Isi

Materi: Matematika (Teorema Sisa)

A. Pengertian Suku Banyak

Bentuk umum:

\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + a_{n-3} x^{n-3} + \ldots + a_1 x + a_0 \]

Dengan \( a_n \ne 0 \) adalah konstanta, \( n \) bilangan cacah disebut suku banyak (polinomial) dalam \( x \) berderajat \( n \).
\( a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_1, a_0 \) disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masing-masing peubah (variabel) \( x \).
\( a_0 \) disebut suku tetap (konstanta).

Contoh:

  • \( x^3 + 2x^2 + 5x + 1 \) → derajat 3
  • \( 2x^6 + x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 8 \) → derajat 6

B. Perkalian Suku Banyak

  • \( a(b + c) = ab + ac \)
  • \( (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \)

C. Nilai Suku Banyak

Misalkan:

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_1 x + a_0 \]

Cara Menghitung:

a. Dengan cara substitusi

Jika \( f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3 \), maka: \[ f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 + 2 + 1 + 3 = 7 \]

b. Dengan pembagian sintesis Horner

Jika \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), maka \( f(h) \) dapat dihitung dengan teknik sintetik (Horner), misal seperti berikut: \[ \text{(disusun dalam format baris Horner)} \]

D. Teorema Sisa

  • Suatu suku banyak \( f(x) \) jika dibagi \( (x - a) \) maka sisanya adalah \( f(a) \)
  • Suatu suku banyak \( f(x) \) jika dibagi \( (x + a) \) maka sisanya adalah \( f(-a) \)
  • Suatu suku banyak \( f(x) \) jika dibagi \( (ax - b) \) maka sisanya adalah \( f\left(\frac{b}{a}\right) \)
  • Jika suku banyak \( f(x) \) habis dibagi \( (x - a) \), maka \( f(a) = 0 \)

E. Teorema Faktor

  • Jika \( f(a) = S = 0 \), maka \( (x - a) \) adalah faktor dari suku banyak \( f(x) \)
  • Jika \( f(a) = 0 \), \( f(b) = 0 \), dan \( f(c) = 0 \), maka \( f(x) \) habis dibagi \( (x - a)(x - b)(x - c) \)
  • Jika \( (x - a) \) adalah faktor dari \( f(x) \), maka \( x = a \) adalah akar dari \( f(x) \)
  • Jika \( f(x) \) dibagi oleh \( (x - a)(x - b) \), maka sisanya: \[ S = \frac{(x - a)}{(b - a)} f(b) + \frac{(x - b)}{(a - b)} f(a) \]
  • Jika \( f(x) \) dibagi oleh \( (x - a)(x - b)(x - c) \), maka sisanya: \[ S = \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} f(c) + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} f(b) + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} f(a) \]

Akar-akar Suku Banyak

  • Fungsi derajat tiga: \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) untuk \( f(x) = 0 \)
    1. \( x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} \)
    2. \( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \)
    3. \( x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a} \)
  • Fungsi derajat empat: \( f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \) untuk \( f(x) = 0 \)
    1. \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \frac{-b}{a} \)
    2. \( x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a} \)
    3. \( x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = \frac{-d}{a} \)
    4. \( x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a} \)

Cara Cepat

Pangkat ganjil → berakhir negatif

Tambahan:

  1. \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
  2. \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) \)
  3. \( x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3x_1x_2x_3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) \)