

Melempar koin 3 kali → total kemungkinan = $2^3 = 8$.
Misal: H = angka (head), G = gambar (tail).
Kemungkinan: HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG.

2) Peristiwa yang ditanya
“Minimal satu kali muncul gambar” = semua kemungkinan kecuali kasus 'tanpa gambar sama sekali'.
* Tanpa gambar = semua HHH (1 kasus).
* Jadi “minimal 1 G” = $8 - 1 = 7$ kasus.

3) Hitung peluang
$ P(\text{minimal 1 G}) = \frac{7}{8}. $
✅ Jadi jawabannya adalah $\tfrac{7}{8} \approx 0{,}875$.

Soal 88

Dari set kartu 52, diambil 2 kartu tanpa pengembalian. Peluang tidak ada kartu As?

Jawaban:
1) Fakta dasar
* Total kartu = 52 .
* Jumlah As = 4 .
* Jumlah bukan As = 52 − 4 = 48 .

2) Peristiwa yang ditanya
“Tidak ada kartu As” artinya kedua kartu yang terambil semuanya dari 48 bukan As .

3) Banyak cara ambil
* Banyak cara pilih 2 kartu dari 52: $\binom{52}{2}$.
* Banyak cara pilih 2 kartu dari 48 bukan As: $\binom{48}{2}$.

4) Rumus peluang
$ P(\text{tidak ada As}) = \frac{\binom{48}{2}}{\binom{52}{2}}. $
Hitung:
$ \binom{48}{2} = \frac{48\cdot 47}{2} = 1128, \quad \binom{52}{2} = \frac{52\cdot 51}{2} = 1326. $
$ P = \frac{1128}{1326}. $

Sederhanakan (bagi 6):
$ P = \frac{188}{221}. $

5) Hasil
$ \boxed{\tfrac{188}{221} \approx 0{,}8507} $
Artinya, peluang tidak mendapat As sama sekali saat ambil 2 kartu tanpa pengembalian ≈ 85% .

Soal 89

Di sebuah kotak ada 6 merah dan 4 biru. Diambil 3 bola tanpa pengembalian. Peluang setidaknya satu merah?

Jawaban:
# Data soal
* Total bola = 10 (6 merah , 4 biru ).
* Ambil 3 bola tanpa pengembalian .
* Ditanya: peluang ≥ 1 merah .

# Cara 1 — Gunakan komplemen (paling ringkas & aman)
“≥ 1 merah” = 1 − “tidak ada merah (semua biru)”.

a) Peluang semua biru (urutan diperhitungkan, lalu dikali)
Tarikan 1 biru: $\tfrac{4}{10}$
Tarikan 2 biru: $\tfrac{3}{9}$ (karena satu biru sudah keluar)
Tarikan 3 biru: $\tfrac{2}{8}$
$ P(\text{semua biru})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8} =\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{2}{60}=\frac{1}{30}. $

b) Ambil komplemennya
$ P(\ge 1 \text{ merah})=1-P(\text{semua biru}) =1-\frac{1}{30} =\boxed{\frac{29}{30}}. $

# Cara 2 — Kombinatorik (tanpa urutan)
Kita **mengambil 3 bola tanpa memperhatikan urutan**. Jadi setiap himpunan 3 bola punya peluang sama. Itulah sebabnya kita pakai kombinasi $\binom{n}{k}$ (bukan permutasi).

Total cara memilih 3 bola dari 10:
$ \binom{10}{3}=120 $
# Bagi jadi kasus “tepat k merah”

Agar “$\ge 1$ merah”, kemungkinan yang mungkin hanyalah:
* tepat **1** merah,
* tepat **2** merah,
* tepat **3** merah.
Hitung masing-masing banyak caranya (pembilang), lalu jumlahkan.
**kasus dengan tepat 1 merah:** pilih 1 dari 6 merah dan 2 dari 4 biru
$ \binom{6}{1}\binom{4}{2}=6\times 6=36 $

**kasus dengan tepat 2 merah:** pilih 2 dari 6 merah dan 1 dari 4 biru
$ \binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\times 4=60 $

**kasus dengan tepat 3 merah:** pilih 3 dari 6 merah dan 0 dari 4 biru
$ \binom{6}{3}\binom{4}{0}=20\times 1=20 $

**Jumlah cara yang menguntungkan:**

$ 36+60+20=116 $
# Probabilitas

$ P(\ge 1\ \text{merah})=\frac{116}{120}=\frac{29}{30}\approx 0.9667. $

Soal 90

Melempar dadu 4 kali. Peluang tidak ada angka 1 yang muncul?

Jawaban:
1. Fakta dasar
* Dadu punya 6 sisi: $\{1,2,3,4,5,6\}$.
* Dilempar 4 kali , total ruang sampel = $6^4 = 1296$.
* Peristiwa: “tidak ada angka 1” berarti keempat kali lempar semua hasilnya 2–6 .

2. Peluang satu kali lempar bukan 1
* Dalam satu lemparan: ada 5 hasil yang bukan 1 dari total 6 hasil.
* Jadi peluang = $\tfrac{5}{6}$.

3. Karena 4 kali lempar independen
$ P(\text{tidak ada 1 dalam 4 lempar}) = \left(\tfrac{5}{6}\right)^4 $

4. Hitung nilai
$ \left(\tfrac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482. $

5. Interpretasi
Artinya, peluang tidak muncul angka 1 sama sekali dalam 4 kali lempar dadu adalah
$ \boxed{\tfrac{625}{1296} \approx 48,2\%} $

cara yang sederhana
Lemparan 1 : $\frac{5}{6}$
Lemparan 2 : $\frac{5}{6}$
Lemparan 3 : $\frac{5}{6}$
Lemparan 4 : $\frac{5}{6}$
peluang : Lemparan 1 x Lemparan 2 x Lemparan 3 x Lemparan 4 = $\frac{625}{1296}$

Dasar Teori: Peluang Gabungan (Union)

Definisi. Gabungan dua kejadian \(A\) dan \(B\) adalah kejadian “\(A\) atau \(B\)” (termasuk keduanya). Dilambangkan \(A \cup B\).

Rumus umum. \[ P(A \cup B) \;=\; P(A) + P(B) - P(A \cap B). \] Jika saling lepas (\(A \cap B=\varnothing\)), maka \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).

Peluang Gabungan

Soal 91

Melempar dadu. A = “angka genap”, B = “angka prima”. Tentukan \(P(A \cup B)\).

Jawaban:
1. Ruang sampel
Dadu 6 sisi: $\{1,2,3,4,5,6\}$.

2. Definisi peristiwa
* $A =$ angka **genap** = $\{2,4,6\}$.
* $B =$ angka **prima** = $\{2,3,5\}$.

3. Gabungan
$ A \cup B = \{2,3,4,5,6\} $
Penyelesaian dengan Rumus $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). $
* $A=\{2,4,6\}$ ⇒ $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
* $B=\{2,3,5\}$ ⇒ $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
* $A\cap B=\{2\}$ ⇒ $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$.
Maka:
$ P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}. $
--- 4. Hitung peluang
Jumlah anggota $A \cup B = 5$.
Jumlah seluruh kemungkinan = 6.
$ P(A \cup B) = \tfrac{5}{6} $

Jadi, $P(A \cup B) = \dfrac{5}{6}$.

Soal 92

Mengambil 1 kartu dari 52. A = “kartu hati (♥)”, B = “kartu bergambar (J/Q/K)”. Hitung \(P(A \cup B)\).

Jawaban:
# 1) Pahami peristiwa
* Ruang sampel: 52 kartu standar.
* $A$: “kartu **hati (♥)**”.
Di setiap jenis (suit) ada 13 kartu ⇒ $|A|=13$.
* $B$: “kartu **bergambar** (J, Q, K)”.
Ada 3 peringkat (J/Q/K) × 4 jenis = $3\times 4=12$ ⇒ $|B|=12$.
* Irisan $A\cap B$: kartu yang **hati** sekaligus **bergambar** = $\{J♥,Q♥,K♥\}$ ⇒ $|A\cap B|=3$.
Kita diminta $P(A\cup B)$: peluang mendapatkan kartu **hati** ATAU **bergambar** (atau keduanya).

# 2) Cara langsung (hindari hitung ganda)
Inti gagasan: hitung **semua hati**, lalu tambahkan **bergambar non-hati** (agar tidak menghitung ganda J♥/Q♥/K♥).
* Semua hati: **13** kartu.
* Semua bergambar: **12** kartu, tetapi **3** di antaranya sudah hati (J♥, Q♥, K♥).
Jadi bergambar **non-hati** = $12-3=9$ kartu.
Total hasil yang menguntungkan:
$ 13 + 9 = 22 \quad\text{kartu.} $
Maka peluang:
$ P(A\cup B)=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}. $

# 3) Cara rumus gabungan (cek konsistensi)
Rumus:
$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). $
Hitung komponennya:
$ P(A)=\frac{13}{52},\quad P(B)=\frac{12}{52},\quad P(A\cap B)=\frac{3}{52}. $
Substitusi:
$ P(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52} =\frac{22}{52} =\frac{11}{26}. $
Kedua cara **memberi hasil sama**, jadi perhitungan konsisten.

# 4) Cek cepat (pelengkap/komplemen)
“Bukan hati dan bukan bergambar” = komplemen dari $A\cup B$.
Jumlahnya $52-22=30$ kartu ⇒ peluang $=30/52=15/26$.
Cek:
$ \frac{11}{26}+\frac{15}{26}=1 \quad\checkmark $
--- **Jawaban akhir:** $\displaystyle P(A\cup B)=\frac{11}{26}\approx 0{,}423$.

Soal 93

Di kotak ada 6 merah dan 4 biru (10 total). Ambil 1 bola. A = “merah”, B = “nomor genap”. Nomor pada bola 1–10 unik. Hitung \(P(A \cup B)\).

Jawaban:
1. Fakta soal
* Ada 10 bola bernomor 1–10.
* Warna: 6 merah dan 4 biru .
* Peristiwa:
* $A$: bola merah .
* $B$: nomor genap (2,4,6,8,10).
Ditanya: $P(A \cup B)$ = peluang bola terambil merah atau genap .

2. Rumus yang dipakai
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). $

3. Hitung bagian-bagiannya
* $P(A) = \tfrac{6}{10}$ (karena 6 merah dari 10).
* $P(B) = \tfrac{5}{10}$ (karena 5 nomor genap dari 10).
* $P(A \cap B)$: merah sekaligus genap .
👉 Nah, inilah yang butuh info tambahan: dari 5 nomor genap, ada berapa yang merah?
Misal jumlah merah-genap = $k$. Maka
$ P(A \cap B) = \tfrac{k}{10}. $

4. Hasil umum
$ P(A \cup B) = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} - \frac{k}{10} = \frac{11-k}{10}. $
* Kalau semua genap merah ($k=5$) ⇒ $P= \tfrac{6}{10}=0{,}6$.
* Kalau hanya 1 genap yang merah ($k=1$) ⇒ $P= \tfrac{10}{10}=1$.
* Kalau rata-rata $k=3$ (anggap nomor dan warna acak) ⇒ $P= \tfrac{8}{10}=0{,}8$.
✅ Jadi bentuk jawaban yang sederhana:
$ P(A \cup B) = \tfrac{11-k}{10}, \quad k=\text{banyaknya bola merah yang nomornya genap}. $

Soal 94

Sebuah spinner terbagi sama ke 8 sektor bernomor 1–8. A = “kelipatan 3”, B = “bilangan ganjil”. Hitung \(P(A \cup B)\).

Jawaban:
A = {3,6} ⇒ \(P(A)=2/8\). B = {1,3,5,7} ⇒ \(P(B)=4/8\). Irisan = {3} ⇒ \(P(A\cap B)=1/8\).
\[ P(A\cup B)=\tfrac{2}{8}+\tfrac{4}{8}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{5}{8}. \]

Soal 95

Melempar dua dadu sekaligus (36 hasil sama mungkin). A = “jumlah mata ≥ 10”, B = “setidaknya ada satu dadu menunjukkan 6”. Hitung \(P(A \cup B)\).

Jawaban:
1) Ruang Sampel
* Dua dadu → total kemungkinan $6 \times 6 = 36$.
* Semua kejadian dianggap sama mungkin .

2) Definisi Peristiwa
* $A$: jumlah mata $\ge 10$.
Nilai mungkin: 10, 11, 12.
* $B$: setidaknya satu dadu = 6.

Ditanya:
$ P(A \cup B) = \frac{|A \cup B|}{36}. $

3) Hitung Masing-Masing
# (a) Banyaknya $A$ (jumlah ≥ 10)
* Jumlah = 10: pasangan = (4,6), (5,5), (6,4) → 3.
* Jumlah = 11: (5,6), (6,5) → 2.
* Jumlah = 12: (6,6) → 1.
Total $|A| = 6$.

# (b) Banyaknya $B$ (ada dadu 6)
* Jika dadu 1 = 6 , maka dadu 2 bisa 1–6 ⇒ ada 6 kemungkinan:
$ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) $

* Jika dadu 2 = 6 , maka dadu 1 bisa 1–6 ⇒ ada 6 kemungkinan:
$ (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6) $

Tapi pasangan (6,6) muncul di keduanya , jadi kalau kita jumlahkan 6 + 6, kasus (6,6) terhitung dua kali . Karena itu kita lakukan pengurangan satu (prinsip inklusi–eksklusi):

$ |B| = 6 + 6 - 1 = 11. $
# (c) Irisan $A \cap B$
Harus jumlah ≥10 dan ada 6 .
* Jika dadu 1 = 6: pasangan (6,4), (6,5), (6,6).
* Jika dadu 2 = 6: pasangan (4,6), (5,6), (6,6).
Gabungan unik: (6,4), (6,5), (6,6), (4,6), (5,6).
Total = 5.

4) Gabungan
$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 6 + 11 - 5 = 12. $

5) Peluang
$ P(A \cup B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}. $

Jadi, peluangnya:
$ \boxed{\tfrac{1}{3}} $

Dasar Teori: Peluang Bersyarat

Definisi. Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B sudah terjadi, ditulis \(P(A|B)\).

Rumus umum. \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0 \]

Catatan. Peluang bersyarat sering muncul pada soal dengan informasi tambahan atau pembatasan ruang sampel.

Peluang Bersyarat

Soal 96

Sebuah dadu dilempar. Misalkan A = “angka genap”, B = “angka lebih dari 3”. Hitung \(P(A|B)\).

Jawaban:
Ruang sampel (dadu 6 sisi):
$\{1,2,3,4,5,6\}$.
* Peristiwa A = “angka genap” → $\{2,4,6\}$.
* Peristiwa B = “angka > 3” → $\{4,5,6\}$.

---
Langkah 1: Tentukan $A \cap B$
$ A \cap B = \{4,6\} $

---
Langkah 2: Hitung probabilitas
$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
* $|A \cap B| = 2$
* $|B| = 3$
Maka:
$ P(A|B) = \frac{2}{3} $
---
Jadi, $P(A|B) = \tfrac{2}{3}$.

Soal 97

Dari set kartu 52, diambil 1 kartu. Misalkan A = “kartu As”, B = “kartu merah (♥/♦)”. Hitung \(P(A|B)\).

Jawaban:
P(A∩B) = As merah = 2/52. P(B)=26/52. \[ P(A|B)=\frac{2/52}{26/52}=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}. \]

Soal 98

Dalam kotak ada 5 bola merah dan 3 bola biru. Satu bola diambil tanpa pengembalian, lalu diambil bola kedua. Misalkan A = “bola kedua merah”, B = “bola pertama merah”. Hitung \(P(A|B)\).

Jawaban:
1) Situasi & Notasi

* Isi kotak: 5 merah (M) dan 3 biru (B) → total 8 bola.
* Diambil tanpa pengembalian : ambil pertama, lalu kedua.
* Peristiwa:
* $A$: “bola kedua merah”.
* $B$: “bola pertama merah”.

2) Makna $P(A\mid B)$
$P(A\mid B)$ = peluang bola kedua merah dengan syarat informasi bahwa bola pertama memang merah.
Artinya, kita fokus hanya pada skenario di mana pengambilan pertama merah (B terjadi), lalu tanya peluang merah lagi pada pengambilan kedua.

3) Cara langsung (mengondisikan stok setelah B)
Jika $B$ terjadi (pertama merah), maka stok berubah:
* Merah tersisa: $5-1=4$.
* Total tersisa: $8-1=7$.
Peluang bola kedua merah dengan syarat $B$:
$ P(A\mid B)=\frac{\text{merah tersisa}}{\text{total tersisa}}=\frac{4}{7}. $

4) Cara definisi (pakai rumus peluang bersyarat)
Definisi:
$ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $
Hitung:
* $P(B)=P(\text{pertama merah})=\frac{5}{8}$.
* $P(A\cap B)=P(\text{pertama merah lalu kedua merah}) =\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}. $
Maka:
$ P(A\mid B)=\frac{\frac{20}{56}}{\frac{5}{8}} =\frac{20}{56}\cdot\frac{8}{5} =\frac{4}{7}. $

5) Pohon peluang (gambaran visual)
``` Pengambilan 1
├─ Merah (5/8)
│ ├─ Merah (4/7) → P = (5/8)*(4/7)
│ └─ Biru (3/7) → P = (5/8)*(3/7)
└─ Biru (3/8)
├─ Merah (5/7) → P = (3/8)*(5/7
) └─ Biru (2/7) → P = (3/8)*(2/7)
``` Karena kita bersyarat pada B (cabang “Merah (5/8)”), maka peluang “kedua merah” di cabang itu adalah $4/7$ .

6) Catatan penting
* Tanpa pengembalian → stok berubah → peluang berubah (bukan $5/8$ lagi).
* Perbandingan : kalau dengan pengembalian , maka $P(A\mid B)=5/8$ (tetap sama seperti awal), tetapi di sini hasilnya $4/7$ karena satu merah sudah keluar di langkah pertama.
--- Jawaban akhir: $\displaystyle P(A\mid B)=\frac{4}{7}$.

Soal 99

Dua dadu dilempar. Misalkan A = “jumlah mata 8”, B = “dadu pertama menunjukkan 3”. Hitung \(P(A|B)\).

Jawaban:
B berarti dadu pertama = 3. Maka ruang sampel terbatas: (3,1)…(3,6). Total 6 kasus. A∩B berarti jumlah 8 ⇒ (3,5) saja. \[ P(A|B)=\tfrac{1}{6}. \]

Soal 100

Dalam ujian, peluang siswa bisa jawab soal Matematika = 0,7, peluang bisa jawab soal Fisika = 0,6, peluang bisa jawab keduanya = 0,5. Hitung peluang siswa bisa jawab Matematika jika diketahui ia bisa jawab Fisika (\(P(M|F)\)).

Jawaban:
Gunakan rumus:

1. Diketahui
* $P(M) = 0{,}7$ (peluang bisa jawab Matematika)
* $P(F) = 0{,}6$ (peluang bisa jawab Fisika)
* $P(M \cap F) = 0{,}5$ (peluang bisa jawab keduanya)
Ditanya:
$ P(M \mid F) \quad \text{= peluang bisa jawab Matematika jika diketahui ia bisa jawab Fisika.} $

2. Rumus peluang bersyarat
$ P(M \mid F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} $

3. Substitusi nilai
$ P(M \mid F) = \frac{0{,}5}{0{,}6} $

4. Hitung
$ \frac{0{,}5}{0{,}6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333 $

5. Interpretasi
Artinya, jika siswa bisa jawab Fisika , maka peluang bahwa ia juga bisa jawab Matematika adalah sekitar 83,3% .

✅ Jawaban akhir:
$ P(M \mid F) = \tfrac{5}{6} \approx 0{,}8333 $
\]

Dasar Teori: Teorema Bayes

Ide. Bayes membalik peluang bersyarat: dari \(P(B|A)\) menjadi \(P(A|B)\) menggunakan peluang awal (prior) \(P(A)\) dan bukti \(B\).

Rumus Bayes (dua hipotesis): \[ P(A|B)=\frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}. \]

Rumus Bayes (banyak hipotesis saling lepas \(H_1,\dots,H_k\)): \[ P(H_i|B)=\frac{P(B|H_i)\,P(H_i)}{\sum_{j=1}^{k} P(B|H_j)\,P(H_j)}. \]

Hukum Peluang Total: \[ P(B)=\sum_{j=1}^{k} P(B|H_j)\,P(H_j). \]

Teorema Bayes

Soal 101

Sebuah penyakit langka diderita 1% populasi. Tes memiliki sensitivitas 95% (positif jika sakit) dan false positive 2% (positif padahal sehat). Jika seorang pasien positif, berapa \(P(\text{sakit}|\text{positif})\)?

Jawaban:
Ambil \(S\)=sakit, \(+\)=positif. Diketahui: \(P(S)=0{,}01\), \(P(+|S)=0{,}95\), \(P(+|\bar S)=0{,}02\).
Peluang total positif: \(P(+)=0{,}95(0{,}01)+0{,}02(0{,}99)=0{,}0095+0{,}0198=0{,}0293\).
Bayes: \[ P(S|+)=\frac{0{,}95\cdot 0{,}01}{0{,}0293}\approx 0{,}3246. \] Jadi ≈ 32,46%.

Soal 102

Ada 3 kotak: \(K_1\) berisi (2 merah, 1 biru), \(K_2\) berisi (1 merah, 2 biru), \(K_3\) berisi (3 merah, 0 biru). Dipilih kotak acak sama peluang, lalu diambil 1 bola dan ternyata merah. Berapa peluang bola berasal dari \(K_3\)?

Jawaban:
Prior: \(P(K_i)=\tfrac{1}{3}\). Likelihood “merah”: \(P(R|K_1)=\tfrac{2}{3}\), \(P(R|K_2)=\tfrac{1}{3}\), \(P(R|K_3)=1\).
Total: \(P(R)=\tfrac{1}{3}(\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}+1)=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{2}{3+1/3+3}{?}\). Lebih rapi: \(P(R)=\tfrac{1}{3}\left(\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}+1\right)=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{2+1+3}{3}=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{6}{3}=\tfrac{1}{3}\cdot 2=\tfrac{2}{3}\).
Bayes: \[ P(K_3|R)=\frac{1\cdot \tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{1}{2}. \]

Soal 103

Sebuah pabrik punya 2 mesin: \(M_1\) memproduksi 70% barang dengan cacat 2%, \(M_2\) memproduksi 30% barang dengan cacat 5%. Sebuah barang terbukti cacat. Berapa peluang berasal dari \(M_2\)?

Jawaban:
Prior: \(P(M_1)=0{,}7, P(M_2)=0{,}3\). Likelihood cacat: \(P(C|M_1)=0{,}02\), \(P(C|M_2)=0{,}05\).
Total cacat: \(P(C)=0{,}7(0{,}02)+0{,}3(0{,}05)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\).
Bayes: \[ P(M_2|C)=\frac{0{,}05\cdot 0{,}3}{0{,}029}=\frac{0{,}015}{0{,}029}\approx 0{,}5172. \] Jadi ≈ 51,72%.

Soal 104

Sebuah email masuk. 20% email adalah spam. Probabilitas kata “FREE” muncul: 60% jika spam, 5% jika bukan spam. Jika email mengandung kata “FREE”, berapa peluang email itu spam?

Jawaban:
Prior: \(P(S)=0{,}2\), \(P(\bar S)=0{,}8\). Likelihood: \(P(F|S)=0{,}6\), \(P(F|\bar S)=0{,}05\).
Total: \(P(F)=0{,}6(0{,}2)+0{,}05(0{,}8)=0{,}12+0{,}04=0{,}16\).
Bayes: \[ P(S|F)=\frac{0{,}6\cdot 0{,}2}{0{,}16}=\frac{0{,}12}{0{,}16}=0{,}75. \] Jadi 75%.

Soal 105

Dalam suatu kota, 40% pengguna memakai operator A, 35% operator B, 25% operator C. Peluang gangguan sinyal harian: 1% (A), 2% (B), 4% (C). Jika teramati satu pengguna mengalami gangguan, berapa peluang ia pengguna C?

Jawaban:
Prior: \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}35\), \(P(C)=0{,}25\). Likelihood gangguan: \(P(G|A)=0{,}01\), \(P(G|B)=0{,}02\), \(P(G|C)=0{,}04\).
Total: \(P(G)=0{,}4(0{,}01)+0{,}35(0{,}02)+0{,}25(0{,}04)=0{,}004+0{,}007+0{,}01=0{,}021\).
Bayes: \[ P(C|G)=\frac{0{,}04\cdot 0{,}25}{0{,}021}=\frac{0{,}01}{0{,}021}\approx 0{,}4762. \] Jadi ≈ 47,62%.

D. Faktorial

Faktorial dari bilangan bulat positif n:
\( n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)

G. Kejadian Majemuk

1. Kejadian saling lepas
   Jika \( A \cap B = \varnothing \), maka:
   \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
2. Peluang gabungan dua kejadian
   \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
3. Peluang komplemen
   \( P(A') = 1 - P(A) \)
4. Kejadian saling lepas (duplikasi contoh 1):
   \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \), jika \( A \cap B = \varnothing \)
5. Kejadian bersyarat
   Peluang \( A \) terjadi jika \( B \) sudah terjadi:
   \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), dengan \( P(B) > 0 \)
6. Kejadian bebas
   A dan B bebas jika:
   \( P(B|A) = P(B) \) dan \( P(A|B) = P(A) \)
   Maka:
   \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)