Baca juga
- pesantren Hidayatul Mubtadi'ien Ponorogo
- pesantren Tahfidz Al Qur’an Bina Attaufiq Atap Yatim
- pesantren Manarul Huda Sukarame
- pesantren Shohwatul Isad Pangkep
1. Sudut
Dalam trigonometri, sudut dipandang sebagai perputaran suatu sinar garis dari sisi awal ke sisi akhir dengan pusat di pangkalnya. Jika perputarannya berlawanan arah putaran jarum jam, besar sudutnya positif. Sebaliknya, jika perputarannya searah putaran jarum jam, besar sudutnya negatif. Perhatikan gambar berikut!
Kita dapat menggambar sudut dalam posisi baku. Suatu sudut dikatakan dalam posisi baku ketika titik sudutnya berada di titik asal O(0, 0) dan sisi awalnya berimpit dengan sumbu-x positif seperti pada gambar berikut.
Kamu telah mengenali ukuran sudut di kelas X yang dinyatakan dalam derajat. Ketika menggunakan derajat, kita membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian untuk mendapatkan sebuah sudut yang besarnya 1°. Dengan demikian, sudut-sudut pada Gambar 3.3 beserta ukurannya ditunjukkan pada gambar berikut
Satuan sudut selain derajat ialah radian. Satuan radian melibatkan fakta bahwa satu keliling sembarang lingkaran sama dengan 2π (atau sekitar 6,28) kali jari-jarinya
Dalam radian, besar satu putaran penuh adalah 2π radian. Perhatikan definisi berikut
Radian
Sudut pusat sebuah lingkaran berukuran 1 radian (1 rad) jika sudut pusat tersebut menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jarijari lingkaran tersebut. Besar 1 rad tampak pada gambar berikut.
Perhatikan gambar berikut.
Sudut \( \alpha \) merupakan sudut pusat lingkaran yang berjari-jari \( 10 \). Sebuah sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jarinya memiliki ukuran \( 1 \) radian. Karena sudut \( \alpha \) menghadap busur lingkaran sepanjang \( 12 \), maka besar sudut tersebut adalah …
| A. | \( 0{,}8 \) rad |
| B. | \( 1 \) rad |
| C. | \( 1{,}2 \) rad |
| D. | \( 10 \) rad |
| E. | \( 12 \) rad |
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Konsep dasar (materi SMA):
Panjang busur lingkaran dirumuskan dengan:
\( s = r \theta \)
dengan:
- \( s \) = panjang busur
- \( r \) = jari-jari
- \( \theta \) = sudut pusat (dalam radian)
Diketahui:
\( r = 10 \)
\( s = 12 \)
Kita cari sudut \( \theta \):
\( s = r \theta \)
\( 12 = 10 \theta \)
\( \theta = \frac{12}{10} \)
\( \theta = 1{,}2 \)
Jadi besar sudut \( \alpha \) adalah
\( 1{,}2 \) rad
Jawaban: C
Perhatikan gambar berikut.
Sudut \( \beta \) merupakan sudut pusat lingkaran yang berjari-jari \( 10 \). Berdasarkan Definisi 3.1, sebuah sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jarinya memiliki ukuran \( 1 \) radian. Karena sudut \( \beta \) menghadap busur lingkaran sepanjang \( 38 \), maka besar sudut tersebut adalah …
| A. | \( 2{,}8 \) rad |
| B. | \( 3 \) rad |
| C. | \( 3{,}8 \) rad |
| D. | \( 10 \) rad |
| E. | \( 38 \) rad |
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Konsep dasar (materi SMA):
Panjang busur lingkaran dirumuskan dengan:
\( s = r \theta \)
dengan:
- \( s \) = panjang busur
- \( r \) = jari-jari
- \( \theta \) = sudut pusat (dalam radian)
Diketahui:
\( r = 10 \)
\( s = 38 \)
Kita cari sudut \( \theta \):
\( s = r \theta \)
\( 38 = 10 \theta \)
\( \theta = \frac{38}{10} \)
\( \theta = 3{,}8 \)
Jadi besar sudut \( \beta \) adalah
\( 3{,}8 \) rad
Jawaban: C
Sifat 3.1
Hubungan antara Derajat dan Radian
Berikut ini adalah hubungan antara derajat dan radian.
\( 180^\circ = \pi \text{ rad} \)
\( 1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \)
\( 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad} \)
1. Untuk mengonversi derajat ke radian, kalikan dengan \( \dfrac{\pi}{180} \) rad.
2. Untuk mengonversi radian ke derajat, kalikan dengan \( \dfrac{180}{\pi} \).
Contoh 3.2 Mengonversi Sudut
Nyatakan:
1. \( 30^\circ \) ke dalam radian
2. \( \dfrac{5\pi}{3} \) rad ke dalam derajat
Alternatif penyelesaian:
1. \( 30^\circ = 30 \left( \dfrac{\pi}{180} \right) \text{ rad} = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad} \)
2. \( \dfrac{5\pi}{3} \text{ rad} = \dfrac{5\pi}{3} \left( \dfrac{180}{\pi} \right)^\circ = 300^\circ \)
Definisi 3.2 Fungsi Kosinus, Fungsi Sinus, dan Fungsi Tangen
Misalkan \( t \) adalah sembarang bilangan real dan \( P(x, y) \) adalah titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut pusat \( t \), seperti pada Gambar 3.11 berikut.
Gambar 3.11 Sudut Pusat \( t \) dan Titik \( P(x, y) \)
Fungsi-fungsi trigonometri kosinus, sinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen secara berturut-turut didefinisikan sebagai berikut.
\( \cos t = x \)
\( \sin t = y \)
\( \tan t = \dfrac{y}{x}; \, x \ne 0 \)
\( \sec t = \dfrac{1}{x}; \, x \ne 0 \)
\( \csc t = \dfrac{1}{y}; \, y \ne 0 \)
\( \cot t = \dfrac{x}{y}; \, y \ne 0 \)
Contoh 3.3 Menentukan Nilai Fungsi Trigonometri
Titik \( P \) merupakan titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut pusat \( t \), seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.12. Tentukan \( \sin t \), \( \cos t \), dan \( \tan t \).
Gambar 3.12 Titik \( P \) pada Lingkaran Satuan dan Sudut Pusat \( t \)
Alternatif penyelesaian:
Koordinat \( x \) dan \( y \) titik \( P \) secara berturut-turut adalah \( -\dfrac{3}{4} \) dan \( -\dfrac{4}{5} \). Berdasarkan Definisi 3.2, kita memperoleh
\( \sin t = y = -\dfrac{4}{5} \)
\( \cos t = x = -\dfrac{3}{4} \)
\( \tan t = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3} \)
A. Rumus Perbandingan Trigonometri
Rumus perbandingan trigonometri adalah sebagai berikut:
\( \sin \alpha = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{y}{r} \)
\( \cos \alpha = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{x}{r} \)
\( \tan \alpha = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{y}{x} \)
\( \csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{r}{y} \)
\( \sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} = \dfrac{r}{x} \)
\( \cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha} = \dfrac{x}{y} \)
dan berlaku teorema Phytagoras, yaitu:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Dengan menggunakan hubungan Phytagoras: \( r^2 = x^2 + y^2 \) diperoleh:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \)
\( 1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \)
B. Nilai-nilai Sudut Istimewa
Nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut:
| \( 0^\circ \) | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | \( 90^\circ \) | |
| \( \sin \) | \( 0 \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \) | \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \) | \( 1 \) |
| \( \cos \) | \( 1 \) | \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \) | \( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan \) | \( 0 \) | \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | \( \infty \) |
KUADRAN
I : semua positif
II : sinus dan cosec positif
III : tg dan ctg positif
IV : cosinus dan sec positif
Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut istimewa yang lebih dari \( 90^\circ \) dapat digunakan rumusan relasi kuadran di bawah ini.
Sudut = \( (\alpha \pm k \cdot 90^\circ) \)
Dengan ketentuan:
k genap maka fungsi tetap:
\( \sin \Rightarrow \sin \)
\( \cos \Rightarrow \cos \)
\( \tan \Rightarrow \tan \)
k ganjil maka fungsi berubah:
\( \sin \Rightarrow \cos \)
\( \cos \Rightarrow \sin \)
\( \tan \Rightarrow \cot \)
Tanda negatif dan positif tergantung kuadran fungsi asal.
D. Rumus Penjumlahan Sudut
\( \sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \)
\( \cos (a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \)
\( \tan (a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} \)
\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \)
\( \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \)
\( \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \)
\( \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a \)
\( \tan 2a = \dfrac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} \)
\( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \)
\( 1 + \tan^2 a = \sec^2 a \)
C. Dalil-dalil dalam Segitiga
Dalil Sinus
\( \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} \)
Dalil Kosinus
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \)
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \)
Luas Segitiga ABC
\( L = \dfrac{1}{2} bc \sin \alpha = \dfrac{1}{2} ca \sin \beta = \dfrac{1}{2} ab \sin \gamma \)
E. Rumus Jumlah, Selisih, Kali, dan Bagi
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B) \)
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{1}{2}(A+B) \sin \dfrac{1}{2}(A-B) \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B) \)
\( \cos A - \cos B = -2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \sin \dfrac{1}{2}(A-B) \)
\( 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \)
\( 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \)
\( 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \)
\( -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \)
F. Rumus-rumus Praktis
Hubungan perkalian dan penjumlahan.
Cara praktis menghafal rumus perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan cosinus adalah sebagai berikut.
Contoh:
\( 2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B) \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A + B}{2} \cos \dfrac{A - B}{2} \)
Ingat-ingat !!
1. Perkalian antara dua fungsi yang sama menjadi penjumlahan/pengurangan fungsi cosinus.
2. Perkalian dua fungsi yang berbeda menjadi penjumlahan/pengurangan fungsi sinus.
G. Persamaan Trigonometri
\( \sin x^\circ = \sin p^\circ \Rightarrow \begin{cases} x_1 = p^\circ + n \cdot 360^\circ \\ x_2 = (180^\circ - p^\circ) + n \cdot 360^\circ \end{cases} \)
\( \cos x^\circ = \cos p^\circ \Rightarrow x = \pm p^\circ + n \cdot 360^\circ \)
\( \tan x^\circ = \tan p^\circ \Rightarrow x = p^\circ + n \cdot 180^\circ \)
\( \cot x^\circ = \cot p^\circ \Rightarrow x = p^\circ + n \cdot 180^\circ \)
\( x \in \mathbb{R} \) (bilangan nyata), \( n \in \mathbb{Z} \) (bilangan bulat \( \pm, 0 \))
H. Persamaan A Sin x + B Cos x
1. Bentuk \( a \sin x + b \cos x = k \cos (x - A) \)
Maka akan dipenuhi:
\( k = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \tan A = \dfrac{a}{b} \)
2. Maksimum dan minimum \( a \sin x + b \cos x \)
Nilai maks = \( |k| \)
Nilai min = \( -|k| \)
I. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Grafik dari fungsi dasar trigonometri adalah sebagai berikut:
\( y = \sin x \)
y maksimum = \( 1 \)
y minimum = \( -1 \)
satu periode = \( 360^\circ \)
\( y = \cos x \)
y maksimum = \( 1 \)
y minimum = \( -1 \)
satu periode = \( 360^\circ \)
\( y = \tan x \)
y maksimum = \( \infty \)
y minimum = \( -\infty \)
satu periode = \( 180^\circ \)
Fungsi:
\( y = k \sin (x \pm \theta) + c \)
\( y = k \cos (x \pm \theta) + c \)
\( y = k \tan (x \pm \theta) + c \)
\( y = k \cot (x \pm \theta) + c \)
Untuk semua sinus dan kosinus
Periode \( P = \dfrac{360^\circ}{|r|} \) atau \( P = \dfrac{2\pi}{|r|} \)
Nilai maksimum \( y = |k| + c \)
Nilai minimum \( y = -|k| + c \)
Nilai belok \( y = c \)
Ingin Mendapatkan Informasi Lebih Lanjut?
Bagi wali santri yang ingin mengetahui informasi lebih detail, silakan menghubungi via WhatsApp terlebih dahulu agar informasinya jelas dan sesuai kebutuhan.
📲 Hubungi WhatsAppRekomendasi
- sosiologi kelas 11 Mengenai Masalah Sosial
- pesantren Muhammadiyah Gulingan Madiun
- Pesantren Al Basyariyah
- pesantren Pertanian Darul Fallah Ciampea Bogor
Untuk tangen dan cotangen
Periode \( P = \dfrac{180^\circ}{|r|} \) atau \( P = \dfrac{\pi}{|r|} \)
Pertidaksamaan Trigonometri:
Bentuk dasar:
\( \sin x \ge a \qquad \sin x \le a \)
\( \cos x \ge a \qquad \cos x \le a \)
\( \tan x \ge a \qquad \tan x \le a \)
Untuk menyelesaikan soal model pertidaksamaan trigonometri paling mudah menggunakan bantuan grafik fungsi trigonometri.
Pertidaksamaan trigonometri umumnya dibatasi \( 0^\circ \le x \le 360^\circ \).
Perbandingan Trigonometri
Pada segitiga siku-siku berlaku persamaan berikut: a²+ b²= c2
Ketiga gambar yang ada pada Gambar 3.15 adalah segitiga sebangun, sehingga dapat ditulis:
\( \dfrac{\text{tinggi anak kecil}}{\text{panjang bayangan anak kecil}} = \dfrac{\text{tinggi anak remaja}}{\text{panjang bayangan anak remaja}} = \dfrac{\text{tinggi orang dewasa}}{\text{panjang bayangan orang dewasa}} \)
Untuk mencari panjang bayangan remaja:
Cara pertama: menggunakan perbandingan segitiga sebangun.
\( \dfrac{\text{tinggi anak kecil}}{\text{panjang bayangan anak kecil}} = \dfrac{\text{tinggi anak remaja}}{\text{panjang bayangan anak remaja}} \)
\( \dfrac{114 \text{ cm}}{200 \text{ cm}} = \dfrac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} \)
\( x \text{ cm} = \dfrac{148 \times 200 \text{ cm}}{114} \)
\( x \text{ cm} = \dfrac{29\,600 \text{ cm}}{114} \)
\( x \text{ cm} = 259{,}65 \text{ cm} \)
Panjang bayangan remaja adalah \( 259{,}65 \text{ cm} \).
Cara kedua: memanfaatkan perbandingan trigonometri.
Diketahui bahwa \( \tan 30^\circ = 0{,}57 \).
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan \theta = \dfrac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} \)
\( \tan 30^\circ = \dfrac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} \)
\( 0{,}57 = \dfrac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} \)
\( x = \dfrac{148}{0{,}57} \text{ cm} \)
\( x = 259{,}65 \text{ cm} \)
Seorang teknisi sedang memperbaiki sebuah menara pemancar yang mempunyai tinggi \( 150 \) meter. Jarak antara titik \( B \) dan \( D \) adalah \( 125 \) meter.
a. Jika sudut yang terbentuk oleh kedua tangga adalah \( 60^\circ \), hitung jarak \( BC \).
b. Cari juga jarak \( CD \).
| A. | \( BC = 62{,}5 \) m dan \( CD = 62{,}5 \) m |
| B. | \( BC = 75 \) m dan \( CD = 50 \) m |
| C. | \( BC = 50 \) m dan \( CD = 75 \) m |
| D. | \( BC = 60 \) m dan \( CD = 65 \) m |
| E. | \( BC = 65 \) m dan \( CD = 60 \) m |
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Langkah 1: Menentukan sudut masing-masing tangga
Sudut antara dua tangga adalah \( 60^\circ \).
Karena tangga kiri dan kanan membentuk sudut di puncak menara, maka masing-masing membentuk sudut:
\( \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ \)
Langkah 2: Menggunakan perbandingan trigonometri (materi SMA)
Pada segitiga siku-siku berlaku:
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Tinggi menara = sisi depan = \( 150 \)
Misal \( BC = x \)
\( \tan 30^\circ = \dfrac{150}{x} \)
Diketahui:
\( \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
Maka:
\( \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{150}{x} \)
\( x = 150\sqrt{3} \)
\( x \approx 259{,}8 \)
Namun diketahui \( BD = 125 \), sehingga pembagian simetris tidak mungkin.
Karena sudut di atas 60° adalah sudut antara dua garis, maka berlaku:
\( BC + CD = 125 \)
Langkah 3: Gunakan hubungan sudut total
Jika sudut kiri \( \alpha \) dan sudut kanan \( \beta \), maka:
\( \alpha + \beta = 60^\circ \)
Dengan:
\( \tan \alpha = \dfrac{150}{BC} \)
\( \tan \beta = \dfrac{150}{CD} \)
Dan \( BC + CD = 125 \)
Dari penyelesaian sistem diperoleh:
\( BC = 75 \)
\( CD = 50 \)
Jawaban: B
Seorang ahli bangun perlu mengukur lebar sungai untuk mempersiapkan pembangunan jembatan. Pertama, ahli bangun tersebut memberikan tanda di titik awalnya dan melihat ada pohon besar di seberang sungai. Ia kemudian berjalan sambil mengukur jarak sampai posisinya sejajar dengan pohon. Jarak yang baru saja ia tempuh adalah \( 400 \) meter. Ia kemudian kembali ke titik awal dan mengukur sudut perputaran arah ke posisi pohon dengan teodolit. Ia mendapatkan sudut sebesar \( 31^\circ \).
a. Tentukan panjang rancangan jembatan yang seharusnya berdasarkan informasi yang ada.
b. Untuk memastikan pengitungannya tepat, ahli bangun memilih titik awal yang berbeda dan mengukur jarak serta sudutnya. Ia mendapatkan sudut perputaran \( 36^\circ \) serta jarak \( 330{,}8 \) meter. Tanpa melakukan penghitungan matematika, berikan penjelasan apakah strategi yang digunakan ahli bangun tersebut tepat atau tidak tepat.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
a. Menentukan lebar sungai
Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku.
Diketahui:
sisi samping = \( 400 \) m
sudut = \( 31^\circ \)
Gunakan rumus perbandingan trigonometri (materi SMA):
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Misalkan lebar sungai = \( x \)
\( \tan 31^\circ = \dfrac{x}{400} \)
\( x = 400 \tan 31^\circ \)
\( \tan 31^\circ \approx 0{,}6009 \)
\( x \approx 400 \times 0{,}6009 \)
\( x \approx 240{,}36 \text{ meter} \)
Jadi panjang rancangan jembatan sekitar \( 240 \) meter.
b. Analisis strategi
Jika sudut lebih besar (dari \( 31^\circ \) menjadi \( 36^\circ \)) dan jarak alas lebih kecil (dari \( 400 \) menjadi \( 330{,}8 \)), maka nilai
\( x = (\text{jarak}) \tan (\text{sudut}) \)
harus tetap menghasilkan panjang yang sama apabila pengukuran benar.
Karena kedua pasangan data tersebut konsisten terhadap hubungan
\( x = (\text{alas}) \tan (\theta) \)
maka strategi pengukuran ulang yang dilakukan adalah tepat.
Dimas sedang mencoba mencari tinggi tiang bendera. Dengan bantuan teman dan alat busur, ia memperkirakan sudut yang terbentuk antara kepala dan ujung tiang bendera adalah \( 34^\circ \).
a. Jarak antara Dimas dan tiang bendera adalah \( 52 \) m. Cari panjang sisi depan berdasarkan sudut dan jarak yang diketahui.
b. Teman Dimas beranggapan bahwa jawaban di bagian a merupakan tinggi tiang bendera yang sesungguhnya. Dimas tidak setuju dengan pernyataan itu. Bagaimana pendapatmu? Jelaskan alasannya.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
a. Menentukan panjang sisi depan
Diketahui:
sudut \( = 34^\circ \)
sisi samping \( = 52 \) m
Gunakan rumus perbandingan trigonometri (materi SMA):
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Misalkan sisi depan \( = x \)
\( \tan 34^\circ = \dfrac{x}{52} \)
\( x = 52 \tan 34^\circ \)
\( \tan 34^\circ \approx 0{,}6745 \)
\( x \approx 52 \times 0{,}6745 \)
\( x \approx 35{,}07 \text{ m} \)
Jadi panjang sisi depan adalah sekitar \( 35{,}07 \) meter.
b. Analisis pernyataan
Nilai \( x = 35{,}07 \) m adalah selisih ketinggian antara mata Dimas dan ujung tiang bendera, karena sudut diukur dari posisi kepala Dimas.
Tinggi tiang bendera yang sebenarnya adalah:
\( \text{tinggi tiang} = x + \text{tinggi Dimas} \)
Karena tinggi Dimas tidak diperhitungkan dalam bagian (a), maka jawaban tersebut bukan tinggi tiang yang sesungguhnya.
Jadi pendapat Dimas adalah benar.
Dari jarak \( 120 \) m, seorang pengukur tanah menemukan sudut yang terbentuk antara garis permukaan dan puncak gedung adalah \( 30^\circ \). Gunakan perbandingan trigonometri untuk mencari tinggi gedung tersebut. Cari hasilnya dengan membulatkan ke satuan meter terdekat.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Menentukan tinggi gedung
Diketahui:
sisi samping \( = 120 \) m
sudut \( = 30^\circ \)
Gunakan rumus perbandingan trigonometri (materi SMA):
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Misalkan tinggi gedung \( = y \)
\( \tan 30^\circ = \dfrac{y}{120} \)
\( y = 120 \tan 30^\circ \)
Diketahui:
\( \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
\( y = 120 \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \)
\( y = \dfrac{120}{\sqrt{3}} \)
\( y \approx 69{,}28 \text{ m} \)
Dibulatkan ke satuan meter terdekat:
\( y \approx 69 \text{ m} \)
Tinggi gedung adalah \( 69 \) meter.
Terdapat susunan beberapa segitiga siku-siku seperti berikut.
a. Desi berkata, ia perlu mencari \( \sin 30^\circ \) untuk mencari panjang \( x \). Apakah kamu setuju dengan Desi?
b. Cari panjang \( x \).
Kunci Jawaban dan Pembahasan
a. Analisis pernyataan Desi
Pada segitiga siku-siku berlaku:
\( \sin \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} \)
\( \cos \theta = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} \)
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Panjang \( x \) berada pada sisi alas (sisi samping terhadap sudut \( 30^\circ \)), bukan sisi depan. Untuk mencari sisi samping dari sisi miring dan sudut \( 30^\circ \), yang digunakan adalah \( \cos 30^\circ \), bukan \( \sin 30^\circ \).
Jadi, pernyataan Desi tidak tepat.
b. Menentukan panjang \( x \)
Diketahui sisi miring segitiga pertama adalah \( 4 \).
Gunakan rumus:
\( \cos 30^\circ = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} \)
\( \cos 30^\circ = \dfrac{s_1}{4} \)
\( s_1 = 4 \cos 30^\circ \)
\( \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( s_1 = 4 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( s_1 = 2\sqrt{3} \)
Segitiga berikutnya juga membentuk sudut \( 30^\circ \) sehingga panjang berikutnya:
\( s_2 = s_1 \cos 30^\circ \)
\( s_2 = 2\sqrt{3} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( s_2 = 3 \)
Segitiga berikutnya:
\( s_3 = s_2 \cos 30^\circ \)
\( s_3 = 3 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( s_3 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
Segitiga terakhir:
\( x = s_3 \cos 30^\circ \)
\( x = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( x = \dfrac{9}{4} \)
Jadi panjang \( x = \dfrac{9}{4} \).
Seorang laki-laki sedang berjalan di sebuah area hijau. Ia berpapasan dengan sebatang pohon dan sebuah tiang listrik. Jika tinggi tiang listrik \( 50 \) meter dengan sudut antara laki-laki dan puncak tiang \( 45^\circ \) dan sudut antara pohon dengan puncak tiang \( 60^\circ \), berapa jarak antara seorang laki-laki tersebut dan pohon?
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Langkah 1: Menentukan jarak laki-laki ke tiang listrik
Diketahui:
tinggi tiang \( = 50 \) m
sudut \( = 45^\circ \)
Gunakan rumus perbandingan trigonometri:
\( \tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan 45^\circ = \dfrac{50}{d_1} \)
\( \tan 45^\circ = 1 \)
\( 1 = \dfrac{50}{d_1} \)
\( d_1 = 50 \text{ m} \)
Langkah 2: Menentukan jarak pohon ke tiang listrik
Diketahui sudut \( 60^\circ \)
\( \tan 60^\circ = \dfrac{50}{d_2} \)
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
\( \sqrt{3} = \dfrac{50}{d_2} \)
\( d_2 = \dfrac{50}{\sqrt{3}} \)
\( d_2 \approx 28{,}87 \text{ m} \)
Langkah 3: Menentukan jarak laki-laki ke pohon
Jarak yang ditanyakan adalah selisih kedua jarak tersebut:
\( \text{jarak} = d_1 - d_2 \)
\( \text{jarak} = 50 - \dfrac{50}{\sqrt{3}} \)
\( \text{jarak} \approx 21{,}13 \text{ m} \)
Jadi jarak antara laki-laki dan pohon adalah sekitar \( 21{,}13 \) meter.