Langkah pertama adalah memahami operasi pembagian dengan pecahan. Membagi suatu bilangan dengan pecahan berarti mengalikan bilangan tersebut dengan kebalikan dari pecahan itu.

Diketahui \( 4 : \frac{1}{2} \). Pecahan \( \frac{1}{2} \) memiliki kebalikan \( 2 \). Maka perhitungannya menjadi:

\( 4 : \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8 \)

Hasil pembagian tersebut sama dengan \( \sqrt{t} \). Jadi diperoleh:

\( \sqrt{t} = 8 \)

Untuk menghilangkan tanda akar, kedua ruas dikuadratkan. Tujuannya agar nilai \( t \) dapat diperoleh secara langsung.

\( (\sqrt{t})^2 = 8^2 \)

Sehingga:

\( t = 64 \)

Jadi, nilai \( t \) adalah \( 64 \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan dari persamaan. Operasi \( 25 - 7 \) harus dihitung terlebih dahulu.

\( 25 - 7 = 18 \)

Sehingga persamaan berubah menjadi:

\( \frac{2}{5} \times p = 18 \)

Agar nilai \( p \) dapat diperoleh, pecahan \( \frac{2}{5} \) harus dihilangkan. Caranya adalah dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan kebalikan dari \( \frac{2}{5} \), yaitu \( \frac{5}{2} \).

\( \frac{5}{2} \times \frac{2}{5} \times p = 18 \times \frac{5}{2} \)

Pada ruas kiri, pecahan \( \frac{5}{2} \) dan \( \frac{2}{5} \) saling menghilangkan sehingga tersisa:

\( p = 18 \times \frac{5}{2} \)

Perkalian tersebut dapat dihitung dengan membagi terlebih dahulu agar lebih mudah:

\( 18 \times \frac{5}{2} = 9 \times 5 = 45 \)

Jadi, nilai \( p \) adalah \( 45 \).

Langkah pertama adalah mengubah pembagian menjadi bentuk perkalian agar lebih mudah diselesaikan. Persamaan \( \sqrt{d} : 10 = \frac{3}{5} \) berarti \( \sqrt{d} \) dibagi dengan \( 10 \).

Agar pembagian dengan \( 10 \) hilang, kedua ruas dikalikan dengan \( 10 \).

\( \sqrt{d} = 10 \times \frac{3}{5} \)

Selanjutnya, hitung perkalian pada ruas kanan. Perkalian dapat disederhanakan dengan membagi terlebih dahulu.

\( 10 \times \frac{3}{5} = 2 \times 3 = 6 \)

Sehingga diperoleh:

\( \sqrt{d} = 6 \)

Untuk menentukan nilai \( d \), tanda akar harus dihilangkan. Caranya adalah dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.

\( (\sqrt{d})^2 = 6^2 \)

Hasilnya:

\( d = 36 \)

Jadi, nilai \( d \) adalah \( 36 \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 9 : 4 \) sama dengan \( \frac{9}{4} \).

Maka persamaan menjadi:

\( b + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)

Selanjutnya, untuk mendapatkan nilai \( b \), bilangan \( \frac{1}{4} \) harus dipindahkan ke ruas kanan. Caranya adalah dengan mengurangkan \( \frac{1}{4} \) pada kedua ruas persamaan.

\( b = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} \)

Karena penyebutnya sama, pengurangan dapat dilakukan langsung pada pembilang.

\( \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} \)

Selanjutnya, sederhanakan pecahan tersebut.

\( \frac{8}{4} = 2 \)

Jadi, nilai \( b \) adalah \( 2 \).

Langkah pertama adalah memahami bentuk pembagian pada ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 3 : \frac{1}{2} \) artinya 3 dibagi dengan \( \frac{1}{2} \).

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{1}{2} \) adalah \( 2 \).

Maka perhitungannya menjadi:

\( 3 : \frac{1}{2} = 3 \times 2 = 6 \)

Sehingga persamaan berubah menjadi:

\( \sqrt{C} = 6 \)

Untuk menentukan nilai \( C \), tanda akar harus dihilangkan. Caranya adalah dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.

\( (\sqrt{C})^2 = 6^2 \)

Hasilnya:

\( C = 36 \)

Jadi, nilai \( C \) adalah \( 36 \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 5 : \frac{1}{4} \) berarti 5 dibagi dengan \( \frac{1}{4} \).

Membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{1}{4} \) adalah \( 4 \).

\( 5 : \frac{1}{4} = 5 \times 4 = 20 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{1}{2} = 20 \)

Langkah berikutnya adalah memindahkan \( \frac{1}{2} \) ke ruas kanan dengan cara mengurangkan \( \frac{1}{2} \) pada kedua ruas.

\( \frac{\sqrt{x}}{3} = 20 - \frac{1}{2} \)

Ubah bilangan 20 ke bentuk pecahan berpenyebut 2 agar mudah dihitung.

\( 20 = \frac{40}{2} \)

Sehingga:

\( \frac{\sqrt{x}}{3} = \frac{40}{2} - \frac{1}{2} = \frac{39}{2} \)

Untuk menghilangkan penyebut 3, kedua ruas dikalikan dengan 3.

\( \sqrt{x} = 3 \times \frac{39}{2} = \frac{117}{2} \)

Langkah terakhir adalah menghilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas.

\( (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{117}{2}\right)^2 \)

Sehingga diperoleh:

\( x = \frac{13689}{4} \)

Jadi, nilai \( x \) adalah \( \frac{13689}{4} \).

Langkah pertama adalah memahami bentuk \( \sqrt{x} : \frac{1}{2} \). Tanda \( : \) berarti pembagian. Jadi bentuk itu berarti \( \sqrt{x} \) dibagi dengan \( \frac{1}{2} \).

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{1}{2} \) adalah \( 2 \). Maka:

\( \sqrt{x} : \frac{1}{2} = \sqrt{x} \times 2 = 2\sqrt{x} \)

Sekarang persamaan menjadi:

\( 2\sqrt{x} - 4 = 5 \)

Agar bentuknya lebih sederhana, pindahkan \(-4\) ke ruas kanan dengan cara menambahkan \( 4 \) pada kedua ruas.

\( 2\sqrt{x} = 5 + 4 \)

\( 2\sqrt{x} = 9 \)

Selanjutnya, agar tinggal \( \sqrt{x} \), bagi kedua ruas dengan \( 2 \).

\( \sqrt{x} = \frac{9}{2} \)

Sekarang kita hilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas. Tujuannya supaya \( x \) muncul tanpa akar.

\( (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 \)

Ruas kiri menjadi \( x \). Ruas kanan dihitung dengan menguadratkan pembilang dan penyebut.

\( x = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4} \)

Jadi, nilai \( x \) adalah \( \frac{81}{4} \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 7 : \frac{1}{2} \) artinya 7 dibagi dengan \( \frac{1}{2} \).

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{1}{2} \) adalah \( 2 \).

Maka:

\( 7 : \frac{1}{2} = 7 \times 2 = 14 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{2}{3} = 14 \)

Langkah berikutnya adalah menghilangkan pecahan yang penyebutnya sama. Karena di ruas kiri keduanya berpenyebut 3, kita bisa menggabungkan menjadi satu pecahan.

\( \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{x} + 2}{3} \)

Maka persamaan berubah menjadi:

\( \frac{\sqrt{x} + 2}{3} = 14 \)

Untuk menghilangkan penyebut 3, kalikan kedua ruas dengan 3.

\( \sqrt{x} + 2 = 14 \times 3 \)

\( \sqrt{x} + 2 = 42 \)

Sekarang pindahkan \( 2 \) ke ruas kanan dengan cara mengurangkan 2 pada kedua ruas.

\( \sqrt{x} = 42 - 2 \)

\( \sqrt{x} = 40 \)

Langkah terakhir adalah menghilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas.

\( (\sqrt{x})^2 = 40^2 \)

Ruas kiri menjadi \( x \). Ruas kanan adalah \( 40^2 \). Hitung tanpa kalkulator dengan cara: \( 40^2 = (4 \times 10)^2 = 4^2 \times 10^2 = 16 \times 100 = 1600 \).

Jadi:

\( x = 1600 \)

Jadi, nilai \( x \) adalah \( 1600 \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 4 : \frac{1}{2} \) artinya 4 dibagi dengan \( \frac{1}{2} \).

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{1}{2} \) adalah \( 2 \).

Maka:

\( 4 : \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( \frac{\sqrt{x}}{5} - \frac{3}{10} = 8 \)

Agar lebih mudah, kita pindahkan \( \frac{3}{10} \) ke ruas kanan. Karena di ruas kiri dikurangkan, maka saat pindah menjadi ditambahkan.

\( \frac{\sqrt{x}}{5} = 8 + \frac{3}{10} \)

Sekarang jumlahkan \( 8 \) dengan \( \frac{3}{10} \). Ubah \( 8 \) menjadi pecahan berpenyebut 10.

\( 8 = \frac{80}{10} \)

Maka:

\( 8 + \frac{3}{10} = \frac{80}{10} + \frac{3}{10} = \frac{83}{10} \)

Sehingga diperoleh:

\( \frac{\sqrt{x}}{5} = \frac{83}{10} \)

Untuk menghilangkan pembagian dengan 5, kalikan kedua ruas dengan 5.

\( \sqrt{x} = 5 \times \frac{83}{10} \)

Sederhanakan dulu agar mudah tanpa kalkulator. Karena \( 5 \) dan \( 10 \) bisa disederhanakan: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

Maka:

\( \sqrt{x} = \frac{83}{2} \)

Langkah terakhir adalah menguadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar.

\( (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{83}{2}\right)^2 \)

Ruas kiri menjadi \( x \). Ruas kanan dihitung dengan menguadratkan pembilang dan penyebut:

\( x = \frac{83^2}{2^2} = \frac{6889}{4} \)

Perhitungan \( 83^2 \) bisa dilakukan tanpa kalkulator dengan cara: \( 83^2 = (80 + 3)^2 = 80^2 + 2 \times 80 \times 3 + 3^2 = 6400 + 480 + 9 = 6889 \).

Jadi, nilai \( x \) adalah \( \frac{6889}{4} \).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ruas kanan. Tanda \( : \) berarti pembagian, sehingga \( 6 : \frac{3}{2} \) artinya 6 dibagi dengan \( \frac{3}{2} \).

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikannya. Kebalikan dari \( \frac{3}{2} \) adalah \( \frac{2}{3} \).

\( 6 : \frac{3}{2} = 6 \times \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( \frac{\sqrt{x}-2}{4} + \frac{1}{2} = 4 \)

Langkah berikutnya adalah memindahkan \( \frac{1}{2} \) ke ruas kanan dengan cara mengurangkan \( \frac{1}{2} \) pada kedua ruas.

\( \frac{\sqrt{x}-2}{4} = 4 - \frac{1}{2} \)

Ubah bilangan 4 ke bentuk pecahan berpenyebut 2 agar mudah dihitung.

\( 4 = \frac{8}{2} \)

Sehingga:

\( 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \)

Maka persamaan berubah menjadi:

\( \frac{\sqrt{x}-2}{4} = \frac{7}{2} \)

Untuk menghilangkan penyebut 4, kalikan kedua ruas dengan 4.

\( \sqrt{x}-2 = 4 \times \frac{7}{2} = 14 \)

Selanjutnya, pindahkan \(-2\) ke ruas kanan dengan cara menambahkan 2 pada kedua ruas.

\( \sqrt{x} = 14 + 2 = 16 \)

Langkah terakhir adalah menghilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas.

\( (\sqrt{x})^2 = 16^2 \)

Karena \( 16^2 = 256 \), maka diperoleh:

\( x = 256 \)

Jadi, nilai \( x \) adalah \( 256 \).

Soal ini lebih sulit karena melibatkan pecahan, pemindahan ruas bertahap, dan akar, namun tetap dapat diselesaikan tanpa kalkulator karena semua bilangan mudah dihitung.

Langkah 1: Gunakan informasi yang diketahui.

Diketahui:

\( f(x,y) = x^2 y^4 \)

\( f(a,b) = 5 \)

Artinya:

\( f(a,b) = a^2 b^4 = 5 \)

Langkah 2: Tentukan \( f(3a,2b) \)

Kita substitusikan \( x = 3a \) dan \( y = 2b \) ke dalam rumus fungsi:

\( f(3a,2b) = (3a)^2 (2b)^4 \)

Hitung satu per satu:

\( (3a)^2 = 9a^2 \)

\( (2b)^4 = 16b^4 \)

Sehingga:

\( f(3a,2b) = 9a^2 \times 16b^4 \)

\( f(3a,2b) = 144a^2 b^4 \)

Langkah 3: Gunakan nilai \( a^2 b^4 = 5 \)

Karena \( a^2 b^4 = 5 \), maka:

\( f(3a,2b) = 144 \times 5 \)

\( f(3a,2b) = 720 \)

Jawaban yang benar adalah (B) 720

Catatan untuk siswa:

Pada soal seperti ini, perhatikan bahwa ketika variabel dikalikan angka, pangkat ikut memengaruhi hasilnya. Angka 3 dipangkatkan 2 menjadi 9, dan angka 2 dipangkatkan 4 menjadi 16. Inilah inti konsep sifat pangkat yang sering muncul pada soal SNBT.

Langkah 1: Gunakan informasi yang diketahui.

Diketahui:

\( g(x,y) = x^3 y^2 \)

\( g(p,q) = 4 \)

Artinya:

\( g(p,q) = p^3 q^2 = 4 \)

Langkah 2: Tentukan \( g(2p,3q) \)

Substitusikan \( x = 2p \) dan \( y = 3q \):

\( g(2p,3q) = (2p)^3 (3q)^2 \)

Hitung masing-masing:

\( (2p)^3 = 8p^3 \)

\( (3q)^2 = 9q^2 \)

Sehingga:

\( g(2p,3q) = 8p^3 \times 9q^2 \)

\( g(2p,3q) = 72p^3 q^2 \)

Langkah 3: Gunakan nilai \( p^3 q^2 = 4 \)

\( g(2p,3q) = 72 \times 4 \)

\( g(2p,3q) = 288 \)

Jawaban yang benar adalah (C) 288

Catatan untuk siswa:

Perhatikan bahwa angka di depan variabel ikut dipangkatkan. Angka 2 dipangkatkan 3 menjadi 8, dan angka 3 dipangkatkan 2 menjadi 9. Kemudian hasilnya dikalikan dengan nilai awal \( p^3 q^2 \).

Langkah 1: Gunakan informasi yang diketahui.

Diketahui:

\( h(x,y) = x^4 y^3 \)

\( h(m,n) = 2 \)

Artinya:

\( m^4 n^3 = 2 \)

Langkah 2: Tentukan \( h(3m,2n) \)

Substitusikan \( x = 3m \) dan \( y = 2n \):

\( h(3m,2n) = (3m)^4 (2n)^3 \)

Hitung masing-masing:

\( (3m)^4 = 81m^4 \)

\( (2n)^3 = 8n^3 \)

Sehingga:

\( h(3m,2n) = 81m^4 \times 8n^3 \)

\( h(3m,2n) = 648m^4 n^3 \)

Langkah 3: Gunakan nilai \( m^4 n^3 = 2 \)

\( h(3m,2n) = 648 \times 2 \)

\( h(3m,2n) = 1296 \)

Jawaban yang benar adalah (D) 1296

Catatan untuk siswa:

Perhatikan bahwa setiap angka di depan variabel harus ikut dipangkatkan sesuai dengan pangkatnya. Inilah kunci utama soal tipe fungsi bentuk pangkat seperti ini.

Langkah 1: Pahami informasi penting pada soal.

Diketahui grafik memiliki titik minimum di \( (1,1) \).

Artinya sumbu simetri parabola adalah garis vertikal \( x = 1 \).

Langkah 2: Gunakan sifat simetri parabola.

Pada parabola, titik-titik yang berjarak sama dari sumbu simetri memiliki nilai fungsi yang sama.

Diketahui \( f(b) = f(3) \).

Kita cari jarak 3 terhadap sumbu simetri \( x = 1 \).

Jaraknya:

\( 3 - 1 = 2 \)

Berarti titik lain yang memiliki nilai fungsi sama harus berjarak 2 satuan ke kiri dari \( x = 1 \).

Maka:

\( 1 - 2 = -1 \)

Langkah 3: Tentukan nilai \( b \)

Jadi nilai \( b \) yang memenuhi adalah:

\( b = -1 \)

Jawaban yang benar adalah (C) \(-1\)

Catatan untuk siswa:

Soal seperti ini menguji pemahaman tentang sumbu simetri parabola. Jika diketahui titik puncak di \( (h,k) \), maka sumbu simetrinya adalah \( x = h \). Titik-titik yang berjarak sama dari garis tersebut akan memiliki nilai fungsi yang sama.

Langkah 1: Gunakan informasi titik minimum.

Diketahui titik minimum berada di \( (1,1) \).

Untuk fungsi kuadrat bentuk umum:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Titik puncak (minimum atau maksimum) memiliki absis:

\( x = -\frac{b}{2a} \)

Langkah 2: Karena semua pilihan memiliki \( a = 1 \)

Maka rumus absis puncak menjadi:

\( x = -\frac{b}{2} \)

Kita ingin nilai tersebut sama dengan 1.

\( -\frac{b}{2} = 1 \)

\( -b = 2 \)

\( b = -2 \)

Langkah 3: Pilih fungsi dengan koefisien \( b = -2 \)

Pilihan yang sesuai adalah:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 4: Pastikan nilai minimumnya benar-benar 1.

Substitusikan \( x = 1 \):

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + 2 \)

\( f(1) = 1 - 2 + 2 \)

\( f(1) = 1 \)

Sesuai dengan titik minimum \( (1,1) \).

Jawaban yang benar adalah (B) \( x^2 - 2x + 2 \)

Catatan untuk siswa:

Jika diketahui titik puncak parabola dan koefisien \( a \), maka cara tercepat adalah menggunakan rumus \( x = -\frac{b}{2a} \). Ini adalah teknik cepat yang sering muncul dalam soal SNBT.

Langkah 1: Tentukan bentuk fungsi dari informasi puncak.

Titik minimum (puncak) di \( (1,1) \) berarti bentuk puncak parabola adalah:

\( f(x) = a(x-1)^2 + 1 \)

Dari pilihan sebelumnya (dan juga sesuai bentuk grafik yang membuka ke atas), kita peroleh \( a = 1 \), sehingga:

\( f(x) = (x-1)^2 + 1 \)

Jika dikembangkan:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 2: Cari titik pada grafik saat \( x = 3 \).

\( f(3) = 3^2 - 2(3) + 2 \)

\( f(3) = 9 - 6 + 2 \)

\( f(3) = 5 \)

Jadi titiknya adalah \( (3,5) \).

Langkah 3: Cari gradien garis singgung (turunan).

Untuk \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \), turunannya:

\( f'(x) = 2x - 2 \)

Gradien garis singgung di \( x = 3 \):

\( f'(3) = 2(3) - 2 \)

\( f'(3) = 6 - 2 \)

\( f'(3) = 4 \)

Jadi gradien garis singgung \( m = 4 \).

Langkah 4: Tentukan persamaan garis singgung.

Rumus garis melalui titik \( (x_1,y_1) \) dengan gradien \( m \):

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Substitusikan \( (x_1,y_1) = (3,5) \) dan \( m = 4 \):

\( y - 5 = 4(x - 3) \)

\( y - 5 = 4x - 12 \)

\( y = 4x - 7 \)

Jawaban yang benar adalah (A) \( y = 4x - 7 \)

Catatan untuk siswa:

Soal ini “lebih sulit” karena menggabungkan 3 ide: (1) membaca puncak parabola \( (1,1) \), (2) menentukan titik pada grafik saat \( x = 3 \), lalu (3) memakai turunan untuk gradien garis singgung dan menyusun persamaan garis.

Langkah 1: Tentukan fungsi berdasarkan titik minimum.

Titik minimum di \( (1,1) \) berarti bentuk puncaknya:

\( f(x) = (x-1)^2 + 1 \)

Jika dikembangkan:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung di \( x = 3 \).

Turunan fungsi:

\( f'(x) = 2x - 2 \)

Gradien di \( x = 3 \):

\( f'(3) = 2(3) - 2 \)

\( f'(3) = 6 - 2 \)

\( f'(3) = 4 \)

Jadi kemiringan garis singgung adalah 4.

Langkah 3: Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

Karena sejajar, maka gradiennya juga 4.

Bentuk umum garis:

\( y = 4x + c \)

Langkah 4: Karena garis melalui \( (1,1) \)

Substitusikan titik tersebut:

\( 1 = 4(1) + c \)

\( 1 = 4 + c \)

\( c = -3 \)

Persamaan garisnya:

\( y = 4x - 3 \)

Jawaban yang benar adalah (A) \( y = 4x - 3 \)

Catatan untuk siswa:

Garis sejajar selalu memiliki gradien yang sama. Jadi langkah kuncinya adalah mencari gradien garis singgung terlebih dahulu, lalu gunakan rumus garis melalui satu titik.

Langkah 1: Tentukan fungsi dari titik minimum.

Titik minimum di \( (1,1) \) → bentuk puncak:

\( f(x) = (x-1)^2 + 1 \)

Jika dikembangkan:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 2: Tentukan titik saat \( x = 3 \).

\( f(3) = 3^2 - 2(3) + 2 \)

\( f(3) = 9 - 6 + 2 \)

\( f(3) = 5 \)

Titiknya adalah \( (3,5) \).

Langkah 3: Cari gradien garis singgung di \( x = 3 \).

Turunan:

\( f'(x) = 2x - 2 \)

\( f'(3) = 2(3) - 2 = 4 \)

Gradien garis singgung adalah 4.

Langkah 4: Gradien garis tegak lurus.

Jika dua garis tegak lurus:

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Karena gradien singgung \( = 4 \), maka:

\( 4 \cdot m = -1 \)

\( m = -\frac{1}{4} \)

Langkah 5: Susun persamaan garis melalui \( (3,5) \).

Rumus garis:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 5 = -\frac{1}{4}(x - 3) \)

\( y - 5 = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} \)

\( y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} + 5 \)

\( y = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} \)

Jawaban yang benar adalah (A) \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4} \)

Catatan untuk siswa:

Untuk garis tegak lurus, gradiennya adalah negatif kebalikan. Jika gradien awal 4, maka gradien tegak lurusnya adalah \( -\frac{1}{4} \).

Langkah 1: Tentukan fungsi berdasarkan titik minimum.

Titik minimum di \( (1,1) \) → bentuk puncak:

\( f(x) = (x-1)^2 + 1 \)

Kembangkan:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 2: Tentukan titik potong dengan garis \( y = 2x - 1 \).

Karena titik potong berarti nilai \( y \) sama, maka:

\( x^2 - 2x + 2 = 2x - 1 \)

Pindahkan semua ke satu ruas:

\( x^2 - 2x + 2 - 2x + 1 = 0 \)

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Langkah 3: Gunakan rumus jumlah akar persamaan kuadrat.

Untuk persamaan:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Jumlah akar = \( -\frac{b}{a} \)

Di sini \( a = 1 \) dan \( b = -4 \).

Maka jumlah absis kedua titik potong:

\( -\frac{-4}{1} = 4 \)

Jawaban yang benar adalah (B) \( 4 \)

Catatan untuk siswa:

Soal seperti ini menggabungkan konsep grafik, persamaan garis, dan sifat jumlah akar persamaan kuadrat tanpa perlu mencari masing-masing akar secara eksplisit.

Langkah 1: Tentukan bentuk fungsi dari titik minimum.

Titik minimum di \( (1,1) \) → bentuk puncak:

\( f(x) = (x-1)^2 + 1 \)

Kembangkan:

\( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Langkah 2: Tentukan titik potong dengan garis \( y = 1 \).

Titik potong terjadi saat:

\( x^2 - 2x + 2 = 1 \)

Sederhanakan:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

Langkah 3: Tentukan nilai \( x \).

\( x - 1 = 0 \)

\( x = 1 \)

Karena persamaan menghasilkan satu akar kembar, maka garis hanya memotong grafik di satu titik (menyinggung).

Jawaban yang benar adalah (C) \( 1 \)

Catatan untuk siswa:

Jika garis hanya berpotongan di satu titik dengan parabola, maka persamaan yang terbentuk memiliki diskriminan \( = 0 \) atau berbentuk kuadrat sempurna seperti \( (x-1)^2 = 0 \).

Langkah 1: Tentukan ruang sampel.

Total bola = 4 biru + 6 kuning = 10 bola.

Dua bola diambil sekaligus → gunakan kombinasi:

\( \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)

Jadi total kemungkinan = 45.

Langkah 2: Hitung peluang dua bola biru.

\( \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)

Peluang = \( \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \)

Pernyataan (1) menyatakan \( \frac{16}{45} \), maka salah.

Langkah 3: Hitung peluang dua bola kuning.

\( \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)

Peluang = \( \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \)

Pernyataan (3) menyatakan \( \frac{36}{45} \), maka salah.

Langkah 4: Hitung peluang dua bola berbeda warna.

Pilih 1 biru dan 1 kuning:

\( 4 \cdot 6 = 24 \)

Peluang = \( \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \)

Pernyataan (2) menyatakan \( \frac{10}{45} \), maka salah.

Langkah 5: Bandingkan peluang berbeda warna dan dua biru.

\( \frac{24}{45} > \frac{6}{45} \)

Jadi pernyataan (4) benar.

Kesimpulan:

Yang benar hanya (4).

Jawaban yang benar adalah (D)

Catatan untuk siswa:

Karena diambil sekaligus, gunakan kombinasi, bukan peluang berurutan. Perhatikan juga bahwa memilih dua warna berbeda lebih banyak kemungkinannya dibanding dua warna yang sama ketika jumlah masing-masing warna cukup besar.

Langkah 1: Tentukan ruang sampel.

Total kartu = 8.

Dua kartu diambil sekaligus → banyak cara:

\( \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \)

Jadi total kemungkinan = 28.

Langkah 2: Tentukan banyak kartu genap dan ganjil.

Kartu genap: \( 2,4,6,8 \) → 4 kartu.

Kartu ganjil: \( 1,3,5,7 \) → 4 kartu.

Langkah 3: Periksa pernyataan (1).

Dua genap:

\( \binom{4}{2} = 6 \)

Peluang = \( \frac{6}{28} \)

Jadi (1) benar.

Langkah 4: Periksa pernyataan (2).

Dua ganjil:

\( \binom{4}{2} = 6 \)

Peluang seharusnya \( \frac{6}{28} \), bukan \( \frac{4}{28} \).

Jadi (2) salah.

Langkah 5: Periksa pernyataan (3).

Satu genap dan satu ganjil:

\( 4 \cdot 4 = 16 \)

Peluang = \( \frac{16}{28} \)

Jadi (3) benar.

Langkah 6: Periksa pernyataan (4).

Peluang dua genap = \( \frac{6}{28} \)

Peluang dua ganjil = \( \frac{6}{28} \)

Keduanya sama, jadi dua genap tidak lebih besar.

Jadi (4) salah.

Kesimpulan:

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).

Perhatikan pilihan jawaban:

• (A) memuat (2) yang salah
• (B) memuat (4) yang salah
• (C) tidak memuat (1) yang benar
• (D) hanya (3)
• (E) memuat (2) dan (4) yang salah

Tidak ada opsi yang tepat untuk kombinasi (1) dan (3).

Kesimpulan penting:

Dengan data dan pernyataan yang diberikan, hasil yang benar adalah (1) dan (3), tetapi tidak tersedia di pilihan A–E.

Langkah 1: Tentukan ruang sampel.

Total kelereng = 5 merah + 3 hijau = 8 kelereng.

Dua kelereng diambil sekaligus → banyak cara:

\( \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \)

Jadi total kemungkinan = 28.

Langkah 2: Periksa pernyataan (1).

Dua merah:

\( \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Peluang = \( \frac{10}{28} \)

Jadi (1) benar.

Langkah 3: Periksa pernyataan (2).

Dua berbeda warna berarti 1 merah dan 1 hijau.

Banyak cara = \( 5 \cdot 3 = 15 \)

Peluang = \( \frac{15}{28} \)

Jadi (2) benar.

Langkah 4: Periksa pernyataan (3).

Dua hijau:

\( \binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \)

Peluang seharusnya \( \frac{3}{28} \), bukan \( \frac{6}{28} \).

Jadi (3) salah.

Langkah 5: Periksa pernyataan (4).

Peluang berbeda warna = \( \frac{15}{28} \)

Peluang dua merah = \( \frac{10}{28} \)

Karena \( \frac{15}{28} \gt \frac{10}{28} \), maka (4) benar.

Kesimpulan:

Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).

Jawaban yang benar adalah (A)

Catatan untuk siswa:

Karena diambil sekaligus, gunakan kombinasi untuk kasus “dua warna sama”, dan gunakan perkalian \( (merah) \times (hijau) \) untuk kasus “beda warna”.

Kita analisis satu per satu.

(1) \( \sqrt{15 + k^2} \)

Karena \( k \) bilangan bulat, maka \( k^2 \) bilangan bulat ≥ 0.

Coba contoh \( k = 1 \):

\( \sqrt{15 + 1} = \sqrt{16} = 4 \) (bilangan bulat).

Berarti tidak selalu bukan bilangan bulat.

(1) SALAH.

(2) \( \sqrt{\frac{1}{k^2 + 1}} \)

Perhatikan bahwa:

\( k^2 + 1 \ge 1 \)

Maka nilai di dalam akar selalu antara 0 dan 1.

Contoh \( k = 0 \):

\( \sqrt{\frac{1}{1}} = 1 \) (bilangan bulat).

Jadi tidak selalu bukan bilangan bulat.

(2) SALAH.

(3) \( \frac{k - 1}{3} \)

Jika \( k = 4 \):

\( \frac{4 - 1}{3} = 1 \) (bilangan bulat).

Berarti tidak selalu bukan bilangan bulat.

(3) SALAH.

(4) \( \sqrt{\frac{1}{k^2 + 2}} \)

Karena \( k^2 \ge 0 \), maka:

\( k^2 + 2 \ge 2 \)

Sehingga:

\( 0 \lt \frac{1}{k^2 + 2} \le \frac{1}{2} \)

Akar dari bilangan antara 0 dan \( \frac{1}{2} \) pasti kurang dari 1.

Maka tidak mungkin menjadi bilangan bulat.

(4) BENAR.

Kesimpulan:

Yang pasti bukan bilangan bulat hanya (4).

Jawaban yang benar adalah (D)

Catatan untuk siswa:

Kata “pasti” berarti harus berlaku untuk semua nilai \( k \) bilangan bulat. Jika ada satu saja contoh yang membuatnya bilangan bulat, maka pernyataan tersebut tidak memenuhi syarat.

Analisis satu per satu.

(1) \( \sqrt{k^2 + 8} \)

Coba \( k = 1 \):

\( \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \) (bilangan bulat).

Berarti tidak selalu bukan bilangan bulat.

(1) SALAH.

(2) \( \frac{k^2 - 1}{2} \)

Jika \( k \) genap, misal \( k = 2 \):

\( \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} \) (bukan bulat).

Jika \( k \) ganjil, misal \( k = 3 \):

\( \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) (bulat).

Karena ada yang menghasilkan bilangan bulat, maka tidak pasti bukan bulat.

(2) SALAH.

(3) \( \sqrt{\frac{1}{k^2 + 3}} \)

Karena \( k^2 \ge 0 \), maka:

\( k^2 + 3 \ge 3 \)

Sehingga:

\( 0 \lt \frac{1}{k^2 + 3} \le \frac{1}{3} \)

Akar dari bilangan antara 0 dan \( \frac{1}{3} \) pasti kurang dari 1.

Maka tidak mungkin menjadi bilangan bulat.

(3) BENAR.

(4) \( \frac{k(k+1)}{2} \)

Karena salah satu dari \( k \) atau \( k+1 \) pasti genap,

maka \( k(k+1) \) selalu genap.

Sehingga hasil pembagian dengan 2 selalu bilangan bulat.

Berarti tidak pasti bukan bilangan bulat.

(4) SALAH.

Kesimpulan:

Yang pasti bukan bilangan bulat hanya (3).

Jawaban yang benar adalah (C)

Catatan untuk siswa:

Untuk soal seperti ini, perhatikan kata “pasti”. Jika ada satu saja nilai \( k \) yang membuat bentuk tersebut menjadi bilangan bulat, maka pernyataan tersebut tidak memenuhi syarat.

Kata “tidak mungkin” artinya: untuk semua \( k \) bilangan bulat, bentuk tersebut tidak pernah menghasilkan bilangan bulat.

(1) \( \sqrt{k^2 + 12} \)

Coba \( k = 2 \):

\( \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \) (bilangan bulat).

Berarti (1) masih mungkin menjadi bilangan bulat.

(1) SALAH.

(2) \( \sqrt{\frac{1}{k^2 + 4}} \)

Karena \( k^2 \ge 0 \), maka:

\( k^2 + 4 \ge 4 \)

Sehingga:

\( 0 \lt \frac{1}{k^2 + 4} \le \frac{1}{4} \)

Ambil akar:

\( 0 \lt \sqrt{\frac{1}{k^2 + 4}} \le \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

Jadi nilainya selalu \( \lt 1 \) dan tetap positif.

Bilangan bulat yang \( \lt 1 \) adalah \( 0 \) atau bilangan negatif, tetapi nilai ini tidak pernah 0 dan tidak mungkin negatif.

Maka (2) tidak mungkin bilangan bulat.

(2) BENAR.

(3) \( \frac{k+2}{4} \)

Jika \( k = 2 \):

\( \frac{2+2}{4} = 1 \) (bilangan bulat).

Berarti (3) masih mungkin bilangan bulat.

(3) SALAH.

(4) \( \sqrt{16 + k^2} \)

Coba \( k = 0 \):

\( \sqrt{16} = 4 \) (bilangan bulat).

Berarti (4) masih mungkin bilangan bulat.

(4) SALAH.

Kesimpulan:

Yang tidak mungkin merupakan bilangan bulat hanya (2).

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Kalimat “tidak mungkin bilangan bulat” sama kuatnya dengan “tidak pernah bilangan bulat”. Cara cepatnya: tunjukkan nilainya selalu berada di selang \( 0 \lt \text{nilai} \lt 1 \), sehingga mustahil menjadi bilangan bulat.

Langkah 1: Misalkan bilangan yang ditambahkan adalah \( x \).

Rata-rata tiga bilangan adalah:

\( \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + x}{3} = \frac{1}{6} \)

Langkah 2: Hitung jumlah \( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} \).

KPK dari 6 dan 8 adalah 24.

\( \frac{1}{6} = \frac{4}{24} \)

\( \frac{1}{8} = \frac{3}{24} \)

Sehingga:

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24} \)

Langkah 3: Substitusi ke persamaan rata-rata.

\( \frac{\frac{7}{24} + x}{3} = \frac{1}{6} \)

Kalikan kedua ruas dengan 3:

\( \frac{7}{24} + x = \frac{3}{6} \)

\( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Langkah 4: Tentukan nilai \( x \).

\( x = \frac{1}{2} - \frac{7}{24} \)

Ubah \( \frac{1}{2} \) ke penyebut 24:

\( \frac{1}{2} = \frac{12}{24} \)

Maka:

\( x = \frac{12}{24} - \frac{7}{24} \)

\( x = \frac{5}{24} \)

Jawaban yang benar adalah (D) \( \frac{5}{24} \)

Catatan untuk siswa:

Untuk soal rata-rata, gunakan rumus: jumlah dibagi banyak data. Jangan lupa menyamakan penyebut saat menjumlahkan pecahan.

Langkah 1: Misalkan bilangan yang ditambahkan adalah \( x \).

Rata-rata tiga bilangan:

\( \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{10} + x}{3} = \frac{1}{5} \)

Langkah 2: Jumlahkan dua pecahan pertama.

KPK dari 4 dan 10 adalah 20.

\( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \)

\( \frac{1}{10} = \frac{2}{20} \)

Sehingga:

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{7}{20} \)

Langkah 3: Substitusi ke persamaan rata-rata.

\( \frac{\frac{7}{20} + x}{3} = \frac{1}{5} \)

Kalikan kedua ruas dengan 3:

\( \frac{7}{20} + x = \frac{3}{5} \)

Langkah 4: Tentukan nilai \( x \).

Ubah \( \frac{3}{5} \) ke penyebut 20:

\( \frac{3}{5} = \frac{12}{20} \)

Maka:

\( x = \frac{12}{20} - \frac{7}{20} \)

\( x = \frac{5}{20} \)

\( x = \frac{1}{4} \)

Jawaban yang benar adalah \( \frac{1}{4} \)

Catatan untuk siswa:

Strateginya selalu sama: gunakan rumus rata-rata, lalu selesaikan persamaan linear sederhana. Perhatikan proses penyamaan penyebut agar tidak terjadi kesalahan hitung.

Langkah 1: Misalkan bilangan yang ditambahkan adalah \( x \).

Rata-rata tiga bilangan:

\( \frac{\frac{2}{9} + \frac{1}{3} + x}{3} = \frac{1}{3} \)

Langkah 2: Jumlahkan dua pecahan pertama.

Ubah \( \frac{1}{3} \) menjadi penyebut 9:

\( \frac{1}{3} = \frac{3}{9} \)

Maka:

\( \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9} \)

Langkah 3: Substitusi ke persamaan rata-rata.

\( \frac{\frac{5}{9} + x}{3} = \frac{1}{3} \)

Kalikan kedua ruas dengan 3:

\( \frac{5}{9} + x = 1 \)

Langkah 4: Tentukan nilai \( x \).

Ubah 1 menjadi penyebut 9:

\( 1 = \frac{9}{9} \)

Maka:

\( x = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} \)

\( x = \frac{4}{9} \)

Jawaban yang benar adalah (C) \( \frac{4}{9} \)

Catatan untuk siswa:

Jika rata-rata yang diinginkan sama dengan salah satu bilangan awal, maka jumlah seluruh tiga bilangan harus sama dengan tiga kali nilai rata-rata tersebut.

Langkah 1: Integralkan turunan untuk mendapatkan fungsi.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 1 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (3x^2 - 6x + 1)\,dx \)

\( y = x^3 - 3x^2 + x + C \)

dengan \( C \) adalah konstanta.

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui.

Kurva melalui \( (2,-3) \), maka substitusikan \( x = 2 \) dan \( y = -3 \).

\( -3 = 2^3 - 3(2^2) + 2 + C \)

\( -3 = 8 - 12 + 2 + C \)

\( -3 = -2 + C \)

\( C = -1 \)

Langkah 3: Tuliskan persamaan akhirnya.

\( y = x^3 - 3x^2 + x - 1 \)

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Jika diketahui turunan dan satu titik pada kurva, langkahnya selalu: integralkan untuk mendapatkan bentuk umum fungsi, lalu tentukan konstanta dengan mensubstitusi titik yang diberikan.

Langkah 1: Integralkan turunan untuk mendapatkan fungsi.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 2x^2 - 4x + 3 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (2x^2 - 4x + 3)\,dx \)

\( y = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + C \)

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui.

Kurva melalui \( (1,2) \), maka substitusikan \( x = 1 \) dan \( y = 2 \).

\( 2 = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + C \)

\( 2 = \frac{2}{3} - 2 + 3 + C \)

\( 2 = \frac{2}{3} + 1 + C \)

\( 2 = \frac{5}{3} + C \)

\( C = 2 - \frac{5}{3} \)

\( C = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} \)

\( C = \frac{1}{3} \)

Langkah 3: Tuliskan persamaan akhirnya.

\( y = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + \frac{1}{3} \)

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Selalu ingat adanya konstanta \( C \) setelah mengintegralkan. Nilai \( C \) ditentukan dengan memasukkan titik yang dilewati kurva.

Langkah 1: Integralkan turunan.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 6x^2 + 2 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx \)

\( y = x^4 - 2x^3 + 2x + C \)

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui.

Kurva melalui \( (1,3) \), maka substitusikan \( x = 1 \) dan \( y = 3 \).

\( 3 = 1^4 - 2(1)^3 + 2(1) + C \)

\( 3 = 1 - 2 + 2 + C \)

\( 3 = 1 + C \)

\( C = 2 \)

Langkah 3: Persamaan akhirnya.

\( y = x^4 - 2x^3 + 2x + 2 \)

Jawaban yang benar adalah (A)

Catatan untuk siswa:

Langkah standar soal seperti ini: integralkan turunan → dapatkan fungsi umum → masukkan titik untuk mencari konstanta \( C \).

Langkah 1: Cari persamaan kurva dengan mengintegralkan turunan.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 1 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (3x^2 - 6x + 1)\,dx \)

\( y = x^3 - 3x^2 + x + C \)

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui \( (2,-3) \).

Substitusikan \( x = 2 \) dan \( y = -3 \):

\( -3 = 2^3 - 3(2^2) + 2 + C \)

\( -3 = 8 - 12 + 2 + C \)

\( -3 = -2 + C \)

\( C = -1 \)

Sehingga persamaan kurva:

\( y = x^3 - 3x^2 + x - 1 \)

Langkah 3: Cari titik potong dengan sumbu–\( y \).

Titik potong dengan sumbu–\( y \) terjadi saat \( x = 0 \).

\( y = 0^3 - 3(0)^2 + 0 - 1 \)

\( y = -1 \)

Jawaban yang benar adalah (B) \( -1 \)

Catatan untuk siswa:

Titik potong dengan sumbu–\( y \) selalu diperoleh dengan mensubstitusi \( x = 0 \) ke dalam persamaan fungsi.

Langkah 1: Integralkan turunan untuk mendapatkan fungsi.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 2x^2 - 4x + 5 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (2x^2 - 4x + 5)\,dx \)

\( y = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C \)

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui \( (1,4) \).

Substitusikan \( x = 1 \) dan \( y = 4 \):

\( 4 = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C \)

\( 4 = \frac{2}{3} - 2 + 5 + C \)

\( 4 = \frac{2}{3} + 3 + C \)

\( 4 = \frac{11}{3} + C \)

\( C = 4 - \frac{11}{3} \)

\( C = \frac{12}{3} - \frac{11}{3} \)

\( C = \frac{1}{3} \)

Maka persamaan kurva:

\( y = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + \frac{1}{3} \)

Langkah 3: Cari titik potong dengan sumbu–\( y \).

Titik potong dengan sumbu–\( y \) terjadi saat \( x = 0 \).

\( y = \frac{1}{3} \)

Jawaban yang benar adalah \( \frac{1}{3} \)

Catatan untuk siswa:

Untuk mencari titik potong dengan sumbu–\( y \), cukup substitusikan \( x = 0 \). Nilai tersebut sama dengan konstanta \( C \) pada fungsi yang sudah ditemukan.

Langkah 1: Integralkan turunan untuk mendapatkan fungsi.

Diketahui:

\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x - 3 \)

Integralkan terhadap \( x \):

\( y = \int (3x^2 + 6x - 3)\,dx \)

\( y = x^3 + 3x^2 - 3x + C \)

Langkah 2: Gunakan titik yang diketahui \( (1,2) \).

Substitusikan \( x = 1 \) dan \( y = 2 \):

\( 2 = 1^3 + 3(1)^2 - 3(1) + C \)

\( 2 = 1 + 3 - 3 + C \)

\( 2 = 1 + C \)

\( C = 1 \)

Langkah 3: Cari titik potong dengan sumbu–\( y \).

Titik potong dengan sumbu–\( y \) terjadi saat \( x = 0 \).

\( y = 0^3 + 3(0)^2 - 3(0) + 1 \)

\( y = 1 \)

Ordinat titik potong dengan sumbu–\( y \) adalah \( 1 \).

Jawaban yang benar: tidak ada di opsi (A)–(E).

Catatan untuk siswa:

Ordinat titik potong sumbu–\( y \) selalu diperoleh dengan \( x = 0 \), dan nilainya sama dengan konstanta \( C \) setelah \( C \) ditemukan.

Langkah 1: Rasionalkan penyebut.

\( \frac{6}{2+\sqrt{5}} \)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \( 2-\sqrt{5} \):

\( \frac{6(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \)

Langkah 2: Hitung penyebut.

\( (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 \)

\( = 4 - 5 \)

\( = -1 \)

Langkah 3: Sederhanakan.

\( \frac{6(2-\sqrt{5})}{-1} \)

\( = -6(2-\sqrt{5}) \)

\( = -12 + 6\sqrt{5} \)

Langkah 4: Tentukan \( A \) dan \( B \).

\( A = -12 \)

\( B = 6 \)

Maka:

\( B - A = 6 - (-12) \)

\( = 18 \)

Jawaban yang benar adalah (C)

Catatan untuk siswa:

Untuk bentuk pecahan dengan akar di penyebut, gunakan sekawan. Ingat rumus \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \).

Langkah 1: Rasionalkan penyebut.

\( \frac{8}{3-\sqrt{7}} \)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \( 3+\sqrt{7} \):

\( \frac{8(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} \)

Langkah 2: Hitung penyebut.

\( (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 \)

\( = 9 - 7 \)

\( = 2 \)

Langkah 3: Sederhanakan.

\( \frac{8(3+\sqrt{7})}{2} \)

\( = 4(3+\sqrt{7}) \)

\( = 12 + 4\sqrt{7} \)

Langkah 4: Tentukan \( A \) dan \( B \).

\( A = 12 \)

\( B = 4 \)

Maka:

\( A + B = 12 + 4 \)

\( = 16 \)

Jawaban yang benar adalah (D)

Catatan untuk siswa:

Langkah kunci soal seperti ini adalah mengalikan dengan sekawan agar akar di penyebut hilang.

Langkah 1: Rasionalkan penyebut.

\( \frac{10}{4+\sqrt{6}} \)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \( 4-\sqrt{6} \):

\( \frac{10(4-\sqrt{6})}{(4+\sqrt{6})(4-\sqrt{6})} \)

Langkah 2: Hitung penyebut.

\( (4+\sqrt{6})(4-\sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 \)

\( = 16 - 6 \)

\( = 10 \)

Langkah 3: Sederhanakan.

\( \frac{10(4-\sqrt{6})}{10} \)

\( = 4 - \sqrt{6} \)

Langkah 4: Tentukan \( A \) dan \( B \).

\( A = 4 \)

\( B = -1 \)

Maka:

\( B - A = -1 - 4 \)

\( = -5 \)

Jawaban yang benar adalah (A)

Catatan untuk siswa:

Perhatikan tanda setelah merasionalkan. Jika bentuk akhirnya \( 4 - \sqrt{6} \), maka koefisien \( \sqrt{6} \) adalah \( -1 \).

Langkah 1: Tentukan median kelompok A.

Data A sudah urut: 4, 7, 9, 14.

Banyak data = 4 (genap), maka median adalah rata-rata dua data tengah:

\( \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Jadi median A = 8.

Langkah 2: Gunakan informasi hubungan median.

Diketahui median A = 2 × median B.

\( 8 = 2 \times \text{median B} \)

\( \text{median B} = 4 \)

Langkah 3: Tentukan median kelompok B.

Data B terdiri dari 5 angka: \( m,2,3,9,14 \).

Karena banyak data = 5 (ganjil), median adalah data ke-3 setelah diurutkan.

Data tetap harus berurutan menjadi:

2, 3, \( m \), 9, 14

Agar median = 4, maka nilai tengah (data ke-3) harus 4.

Berarti \( m = 4 \).

Jawaban yang benar adalah (E)

Catatan untuk siswa:

Untuk data ganjil, median adalah nilai tengah setelah diurutkan. Pastikan posisi \( m \) memang berada di urutan tengah.

Langkah 1: Tentukan median kelompok A.

Data A sudah urut: 3, 6, 8, 11.

Banyak data = 4 (genap), maka median adalah rata-rata dua data tengah:

\( \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Jadi median A = 7.

Langkah 2: Gunakan hubungan median.

Diketahui median A = 2 × median B.

\( 7 = 2 \times \text{median B} \)

\( \text{median B} = \frac{7}{2} \)

Langkah 3: Tentukan median kelompok B.

Data B terdiri dari 5 angka: \( m,1,4,8,12 \).

Urutkan data tetap:

1, 4, \( m \), 8, 12

Karena banyak data = 5 (ganjil), median adalah data ke-3 setelah diurutkan.

Agar median = \( \frac{7}{2} \), maka:

\( m = \frac{7}{2} \)

Namun \( m \) harus sesuai pilihan jawaban bilangan bulat.

Tidak ada nilai \( m \) pada pilihan yang membuat median B = \( \frac{7}{2} \).

Kesimpulan: Tidak ada pilihan yang memenuhi kondisi.

Langkah 1: Tentukan median kelompok A.

Data A sudah urut: 5, 7, 9, 13.

Banyak data = 4 (genap), maka median adalah rata-rata dua data tengah:

\( \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Jadi median A = 8.

Langkah 2: Gunakan hubungan median.

Diketahui median A = 2 × median B.

\( 8 = 2 \times \text{median B} \)

\( \text{median B} = 4 \)

Langkah 3: Tentukan median kelompok B.

Data B terdiri dari 5 angka: \( m,2,6,9,15 \).

Urutkan data tetap:

2, 6, \( m \), 9, 15

Karena banyak data = 5 (ganjil), median adalah data ke-3 setelah diurutkan.

Agar median = 4, maka nilai tengah harus 4.

Berarti \( m = 4 \).

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Untuk data ganjil, median adalah nilai tengah setelah diurutkan. Pastikan nilai \( m \) memang berada di posisi tengah agar menjadi median yang diinginkan.

Langkah 1: Ubah persamaan agar \( a \) dinyatakan dalam \( b \).

Diketahui:

\( a + \frac{148}{b} = 37 \)

Maka:

\( a = 37 - \frac{148}{b} \)

Langkah 2: Samakan penyebut.

\( a = \frac{37b - 148}{b} \)

Perhatikan bahwa:

\( 148 = 37 \times 4 \)

Sehingga:

\( a = \frac{37b - 37 \cdot 4}{b} \)

\( a = \frac{37(b-4)}{b} \)

Langkah 3: Hitung \( \frac{37}{a} \).

\( \frac{37}{a} = \frac{37}{\frac{37(b-4)}{b}} \)

Membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan kebalikannya:

\( \frac{37}{a} = 37 \times \frac{b}{37(b-4)} \)

Sederhanakan 37:

\( \frac{37}{a} = \frac{b}{b-4} \)

Jawaban yang benar adalah (E)

Catatan untuk siswa:

Perhatikan faktor 148 = 37 × 4 agar bentuk dapat difaktorkan dengan cepat. Ini mempercepat proses penyederhanaan.

Langkah 1: Ubah persamaan agar mudah dipakai.

Diketahui:

\( a + \frac{148}{b} = 37 \)

Pindahkan \( a \) ke kanan:

\( \frac{148}{b} = 37 - a \)

Langkah 2: Bentuk \( 37b - 148 \).

Dari \( \frac{148}{b} = 37 - a \), kalikan kedua ruas dengan \( b \):

\( 148 = b(37 - a) \)

Maka:

\( 37b - 148 = 37b - b(37 - a) \)

\( 37b - 148 = 37b - 37b + ab \)

\( 37b - 148 = ab \)

Langkah 3: Hitung \( \frac{37b}{37b-148} \).

\( \frac{37b}{37b-148} = \frac{37b}{ab} \)

Sederhanakan \( b \) (karena \( b \ne 0 \)):

\( \frac{37b}{ab} = \frac{37}{a} \)

Jawaban yang benar adalah (A)

Catatan untuk siswa:

Trik kuncinya adalah mengubah \( 148 = b(37-a) \), lalu membentuk \( 37b-148 \) agar menjadi \( ab \). Ini teknik manipulasi aljabar yang sering dipakai untuk “menghilangkan” pecahan.

Langkah 1: Ubah persamaan agar \( \frac{148}{b} \) terlihat jelas.

Diketahui:

\( a + \frac{148}{b} = 37 \)

Maka:

\( \frac{148}{b} = 37 - a \)

Langkah 2: Hitung bentuk yang ditanya.

\( \frac{37b-148}{37b} = \frac{37b}{37b} - \frac{148}{37b} \)

\( = 1 - \frac{148}{37b} \)

Langkah 3: Ubah \( \frac{148}{37b} \) menggunakan informasi.

\( \frac{148}{37b} = \frac{1}{37}\cdot\frac{148}{b} \)

Karena \( \frac{148}{b} = 37 - a \), maka:

\( \frac{148}{37b} = \frac{1}{37}(37 - a) \)

\( \frac{148}{37b} = \frac{37-a}{37} \)

Langkah 4: Substitusi ke bentuk yang ditanya.

\( \frac{37b-148}{37b} = 1 - \frac{37-a}{37} \)

\( = \frac{37}{37} - \frac{37-a}{37} \)

\( = \frac{a}{37} \)

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Pola penting: jika ada bentuk \( 37b \pm 148 \), pecah menjadi \( 37b \) lalu sisanya menjadi \( \frac{148}{b} \) agar bisa memakai informasi yang diberikan.

Langkah 1: Gunakan Teorema Dasar Kalkulus.

Karena \( F \) adalah anti turunan dari \( f \), maka:

\( \int_0^1 f(x)\,dx = F(1) - F(0) \)

\( = 16 - 2 \)

\( = 14 \)

Langkah 2: Hitung integral \( g(x) \).

\( g(x) = f(x) + 21x^6 \)

Maka:

\( \int_0^1 g(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^1 21x^6\,dx \)

\( = 14 + 21\int_0^1 x^6\,dx \)

Langkah 3: Hitung \( \int_0^1 x^6\,dx \).

\( \int x^6 dx = \frac{x^7}{7} \)

Maka:

\( \int_0^1 x^6 dx = \frac{1^7}{7} - 0 \)

\( = \frac{1}{7} \)

Sehingga:

\( 21 \cdot \frac{1}{7} = 3 \)

Langkah 4: Tentukan \( m \).

\( m = 14 + 3 \)

\( m = 17 \)

Langkah 5: Bandingkan P dan Q.

\( P = m - 2 = 17 - 2 = 15 \)

\( Q = 17 \)

Maka:

\( 15 < 17 \)

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Gunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk mengubah integral fungsi \( f \) menjadi selisih nilai anti turunannya.

Langkah 1: Gunakan Teorema Dasar Kalkulus.

\( \int_0^2 f(x)\,dx = F(2) - F(0) \)

\( = 9 - 1 \)

\( = 8 \)

Langkah 2: Hitung integral tambahan.

\( \int_0^2 12x^3\,dx \)

\( = 12 \int_0^2 x^3\,dx \)

\( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \)

Maka:

\( \int_0^2 x^3 dx = \frac{2^4}{4} \)

\( = \frac{16}{4} \)

\( = 4 \)

Sehingga:

\( 12 \times 4 = 48 \)

Langkah 3: Tentukan \( m \).

\( m = 8 + 48 \)

\( m = 56 \)

Langkah 4: Bandingkan P dan Q.

\( P = m - 4 = 56 - 4 \)

\( P = 52 \)

\( Q = 16 \)

Jelas:

\( 52 > 16 \)

Jawaban yang benar adalah (A)

Catatan untuk siswa:

Gunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk integral \( f(x) \), lalu hitung integral tambahan secara terpisah dan jumlahkan hasilnya.

Langkah 1: Hitung \( \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \) dengan Teorema Dasar Kalkulus.

\( \int_{-1}^{1} f(x)\,dx = F(1) - F(-1) \)

\( = 11 - 3 \)

\( = 8 \)

Langkah 2: Hitung \( \int_{-1}^{1} 6x^2\,dx \).

\( \int_{-1}^{1} 6x^2\,dx = 6\int_{-1}^{1} x^2\,dx \)

Karena \( x^2 \) fungsi genap, maka:

\( \int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_{0}^{1} x^2\,dx \)

\( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \)

Maka:

\( \int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3} \)

Sehingga:

\( \int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Maka:

\( 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \)

Langkah 3: Tentukan \( m \).

\( m = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{-1}^{1} 6x^2\,dx \)

\( m = 8 + 4 \)

\( m = 12 \)

Langkah 4: Bandingkan P dan Q.

\( P = m - 8 = 12 - 8 = 4 \)

\( Q = 12 \)

Maka:

\( 4 \lt 12 \)

Jawaban yang benar adalah (B)

Catatan untuk siswa:

Untuk batas simetris \( -a \) sampai \( a \), fungsi genap bisa dipercepat dengan mengalikan 2 dari integral 0 sampai \( a \).

Langkah 1: Hitung integral masing-masing suku.

\( \int_0^1 8x\,dx = 8 \int_0^1 x\,dx \)

\( \int x\,dx = \frac{x^2}{2} \)

\( = 8 \cdot \frac{1^2}{2} = 4 \)

\( \int_0^1 Bx^3\,dx = B \int_0^1 x^3\,dx \)

\( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \)

\( = B \cdot \frac{1}{4} = \frac{B}{4} \)

\( \int_0^1 Ax^7\,dx = A \int_0^1 x^7\,dx \)

\( \int x^7 dx = \frac{x^8}{8} \)

\( = A \cdot \frac{1}{8} = \frac{A}{8} \)

Langkah 2: Bentuk persamaan total integral.

\( 4 + \frac{B}{4} + \frac{A}{8} = 14 \)

Diketahui \( B = \frac{A}{2} \).

Substitusi:

\( 4 + \frac{1}{4}\cdot\frac{A}{2} + \frac{A}{8} = 14 \)

\( 4 + \frac{A}{8} + \frac{A}{8} = 14 \)

\( 4 + \frac{2A}{8} = 14 \)

\( 4 + \frac{A}{4} = 14 \)

Langkah 3: Selesaikan untuk \( A \).

\( \frac{A}{4} = 10 \)

\( A = 40 \)

Jawaban yang benar adalah (E)

Catatan untuk siswa:

Hitung integral tiap suku secara terpisah, lalu substitusikan hubungan antara \( A \) dan \( B \) sebelum menyelesaikan persamaan.

Langkah 1: Hitung integral tiap suku pada \( [0,1] \).

\( \int_0^1 6x^2\,dx = 6\int_0^1 x^2\,dx \)

\( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \)

\( = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \)

\( \int_0^1 Bx^4\,dx = B\int_0^1 x^4\,dx \)

\( \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \)

\( = B \cdot \frac{1}{5} = \frac{B}{5} \)

\( \int_0^1 Ax^9\,dx = A\int_0^1 x^9\,dx \)

\( \int x^9 dx = \frac{x^{10}}{10} \)

\( = A \cdot \frac{1}{10} = \frac{A}{10} \)

Langkah 2: Gabungkan sesuai informasi integral.

\( 2 + \frac{B}{5} + \frac{A}{10} = 5 \)

Diketahui \( B = \frac{3A}{2} \), substitusikan:

\( 2 + \frac{1}{5}\cdot\frac{3A}{2} + \frac{A}{10} = 5 \)

\( 2 + \frac{3A}{10} + \frac{A}{10} = 5 \)

\( 2 + \frac{4A}{10} = 5 \)

\( 2 + \frac{2A}{5} = 5 \)

Langkah 3: Selesaikan untuk \( A \).

\( \frac{2A}{5} = 3 \)

\( 2A = 15 \)

\( A = \frac{15}{2} \)

Nilai \( A \) bukan bilangan bulat dan tidak ada di pilihan (A)–(E).

Kesimpulan: Tidak ada pilihan jawaban yang sesuai.

Langkah 1: Hitung integral tiap suku pada \( [0,1] \).

\( \int_0^1 10x\,dx = 10\int_0^1 x\,dx \)

\( \int x\,dx = \frac{x^2}{2} \)

\( = 10\cdot\frac{1}{2} = 5 \)

\( \int_0^1 Bx^3\,dx = B\int_0^1 x^3\,dx \)

\( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \)

\( = B\cdot\frac{1}{4} = \frac{B}{4} \)

\( \int_0^1 Ax^5\,dx = A\int_0^1 x^5\,dx \)

\( \int x^5 dx = \frac{x^6}{6} \)

\( = A\cdot\frac{1}{6} = \frac{A}{6} \)

Langkah 2: Gabungkan sesuai informasi integral.

\( 5 + \frac{B}{4} + \frac{A}{6} = 9 \)

Diketahui \( B = \frac{2A}{3} \), substitusikan:

\( 5 + \frac{1}{4}\cdot\frac{2A}{3} + \frac{A}{6} = 9 \)

\( 5 + \frac{2A}{12} + \frac{A}{6} = 9 \)

\( 5 + \frac{A}{6} + \frac{A}{6} = 9 \)

\( 5 + \frac{2A}{6} = 9 \)

\( 5 + \frac{A}{3} = 9 \)

Langkah 3: Selesaikan untuk \( A \).

\( \frac{A}{3} = 4 \)

\( A = 12 \)

Jawaban yang benar adalah (C)

Catatan untuk siswa:

Jika batas integral \( 0 \) sampai \( 1 \), maka \( \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1} \). Ini mempercepat perhitungan.

Langkah 1: Memahami Informasi Awal

\( z \) adalah bilangan dua angka genap positif.

Artinya:

• \( z \) berada antara 10 sampai 99
• Angka satuannya adalah bilangan genap: 0, 2, 4, 6, atau 8

Analisis Pernyataan (1)

(1) Angka puluhan dan angka satuan dari \( z \), sama.

Analisis Pernyataan (2)

(2) Angka satuan \( z \) sama dengan angka satuan \( z^2 \).

Analisis Gabungan (1) dan (2)

Kesimpulan Akhir

Langkah 1: Informasi Dasar

\( z \) adalah bilangan dua angka genap positif, sehingga angka satuan \( z \) hanya mungkin:

\( 0, 2, 4, 6, 8 \)

Analisis Pernyataan (1)

(1) Angka satuan \( z \) sama dengan angka satuan dari \( z^3 \).

Misalkan angka satuan \( z \) adalah \( d \). Maka angka satuan \( z^3 \) sama dengan angka satuan \( d^3 \).

Kita uji \( d = 0, 2, 4, 6, 8 \).

Yang memenuhi: \( d = 0, 4, 6 \).

Jadi angka satuan \( z \) bisa \( 0 \) atau \( 4 \) atau \( 6 \).

Masih lebih dari satu kemungkinan.

Kesimpulan: Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan (2)

(2) \( z \) habis dibagi \( 4 \).

Bilangan habis dibagi \( 4 \) berarti dua angka terakhirnya habis dibagi \( 4 \).

Tetapi \( z \) hanya dua angka, jadi \( z \) sendiri harus habis dibagi \( 4 \).

Contoh bilangan dua angka genap yang habis dibagi \( 4 \):

\( 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, \dots, 96 \)

Angka satuannya bisa \( 0, 2, 4, 6, 8 \) (tergantung bilangan).

Masih banyak kemungkinan angka satuan.

Kesimpulan: Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Gabungan (1) dan (2)

Dari (1), angka satuan \( z \) hanya mungkin:

\( 0, 4, 6 \)

Kita cek mana dari \( 0, 4, 6 \) yang mungkin terjadi jika \( z \) habis dibagi \( 4 \).

• Jika satuan \( 0 \): contoh \( 20, 40, 60, 80 \) → habis dibagi \( 4 \) kadang iya (misal 20, 40, 60, 80 semua habis dibagi 4? 20 ya, 40 ya, 60 ya, 80 ya). Jadi \( 0 \) mungkin.
• Jika satuan \( 4 \): contoh \( 24, 44, 64, 84 \) → semuanya habis dibagi \( 4 \). Jadi \( 4 \) mungkin.
• Jika satuan \( 6 \): contoh \( 16, 36, 56, 76, 96 \) → semua habis dibagi \( 4 \). Jadi \( 6 \) juga mungkin.

Masih tetap ada tiga kemungkinan: \( 0, 4, 6 \).

Berarti bahkan digabung pun belum bisa menentukan satu angka satuan yang pasti.

Kesimpulan Akhir

Jawaban yang benar adalah:

E

Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Langkah 1: Ide Kunci (Fokus ke angka satuan)

Karena yang ditanya angka satuan \( z \), kita cukup melihat angka satuan saja.

Misalkan angka satuan \( z \) adalah \( d \).

Karena \( z \) genap, maka \( d \in \{0,2,4,6,8\} \).

Analisis Pernyataan (1)

(1) Angka satuan \( z^2 \) adalah \( 4 \).

Artinya angka satuan \( d^2 \) adalah \( 4 \).

Kita cek untuk \( d \in \{0,2,4,6,8\} \):

Yang menghasilkan angka satuan \( 4 \) adalah \( d = 2 \) atau \( d = 8 \).

Jadi dari (1) saja, angka satuan \( z \) bisa \( 2 \) atau \( 8 \).

Kesimpulan: Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan (2)

(2) Angka satuan \( z^2 + z \) adalah \( 2 \).

Artinya angka satuan \( d^2 + d \) adalah \( 2 \).

Kita cek untuk \( d \in \{0,2,4,6,8\} \):

Yang menghasilkan angka satuan \( 2 \) adalah \( d = 6 \) atau \( d = 8 \).

Jadi dari (2) saja, angka satuan \( z \) bisa \( 6 \) atau \( 8 \).

Kesimpulan: Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Gabungan (1) dan (2)

Dari (1): \( d \in \{2,8\} \).

Dari (2): \( d \in \{6,8\} \).

Irisannya adalah:

\( \{2,8\} \cap \{6,8\} = \{8\} \).

Jadi angka satuan \( z \) pasti \( 8 \).

Kesimpulan Akhir

Jawaban yang benar adalah:

C

DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU saja tidak cukup.

Langkah 1: Ubah 21 menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Kita tahu bahwa:

\( 21 = 7 \times 3 \)

Maka:

\( 21^3 = (7 \times 3)^3 \)

Gunakan sifat perpangkatan:

\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

Sehingga:

\( 21^3 = 7^3 \times 3^3 \)

Langkah 2: Substitusi ke soal.

\( 7^3 + 21^3 \)

\( = 7^3 + 7^3 \times 3^3 \)

Langkah 3: Faktorkan \( 7^3 \)

\( 7^3 + 7^3 \times 3^3 \)

\( = 7^3 (1 + 3^3) \)

Langkah 4: Hitung \( 3^3 \)

\( 3^3 = 27 \)

Maka:

\( 7^3 (1 + 27) \)

\( = 7^3 \times 28 \)

Langkah 5: Ubah 28 menjadi bentuk perpangkatan.

\( 28 = 7 \times 4 \)

Dan:

\( 4 = 2^2 \)

Sehingga:

\( 28 = 7 \times 2^2 \)

Langkah 6: Masukkan kembali.

\( 7^3 \times 28 \)

\( = 7^3 \times (7 \times 2^2) \)

\( = 7^4 \times 2^2 \)

Jadi jawaban yang benar adalah:

(E) \( 7^4 \times 2^2 \)

Langkah 1: Ubah \( 18 \) ke bentuk perkalian yang memuat \( 6 \).

\( 18 = 6 \times 3 \)

Maka:

\( 18^3 = (6 \times 3)^3 \)

Gunakan sifat:

\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

Sehingga:

\( 18^3 = 6^3 \times 3^3 \)

Langkah 2: Substitusi ke ekspresi.

\( 6^3 + 18^3 = 6^3 + 6^3 \times 3^3 \)

Langkah 3: Faktorkan \( 6^3 \).

\( 6^3 + 6^3 \times 3^3 = 6^3(1 + 3^3) \)

Langkah 4: Hitung \( 3^3 \).

\( 3^3 = 27 \)

Maka:

\( 6^3(1 + 27) = 6^3 \times 28 \)

Langkah 5: Ubah \( 28 \) ke bentuk perpangkatan.

\( 28 = 4 \times 7 \)

\( 4 = 2^2 \)

Jadi:

\( 28 = 2^2 \times 7 \)

Langkah 6: Masukkan kembali.

\( 6^3 \times 28 = 6^3 \times (2^2 \times 7) \)

\( = 6^3 \times 2^2 \times 7 \)

Jadi jawaban yang benar adalah:

(C) \( 6^3 \times 2^2 \times 7 \)

Langkah 1: Ubah \( 15 \) menjadi bentuk yang memuat \( 5 \).

\( 15 = 5 \times 3 \)

Maka:

\( 15^3 = (5 \times 3)^3 \)

Gunakan sifat perpangkatan:

\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

Sehingga:

\( 15^3 = 5^3 \times 3^3 \)

Langkah 2: Substitusi ke soal.

\( 5^3 + 15^3 = 5^3 + 5^3 \times 3^3 \)

Langkah 3: Faktorkan \( 5^3 \).

\( 5^3 + 5^3 \times 3^3 = 5^3 (1 + 3^3) \)

Langkah 4: Hitung \( 3^3 \).

\( 3^3 = 27 \)

Maka:

\( 5^3 (1 + 27) = 5^3 \times 28 \)

Langkah 5: Ubah \( 28 \) ke bentuk perkalian berpangkat.

\( 28 = 4 \times 7 \)

\( 4 = 2^2 \)

Sehingga:

\( 28 = 2^2 \times 7 \)

Langkah 6: Masukkan kembali.

\( 5^3 \times 28 = 5^3 \times 2^2 \times 7 \)

Jadi jawaban yang benar adalah:

(E) \( 5^3 \times 2^2 \times 7 \)

Ide utama: Matriks “tidak punya invers” artinya determinannya nol, yaitu \( \det(N) = 0 \).

Langkah 1: Hitung \( \det(N) \).

\( N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{pmatrix} \)

Kurangi baris kedua dengan baris pertama, dan baris ketiga dengan baris pertama (ini tidak mengubah kondisi “determinannya nol” karena kita tetap menghitung determinan dengan operasi baris yang setara untuk memudahkan):

\( R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow (0,\;1,\;k-1) \)

\( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \Rightarrow (0,\;3,\;k^2-1) \)

Sehingga bentuknya menjadi:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k-1 \\ 0 & 3 & k^2-1 \end{pmatrix} \)

Karena kolom pertama sudah \( (1,0,0) \), determinan menjadi determinan submatriks \( 2 \times 2 \) di kanan-bawah:

\( \det(N) = \det\begin{pmatrix} 1 & k-1 \\ 3 & k^2-1 \end{pmatrix} \)

\( = 1\cdot (k^2-1) - 3\cdot (k-1) \)

\( = k^2 - 1 - 3k + 3 \)

\( = k^2 - 3k + 2 \)

\( = (k-1)(k-2) \)

Langkah 2: Karena tidak punya invers, maka \( \det(N)=0 \).

\( (k-1)(k-2) = 0 \Rightarrow k = 1 \) atau \( k = 2 \).

Langkah 3: Bandingkan P dan Q.

P adalah \( k \), sedangkan Q adalah \( \dfrac{3}{2} \).

Jika \( k = 1 \), maka \( P = 1 \lt \dfrac{3}{2} = Q \) (P \( \lt \) Q).

Jika \( k = 2 \), maka \( P = 2 \gt \dfrac{3}{2} = Q \) (P \( \gt \) Q).

Kesimpulan: Hubungan P dan Q bisa berbeda tergantung nilai \( k \). Jadi informasinya belum cukup untuk menentukan satu hubungan yang pasti.

Jawaban: (D)

Ide utama: Matriks tidak punya invers berarti \( \det(M) = 0 \).

\( M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & k & 3 \\ 1 & k^2 & 9 \end{pmatrix} \)

Langkah 1: Sederhanakan dengan operasi baris.

\( R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow (0,\;k-2,\;2) \)

\( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \Rightarrow (0,\;k^2-2,\;8) \)

Sehingga menjadi:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & k-2 & 2 \\ 0 & k^2-2 & 8 \end{pmatrix} \)

Karena kolom pertama sudah \( (1,0,0) \), maka:

\( \det(M) = \det\begin{pmatrix} k-2 & 2 \\ k^2-2 & 8 \end{pmatrix} \)

Langkah 2: Hitung determinan \( 2 \times 2 \).

\( \det = (k-2)(8) - 2(k^2-2) \)

\( = 8k -16 -2k^2 +4 \)

\( = -2k^2 +8k -12 \)

\( = -2(k^2 -4k +6) \)

Langkah 3: Karena tidak punya invers, maka \( \det(M)=0 \).

\( -2(k^2 -4k +6)=0 \Rightarrow k^2 -4k +6=0 \)

Hitung diskriminan:

\( D = (-4)^2 -4(1)(6) \)

\( =16 -24 \)

\( = -8 \)

Karena \( D \lt 0 \), tidak ada solusi real untuk \( k \).

Artinya tidak ada nilai real \( k \) yang membuat matriks tidak punya invers.

Karena kondisi soal tidak mungkin terjadi pada bilangan real, maka kita tidak bisa membandingkan P dan Q secara pasti.

Jawaban: (D)

Ide utama: Matriks tidak punya invers berarti determinannya nol, yaitu \( \det(N)=0 \).

\( N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & k \\ 1 & 9 & k^2 \end{pmatrix} \)

Langkah 1: Sederhanakan determinan dengan operasi baris.

Kurangi baris kedua dengan baris pertama, dan baris ketiga dengan baris pertama:

\( R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow (0,\;2,\;k-1) \)

\( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \Rightarrow (0,\;8,\;k^2-1) \)

Sehingga menjadi:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & k-1 \\ 0 & 8 & k^2-1 \end{pmatrix} \)

Karena kolom pertama sudah \( (1,0,0) \), maka:

\( \det(N) = \det\begin{pmatrix} 2 & k-1 \\ 8 & k^2-1 \end{pmatrix} \)

Langkah 2: Hitung determinan \( 2 \times 2 \).

\( \det(N) = 2(k^2-1) - 8(k-1) \)

\( = 2(k-1)(k+1) - 8(k-1) \)

\( = (k-1)\big(2(k+1) - 8\big) \)

\( = (k-1)(2k - 6) \)

\( = 2(k-1)(k-3) \)

Langkah 3: Karena tidak punya invers, maka \( \det(N)=0 \).

\( 2(k-1)(k-3)=0 \Rightarrow k=1 \) atau \( k=3 \).

Langkah 4: Bandingkan P dan Q.

P adalah \( k \), sedangkan Q adalah \( 2 \).

Jika \( k=1 \), maka \( P=1 \lt 2=Q \) (P \( \lt \) Q).

Jika \( k=3 \), maka \( P=3 \gt 2=Q \) (P \( \gt \) Q).

Kesimpulan: Hubungan P dan Q tidak tunggal karena \( k \) bisa \( 1 \) atau \( 3 \). Maka informasi belum cukup untuk menentukan satu hubungan yang pasti.

Jawaban: (D)

Konsep penting:

Jika suatu segiempat memiliki lingkaran dalam (menyinggung keempat sisinya), maka berlaku sifat:

\( AB + CD = BC + AD \)

Ini disebut sifat segiempat tali busur dengan lingkaran dalam.

Diketahui:

\( AB = 27 \) cm

\( CD = 35 \) cm

Maka:

\( AB + CD = 27 + 35 = 62 \)

Karena berlaku sifat:

\( AB + CD = BC + AD \)

Maka:

\( BC + AD = 62 \)

Langkah terakhir: hitung keliling.

Keliling \( = AB + BC + CD + AD \)

\( = (AB + CD) + (BC + AD) \)

\( = 62 + 62 \)

\( = 124 \) cm

Jadi jawaban yang benar adalah:

(C) 124 cm

Langkah 1: Pahami arti sudut 90°.

Karena ∠TDA = 90°, maka TD tegak lurus DA.

Karena ∠TDC = 90°, maka TD tegak lurus DC.

Artinya TD tegak lurus bidang alas ABCD.

Jadi TD adalah tinggi limas.

Langkah 2: Gunakan rumus luas segitiga.

Luas ΔTDA = \( \dfrac{1}{2} \times TD \times DA \)

Diketahui luas ΔTDA = 3, maka:

\( \dfrac{1}{2} \times TD \times DA = 3 \)

\( TD \times DA = 6 \) ...(1)

Luas ΔTDC = \( \dfrac{1}{2} \times TD \times DC \)

Diketahui luas ΔTDC = 6, maka:

\( \dfrac{1}{2} \times TD \times DC = 6 \)

\( TD \times DC = 12 \) ...(2)

Langkah 3: Gunakan luas alas.

Luas persegi panjang ABCD = \( DA \times DC = 8 \)

Langkah 4: Misalkan TD = h.

Dari (1):

\( DA = \dfrac{6}{h} \)

Dari (2):

\( DC = \dfrac{12}{h} \)

Substitusi ke luas alas:

\( DA \times DC = 8 \)

\( \dfrac{6}{h} \times \dfrac{12}{h} = 8 \)

\( \dfrac{72}{h^2} = 8 \)

\( 72 = 8h^2 \)

\( h^2 = 9 \)

\( h = 3 \)

Langkah 5: Hitung volume limas.

Volume limas:

\( V = \dfrac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi} \)

\( V = \dfrac{1}{3} \times 8 \times 3 \)

\( V = 8 \)

Jadi jawaban yang benar adalah:

(B) 8