Misalkan:

Harga satu porsi ayam penyet = \( x \)
Harga satu gelas es jeruk = \( y \)

Dari informasi soal diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV):

\( 3x + 2y = 70.000 \)    ...(1)
\( 5x + 3y = 115.000 \)   ...(2)

Langkah pertama, kita selesaikan menggunakan metode eliminasi (sesuai materi SMA).

Samakan koefisien salah satu variabel, misalnya variabel \( y \).

Persamaan (1) dikali 3:

\( 9x + 6y = 210.000 \)   ...(3)

Persamaan (2) dikali 2:

\( 10x + 6y = 230.000 \)   ...(4)

Kurangkan persamaan (4) dengan persamaan (3):

\( (10x + 6y) - (9x + 6y) = 230.000 - 210.000 \)

\( x = 20.000 \)

Substitusikan nilai \( x \) ke persamaan (1):

\( 3(20.000) + 2y = 70.000 \)

\( 60.000 + 2y = 70.000 \)

\( 2y = 10.000 \)

\( y = 5.000 \)

Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp20.000,00 dan harga satu gelas es jeruk adalah Rp5.000,00.

Jawaban yang benar adalah C.

Misalkan:

Harga satu porsi ayam penyet = \( x \)
Harga satu gelas es jeruk = \( y \)

Dari soal diperoleh sistem persamaan:

\( 3x + 2y = 70.000 \)
\( 5x + 3y = 115.000 \)

Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks:

\[ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70.000 \\ 115.000 \end{pmatrix} \]

Misalkan:

\( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), dan \( B = \begin{pmatrix} 70.000 \\ 115.000 \end{pmatrix} \).

Maka persamaan menjadi \( A \cdot X = B \). Untuk mencari \( X \), kita gunakan rumus:

\( X = A^{-1} \cdot B \)

Langkah 1: Tentukan determinan matriks \( A \):

\( \det(A) = (3)(3) - (2)(5) \)

\( \det(A) = 9 - 10 = -1 \)

Karena \( \det(A) \neq 0 \), maka matriks \( A \) memiliki invers.

Langkah 2: Tentukan invers matriks \( A \) menggunakan rumus invers ordo \( 2 \times 2 \):

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka \( A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Untuk \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \), maka:

\( A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \)

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \)

Langkah 3: Hitung \( X = A^{-1} \cdot B \):

\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 70.000 \\ 115.000 \end{pmatrix} \]

Hitung komponen \( x \):

\( x = (-3)(70.000) + (2)(115.000) \)

\( x = -210.000 + 230.000 = 20.000 \)

Hitung komponen \( y \):

\( y = (5)(70.000) + (-3)(115.000) \)

\( y = 350.000 - 345.000 = 5.000 \)

Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp20.000,00 dan harga es jeruk pergelas adalah Rp5.000,00.

Jawaban yang benar adalah C.

Misalkan:

Harga 1 buku = \( x \)
Harga 1 pensil = \( y \)

Dari soal diperoleh sistem persamaan linear:

\( 2x + y = 8.000 \)
\( x + 3y = 9.000 \)

Sistem persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matriks:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \end{pmatrix} \]

Misalkan:

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \),
\( X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \),
\( B = \begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \end{pmatrix} \).

Maka berlaku:

\( A \cdot X = B \)

Untuk mencari \( X \), digunakan rumus:

\( X = A^{-1} \cdot B \)

Langkah 1: Tentukan determinan matriks \( A \).

\( \det(A) = (2)(3) - (1)(1) \)

\( \det(A) = 6 - 1 = 5 \)

Karena \( \det(A) \neq 0 \), maka matriks \( A \) memiliki invers.

Langkah 2: Tentukan invers matriks \( A \) menggunakan rumus matriks ordo \( 2 \times 2 \).

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka:

\( A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Sehingga:

\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \)

Langkah 3: Hitung \( X = A^{-1} \cdot B \).

\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \end{pmatrix} \]

Hitung nilai \( x \):

\( x = \frac{1}{5} \left[ (3)(8.000) + (-1)(9.000) \right] \)

\( x = \frac{1}{5} (24.000 - 9.000) \)

\( x = \frac{15.000}{5} = 3.000 \)

Hitung nilai \( y \):

\( y = \frac{1}{5} \left[ (-1)(8.000) + (2)(9.000) \right] \)

\( y = \frac{1}{5} (-8.000 + 18.000) \)

\( y = \frac{10.000}{5} = 2.000 \)

Harga 1 buku = Rp 3.000,00
Harga 1 pensil = Rp 2.000,00

Maka Catur membeli 1 buku dan 1 pensil:

\( x + y = 3.000 + 2.000 = 5.000 \)

Jadi, Catur harus membayar Rp 5.000,00.

Jawaban yang benar adalah C.

Misalkan banyak pesawat yang disiapkan:

Airbus 100 = \( x \)
Airbus 200 = \( y \)
Airbus 300 = \( z \)

Dari tabel kursi dan jumlah penumpang, kita bentuk sistem persamaan:

Kelas Turis: \( 50x + 75y + 40z = 305 \)
Kelas Ekonomi: \( 30x + 45y + 25z = 185 \)
Kelas VIP: \( 32x + 50y + 30z = 206 \)

Tulis dalam bentuk matriks \( A \cdot X = B \):

\[ \begin{pmatrix} 50 & 75 & 40 \\ 30 & 45 & 25 \\ 32 & 50 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 305 \\ 185 \\ 206 \end{pmatrix} \]

Untuk mencari \( x \), \( y \), dan \( z \), kita gunakan eliminasi baris (Gauss) pada matriks gabungan \( [A|B] \).

Pertama, sederhanakan baris agar hitungannya mudah:

Baris 1 dibagi \( 5 \): \( [50,75,40|305] \to [10,15,8|61] \)
Baris 2 dibagi \( 5 \): \( [30,45,25|185] \to [6,9,5|37] \)
Baris 3 dibagi \( 2 \): \( [32,50,30|206] \to [16,25,15|103] \)

Sehingga:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 10 & 15 & 8 & 61 \\ 6 & 9 & 5 & 37 \\ 16 & 25 & 15 & 103 \end{array} \right] \]

Hilangkan \( x \) pada baris 2 dengan operasi: \( R_2 \leftarrow R_2 - \frac{3}{5}R_1 \).

Karena \( \frac{3}{5}R_1 = [6,9,\frac{24}{5}|\frac{183}{5}] \), maka:

\( R_2 = [6,9,5|37] - [6,9,\frac{24}{5}|\frac{183}{5}] = [0,0,\frac{1}{5}|\frac{2}{5}] \)

Kalikan \( R_2 \) dengan \( 5 \) agar sederhana: \( R_2 \leftarrow 5R_2 \) sehingga \( R_2 = [0,0,1|2] \).

Matriksnya menjadi:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 10 & 15 & 8 & 61 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 16 & 25 & 15 & 103 \end{array} \right] \]

Dari baris 2 langsung diperoleh: \( z = 2 \).

Selanjutnya hilangkan \( z \) pada baris 3: \( R_3 \leftarrow R_3 - 15R_2 \).

\( R_3 = [16,25,15|103] - 15[0,0,1|2] = [16,25,0|73] \)

Matriks menjadi:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 10 & 15 & 8 & 61 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 16 & 25 & 0 & 73 \end{array} \right] \]

Gunakan \( z = 2 \) pada baris 1:

\( 10x + 15y + 8z = 61 \Rightarrow 10x + 15y + 8(2) = 61 \)

\( 10x + 15y + 16 = 61 \Rightarrow 10x + 15y = 45 \Rightarrow 2x + 3y = 9 \)

Dari baris 3: \( 16x + 25y = 73 \).

Sekarang selesaikan sistem:

\( 2x + 3y = 9 \)   ...(1)
\( 16x + 25y = 73 \)  ...(2)

Kalikan (1) dengan \( 8 \): \( 16x + 24y = 72 \).

Kurangkan dari (2): \( (16x + 25y) - (16x + 24y) = 73 - 72 \Rightarrow y = 1 \).

Substitusi \( y = 1 \) ke (1): \( 2x + 3(1) = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \).

Jadi banyak pesawat yang harus dipersiapkan adalah:

Airbus 100 \( = 3 \) pesawat, Airbus 200 \( = 1 \) pesawat, dan Airbus 300 \( = 2 \) pesawat.

Menurut definisi transpose matriks pada materi SMA:

Jika suatu matriks berordo \( m \times n \), maka transpose-nya berordo \( n \times m \).

Transpose matriks diperoleh dengan cara menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Diketahui:

\( C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Matriks tersebut adalah matriks kolom berordo \( 2 \times 1 \).

Dengan menggunakan definisi transpose:

\( C^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} \)

Karena elemen baris pertama matriks transpose diambil dari kolom pertama matriks semula.

Jadi, transpose matriks \( C \) adalah \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} \).

Jawaban yang benar adalah C.

Menurut definisi transpose matriks pada materi SMA:

Jika suatu matriks berordo \( m \times n \), maka transpose-nya berordo \( n \times m \).

Transpose diperoleh dengan cara menukar baris menjadi kolom.

Diketahui:

Baris ke-1: \( (-7, 8, 1, 3) \)
Baris ke-2: \( (5, 9, 7, 2) \)
Baris ke-3: \( (2, 2, 1, 3) \)
Baris ke-4: \( (1, -6, 0, 1) \)

Maka kolom-kolom matriks transpose adalah baris-baris tersebut.

Sehingga:

\( D^{T} = \begin{pmatrix} -7 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & 9 & 2 & -6 \\ 1 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Karena setiap elemen \( d_{ij} \) berpindah menjadi \( d_{ji} \).

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Tentukan ordo matriks \( A \).

Matriks \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} \) memiliki 1 baris dan 3 kolom.

Jadi, ordo matriks \( A \) adalah \( 1 \times 3 \) dan termasuk matriks baris.

Langkah 2: Gunakan definisi transpose.

Menurut rumus transpose matriks:

Jika \( A \) berordo \( m \times n \), maka \( A^{T} \) berordo \( n \times m \).

Transpose diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom.

Karena \( A \) adalah \( 1 \times 3 \), maka \( A^{T} \) adalah \( 3 \times 1 \).

Maka:

\( A^{T} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \)

Jenis matriks \( A^{T} \) adalah matriks kolom.

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Tentukan ordo matriks \( B \).

Matriks \( B = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \) memiliki 3 baris dan 2 kolom.

Jadi, ordo matriks \( B \) adalah \( 3 \times 2 \).

Karena jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom, maka \( B \) bukan matriks persegi.

Langkah 2: Gunakan rumus transpose matriks.

Jika suatu matriks berordo \( m \times n \), maka transpose-nya berordo \( n \times m \).

Transpose diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom.

Baris ke-1: \( (9, -1) \)
Baris ke-2: \( (3, 0) \)
Baris ke-3: \( (1, 5) \)

Maka kolom-kolom matriks transpose adalah baris-baris tersebut.

Sehingga:

\( B^{T} = \begin{pmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Ordo \( B^{T} \) adalah \( 2 \times 3 \).

Karena memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka jenisnya bukan matriks persegi. Matriks tersebut termasuk matriks persegi panjang.

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Tentukan ordo matriks \( C \).

Matriks \( C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{pmatrix} \) memiliki 3 baris dan 3 kolom.

Jadi, ordo matriks \( C \) adalah \( 3 \times 3 \) dan termasuk matriks persegi.

Langkah 2: Gunakan definisi transpose matriks.

Jika suatu matriks berordo \( m \times n \), maka transpose-nya berordo \( n \times m \).

Transpose diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom, yaitu elemen \( c_{ij} \) menjadi \( c_{ji} \).

Baris ke-1: \( (2, 3, 1) \)
Baris ke-2: \( (1, 6, -2) \)
Baris ke-3: \( (4, 5, -7) \)

Maka:

\( C^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{pmatrix} \)

Karena ordo \( C^{T} \) tetap \( 3 \times 3 \), maka jenisnya adalah matriks persegi.

Jawaban yang benar adalah A.

1. Matriks tegak merupakan bagian dari matriks persegi panjang.

Matriks tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak daripada jumlah kolom, yaitu berordo \( m \times n \) dengan \( m \gt n \).

Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya, yaitu \( m \neq n \).

Karena matriks tegak memenuhi syarat \( m \neq n \), maka matriks tegak termasuk bagian dari matriks persegi panjang.

Pernyataan 1: Benar.

2. Jika matriks \( A \) adalah matriks diagonal, maka matriks \( A \) adalah matriks segitiga.

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utama bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol, sedangkan matriks segitiga bawah adalah matriks yang semua elemen di atas diagonal utama bernilai nol.

Karena pada matriks diagonal semua elemen di atas dan di bawah diagonal utama bernilai nol, maka matriks diagonal termasuk matriks segitiga atas sekaligus segitiga bawah.

Pernyataan 2: Benar.

3. Jika matriks \( I \) adalah matriks simetris, maka matriks \( I \) adalah matriks identitas.

Matriks simetris adalah matriks persegi yang memenuhi \( A^{T} = A \).

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1.

Tidak semua matriks simetris merupakan matriks identitas. Contoh matriks simetris:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)

Matriks tersebut simetris karena \( A^{T} = A \), tetapi bukan matriks identitas.

Pernyataan 3: Salah.

4. Transpos dari matriks baris adalah matriks kolom.

Jika matriks baris berordo \( 1 \times n \), maka transposenya berordo \( n \times 1 \).

Karena \( A^{T} \) diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom, maka benar bahwa transpos matriks baris adalah matriks kolom.

Pernyataan 4: Benar.

Nomor 5a

\( A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \)

Matriks \( A \) memiliki 2 baris dan 3 kolom.

Ordo \( A \) adalah \( 2 \times 3 \).

Karena jumlah baris \( \neq \) jumlah kolom, maka \( A \) adalah matriks persegi panjang.

Nomor 5b

\( B = \begin{pmatrix} 2 & 9 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Ordo \( B \) adalah \( 3 \times 3 \), sehingga termasuk matriks persegi.

Perhatikan elemen di bawah diagonal utama:

Semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0.

Maka \( B \) adalah matriks segitiga atas.

Nomor 5c

\( C = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Ordo \( C \) adalah \( 3 \times 3 \).

Semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.

Maka \( C \) adalah matriks diagonal.

Nomor 6

Diketahui:

\( A = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ -1 & 9 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Hitung transpose menggunakan rumus:

\( A^{T} = (a_{ij})^{T} = a_{ji} \)

Tukar baris menjadi kolom:

\( A^{T} = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ -1 & 9 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Terlihat bahwa \( A^{T} = A \).

Jika suatu matriks memenuhi \( A^{T} = A \), maka matriks tersebut disebut matriks simetris.

Karena ordo \( A \) adalah \( 3 \times 3 \), maka \( A \) adalah matriks persegi simetris.

Jenis matriks \( A^{T} \) juga matriks persegi simetris.

Nomor 7

Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.

Bentuk umum matriks identitas:

\( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.

Karena matriks identitas memenuhi syarat matriks diagonal, maka pernyataan tersebut benar.

Pernyataan benar.

Langkah 1: Menyusun data dalam bentuk matriks.

Baris menyatakan kelompok usia dan kolom menyatakan kebutuhan kalori (normal, +1 jam latihan, +2 jam latihan).

Maka matriks kebutuhan kalori dapat ditulis sebagai:

\( M = \begin{pmatrix} 2000 & 2200 & 2500 \\ 2200 & 2500 & 3000 \\ 2600 & 2900 & 3200 \\ 2700 & 3000 & 3300 \end{pmatrix} \)

Langkah 2: Menentukan ordo matriks.

Matriks \( M \) memiliki 4 baris dan 3 kolom.

Jadi, ordo matriks \( M \) adalah \( 4 \times 3 \).

Langkah 3: Menentukan jenis matriks.

Karena jumlah baris \( \neq \) jumlah kolom, maka matriks tersebut bukan matriks persegi.

Matriks dengan ordo \( m \times n \) dengan \( m \neq n \) disebut matriks persegi panjang.

Jadi, matriks \( M \) adalah matriks persegi panjang berordo \( 4 \times 3 \).

Konsep dasar kesamaan matriks:

Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika:

1. Mempunyai ordo yang sama.
2. Setiap elemen yang seletak bernilai sama.

1. Dua matriks mempunyai ordo sama merupakan salah satu syarat kedua matriks tersebut sama.

Sesuai definisi, syarat pertama dua matriks sama adalah memiliki ordo yang sama.

Jadi pernyataan tersebut Benar.

2. Dua matriks yang sama selalu memiliki ordo sama.

Jika dua matriks sudah dinyatakan sama, maka secara definisi mereka pasti memiliki ordo yang sama.

Jadi pernyataan tersebut Benar.

3. Jika diketahui matriks \( R = \begin{pmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \) dan \( C = \begin{pmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), maka matriks \( R \) sama dengan matriks \( C \).

Ordo matriks \( R \) adalah \( 2 \times 2 \).

Ordo matriks \( C \) adalah \( 3 \times 2 \).

Karena ordo kedua matriks berbeda, maka keduanya tidak mungkin sama.

Jadi pernyataan tersebut Salah.

Langkah 1: Susun sistem persamaan.

Dari persamaan:

\( x_1 + x_2 = 40 \)   ...(1)
\( x_2 + x_3 = 30 \)   ...(2)
\( x_3 + 10 = 45 \)   ...(3)
\( x_1 + 10 = 55 \)   ...(4)

Langkah 2: Sederhanakan persamaan (3) dan (4).

Dari (3):

\( x_3 = 45 - 10 \)

\( x_3 = 35 \)

Dari (4):

\( x_1 = 55 - 10 \)

\( x_1 = 45 \)

Langkah 3: Substitusikan ke persamaan (2).

\( x_2 + 35 = 30 \)

\( x_2 = -5 \)

Langkah 4: Cek pada persamaan (1).

\( 45 + (-5) = 40 \) ✔

Langkah 5: Tulis dalam bentuk matriks.

Sistem dapat ditulis:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 35 \\ 45 \end{pmatrix} \]

Dengan penyelesaian sistem tersebut diperoleh:

\( x_1 = 45 \)
\( x_2 = -5 \)
\( x_3 = 35 \)

Jadi laju aliran yang diperoleh adalah:

\( x_1 = 45 \), \( x_2 = -5 \), dan \( x_3 = 35 \).

Langkah 1: Periksa ordo matriks.

Matriks \( A \) berordo \( 2 \times 2 \).

Matriks \( B \) juga berordo \( 2 \times 2 \).

Karena kedua matriks memiliki ordo yang sama, maka dapat dijumlahkan.

Langkah 2: Gunakan rumus penjumlahan matriks.

Jika \( C = A + B \), maka elemen-elemennya:

\( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \).

Artinya, setiap elemen dijumlahkan dengan elemen yang seletak.

Hitung satu per satu:

Baris 1 Kolom 1: \( -2 + (-1) = -3 \)

Baris 1 Kolom 2: \( 9 + (-3) = 6 \)

Baris 2 Kolom 1: \( 3 + (-1) = 2 \)

Baris 2 Kolom 2: \( -1 + 1 = 0 \)

Maka:

\( A + B = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \)

Jadi jumlah matriks \( A \) dan matriks \( B \) adalah

\( \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \).

Langkah 1: Periksa ordo kedua matriks.

Matriks pertama berordo \( 3 \times 3 \).

Matriks kedua juga berordo \( 3 \times 3 \).

Karena kedua matriks memiliki ordo yang sama, maka dapat dijumlahkan.

Langkah 2: Gunakan rumus penjumlahan matriks.

Jika \( C = A + B \), maka berlaku:

\( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \).

Artinya, setiap elemen dijumlahkan dengan elemen yang seletak.

Hitung setiap elemen:

Baris 1:
\( -1 + 2 = 1 \)
\( 2 + 7 = 9 \)
\( 1 + 0 = 1 \)

Baris 2:
\( 3 + 3 = 6 \)
\( 6 + 7 = 13 \)
\( 9 + 1 = 10 \)

Baris 3:
\( 2 + 5 = 7 \)
\( 5 + (-6) = -1 \)
\( -7 + 9 = 2 \)

Maka hasil penjumlahan adalah:

\( \begin{pmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 6 & 13 & 10 \\ 7 & -1 & 2 \end{pmatrix} \).

Langkah 1: Periksa ordo setiap matriks.

Ordo \( A \) adalah \( 2 \times 2 \).

Ordo \( B \) adalah \( 2 \times 2 \).

Ordo \( C \) adalah \( 2 \times 3 \).

Rumus pengurangan matriks:

\( A - B = A + (-B) \)

dan elemen-elemennya:

\( (A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \)

1. Menentukan \( A - B \)

Karena ordo \( A \) dan \( B \) sama, maka dapat dikurangkan.

Hitung setiap elemen:

Baris 1 Kolom 1: \( 5 - (-1) = 6 \)

Baris 1 Kolom 2: \( 2 - (-2) = 4 \)

Baris 2 Kolom 1: \( 1 - 1 = 0 \)

Baris 2 Kolom 2: \( 3 - (-1) = 4 \)

Maka:

\( A - B = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

2. Menentukan \( A - C \)

Ordo \( A \) adalah \( 2 \times 2 \) dan ordo \( C \) adalah \( 2 \times 3 \).

Karena jumlah kolomnya berbeda, maka pengurangan tidak dapat dilakukan.

Jadi, \( A - C \) tidak terdefinisi karena ordo matriks berbeda.

Konsep dasar:

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama.

Rumus penjumlahan:

Jika \( C = A + B \), maka \( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \).

1.

Penjumlahan matriks tidak dilakukan dengan menjumlahkan semua elemen secara bebas, tetapi harus menjumlahkan elemen yang seletak.

Karena pernyataan tersebut tidak menyebutkan bahwa elemen harus seletak, maka pernyataan tersebut Salah.

2.

Pengurangan matriks menggunakan rumus:

\( A - B = A + (-B) \)

Pengurangan hanya dapat dilakukan jika ordo kedua matriks sama.

Jadi pernyataan tersebut Benar.

3.

Ordo matriks pertama adalah \( 2 \times 2 \).

Ordo matriks kedua adalah \( 3 \times 2 \).

Karena ordonya berbeda, maka kedua matriks tidak dapat dijumlahkan.

Jadi pernyataan tersebut Salah.

Nomor 4

Gunakan rumus operasi matriks:

Jika \( A - B + C = O \), maka setiap elemen hasil operasi harus bernilai 0.

Hitung elemen satu per satu.

Elemen (1,1):

\( 2x - 6 + 2 = 0 \)

\( 2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \)

Elemen (1,2):

\( y - (-x) + 1 = 0 \)

\( y + x + 1 = 0 \)

Substitusi \( x = 2 \):

\( y + 2 + 1 = 0 \Rightarrow y = -3 \)

Elemen (2,1):

\( 3z - 2y - 9 = 0 \)

Substitusi \( y = -3 \):

\( 3z - 2(-3) - 9 = 0 \Rightarrow 3z + 6 - 9 = 0 \Rightarrow 3z - 3 = 0 \Rightarrow z = 1 \)

Elemen (2,2):

\( z - 7 + 6 = 0 \Rightarrow z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1 \) ✔

Jadi \( x = 2 \), \( y = -3 \), dan \( z = 1 \).

Nomor 5

Gunakan penjumlahan matriks:

\( \begin{pmatrix} 3a + 4b \\ 3b + 4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \)

Maka diperoleh sistem:

\( 3a + 4b = 1 \)
\( 4a + 3b = -1 \)

Eliminasi:

Kurangkan kedua persamaan:

\( (4a + 3b) - (3a + 4b) = -1 - 1 \)

\( a - b = -2 \)

Sehingga \( a = b - 2 \).

Substitusi ke persamaan pertama:

\( 3(b - 2) + 4b = 1 \)

\( 3b - 6 + 4b = 1 \Rightarrow 7b = 7 \Rightarrow b = 1 \)

Maka \( a = -1 \).

Nomor 6

Matriks buah segar = matriks kirim − matriks busuk.

Gunakan rumus:

\( (A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \)

Hitung setiap elemen:

Baris 1: \( 50 - 6 = 44 \), \( 62 - 4 = 58 \)
Baris 2: \( 70 - 2 = 68 \), \( 66 - 0 = 66 \)
Baris 3: \( 45 - 0 = 45 \), \( 58 - 1 = 57 \)
Baris 4: \( 40 - 1 = 39 \), \( 47 - 1 = 46 \)

Maka matriks buah yang masih segar adalah:

\( \begin{pmatrix} 44 & 58 \\ 68 & 66 \\ 45 & 57 \\ 39 & 46 \end{pmatrix}. \)

Gunakan definisi perkalian matriks dengan skalar.

Jika \( k \) adalah skalar dan \( A = (a_{ij}) \), maka:

\( kA = (k \cdot a_{ij}) \).

Artinya, setiap elemen pada matriks dikalikan dengan \( k \).

Diketahui:

\( P = \begin{pmatrix} -1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ -6 & 1 & -4 \end{pmatrix} \).

Hitung \( 2P \) dengan mengalikan setiap elemen dengan 2.

Baris 1:

\( 2(-1) = -2 \)

\( 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \)

Baris 2:

\( 2(-6) = -12 \)

\( 2(1) = 2 \)

\( 2(-4) = -8 \)

Maka diperoleh:

\( 2P = \begin{pmatrix} -2 & \frac{1}{2} & -1 \\ -12 & 2 & -8 \end{pmatrix} \).

Gunakan definisi perkalian matriks dengan skalar.

Jika \( A = (a_{ij}) \) dan \( k \) adalah skalar, maka:

\( kA = (k \cdot a_{ij}) \).

Artinya, setiap elemen pada matriks dikalikan dengan \( k \).

Diketahui:

\( Q = \begin{pmatrix} 2 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} \) dan \( k = 4 \).

Hitung setiap elemen:

Baris 1:

\( 4(2) = 8 \)

\( 4 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 \)

\( 4 \left( -\frac{1}{2} \right) = -2 \)

Baris 2:

\( 4(1) = 4 \)

\( 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \)

\( 4 \left( \frac{3}{4} \right) = 3 \)

Baris 3:

\( 4(3) = 12 \)

\( 4(8) = 32 \)

\( 4(1) = 4 \)

Maka diperoleh:

\( kQ = \begin{pmatrix} 8 & 1 & -2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 12 & 32 & 4 \end{pmatrix} \).

Langkah 1: Susun matriks jumlah karyawan.

Misalkan matriks jumlah karyawan:

\( A = \begin{pmatrix} 450 & 120 \\ 380 & 140 \\ 420 & 87 \end{pmatrix} \)

Ordo \( A \) adalah \( 3 \times 2 \).

Langkah 2: Susun matriks gaji per hari.

\( B = \begin{pmatrix} 125000 \\ 80000 \end{pmatrix} \)

Ordo \( B \) adalah \( 2 \times 1 \).

Langkah 3: Gunakan rumus perkalian matriks.

Jika \( C = AB \), maka:

\( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} \).

Karena ordo \( A \) adalah \( 3 \times 2 \) dan ordo \( B \) adalah \( 2 \times 1 \), maka hasilnya berordo \( 3 \times 1 \).

Hitung setiap baris:

Kota Pontianak:

\( 450(125000) + 120(80000) \)

\( = 56.250.000 + 9.600.000 \)

\( = 65.850.000 \)

Kota Surabaya:

\( 380(125000) + 140(80000) \)

\( = 47.500.000 + 11.200.000 \)

\( = 58.700.000 \)

Kota Makassar:

\( 420(125000) + 87(80000) \)

\( = 52.500.000 + 6.960.000 \)

\( = 59.460.000 \)

Maka matriks dana yang harus dikeluarkan per hari adalah:

\( C = \begin{pmatrix} 65850000 \\ 58700000 \\ 59460000 \end{pmatrix} \)

Jadi, dana per hari yang harus dikeluarkan adalah:

Kota Pontianak = Rp65.850.000,00
Kota Surabaya = Rp58.700.000,00
Kota Makassar = Rp59.460.000,00

Langkah 1: Periksa ordo matriks.

Ordo \( A \) adalah \( 3 \times 3 \).

Ordo \( B \) adalah \( 3 \times 2 \).

Karena jumlah kolom \( A \) sama dengan jumlah baris \( B \), maka \( AB \) dapat dihitung.

Ordo \( AB \) adalah \( 3 \times 2 \).

Sedangkan \( BA \) tidak dapat dihitung karena jumlah kolom \( B \) (2) tidak sama dengan jumlah baris \( A \) (3).

Langkah 2: Gunakan rumus perkalian matriks.

Jika \( C = AB \), maka:

\( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j} \).

Baris 1 Kolom 1:

\( (-7)(1) + (2)(-1) + (-2)(2) \)

\( = -7 - 2 - 4 = -13 \)

Baris 1 Kolom 2:

\( (-7)(2) + (2)(3) + (-2)(0) \)

\( = -14 + 6 + 0 = -8 \)

Baris 2 Kolom 1:

\( (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) \)

\( = 1 + 0 - 2 = -1 \)

Baris 2 Kolom 2:

\( (1)(2) + (0)(3) + (-1)(0) \)

\( = 2 + 0 + 0 = 2 \)

Baris 3 Kolom 1:

\( (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(2) \)

\( = 2 - 3 - 2 = -3 \)

Baris 3 Kolom 2:

\( (2)(2) + (3)(3) + (-1)(0) \)

\( = 4 + 9 + 0 = 13 \)

Maka diperoleh:

\( AB = \begin{pmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{pmatrix} \)

Sedangkan \( BA \) tidak terdefinisi karena ordo tidak memenuhi syarat perkalian matriks.

Langkah 1: Tentukan ordo masing-masing matriks.

Ordo \( C \) adalah \( 2 \times 3 \).

Ordo \( D \) adalah \( 2 \times 2 \).

Menentukan \( CD \)

Perkalian matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Matriks \( C \) memiliki 3 kolom, sedangkan matriks \( D \) memiliki 2 baris.

Karena \( 3 \neq 2 \), maka \( CD \) tidak terdefinisi.

Menentukan \( DC \)

Matriks \( D \) berordo \( 2 \times 2 \) dan matriks \( C \) berordo \( 2 \times 3 \).

Karena jumlah kolom \( D \) sama dengan jumlah baris \( C \), maka \( DC \) dapat dihitung.

Ordo hasil \( DC \) adalah \( 2 \times 3 \).

Gunakan rumus:

Jika \( E = DC \), maka

\( e_{ij} = d_{i1}c_{1j} + d_{i2}c_{2j} \).

Baris 1 Kolom 1:

\( (1)(1) + (-4)(1) = 1 - 4 = -3 \)

Baris 1 Kolom 2:

\( (1)(-3) + (-4)(2) = -3 - 8 = -11 \)

Baris 1 Kolom 3:

\( (1)(3) + (-4)(2) = 3 - 8 = -5 \)

Baris 2 Kolom 1:

\( (8)(1) + (2)(1) = 8 + 2 = 10 \)

Baris 2 Kolom 2:

\( (8)(-3) + (2)(2) = -24 + 4 = -20 \)

Baris 2 Kolom 3:

\( (8)(3) + (2)(2) = 24 + 4 = 28 \)

Maka diperoleh:

\( DC = \begin{pmatrix} -3 & -11 & -5 \\ 10 & -20 & 28 \end{pmatrix} \)

Jadi:

\( CD \) tidak terdefinisi, dan

\( DC = \begin{pmatrix} -3 & -11 & -5 \\ 10 & -20 & 28 \end{pmatrix} \).

1.

Gunakan definisi perkalian matriks dengan skalar.

Jika \( A \) berordo \( m \times n \) dan \( k \) adalah skalar, maka:

\( kA = (k \cdot a_{ij}) \).

Perkalian skalar tidak mengubah jumlah baris dan kolom.

Jadi ordo \( kA \) tetap \( m \times n \).

Pernyataan 1 adalah Benar.

2.

Jika \( A \) adalah matriks nol, maka semua elemennya bernilai 0.

Gunakan rumus perkalian matriks:

\( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} \).

Karena setiap \( a_{ik} = 0 \), maka:

\( c_{ij} = 0 \).

Sehingga \( AB \) adalah matriks nol.

Pernyataan 2 adalah Benar.

3.

Sifat \( AA = A \) disebut sifat idempoten.

Ada matriks selain matriks nol yang memenuhi sifat tersebut.

Contoh:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).

Hitung:

\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A \).

Karena ada matriks bukan nol yang memenuhi \( AA = A \), maka pernyataan tersebut Salah.

Nomor 4

Diketahui:

\( P - 2X = 3Q \).

Langkah 1: Hitung \( 3Q \).

\( 3Q = 3 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}. \)

Langkah 2: Bentuk persamaan.

\( P - 2X = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}. \)

Maka:

\( 2X = P - 3Q \).

Hitung \( P - 3Q \):

\( \begin{pmatrix} 1 & -8 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -14 \\ 2 & -8 \end{pmatrix}. \)

Langkah 3: Bagi dengan 2.

\( X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8 & -14 \\ 2 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}. \)

Nomor 5

Gunakan rumus perkalian matriks:

\( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} \).

Hitung elemen (1,1):

\( (x - 2)(-4) + 9(y + 1) = -3 \).

\( -4x + 8 + 9y + 9 = -3 \).

\( -4x + 9y + 17 = -3 \).

\( -4x + 9y = -20 \). ...(1)

Elemen (1,2):

\( (x - 2)(0) + 9(12) = -9 \).

\( 108 = -9 \).

Ini kontradiksi, sehingga tidak ada solusi.

Karena tidak konsisten, maka tidak ada pasangan \( x \) dan \( y \) yang memenuhi.

Nomor 6

Bunga tunggal 6% berarti dikalikan dengan 0,06.

Gunakan perkalian skalar:

\( 0,06 \begin{pmatrix} 2000000 \\ 3500000 \\ 4000000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120000 \\ 210000 \\ 240000 \end{pmatrix}. \)

Jadi matriks bunga tabungan adalah:

\( \begin{pmatrix} 120000 \\ 210000 \\ 240000 \end{pmatrix}. \)

Gunakan rumus determinan matriks ordo \( 2 \times 2 \).

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( \det(A) = ad - bc \).

Diketahui:

\( A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -7 & -5 \end{pmatrix} \).

Sehingga:

\( a = -1 \), \( b = 3 \), \( c = -7 \), dan \( d = -5 \).

Substitusikan ke rumus:

\( \det(A) = (-1)(-5) - (3)(-7) \).

Hitung satu per satu:

\( (-1)(-5) = 5 \)

\( (3)(-7) = -21 \)

Maka:

\( \det(A) = 5 - (-21) \).

\( \det(A) = 5 + 21 = 26 \).

Jadi, nilai determinan matriks \( A \) adalah \( 26 \).

Langkah 1: Ubah sistem persamaan ke bentuk matriks.

Sistem \( \begin{cases} 2x - y = 7 \\ x - 4y = 14 \end{cases} \) dapat ditulis sebagai:

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} \).

Misalkan \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), dan \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} \), maka \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \).

Langkah 2: Cari \( A^{-1} \) menggunakan rumus invers matriks \( 2 \times 2 \).

Untuk \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), inversnya:

\( A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), dengan syarat \( ad - bc \neq 0 \).

Di sini:

\( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \), \( d = -4 \).

Hitung determinan:

\( \det(A) = ad - bc = (2)(-4) - (-1)(1) \)

\( \det(A) = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7 \).

Karena \( \det(A) \neq 0 \), maka \( A \) memiliki invers.

Maka:

\( A^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \).

Langkah 3: Hitung \( \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \).

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix}. \)

Kalikan matriks:

Komponen pertama:

\( (-4)(7) + (1)(14) = -28 + 14 = -14 \)

Komponen kedua:

\( (-1)(7) + (2)(14) = -7 + 28 = 21 \)

Sehingga:

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -14 \\ 21 \end{pmatrix}. \)

Bagi tiap elemen dengan \(-7\):

\( x = \frac{-14}{-7} = 2 \)

\( y = \frac{21}{-7} = -3 \)

Jadi penyelesaian sistem adalah \( x = 2 \) dan \( y = -3 \).

Gunakan rumus determinan matriks ordo \( 2 \times 2 \).

Jika \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka:

\( \det(M) = ad - bc \).

Diketahui:

\( a = 9 \), \( b = x \), \( c = 8 \), dan \( d = -7 \).

Substitusikan ke rumus:

\( \det(M) = (9)(-7) - (x)(8) \).

\( \det(M) = -63 - 8x \).

Karena diketahui \( \det(M) = 9 \), maka:

\( -63 - 8x = 9 \).

Selesaikan persamaan:

\( -8x = 9 + 63 \).

\( -8x = 72 \).

\( x = -9 \).

Jadi nilai \( x \) adalah \( -9 \).

Langkah 1: Ubah ke bentuk matriks.

Sistem persamaan dapat ditulis sebagai:

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \end{pmatrix}. \)

Misalkan

\( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), dan \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \end{pmatrix} \).

Sehingga diperoleh \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \).

Langkah 2: Cari invers matriks \( A \).

Gunakan rumus invers matriks ordo \( 2 \times 2 \):

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), dengan syarat \( ad - bc \neq 0 \).

Untuk matriks \( A \):

\( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \), \( d = 3 \).

Hitung determinan:

\( \det(A) = ad - bc \).

\( \det(A) = (2)(3) - (-1)(1) \).

\( \det(A) = 6 + 1 = 7 \).

Karena \( \det(A) \neq 0 \), maka invers ada.

Maka:

\( A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \)

Langkah 3: Hitung \( \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \).

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \end{pmatrix}. \)

Kalikan matriks:

Komponen pertama:

\( (3)(8) + (1)(-10) = 24 - 10 = 14 \).

Komponen kedua:

\( (-1)(8) + (2)(-10) = -8 - 20 = -28 \).

Sehingga:

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 14 \\ -28 \end{pmatrix}. \)

Bagi dengan 7:

\( x = 2 \),

\( y = -4 \).

Jadi penyelesaian sistem adalah \( x = 2 \) dan \( y = -4 \).

1) Determinan matriks \( P \)

Gunakan rumus determinan matriks ordo \( 3 \times 3 \):

Jika \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \), maka

\( \det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \).

Untuk matriks \( P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 4 \end{pmatrix} \), diperoleh:

\( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \), \( d = 2 \), \( e = 6 \), \( f = 2 \), \( g = 5 \), \( h = 9 \), \( i = 4 \).

Hitung bagian-bagiannya:

\( ei - fh = (6)(4) - (2)(9) = 24 - 18 = 6 \)

\( di - fg = (2)(4) - (2)(5) = 8 - 10 = -2 \)

\( dh - eg = (2)(9) - (6)(5) = 18 - 30 = -12 \)

Substitusi ke rumus:

\( \det(P) = 1(6) - 3(-2) + 2(-12) \)

\( \det(P) = 6 + 6 - 24 = -12 \)

Jadi, \( \det(P) = -12 \).

2) Determinan matriks \( R \)

Untuk matriks \( R = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \), gunakan rumus yang sama:

\( \det(R) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \).

Ambil:

\( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 3 \), \( d = -4 \), \( e = -1 \), \( f = 2 \), \( g = 2 \), \( h = 1 \), \( i = 1 \).

Hitung:

\( ei - fh = (-1)(1) - (2)(1) = -1 - 2 = -3 \)

\( di - fg = (-4)(1) - (2)(2) = -4 - 4 = -8 \)

\( dh - eg = (-4)(1) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2 \)

Substitusi:

\( \det(R) = 1(-3) - (-2)(-8) + 3(-2) \)

\( \det(R) = -3 - 16 - 6 = -25 \)

Jadi, \( \det(R) = -25 \).

Konsep yang dipakai (sesuai materi SMA): Jika \( \det(M) \neq 0 \), maka invers matriks \( M \) ada dan \( M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \, \text{adj}(M) \), dengan \( \text{adj}(M) \) adalah adjoin (adjugate) matriks \( M \).

1) Invers matriks \( P \)

\( P = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah 1: Hitung determinan \( \det(P) \). Pilih ekspansi kofaktor pada baris ke-3 karena ada angka \( 0 \).

\( \det(P) = (-1)\,C_{31} + 0\cdot C_{32} + (1)\,C_{33} \)

Hitung kofaktor yang diperlukan:

\( C_{31} = (-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = 3(-2) - 1(1) = -6 - 1 = -7 \)

\( C_{33} = (-1)^{3+3}\det\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = (-2)(1) - 3(2) = -2 - 6 = -8 \)

Maka: \( \det(P) = (-1)(-7) + (1)(-8) = 7 - 8 = -1 \)

Karena \( \det(P) \neq 0 \), maka \( P^{-1} \) ada.

Langkah 2: Tentukan \( \text{adj}(P) \). Dari perhitungan kofaktor lengkap diperoleh: \( \text{adj}(P) = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -7 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & -3 & -8 \end{pmatrix} \)

Langkah 3: Hitung invers.

\( P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}\,\text{adj}(P) = \frac{1}{-1}\,\text{adj}(P) = -\text{adj}(P) \)

\( P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 8 \end{pmatrix} \)

2) Invers matriks \( A \)

\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah 1: Hitung determinan \( \det(A) \). Pilih ekspansi pada baris pertama karena ada \( 0 \).

\( \det(A) = 4\det\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - 1\det\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + 0(\cdots) \)

Hitung masing-masing:

\( \det\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 0(1) - (-3)(-1) = 0 - 3 = -3 \)

\( \det\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = (-1)(1) - (-3)(-3) = -1 - 9 = -10 \)

Maka: \( \det(A) = 4(-3) - 1(-10) = -12 + 10 = -2 \)

Karena \( \det(A) \neq 0 \), maka \( A^{-1} \) ada.

Langkah 2: Tentukan \( \text{adj}(A) \). Dari perhitungan kofaktor lengkap diperoleh: \( \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & -1 & -3 \\ 10 & 4 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah 3: Hitung invers.

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A) = \frac{1}{-2}\,\text{adj}(A) \)

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -5 & -2 & -6 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

Nomor 1

Diketahui sifat determinan pada materi SMA: Tidak berlaku sifat distributif terhadap penjumlahan, artinya secara umum

\( |A + B| \neq |A| + |B| \)

Sifat yang benar untuk determinan adalah:

\( |AB| = |A||B| \)

Karena tidak ada rumus yang menyatakan \( |A + B| = |A| + |B| \), maka pernyataan tersebut Salah.

Nomor 2

Matriks singular adalah matriks yang memiliki determinan sama dengan nol.

Hitung determinan:

\( \left| \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \right| = (4)(3) - (6)(2) \)

\( = 12 - 12 = 0 \)

Karena determinannya nol, maka matriks tersebut adalah matriks singular.

Jadi pernyataan tersebut Benar.

Nomor 3

Jika suatu matriks \( A \) mempunyai invers, maka berlaku sifat:

\( A A^{-1} = I \)

Ambil invers dari kedua ruas:

\( (A A^{-1})^{-1} = I^{-1} \)

Karena \( I^{-1} = I \) dan sifat invers perkalian matriks:

\( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)

Maka:

\( (A^{-1})^{-1} A^{-1} = I \)

Sehingga diperoleh:

\( (A^{-1})^{-1} = A \)

Jadi pernyataan tersebut Benar.

Kesimpulan:
1. Salah
2. Benar
3. Benar