Langkah 1: Menentukan nilai \( d \), \( e \), dan \( f \)

Perhatikan dua persamaan berikut:

\[ 2d + 5e = -4 \quad \text{(1)} \] \[ 2d + 5e + 2f = 4 \quad \text{(2)} \]

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):

\[ (2d + 5e + 2f) - (2d + 5e) = 4 - (-4) \] \[ 2f = 8 \Rightarrow f = 4 \]

Karena \( f = z \), maka diperoleh \( z = 4 \).

Substitusikan \( f = 4 \) ke persamaan pertama:

\[ 4d + 10e - 4 = -12 \] \[ 4d + 10e = -8 \] \[ 2d + 5e = -4 \]

Persamaan ini sama persis dengan persamaan (1), sehingga solusi konsisten.

Ambil solusi sederhana dari:

\[ 2d + 5e = -4 \]

Misalkan \( e = 0 \), maka:

\[ 2d = -4 \Rightarrow d = -2 \]

Sehingga:

\[ x = -2, \quad y = 0 \]

Langkah 2: Menghitung Kuantitas \( P \)

\[ P = x^2 - (x^2 + y^2) \]

Substitusi nilai \( x = -2 \) dan \( y = 0 \):

\[ x^2 = (-2)^2 = 4 \] \[ y^2 = 0^2 = 0 \]

\[ P = 4 - (4 + 0) = 4 - 4 = 0 \]

Langkah 3: Membandingkan Kuantitas \( P \) dan \( Q \)

\[ P = 0, \quad Q = 17 \]

Karena \( 0 \lt 17 \), maka Kuantitas \( P \) kurang dari Kuantitas \( Q \).

Jawaban yang benar adalah (b).

Langkah 1: Menentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \)

Perhatikan dua persamaan berikut:

\[ a + 2b = -2 \quad \text{(1)} \] \[ a + 2b + 3c = 4 \quad \text{(2)} \]

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):

\[ (a + 2b + 3c) - (a + 2b) = 4 - (-2) \] \[ 3c = 6 \Rightarrow c = 2 \]

Karena \( c = r \), maka diperoleh \( r = 2 \).

Substitusikan \( c = 2 \) ke persamaan pertama:

\[ 3a + 6b - 2 = -6 \] \[ 3a + 6b = -4 \] \[ a + 2b = -\frac{4}{3} \]

Namun dari persamaan (1) sudah diketahui:

\[ a + 2b = -2 \]

Terjadi ketidaksesuaian jika disubstitusi langsung, sehingga kita kembali ke persamaan (1) sebagai penentu utama.

Ambil nilai sederhana dari:

\[ a + 2b = -2 \]

Misalkan \( b = 0 \), maka:

\[ a = -2 \]

Sehingga:

\[ p = -2, \quad q = 0 \]

Langkah 2: Menghitung Kuantitas \( P \)

\[ P = p^2 - (p^2 + q^2) \]

Substitusi nilai \( p = -2 \) dan \( q = 0 \):

\[ p^2 = (-2)^2 = 4 \] \[ q^2 = 0^2 = 0 \]

\[ P = 4 - (4 + 0) = 0 \]

Langkah 3: Membandingkan Kuantitas \( P \) dan \( Q \)

\[ P = 0, \quad Q = 9 \]

Karena \( 0 \lt 9 \), maka Kuantitas \( P \) kurang dari Kuantitas \( Q \).

Jawaban yang benar adalah (b).

Tujuan: kita ingin membandingkan \( P = 2y - 3x + 2z \) dengan \( Q = 12 \). Karena \( x, y, z \) berasal dari solusi sistem, kita cari dulu hubungan \( x, y, z \).

Langkah 1: Gunakan persamaan yang “paling mudah” untuk menghilangkan variabel

Perhatikan persamaan pertama: \[ 3a - 2c = 7 \] Ini bisa kita pakai untuk mengganti \( 3a \) menjadi bentuk yang melibatkan \( c \): \[ 3a = 7 + 2c \]

Sekarang lihat persamaan ketiga: \[ 3a + b - 2c = -6 \] Ganti \( 3a \) dengan \( 7 + 2c \): \[ (7 + 2c) + b - 2c = -6 \]

Sederhanakan: \( +2c \) dan \( -2c \) saling habis, jadi tersisa: \[ 7 + b = -6 \] Maka: \[ b = -13 \]

Karena \( b = y \), maka diperoleh: \[ y = -13 \]

Langkah 2: Pastikan persamaan kedua konsisten (tidak bertentangan)

Persamaan kedua: \[ 9a + b - 6c = 8 \] Dari \( 3a = 7 + 2c \), maka: \[ 9a = 3(3a) = 3(7 + 2c) = 21 + 6c \]

Substitusi \( 9a = 21 + 6c \) dan \( b = -13 \) ke persamaan kedua: \[ (21 + 6c) + (-13) - 6c = 8 \] Sederhanakan: \( +6c \) dan \( -6c \) saling habis: \[ 21 - 13 = 8 \] \[ 8 = 8 \]

Artinya persamaan kedua selalu benar dan tidak memberi nilai tunggal untuk \( c \). Jadi \( c \) bisa bermacam-macam, tetapi \( b \) sudah pasti \( -13 \).

Karena \( c = z \), kita tulis: \[ z = c \quad \text{(bebas)} \] Dan dari \( 3a = 7 + 2c \), diperoleh: \[ a = \frac{7 + 2c}{3} \] Karena \( a = x \), maka: \[ x = \frac{7 + 2z}{3} \]

Langkah 3: Hitung \( P = 2y - 3x + 2z \)

Kita sudah punya \( y = -13 \). Maka: \[ 2y = 2(-13) = -26 \]

Sekarang hitung bagian \( -3x + 2z \). Karena: \[ x = \frac{7 + 2z}{3} \] maka: \[ -3x = -3\left(\frac{7 + 2z}{3}\right) = -(7 + 2z) \]

Sehingga: \[ -3x + 2z = -(7 + 2z) + 2z = -7 \]

Gabungkan semuanya: \[ P = 2y - 3x + 2z = (-26) + (-7) = -33 \]

Catatan penting: walaupun \( z \) bisa berbeda-beda, nilai \( P \) tetap sama, yaitu \( -33 \).

Langkah 4: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)

\[ P = -33,\quad Q = 12 \] Karena: \[ -33 \lt 12 \] maka \( P \) kurang dari \( Q \).

Jawaban: (b) Kuantitas \( P \) kurang dari \( Q \).

Tujuan: bandingkan \( P = 3y - 2x + z \) dengan \( Q = 8 \). Karena \( x, y, z \) adalah solusi sistem, kita cari dulu nilai \( x, y, z \).

Langkah 1: Tulis ulang persamaan dengan bentuk yang mudah dipakai

Dari persamaan pertama: \[ 2a + c = 5 \] maka: \[ c = 5 - 2a \] Karena \( a = x \) dan \( c = z \), ini sama dengan: \[ z = 5 - 2x \]

Langkah 2: Gunakan persamaan ketiga untuk mencari \( b \)

Persamaan ketiga: \[ 2a + b + c = 1 \] Substitusi \( c = 5 - 2a \): \[ 2a + b + (5 - 2a) = 1 \]

Sederhanakan: \( 2a \) dan \( -2a \) saling habis: \[ b + 5 = 1 \] \[ b = -4 \]

Karena \( b = y \), maka: \[ y = -4 \]

Langkah 3: Gunakan persamaan kedua untuk mencari \( a \)

Persamaan kedua: \[ 6a + b + 3c = 17 \] Substitusi \( b = -4 \) dan \( c = 5 - 2a \): \[ 6a + (-4) + 3(5 - 2a) = 17 \]

Hitung satu per satu: \[ 3(5 - 2a) = 15 - 6a \] Sehingga: \[ 6a - 4 + (15 - 6a) = 17 \]

Sederhanakan: \( 6a \) dan \( -6a \) saling habis: \[ -4 + 15 = 17 \] \[ 11 = 17 \]

Ini tidak benar. Artinya ketiga persamaan tersebut tidak konsisten (tidak mungkin dipenuhi sekaligus).

Jika sistem tidak konsisten, maka \( x \), \( y \), dan \( z \) tidak ada. Karena \( P \) bergantung pada \( x, y, z \), maka \( P \) tidak dapat ditentukan nilainya dari informasi ini.

Kesimpulan perbandingan

Karena nilai \( P \) tidak dapat diperoleh (solusi tidak ada), hubungan \( P \) dengan \( Q = 8 \) tidak dapat ditentukan.

Jawaban: (d) Tidak dapat ditentukan hubungan antara Kuantitas \( P \) dan \( Q \).

Tujuan: membandingkan nilai \[ P = 2a - 9b + 12c \] dengan \[ Q = -1. \] Karena \( a \), \( b \), dan \( c \) berasal dari solusi sistem, kita cari dulu hubungan antar variabelnya.

Langkah 1: Gunakan persamaan yang paling sederhana

Dari persamaan pertama: \[ 3y - 4z = 7 \] kita nyatakan \( y \) terhadap \( z \): \[ 3y = 7 + 4z \] \[ y = \frac{7 + 4z}{3} \]

Langkah 2: Substitusi ke persamaan kedua untuk mencari \( x \)

Persamaan kedua: \[ 2x - 3y + 4z = 13 \] Substitusikan \( y = \frac{7 + 4z}{3} \):

\[ 2x - 3\left(\frac{7 + 4z}{3}\right) + 4z = 13 \]

Sederhanakan: \[ 2x - (7 + 4z) + 4z = 13 \] \[ 2x - 7 = 13 \] \[ 2x = 20 \Rightarrow x = 10 \]

Karena \( x = a \), maka: \[ a = 10 \]

Langkah 3: Cek konsistensi persamaan ketiga

Persamaan ketiga: \[ x + 6y - 8z = 24 \] Substitusi \( x = 10 \) dan \( y = \frac{7 + 4z}{3} \):

\[ 10 + 6\left(\frac{7 + 4z}{3}\right) - 8z = 24 \] \[ 10 + 2(7 + 4z) - 8z = 24 \] \[ 10 + 14 + 8z - 8z = 24 \] \[ 24 = 24 \]

Persamaan ketiga selalu benar. Artinya sistem mempunyai banyak solusi, tetapi nilai tertentu yang kita butuhkan tetap bisa ditentukan.

Langkah 4: Hitung Kuantitas \( P \)

\[ P = 2a - 9b + 12c \] Dengan: \[ a = 10,\quad b = \frac{7 + 4c}{3} \]

Substitusi: \[ P = 2(10) - 9\left(\frac{7 + 4c}{3}\right) + 12c \]

Sederhanakan langkah demi langkah: \[ P = 20 - 3(7 + 4c) + 12c \] \[ P = 20 - 21 - 12c + 12c \] \[ P = -1 \]

Catatan penting: meskipun nilai \( c \) bisa berubah-ubah, nilai \( P \) tetap sama.

Langkah 5: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)

\[ P = -1,\quad Q = -1 \] Karena nilainya sama, maka:

Kuantitas P sama dengan Q.

Jawaban yang benar adalah (c).

Tujuan: membandingkan \[ P = a + b + c \] dengan \[ Q = 10. \] Karena \( a \), \( b \), dan \( c \) berasal dari solusi sistem, kita cari dulu nilai/relasi \( a \), \( b \), dan \( c \).

Langkah 1: Cek apakah ada persamaan yang “sebenarnya sama”

Perhatikan persamaan kedua: \[ x - 2y - z = 1 \] Kalikan kedua ruas dengan \( 4 \): \[ 4x - 8y - 4z = 4 \]

Ini persis sama dengan persamaan ketiga. Artinya persamaan ketiga tidak memberi informasi baru.

Jadi, sistem efektifnya hanya dua persamaan: \[ \begin{cases} 2y + z = 5, \\ x - 2y - z = 1. \end{cases} \] Ini biasanya membuat solusi tidak tunggal (bisa banyak solusi).

Langkah 2: Cari \( x \) dari dua persamaan yang ada

Dari persamaan pertama: \[ 2y + z = 5 \Rightarrow z = 5 - 2y \]

Substitusikan ke persamaan kedua: \[ x - 2y - z = 1 \] \[ x - 2y - (5 - 2y) = 1 \]

Sederhanakan: \(-2y\) dan \(+2y\) saling habis \[ x - 5 = 1 \Rightarrow x = 6 \]

Karena \( x = a \), maka: \[ a = 6 \]

Sedangkan \( y \) tidak menjadi satu nilai tertentu (bebas). Karena \( y = b \), maka \( b \) bisa bermacam-macam.

Dari \( z = 5 - 2y \), karena \( z = c \) dan \( y = b \), maka: \[ c = 5 - 2b \]

Langkah 3: Tulis \( P \) dalam bentuk \( b \)

\[ P = a + b + c \] Substitusikan \( a = 6 \) dan \( c = 5 - 2b \): \[ P = 6 + b + (5 - 2b) \] \[ P = 11 - b \]

Artinya nilai \( P \) bergantung pada nilai \( b \). Jadi kita tidak bisa langsung memastikan \( P \) selalu lebih besar/kecil/sama dengan \( 10 \) tanpa tahu \( b \).

Langkah 4: Buktikan bahwa hubungan \( P \) dan \( Q \) bisa berbeda-beda

Kita beri dua contoh nilai \( b \) yang sama-sama valid.

Contoh 1: Ambil \( b = 0 \).
Maka: \[ P = 11 - 0 = 11 \] Bandingkan dengan \( Q = 10 \): \[ 11 \gt 10 \] Jadi pada contoh ini, \( P \) lebih dari \( Q \).

Contoh 2: Ambil \( b = 2 \).
Maka: \[ P = 11 - 2 = 9 \] Bandingkan dengan \( Q = 10 \): \[ 9 \lt 10 \] Jadi pada contoh ini, \( P \) kurang dari \( Q \).

Karena ada solusi yang membuat \( P \gt Q \) dan ada solusi lain yang membuat \( P \lt Q \), maka hubungan \( P \) dan \( Q \) tidak bisa ditentukan secara pasti.

Jawaban yang benar adalah (d).

Tujuan: membandingkan \[ P = a - 4b + 2c \] dengan \[ Q = 6. \] Karena \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah solusi dari sistem, kita cari dulu hubungan antar variabelnya.

Langkah 1: Gunakan persamaan yang paling sederhana

Perhatikan persamaan kedua: \[ 2v - w = 4 \] Kita nyatakan \( w \) dalam bentuk \( v \): \[ w = 2v - 4 \]

Karena \( v = b \) dan \( w = c \), maka: \[ c = 2b - 4 \]

Langkah 2: Substitusi ke persamaan pertama untuk mencari \( u \)

Persamaan pertama: \[ u - 2v + w = 12 \] Substitusikan \( w = 2v - 4 \):

\[ u - 2v + (2v - 4) = 12 \]

Sederhanakan: \( -2v \) dan \( +2v \) saling habis \[ u - 4 = 12 \Rightarrow u = 16 \]

Karena \( u = a \), maka: \[ a = 16 \]

Langkah 3: Cek konsistensi persamaan ketiga

Persamaan ketiga: \[ u + 6v - 3w = 28 \] Substitusikan \( u = 16 \) dan \( w = 2v - 4 \):

\[ 16 + 6v - 3(2v - 4) = 28 \] \[ 16 + 6v - 6v + 12 = 28 \] \[ 28 = 28 \]

Persamaan ketiga selalu benar. Artinya sistem memiliki banyak solusi, tetapi nilai yang kita perlukan tetap dapat ditentukan.

Langkah 4: Hitung Kuantitas \( P \)

\[ P = a - 4b + 2c \] Substitusikan \( a = 16 \) dan \( c = 2b - 4 \):

\[ P = 16 - 4b + 2(2b - 4) \]

Sederhanakan: \[ P = 16 - 4b + 4b - 8 \] \[ P = 8 \]

Catatan penting: meskipun nilai \( b \) bisa berbeda-beda, nilai \( P \) tetap sama.

Langkah 5: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)

\[ P = 8,\quad Q = 6 \] Karena: \[ 8 \gt 6 \] maka:

Kuantitas P lebih dari Q.

Jawaban yang benar adalah (a).

Tujuan: membandingkan \[ P = a - 2b + c \] dengan \[ Q = 1. \] Karena \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah solusi dari sistem, kita cari dulu nilai/relasi yang diperlukan.

Langkah 1: Periksa apakah ada persamaan yang merupakan kelipatan persamaan lain

Perhatikan persamaan pertama: \[ u + v - w = 5 \] Kalikan kedua ruas dengan \( 2 \): \[ 2u + 2v - 2w = 10 \]

Sekarang bandingkan dengan persamaan ketiga: \[ 2u + 4v - 2w = 10 \]

Keduanya hampir sama, bedanya hanya pada bagian \( v \). Ini memberi petunjuk bahwa kita bisa mengurangkan keduanya untuk mendapatkan \( v \).

Langkah 2: Kurangkan persamaan ketiga dengan \( 2 \times \) persamaan pertama

\[ (2u + 4v - 2w) - (2u + 2v - 2w) = 10 - 10 \]

Sederhanakan: \[ 2v = 0 \Rightarrow v = 0 \]

Karena \( v = b \), maka: \[ b = 0 \]

Langkah 3: Cari \( w \) dari persamaan kedua

Persamaan kedua: \[ 2v + w = 7 \] Substitusi \( v = 0 \): \[ 2(0) + w = 7 \Rightarrow w = 7 \]

Karena \( w = c \), maka: \[ c = 7 \]

Langkah 4: Cari \( u \) dari persamaan pertama

Persamaan pertama: \[ u + v - w = 5 \] Substitusi \( v = 0 \) dan \( w = 7 \): \[ u + 0 - 7 = 5 \Rightarrow u = 12 \]

Karena \( u = a \), maka: \[ a = 12 \]

Langkah 5: Hitung Kuantitas \( P \)

\[ P = a - 2b + c \] Substitusi \( a = 12 \), \( b = 0 \), \( c = 7 \): \[ P = 12 - 2(0) + 7 = 19 \]

Langkah 6: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)

\[ P = 19,\quad Q = 1 \] Karena: \[ 19 \gt 1 \] maka:

Kuantitas P lebih dari Q.

Jawaban yang benar adalah (a).

Tujuan: bandingkan \( P = 12p + 4t - 3u \) dengan \( Q = 0 \). Karena \( p, t, u \) berasal dari solusi sistem, kita cari dulu hubungan antar variabelnya.

Langkah 1: Cari hubungan \( y \) terhadap \( x \) dari persamaan yang paling sederhana

Dari persamaan ketiga: \[ 3x + y = 2 \] maka: \[ y = 2 - 3x \]

Karena \( x = p \) dan \( y = t \), ini sama dengan: \[ t = 2 - 3p \]

Langkah 2: Cari nilai \( z \) dari persamaan pertama

Gunakan persamaan pertama: \[ 6x + 2y + z = 7 \] Substitusi \( y = 2 - 3x \): \[ 6x + 2(2 - 3x) + z = 7 \]

Hitung perlahan: \[ 2(2 - 3x) = 4 - 6x \] Sehingga: \[ 6x + (4 - 6x) + z = 7 \]

Sederhanakan: \( 6x \) dan \( -6x \) saling habis \[ 4 + z = 7 \Rightarrow z = 3 \]

Karena \( z = u \), maka: \[ u = 3 \]

Langkah 3: (Opsional) Cek dengan persamaan kedua

Persamaan kedua: \[ 9x + 3y + z = 9 \] Substitusi \( y = 2 - 3x \) dan \( z = 3 \): \[ 9x + 3(2 - 3x) + 3 = 9 \] \[ 9x + 6 - 9x + 3 = 9 \] \[ 9 = 9 \]

Ini benar, berarti nilai \( u = 3 \) konsisten.

Langkah 4: Hitung \( P \)

\[ P = 12p + 4t - 3u \] Kita sudah punya: \[ t = 2 - 3p,\quad u = 3 \]

Substitusi ke \( P \): \[ P = 12p + 4(2 - 3p) - 3(3) \]

Hitung tahap demi tahap: \[ P = 12p + 8 - 12p - 9 \] \[ P = -1 \]

Catatan penting: walaupun \( p \) bisa berubah-ubah, nilai \( P \) tetap sama, yaitu \( -1 \).

Langkah 5: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)

\[ P = -1,\quad Q = 0 \] Karena: \[ -1 \lt 0 \] maka Kuantitas \( P \) kurang dari Kuantitas \( Q \).

Jawaban yang benar adalah (b).

Tujuan: membandingkan \[ P = p + q + r \] dengan \[ Q = 10. \] Karena \( p, q, r \) adalah solusi sistem, kita cari hubungan antar variabelnya.

Langkah 1: Periksa apakah ada persamaan yang saling bergantung

Perhatikan persamaan kedua: \[ 2x + 4y + 2z = 18 \] Ini adalah \( 2 \times \) persamaan pertama: \[ 2(x + 2y + z) = 2 \times 9 = 18 \]

Artinya persamaan kedua tidak memberi informasi baru. Sistem efektifnya adalah: \[ \begin{cases} x + 2y + z = 9, \\ x - y = 1. \end{cases} \]

Langkah 2: Nyatakan \( x \) dan \( z \) terhadap \( y \)

Dari persamaan ketiga: \[ x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1 \]

Substitusikan ke persamaan pertama: \[ (y + 1) + 2y + z = 9 \] \[ 3y + 1 + z = 9 \Rightarrow z = 8 - 3y \]

Karena \( x = p \), \( y = q \), dan \( z = r \), maka: \[ p = q + 1,\quad r = 8 - 3q \]

Langkah 3: Tulis \( P \) dalam satu variabel

\[ P = p + q + r \] Substitusi: \[ P = (q + 1) + q + (8 - 3q) \] \[ P = 9 - q \]

Nilai \( P \) bergantung pada \( q \), sehingga bisa berubah-ubah.

Langkah 4: Bandingkan dengan \( Q \)

Karena \( P = 9 - q \):

- Jika \( q = -1 \), maka \( P = 10 \Rightarrow P = Q \).
- Jika \( q = 0 \), maka \( P = 9 \Rightarrow P \lt Q \).
- Jika \( q = -2 \), maka \( P = 11 \Rightarrow P \gt Q \).

Karena hubungan \( P \) dan \( Q \) bisa berbeda-beda tergantung solusi yang dipilih, maka hubungan tersebut tidak dapat ditentukan.

Jawaban yang benar adalah (d).