Isi

Materi: Matematika (Program Linear)

A. PENGERTIAN PERSAMAAN

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan berbentuk:

$
ax + b = 0
$

dengan $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a \ne 0$, serta:

$x$: variabel real
$a$: koefisien $x$
$b$: konstanta

---

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk:

$
ax + by + c = 0
$

dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$, dan $a$ dan $b$ tidak keduanya nol, di mana:

$x$: variabel real
$a$: koefisien $x$
$b$: koefisien $y$

---

📌 Misalkan $a, b,$ dan $c$ bilangan real dan $a, b$ keduanya tidak nol.
Himpunan penyelesaian persamaan linear $ax + by = c$ adalah himpunan semua pasangan $(x, y)$ yang memenuhi persamaan linear tersebut.

---

Sifat-sifat:

Misal $l$ adalah persamaan linear, maka:

a. Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan $l$ tidak mengubah solusi persamaan tersebut.

b. Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada persamaan $l$ tidak mengubah solusi persamaan tersebut.


SPLDV

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat diekspresikan dalam bentuk:

$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$

---

Metode Substitusi (Metode Pengganti)

Solusi (penyelesaian) dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan metode substitusi berarti kita menggantikan salah satu variabel menggunakan bentuk eksplisit, misalnya:

$
y = mx + n \quad \text{atau} \quad x = my + n
$

Kemudian hasil substitusi dimasukkan ke bentuk implisit:

$
ax + by + c = 0
$

agar diperoleh persamaan linear satu variabel (PLSV) , yang lebih mudah diselesaikan.

Persamaan Garis

  1. Melalui titik \( (x_1, y_1) \) dengan gradien \( m \):
    \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
  2. Melalui titik \( (x_1, y_1) \) dan \( (x_2, y_2) \):
    \( \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
  3. Memotong sumbu x dan sumbu y
Ilustrasi Program Linear
Ilustrasi Program Linear

Daerah Penyelesaian (DP)

Langkah menentukan daerah penyelesaian (DP) dari sistem pertidaksamaan linear \( Ax + By \ge C \) atau \( Ax + By \le C \):

Langkah Praktis

  1. Gambar garis \( Ax + By = C \)
  2. Jika \( A > 0 \):
    • Tanda \( \ge \) → DP di sebelah kanan garis.
    • Tanda \( \le \) → DP di sebelah kiri garis.
  3. Jika \( A < 0 \):
    • Tanda \( \ge \) → DP di sebelah kiri garis.
    • Tanda \( \le \) → DP di sebelah kanan garis.
Ilustrasi Program Linear
Ilustrasi Program Linear

Langkah Pengerjaan Soal

  1. Gambar garis-garis batas dan tentukan daerah penyelesaian (DP) (lihat langkah praktis).
  2. Arsir bagian yang bukan daerah penyelesaian.
  3. Daerah penyelesaian adalah daerah yang bersih (tidak diarsir).

Menentukan Nilai Optimum

Model soal biasa

  1. Gambar daerah himpunan penyelesaian.
  2. Tentukan titik pojok.
  3. Uji titik pojok untuk menentukan hasil optimum (maksimum atau minimum).

Model soal cerita

  1. Tetapkan variabel \(x\) dan \(y\).
  2. Buat model matematika (pembatasan masalah).
  3. Gambar daerah himpunan penyelesaian.
  4. Tentukan titik pojok.
  5. Uji titik pojok untuk menentukan hasil optimum (maksimum atau minimum).