matematika kelas 11 pertidaksamaan

Misalkan:

\( k \) = panjang tongkat kasti (cm)

\( h \) = panjang tongkat hoki (cm)

\( b \) = panjang tongkat bisbol (cm)

a. Persamaan dari pengukuran pertama

“\( 3 \) tongkat kasti, \( 2 \) tongkat hoki, dan \( 1 \) tongkat bisbol panjangnya \( 455 \) cm”

\( 3k + 2h + b = 455 \)

b. Persamaan dari pengukuran kedua dan ketiga

Pengukuran kedua:

“\( 1 \) tongkat kasti, \( 3 \) tongkat hoki, dan \( 2 \) tongkat bisbol panjangnya \( 545 \) cm”

\( k + 3h + 2b = 545 \)

Pengamatan ketiga:

“\( 2 \) tongkat kasti sama panjang dengan \( 1 \) tongkat bisbol”

\( 2k = b \)

Jadi sistem persamaan:

\( \begin{cases} 3k + 2h + b = 455 \\ k + 3h + 2b = 545 \\ 2k = b \end{cases} \)

c. Apakah ini sistem persamaan linear?

Ya, karena setiap persamaan hanya memuat \( k \), \( h \), dan \( b \) dengan pangkat \( 1 \), tidak ada perkalian antar variabel seperti \( kh \), dan tidak ada variabel di penyebut.

d. Menyelesaikan sistem persamaan

Dari \( 2k = b \), maka \( b = 2k \).

Substitusi ke persamaan pertama:

\( 3k + 2h + 2k = 455 \)

\( 5k + 2h = 455 \) ...(1)

Substitusi ke persamaan kedua:

\( k + 3h + 2(2k) = 545 \)

\( k + 3h + 4k = 545 \)

\( 5k + 3h = 545 \) ...(2)

Kurangkan (2) dengan (1):

\( (5k + 3h) - (5k + 2h) = 545 - 455 \)

\( h = 90 \)

Substitusi \( h = 90 \) ke (1):

\( 5k + 2(90) = 455 \)

\( 5k + 180 = 455 \)

\( 5k = 275 \)

\( k = 55 \)

Lalu \( b = 2k = 2(55) = 110 \).

e. Ada berapa solusi?

Ada tepat \( 1 \) solusi, karena nilai \( k \), \( h \), dan \( b \) dapat ditentukan tunggal dan konsisten memenuhi semua persamaan.

f. Panjang tiap jenis tongkat

Tongkat kasti: \( k = 55 \) cm

Tongkat hoki: \( h = 90 \) cm

Tongkat bisbol: \( b = 110 \) cm

Misalkan:

\( x \) = volume kemasan kecil (ml)

\( y \) = volume kemasan sedang (ml)

\( z \) = volume kemasan besar (ml)

a. Sistem persamaan

Dari informasi soal:

\( 3x + 2y + 3z = 4700 \)

\( 3x + y + 2z = 3300 \)

\( 2y + 2z = 2800 \)

b. Termasuk sistem persamaan linear

Ya, karena setiap persamaan hanya memuat \( x \), \( y \), dan \( z \) berpangkat \( 1 \), tidak ada bentuk seperti \( xy \), \( x^2 \), atau variabel di penyebut.

c. Menyelesaikan sistem

Dari \( 2y + 2z = 2800 \):

\( y + z = 1400 \)

\( y = 1400 - z \)

Substitusikan ke \( 3x + y + 2z = 3300 \):

\( 3x + (1400 - z) + 2z = 3300 \)

\( 3x + 1400 + z = 3300 \)

\( 3x + z = 1900 \)

\( z = 1900 - 3x \)

Lalu:

\( y = 1400 - z = 1400 - (1900 - 3x) \)

\( y = -500 + 3x \)

Jadi himpunan penyelesaiannya:

\( x = x \)

\( y = -500 + 3x \)

\( z = 1900 - 3x \)

(Artinya \( x \) bebas dipilih, lalu \( y \) dan \( z \) mengikuti rumus di atas.)

d. Ada berapa solusi?

Ada banyak solusi, karena setelah disubstitusi, persamaan pertama menjadi identitas yang selalu benar selama \( y \) dan \( z \) mengikuti hubungan di atas.

Jika volume harus bernilai positif, maka syaratnya:

\( x \gt 0 \)

\( y \gt 0 \Rightarrow -500 + 3x \gt 0 \Rightarrow x \gt \dfrac{500}{3} \)

\( z \gt 0 \Rightarrow 1900 - 3x \gt 0 \Rightarrow x \lt \dfrac{1900}{3} \)

e. Artinya bagi Bonar jika memiliki banyak solusi

Artinya informasi yang diberikan belum cukup untuk menentukan volume kemasan kecil, sedang, dan besar secara tunggal. Masih ada banyak kemungkinan kombinasi volume yang memenuhi semua data, sehingga Bonar perlu data tambahan (misalnya satu pembelian lagi dengan kombinasi berbeda) agar volumenya bisa ditentukan tepat satu nilai.

Misalkan:

\( a \) = harga beras A per kg (rupiah)

\( b \) = harga beras B per kg (rupiah)

\( c \) = harga beras C per kg (rupiah)

a. Model matematika

Dari informasi soal diperoleh:

\( 2a + 2b + c = 50000 \)

\( 4a + 2b + 3c = 91000 \)

\( 4a + 4b + 2c = 95000 \)

Jadi model matematikanya adalah sistem:

\( \begin{cases} 2a + 2b + c = 50000 \\ 4a + 2b + 3c = 91000 \\ 4a + 4b + 2c = 95000 \end{cases} \)

b. Apakah termasuk sistem persamaan linear?

Ya. Karena setiap persamaan hanya memuat \( a \), \( b \), dan \( c \) berpangkat \( 1 \), tidak ada suku seperti \( ab \), \( a^2 \), atau variabel di penyebut.

c. Ada berapa solusi? Bagaimana kamu tahu?

Sistem ini tidak memiliki solusi.

Alasannya dapat dibuktikan dari persamaan pertama:

\( 2a + 2b + c = 50000 \)

Jika campuran itu digandakan (semua kg dikali \( 2 \)), maka total harganya juga harus dikali \( 2 \):

\( 2(2a + 2b + c) = 2(50000) \)

\( 4a + 4b + 2c = 100000 \)

Namun persamaan ketiga mengatakan:

\( 4a + 4b + 2c = 95000 \)

Terjadi pertentangan:

\( 4a + 4b + 2c \) tidak mungkin bernilai \( 100000 \) dan \( 95000 \) sekaligus.

Jadi, sistem persamaan tersebut inkonsisten dan tidak memiliki solusi, sehingga harga \( a \), \( b \), dan \( c \) tidak bisa ditentukan dari data yang diberikan.

Model matematika:

\( x + y \le 10 \)

\( 15000x + 9000y \ge 120000 \)

\( x \ge 0 \)

\( y \ge 0 \)

Artinya:

- \( x + y \le 10 \) menyatakan total jam kerja tidak lebih dari 10 jam.

- \( 15000x + 9000y \ge 120000 \) menyatakan total uang minimal Rp120.000,00.

- \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \) menyatakan jam kerja tidak mungkin negatif.

Ya, ini merupakan sistem pertidaksamaan linear karena:

- Semua pertidaksamaan berbentuk derajat satu (pangkat variabel hanya \( 1 \)).

- Tidak ada perkalian antar variabel (tidak ada \( xy \)), tidak ada pangkat \( x^2 \), \( y^2 \), dan seterusnya.

Contohnya \( x + y \le 10 \) dan \( 15000x + 9000y \ge 120000 \) keduanya berbentuk linear.

Untuk menggambar grafik, kita buat garis batas dari tiap pertidaksamaan.

1) Garis \( x + y = 10 \)

Titik potong sumbu:

Jika \( x = 0 \) maka \( y = 10 \) → titik \( (0,10) \).

Jika \( y = 0 \) maka \( x = 10 \) → titik \( (10,0) \).

Jadi garisnya melalui \( (0,10) \) dan \( (10,0) \). Karena pertidaksamaannya \( x + y \le 10 \), daerahnya di bawah/di garis itu (di kuadran I).

2) Garis \( 15000x + 9000y = 120000 \)

Agar mudah, bagi \( 3000 \):

\( 15000x + 9000y = 120000 \Rightarrow 5x + 3y = 40 \).

Titik potong sumbu:

Jika \( x = 0 \) maka \( 3y = 40 \Rightarrow y = \frac{40}{3} \) → titik \( \left(0,\frac{40}{3}\right) \).

Jika \( y = 0 \) maka \( 5x = 40 \Rightarrow x = 8 \) → titik \( (8,0) \).

Jadi garisnya melalui \( \left(0,\frac{40}{3}\right) \) dan \( (8,0) \). Karena pertidaksamaannya \( 5x + 3y \ge 40 \), daerahnya di atas/di garis tersebut (di kuadran I).

3) Tambahkan batas kuadran I: \( x \ge 0 \) (kanan sumbu \( y \)) dan \( y \ge 0 \) (atas sumbu \( x \)).

Sketsa arah daerah:

- \( x + y \le 10 \): di bawah garis dari \( (0,10) \) ke \( (10,0) \).

- \( 5x + 3y \ge 40 \): di atas garis dari \( \left(0,\frac{40}{3}\right) \) ke \( (8,0) \).

Daerah solusi adalah irisan keduanya di kuadran I.

Titik-titik potong yang penting untuk daerah solusi biasanya:

- Titik potong garis \( x + y = 10 \) dengan sumbu-sumbu.

- Titik potong garis \( 5x + 3y = 40 \) dengan sumbu-sumbu.

- Titik potong kedua garis \( x + y = 10 \) dan \( 5x + 3y = 40 \).

1) Untuk \( x + y = 10 \):

\( (0,10) \) dan \( (10,0) \).

2) Untuk \( 5x + 3y = 40 \):

\( \left(0,\frac{40}{3}\right) \) dan \( (8,0) \).

3) Titik potong kedua garis:

Dari \( x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x \).

Substitusi ke \( 5x + 3y = 40 \):

\( 5x + 3(10 - x) = 40 \)

\( 5x + 30 - 3x = 40 \)

\( 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \).

Maka \( y = 10 - 5 = 5 \).

Jadi titik potong kedua garis adalah \( (5,5) \).

Daerah solusi harus memenuhi semua syarat:

\( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \), \( x + y \le 10 \), dan \( 5x + 3y \ge 40 \).

Di kuadran I, ini berarti:

- Ambil daerah di bawah (atau pada) garis \( x + y = 10 \).

- Ambil daerah di atas (atau pada) garis \( 5x + 3y = 40 \).

Irisan keduanya membentuk daerah berupa “pita” di kuadran I.

Titik sudut (titik pojok) daerah solusi di kuadran I adalah:

\( (8,0) \), \( (10,0) \), \( (5,5) \).

Penjelasan titik sudut:

- Pada sumbu \( x \) (yaitu \( y = 0 \)): syarat \( x + y \le 10 \Rightarrow x \le 10 \) dan \( 5x + 3y \ge 40 \Rightarrow 5x \ge 40 \Rightarrow x \ge 8 \), jadi segmen dari \( (8,0) \) sampai \( (10,0) \) termasuk.

- Pertemuan dua garis memberi titik \( (5,5) \).

Jika Bonar mengantar barang selama \( 4 \) jam, maka \( x = 4 \).

Syarat uang:

\( 15000x + 9000y \ge 120000 \Rightarrow 15000(4) + 9000y \ge 120000 \).

\( 60000 + 9000y \ge 120000 \Rightarrow 9000y \ge 60000 \Rightarrow y \ge \frac{60000}{9000} \).

\( y \ge \frac{20}{3} \).

Syarat waktu:

\( x + y \le 10 \Rightarrow 4 + y \le 10 \Rightarrow y \le 6 \).

Jadi harus memenuhi \( \frac{20}{3} \le y \le 6 \).

Karena \( \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \), maka \( \frac{20}{3} \le y \) tidak mungkin sekaligus dengan \( y \le 6 \).

Kesimpulan: Bonar tidak bisa mencapai Rp120.000,00 jika mengantar barang \( 4 \) jam, karena waktu maksimal total \( 10 \) jam tidak cukup untuk menutupi kekurangannya.

Jika total bekerja \( 9 \) jam, berarti \( x + y = 9 \) (ini masih memenuhi \( x + y \le 10 \)).

Pertanyaannya: apakah ada pembagian \( x \) dan \( y \) (dengan \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)) sehingga:

\( 15000x + 9000y \ge 120000 \)

dan \( x + y = 9 \).

Substitusi \( y = 9 - x \):

\( 15000x + 9000(9 - x) \ge 120000 \)

\( 15000x + 81000 - 9000x \ge 120000 \)

\( 6000x + 81000 \ge 120000 \)

\( 6000x \ge 39000 \Rightarrow x \ge 6{,}5 \).

Berarti jika total \( 9 \) jam, Bonar harus mengantar barang minimal \( 6{,}5 \) jam, dan sisanya mencuci piring:

\( y = 9 - 6{,}5 = 2{,}5 \).

Cek uang pada \( (x,y) = (6{,}5,2{,}5) \):

\( 15000(6{,}5) + 9000(2{,}5) = 97500 + 22500 = 120000 \).

Karena memenuhi tepat Rp120.000,00, maka Bonar bisa mendapatkan uang yang dibutuhkan dengan total kerja \( 9 \) jam, asalkan pembagian jamnya memenuhi \( x \ge 6{,}5 \) (mengantar barang) dan \( y = 9 - x \).

Yang diminta adalah kombinasi jam kerja \( (x,y) \) yang memenuhi:

\( x + y \le 10 \) dan \( 15000x + 9000y \ge 120000 \), dengan \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \).

Artinya bukan hanya satu jawaban, tetapi banyak kemungkinan.

Contoh beberapa pasangan \( (x,y) \) yang memenuhi:

- \( (8,0) \) → \( 15000(8) + 9000(0) = 120000 \) dan \( 8 + 0 \le 10 \).

- \( (7,2) \) → \( 15000(7) + 9000(2) = 105000 + 18000 = 123000 \) dan \( 7 + 2 \le 10 \).

- \( (6,3) \) → \( 15000(6) + 9000(3) = 90000 + 27000 = 117000 \) (ini tidak memenuhi karena kurang dari \( 120000 \)).

Jadi pasangan jam kerja yang benar adalah semua titik di daerah solusi (yang sudah dijelaskan pada bagian (e)).

Persamaan uang:

\( 20000x + 10000y \le 100000 \)

Agar lebih sederhana, bagi semua dengan \( 10000 \):

\( 2x + y \le 10 \)

Sehingga sistem pertidaksamaannya menjadi:

\( 2x + y \le 10 \)

\( y \ge 5 \)

\( x \ge 0 \)

\( y \ge 0 \)

Dari pertidaksamaan:

\( 2x + y \le 10 \)

Kita cari kemungkinan kombinasi dengan syarat \( y \ge 5 \).

Jika \( y = 5 \), maka:

\( 2x + 5 \le 10 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le 2{,}5 \)

Karena jumlah pupuk harus bilangan bulat, maka \( x \le 2 \).

Jika \( y = 6 \):

\( 2x + 6 \le 10 \Rightarrow 2x \le 4 \Rightarrow x \le 2 \)

Jika \( y = 7 \):

\( 2x + 7 \le 10 \Rightarrow 2x \le 3 \Rightarrow x \le 1{,}5 \Rightarrow x \le 1 \)

Jika \( y = 8 \):

\( 2x + 8 \le 10 \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1 \)

Jika \( y = 9 \):

\( 2x + 9 \le 10 \Rightarrow 2x \le 1 \Rightarrow x \le 0{,}5 \Rightarrow x = 0 \)

Jika \( y = 10 \):

\( 2x + 10 \le 10 \Rightarrow 2x \le 0 \Rightarrow x = 0 \)

Kombinasi yang memenuhi:

\( y = 5 \Rightarrow x = 0,1,2 \)

\( y = 6 \Rightarrow x = 0,1,2 \)

\( y = 7 \Rightarrow x = 0,1 \)

\( y = 8 \Rightarrow x = 0,1 \)

\( y = 9 \Rightarrow x = 0 \)

\( y = 10 \Rightarrow x = 0 \)

Jadi Nova dapat membeli:

- 5 tanaman dan maksimal 2 pupuk

- 6 tanaman dan maksimal 2 pupuk

- 7 tanaman dan maksimal 1 pupuk

- 8 tanaman dan maksimal 1 pupuk

- 9 tanaman tanpa pupuk

- 10 tanaman tanpa pupuk

Semua pasangan tersebut memenuhi syarat uang Rp100.000,00 dan minimal 5 tanaman.

Model matematika:

\( 2x + y \le 10 \)

\( y \ge 5 \)

\( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)

Karena ini sistem pertidaksamaan linear dua variabel, maka jawabannya bukan satu angka saja, melainkan banyak kemungkinan pasangan \( (x,y) \).

Artinya Nova dapat membeli minimal 5 tanaman dan kombinasi pupuk yang masih memenuhi batas Rp100.000,00 seperti yang sudah dihitung di atas.

Karena yang ditanyakan apakah Bu Dini dapat membeli 6 kg telur, maka kita uji dengan:

\( x + y = 6 \)

Kita substitusi \( y = 6 - x \) ke pertidaksamaan uang:

\( 22000x + 30000(6 - x) \le 150000 \)

\( 22000x + 180000 - 30000x \le 150000 \)

\( -8000x + 180000 \le 150000 \)

\( -8000x \le -30000 \)

Bagi dengan \( -8000 \) (tanda pertidaksamaan berubah arah):

\( x \ge \frac{30000}{8000} \)

\( x \ge 3{,}75 \)

Karena:

\( x \ge 3{,}75 \)

dan total berat \( x + y = 6 \), maka:

\( y = 6 - x \)

Jika \( x = 3{,}75 \), maka:

\( y = 6 - 3{,}75 = 2{,}25 \)

Artinya, agar uang tidak melebihi Rp150.000,00, berat telur ayam harus minimal 3,75 kg.

Selama:

\( 3{,}75 \le x \le 6 \)

maka nilai \( y = 6 - x \) akan tetap memenuhi batas uang.

Ya, Bu Dini dapat membeli 6 kg telur, asalkan komposisinya memenuhi:

\( x \ge 3{,}75 \)

dan

\( y = 6 - x \)

Contoh kombinasi yang memenuhi:

- \( x = 4 \) dan \( y = 2 \)

Cek uang:

\( 22000(4) + 30000(2) = 88000 + 60000 = 148000 \)

Karena \( 148000 \le 150000 \), maka memenuhi.

Namun jika lebih banyak telur puyuh (misalnya sebagian besar 6 kg adalah telur puyuh), maka uang akan melebihi Rp150.000,00 dan tidak memenuhi syarat.

Jadi jawabannya: Bu Dini bisa membeli 6 kg telur, tetapi harus lebih banyak telur ayam daripada telur puyuh agar tidak melebihi batas uang.

Dari batas modal:

\( 15000x + 10000y + 500000 \le 2500000 \)

Kurangi \( 500000 \):

\( 15000x + 10000y \le 2000000 \)

Bagi \( 5000 \):

\( 3x + 2y \le 400 \)

Jadi batas produksi karena modal adalah:

\( 3x + 2y \le 400 \)

Syarat keuntungan:

\( 25000x + 20000y \gt 15000x + 10000y + 500000 \)

Kurangi kedua ruas dengan \( 15000x + 10000y \):

\( 10000x + 10000y \gt 500000 \)

Bagi \( 10000 \):

\( x + y \gt 50 \)

Artinya agar untung, total produksi harus lebih dari 50 liter.

Syarat-syarat yang harus dipenuhi:

\( 3x + 2y \le 400 \)

\( x + y \le 150 \)

\( x + y \gt 50 \)

\( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)

Sekarang kita cari contoh yang memenuhi semua syarat tersebut.

Ambil contoh:

\( x = 60 \)

\( y = 40 \)

Cek syarat modal:

\( 3(60) + 2(40) = 180 + 80 = 260 \le 400 \) ✔

Cek kapasitas:

\( 60 + 40 = 100 \le 150 \) ✔

Cek keuntungan:

Pendapatan:

\( 25000(60) + 20000(40) = 1500000 + 800000 = 2300000 \)

Biaya:

\( 15000(60) + 10000(40) + 500000 = 900000 + 400000 + 500000 = 1800000 \)

Karena:

\( 2300000 \gt 1800000 \)

Maka UMKM memperoleh keuntungan sebesar:

\( 2300000 - 1800000 = 500000 \)

Ya, UMKM bisa mendapatkan keuntungan dengan harga tersebut.

Syarat utama agar untung adalah:

\( x + y \gt 50 \)

Selama kombinasi \( x \) dan \( y \) juga memenuhi batas modal \( 3x + 2y \le 400 \) dan kapasitas gudang \( x + y \le 150 \), maka usaha tersebut menghasilkan keuntungan.

Contoh kombinasi yang menguntungkan adalah \( x = 60 \) liter sabun mandi dan \( y = 40 \) liter sabun cuci tangan.

Dari:

\( x + y = 100000000 \)

Maka:

\( y = 100000000 - x \)

Substitusi ke syarat bunga:

\( 0{,}04x + 0{,}06(100000000 - x) \ge 550000 \)

\( 0{,}04x + 6000000 - 0{,}06x \ge 550000 \)

\( -0{,}02x + 6000000 \ge 550000 \)

\( -0{,}02x \ge -5450000 \)

Bagi dengan \( -0{,}02 \) (tanda pertidaksamaan berubah arah):

\( x \le 272500000 \)

Diperoleh:

\( x \le 272500000 \)

Padahal total uang hanya Rp100.000.000,00.

Karena \( 100000000 \lt 272500000 \), maka syarat tersebut selalu terpenuhi untuk setiap pembagian \( x \) dan \( y \) yang jumlahnya Rp100.000.000,00.

Artinya, berapa pun pembagian uang ke dua bank (asal keduanya tidak nol), bunga yang diperoleh pasti lebih dari Rp550.000,00.

Sebagai pembanding:

Jika seluruh uang di Bank A saja:

\( 0{,}04(100000000) = 4000000 \)

Itu sudah jauh lebih besar dari Rp550.000,00.

Misalnya:

\( x = 50000000 \)

\( y = 50000000 \)

Total bunga:

\( 0{,}04(50000000) + 0{,}06(50000000) \)

\( = 2000000 + 3000000 \)

\( = 5000000 \)

Karena:

\( 5000000 \ge 550000 \)

Maka syarat terpenuhi.

Ya, hal tersebut sangat mungkin.

Karena bunga minimum yang diperoleh bahkan jika seluruh uang disimpan di Bank A saja adalah Rp4.000.000,00, yang jauh lebih besar dari Rp550.000,00.

Selama uang dibagi ke dua bank (misalnya Rp50.000.000,00 di Bank A dan Rp50.000.000,00 di Bank B), maka Pak Budi tetap memperoleh bunga lebih dari Rp550.000,00.

Kita eliminasi variabel \( z \).

Kurangi persamaan pertama dengan persamaan ketiga:

\( (4x + 2y + z) - (3x + y + z) = 640000 - 450000 \)

\( x + y = 190000 \) → (Persamaan A)

Sekarang kurangi persamaan kedua dengan persamaan ketiga:

\( (x + 3y + 2z) - (3x + y + z) = 550000 - 450000 \)

\( -2x + 2y + z = 100000 \)

Dari Persamaan A:

\( x + y = 190000 \)

Maka:

\( y = 190000 - x \)

Substitusi ke persamaan:

\( -2x + 2y + z = 100000 \)

\( -2x + 2(190000 - x) + z = 100000 \)

\( -2x + 380000 - 2x + z = 100000 \)

\( -4x + 380000 + z = 100000 \)

\( z = 100000 + 4x - 380000 \)

\( z = 4x - 280000 \)

Gunakan persamaan:

\( 3x + y + z = 450000 \)

Substitusi \( y = 190000 - x \) dan \( z = 4x - 280000 \):

\( 3x + (190000 - x) + (4x - 280000) = 450000 \)

\( 3x + 190000 - x + 4x - 280000 = 450000 \)

\( 6x - 90000 = 450000 \)

\( 6x = 540000 \)

\( x = 90000 \)

Karena:

\( y = 190000 - x \)

\( y = 190000 - 90000 \)

\( y = 100000 \)

Dan:

\( z = 4x - 280000 \)

\( z = 4(90000) - 280000 \)

\( z = 360000 - 280000 \)

\( z = 80000 \)

Harga tiket yang dijual Maria adalah:

Tiket anak-anak \( = 90000 \)

Tiket dewasa \( = 100000 \)

Tiket lansia \( = 80000 \)

Semua nilai tersebut diperoleh menggunakan metode eliminasi dan substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel sesuai materi SMA.

Sederhanakan persamaan kedua dengan membagi \( 2 \):

\( 5x + y + 2z = 1 \) → (Persamaan B)

Persamaan pertama:

\( 5x + y + 8z = 1{,}5 \) → (Persamaan A)

Persamaan ketiga bagi \( 3 \):

\( y + 4z = \frac{2}{3} \) → (Persamaan C)

Kurangi Persamaan A dengan Persamaan B:

\( (5x + y + 8z) - (5x + y + 2z) = 1{,}5 - 1 \)

\( 6z = 0{,}5 \)

\( z = \frac{0{,}5}{6} \)

\( z = \frac{1}{12} \)

Dari Persamaan C:

\( y + 4z = \frac{2}{3} \)

Substitusi \( z = \frac{1}{12} \):

\( y + 4\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{2}{3} \)

\( y + \frac{4}{12} = \frac{2}{3} \)

\( y + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

\( y = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \)

\( y = \frac{1}{3} \)

Gunakan Persamaan B:

\( 5x + y + 2z = 1 \)

Substitusi \( y = \frac{1}{3} \) dan \( z = \frac{1}{12} \):

\( 5x + \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{12}\right) = 1 \)

\( 5x + \frac{1}{3} + \frac{2}{12} = 1 \)

\( 5x + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \)

Samakan penyebut:

\( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)

Sehingga:

\( 5x + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1 \)

\( 5x + \frac{3}{6} = 1 \)

\( 5x + \frac{1}{2} = 1 \)

\( 5x = 1 - \frac{1}{2} \)

\( 5x = \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{1}{10} \)

Berat masing-masing buah adalah:

Berat 1 jeruk \( = \frac{1}{10} \) kg

Berat 1 mangga \( = \frac{1}{3} \) kg

Berat 1 salak \( = \frac{1}{12} \) kg

Semua diperoleh menggunakan metode eliminasi dan substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel sesuai materi SMA.

Total peserta:

\( 168 + 12 = 180 \)

Misalkan:

\( x \) = banyak bus besar

\( y \) = banyak bus kecil

Syarat kapasitas:

\( 50x + 18y \ge 180 \)

Syarat anggaran:

\( 2520000x + 1600000y \le 11000000 \)

Dengan:

\( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \), dan \( x, y \) bilangan bulat.

Langkah 1: Ubah pertidaksamaan anggaran agar lebih sederhana.

\( 2520000x + 1600000y \le 11000000 \)

Bagi dengan \( 100000 \):

\( 25{,}2x + 16y \le 110 \)

Namun untuk mempermudah perhitungan, kita uji nilai \( x \) satu per satu.

Jika \( x = 1 \):

Kapasitas: \( 50 + 18y \ge 180 \Rightarrow 18y \ge 130 \Rightarrow y \ge 7{,}23 \Rightarrow y \ge 8 \)

Biaya:

\( 2520000(1) + 1600000(8) = 2520000 + 12800000 = 15320000 \)

Karena \( 15320000 \gt 11000000 \), tidak memenuhi.

Jika \( x = 2 \):

Kapasitas: \( 100 + 18y \ge 180 \Rightarrow 18y \ge 80 \Rightarrow y \ge 4{,}45 \Rightarrow y \ge 5 \)

Biaya:

\( 2520000(2) + 1600000(5) = 5040000 + 8000000 = 13040000 \)

Karena \( 13040000 \gt 11000000 \), tidak memenuhi.

Jika \( x = 3 \):

Kapasitas: \( 150 + 18y \ge 180 \Rightarrow 18y \ge 30 \Rightarrow y \ge 1{,}67 \Rightarrow y \ge 2 \)

Biaya:

\( 2520000(3) + 1600000(2) = 7560000 + 3200000 = 10760000 \)

Karena \( 10760000 \le 11000000 \), memenuhi.

Kapasitas:

\( 150 + 36 = 186 \ge 180 \)

Jika \( x = 4 \):

Biaya:

\( 2520000(4) = 10080000 \)

Karena \( 10080000 \le 11000000 \), memenuhi.

Kapasitas:

\( 50(4) = 200 \ge 180 \)

Jika \( x = 5 \):

\( 2520000(5) = 12600000 \gt 11000000 \), tidak memenuhi.

Jadi semua kemungkinan kendaraan yang dapat mereka sewa adalah:

\( x = 3 \) dan \( y = 2 \)

atau

\( x = 4 \) dan \( y = 0 \)

Artinya mereka dapat menyewa:

3 bus besar dan 2 bus kecil

atau

4 bus besar saja.