No 1
Diberikan dua persamaan lingkaran sebagai berikut:
\( L_1 : x^2 - 2x + y^2 - 6y + 6 = 0 \)
\( L_2 : x^2 - 14x + y^2 + 10y + 58 = 0 \)
Berdasarkan informasi tersebut, manakah di antara pernyataan berikut yang bernilai benar?
(1) \( L_1 \) berpusat di \( P_1(1,3) \)
(2) \( L_2 \) memiliki radius \( 4 \)
(3) Luas \( L_2 \gt \) Luas \( L_1 \)
(4) Jarak terdekat antara \( L_1 \) dan \( L_2 \) adalah \( 4 \)
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Bentuk umum lingkaran:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Pusat lingkaran:
\( \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) \)
Radius:
\( r = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 + \left(\frac{B}{2}\right)^2 - C} \)
Langkah 1: Tentukan pusat dan radius \( L_1 \)
\( x^2 - 2x + y^2 - 6y + 6 = 0 \)
Di sini \( A = -2 \), \( B = -6 \), \( C = 6 \)
Pusat:
\( \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{-6}{2}\right) = (1,3) \)
✔ Pernyataan (1) benar
Radius:
\( r_1 = \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 + \left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 6} \)
\( = \sqrt{1 + 9 - 6} \)
\( = \sqrt{4} = 2 \)
Langkah 2: Tentukan pusat dan radius \( L_2 \)
\( x^2 - 14x + y^2 + 10y + 58 = 0 \)
\( A = -14 \), \( B = 10 \), \( C = 58 \)
Pusat:
\( \left(-\frac{-14}{2}, -\frac{10}{2}\right) = (7,-5) \)
Radius:
\( r_2 = \sqrt{\left(\frac{-14}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2 - 58} \)
\( = \sqrt{49 + 25 - 58} \)
\( = \sqrt{16} = 4 \)
✔ Pernyataan (2) benar
Langkah 3: Bandingkan luas
Rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( r_1 = 2 \Rightarrow L_1 = \pi(2)^2 = 4\pi \)
\( r_2 = 4 \Rightarrow L_2 = \pi(4)^2 = 16\pi \)
Karena \( 16\pi \gt 4\pi \)
✔ Pernyataan (3) benar
Langkah 4: Jarak antar pusat
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{(7-1)^2 + (-5-3)^2} \)
\( = \sqrt{6^2 + (-8)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
Jarak terdekat antar lingkaran:
\( d - r_1 - r_2 \)
\( = 10 - 2 - 4 \)
\( = 4 \)
✔ Pernyataan (4) benar
Karena semua pernyataan benar,
Jawaban: E. SEMUA pilihan benar
No 2
Diberikan dua persamaan lingkaran sebagai berikut:
\( L_1 : x^2 - 2x + y^2 - 6y + 6 = 0 \)
\( L_2 : x^2 - 14x + y^2 + 10y + 58 = 0 \)
Jika terdapat suatu titik \( X(-3,0) \) dan \( P_1 \) serta \( P_2 \) secara berurutan adalah koordinat pusat \( L_1 \) dan \( L_2 \), maka luas dari \( \Delta P_1 P_2 X \) adalah ... satuan.
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah pertama, tentukan pusat masing-masing lingkaran.
Bentuk umum lingkaran:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Pusat:
\( \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) \)
Menentukan pusat \( L_1 \)
\( x^2 - 2x + y^2 - 6y + 6 = 0 \)
\( A = -2 \), \( B = -6 \)
\( P_1 = \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{-6}{2}\right) \)
\( P_1 = (1,3) \)
Menentukan pusat \( L_2 \)
\( x^2 - 14x + y^2 + 10y + 58 = 0 \)
\( A = -14 \), \( B = 10 \)
\( P_2 = \left(-\frac{-14}{2}, -\frac{10}{2}\right) \)
\( P_2 = (7,-5) \)
Sekarang kita punya tiga titik:
\( P_1(1,3) \)
\( P_2(7,-5) \)
\( X(-3,0) \)
Gunakan rumus luas segitiga dengan determinan:
\( L = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \)
Substitusi:
\( L = \frac{1}{2} \left| 1((-5) - 0) + 7(0 - 3) + (-3)(3 - (-5)) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 1(-5) + 7(-3) + (-3)(8) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -5 -21 -24 \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -50 \right| \)
\( = \frac{1}{2} (50) \)
\( = 25 \)
Jadi luas segitiga adalah:
25 satuan
Jawaban yang benar adalah:
B. 25
No 3
Diberikan persamaan lingkaran \( L : x^2 + y^2 + 4x - 10y + 20 = 0 \). Manakah pernyataan berikut yang benar?
(1) Pusat lingkaran \( L \) berada di titik \( (-2,5) \)
(2) Jari-jari lingkaran \( L \) adalah \( 3 \)
(3) Titik \( (1,5) \) terletak tepat pada lingkaran \( L \)
(4) Titik asal \( (0,0) \) berada di dalam lingkaran \( L \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Gunakan metode melengkapkan kuadrat.
Diketahui:
\( x^2 + y^2 + 4x - 10y + 20 = 0 \)
Kelompokkan:
\( (x^2 + 4x) + (y^2 - 10y) + 20 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 \)
\( y^2 - 10y = (y-5)^2 - 25 \)
Substitusi kembali:
\( (x+2)^2 - 4 + (y-5)^2 - 25 + 20 = 0 \)
\( (x+2)^2 + (y-5)^2 - 9 = 0 \)
\( (x+2)^2 + (y-5)^2 = 9 \)
Bentuk baku lingkaran adalah:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Sehingga diperoleh:
Pusat \( = (-2,5) \)
Jari-jari \( r = 3 \)
Kesimpulan sementara:
(1) benar
(2) benar
Langkah 2: Uji titik \( (1,5) \)
Substitusi ke bentuk baku:
\( (1+2)^2 + (5-5)^2 = 3^2 + 0 = 9 \)
Karena hasilnya \( = 9 \) dan \( r^2 = 9 \), maka titik tersebut tepat pada lingkaran.
(3) benar
Langkah 3: Uji titik asal \( (0,0) \)
Substitusi:
\( (0+2)^2 + (0-5)^2 = 4 + 25 = 29 \)
Karena \( 29 \gt 9 \), maka titik berada di luar lingkaran.
(4) salah
Kesimpulan akhir:
(1), (2), dan (3) benar.
Jawaban: A
No 4
Diketahui sebuah titik \( A(4,2) \) dan sebuah lingkaran \( L \) dengan persamaan \( x^2 + y^2 = 10 \).
Manakah pernyataan berikut yang bernilai benar?
(1) Titik \( A \) berada di luar lingkaran \( L \)
(2) Persamaan garis polar titik \( A \) terhadap lingkaran \( L \) adalah \( 2x + y = 5 \)
(3) Panjang garis singgung yang ditarik dari titik \( A \) ke lingkaran adalah \( \sqrt{10} \) satuan
(4) Salah satu titik singgung pada lingkaran adalah \( (1,3) \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan posisi titik terhadap lingkaran
Persamaan lingkaran: \( x^2 + y^2 = 10 \)
Pusat lingkaran di \( (0,0) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{10} \)
Hitung jarak titik \( A(4,2) \) ke pusat:
\( OA = \sqrt{4^2 + 2^2} \)
\( OA = \sqrt{16 + 4} \)
\( OA = \sqrt{20} \)
Karena \( \sqrt{20} \gt \sqrt{10} \), maka titik berada di luar lingkaran.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Menentukan garis polar
Rumus garis polar untuk lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) adalah:
Jika titik \( (x_1,y_1) \), maka garis polar:
\( xx_1 + yy_1 = r^2 \)
Substitusi \( (4,2) \):
\( 4x + 2y = 10 \)
Sederhanakan:
\( 2x + y = 5 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 3: Panjang garis singgung
Rumus panjang garis singgung dari titik luar:
\( PT = \sqrt{OA^2 - r^2} \)
Substitusi:
\( PT = \sqrt{20 - 10} \)
\( PT = \sqrt{10} \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 4: Memeriksa titik singgung (1,3)
Cek apakah \( (1,3) \) berada pada lingkaran:
\( 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \)
Berarti titik tersebut berada pada lingkaran.
Namun titik singgung harus juga terletak pada garis polar \( 2x + y = 5 \).
Substitusi:
\( 2(1) + 3 = 5 \)
Memenuhi persamaan.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 5
Diketahui pusat lingkaran \( L_1 \) adalah \( P_1(1,3) \) dan pusat \( L_2 \) adalah \( P_2(7,-5) \). Jika terdapat sebuah titik \( A(k,0) \) sehingga luas segitiga \( \triangle P_1P_2A \) adalah \( 25 \) satuan luas, manakah nilai \( k \) yang mungkin?
(1) \( k = -3 \)
(2) \( k = 7 \)
(3) \( k = 9.5 \)
(4) \( k = 10 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Rumus luas segitiga dengan koordinat
Rumus luas segitiga tiga titik:
\( L = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \)
Dengan: \( P_1(1,3) \)
\( P_2(7,-5) \)
\( A(k,0) \)
Langkah 2: Substitusi ke rumus
\( L = \frac{1}{2} \left| 1(-5-0) + 7(0-3) + k(3-(-5)) \right| \)
Hitung satu per satu:
\( -5 - 0 = -5 \)
\( 0 - 3 = -3 \)
\( 3 - (-5) = 8 \)
Sehingga:
\( L = \frac{1}{2} \left| -5 -21 + 8k \right| \)
\( L = \frac{1}{2} \left| 8k - 26 \right| \)
Langkah 3: Diketahui luas = 25
\( \frac{1}{2} |8k - 26| = 25 \)
Kalikan 2:
\( |8k - 26| = 50 \)
Sehingga ada dua kemungkinan:
\( 8k - 26 = 50 \)
atau
\( 8k - 26 = -50 \)
Langkah 4: Menyelesaikan persamaan
Kasus 1:
\( 8k = 76 \)
\( k = 9.5 \)
Kasus 2:
\( 8k = -24 \)
\( k = -3 \)
Langkah 5: Evaluasi pilihan
Nilai yang memenuhi adalah:
\( k = -3 \) ✔
\( k = 9.5 \) ✔
Sedangkan:
\( k = 7 \) ✘
\( k = 10 \) ✘
Kesimpulan:
(1) dan (3) SAJA yang benar.
Jawaban: B
No 6
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan \( x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \). Berdasarkan informasi tersebut, pernyataan mana yang bernilai benar?
(1) Lingkaran tersebut melalui titik pusat koordinat \( (0,0) \)
(2) Garis \( x = 8 \) menyinggung lingkaran tersebut
(3) Jari-jari lingkaran tersebut adalah \( 5 \)
(4) Garis \( y = 1 \) memotong lingkaran di dua titik berbeda
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Gunakan metode melengkapkan kuadrat sesuai rumus bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Diketahui:
\( x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9 \)
\( y^2 + 8y = (y+4)^2 - 16 \)
Substitusi kembali:
\( (x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 = 0 \)
\( (x-3)^2 + (y+4)^2 - 25 = 0 \)
\( (x-3)^2 + (y+4)^2 = 25 \)
Sehingga diperoleh:
Pusat \( = (3,-4) \)
Jari-jari \( r = 5 \)
Kesimpulan sementara:
(3) benar
Langkah 2: Uji pernyataan (1)
Substitusi titik \( (0,0) \) ke bentuk baku:
\( (0-3)^2 + (0+4)^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena hasilnya \( = 25 \) dan \( r^2 = 25 \), maka titik tersebut tepat pada lingkaran.
(1) benar
Langkah 3: Uji pernyataan (2)
Jarak pusat \( (3,-4) \) ke garis \( x = 8 \) adalah:
Rumus jarak titik ke garis \( x = k \) adalah \( |x_0 - k| \)
\( |3 - 8| = 5 \)
Karena jarak \( = r = 5 \), maka garis menyinggung lingkaran.
(2) benar
Langkah 4: Uji pernyataan (4)
Jarak pusat ke garis \( y = 1 \):
Rumus jarak titik ke garis \( y = k \) adalah \( |y_0 - k| \)
\( |-4 - 1| = 5 \)
Karena jarak \( = r \), maka garis tersebut menyinggung lingkaran (bukan memotong di dua titik).
(4) salah
Kesimpulan akhir:
(1), (2), dan (3) benar.
Jawaban: A
No 7
Sebuah garis dengan persamaan \( x = 3 \) memotong lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 25 \).
Analisislah pernyataan-pernyataan berikut:
(1) Garis \( x = 3 \) memotong lingkaran di titik \( (3,4) \) dan \( (3,-4) \)
(2) Panjang tali busur yang terbentuk adalah \( 8 \) satuan
(3) Jarak dari titik pusat lingkaran ke tali busur tersebut adalah \( 3 \) satuan
(4) Luas segitiga yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan kedua titik potong tersebut adalah \( 12 \) satuan luas
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan titik potong
Substitusi \( x = 3 \) ke persamaan lingkaran:
\( 3^2 + y^2 = 25 \)
\( 9 + y^2 = 25 \)
\( y^2 = 16 \)
\( y = \pm 4 \)
Titik potongnya adalah \( (3,4) \) dan \( (3,-4) \).
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Panjang tali busur
Tali busur adalah jarak antara dua titik potong:
Gunakan rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)
Karena \( x \) sama, cukup selisih \( y \):
\( d = |4 - (-4)| = 8 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 3: Jarak pusat ke tali busur
Pusat lingkaran adalah \( (0,0) \).
Jarak titik \( (0,0) \) ke garis \( x = 3 \) adalah:
\( |3| = 3 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 4: Luas segitiga
Segitiga dibentuk oleh titik: \( (0,0) \), \( (3,4) \), dan \( (3,-4) \).
Gunakan rumus luas segitiga koordinat:
\( L = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \)
Substitusi:
\( L = \frac{1}{2} \left| 0(4-(-4)) + 3((-4)-0) + 3(0-4) \right| \)
\( = \frac{1}{2} | 0 -12 -12 | \)
\( = \frac{1}{2} \cdot 24 \)
\( = 12 \)
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 8
Titik \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \) adalah pusat-pusat lingkaran. Jika sebuah titik baru \( B(-2,m) \) terletak segaris (kolinear) dengan \( P_1 \) dan \( P_2 \), maka pernyataan manakah yang benar?
(1) Gradien garis yang melalui \( P_1 \) dan \( P_2 \) adalah \( -\frac{4}{3} \)
(2) Nilai \( m \) yang memenuhi adalah \( 7 \)
(3) Luas segitiga \( \triangle P_1 P_2 B \) adalah \( 0 \)
(4) Titik \( B \) berada di Kuadran II
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan gradien garis \( P_1P_2 \)
Rumus gradien dua titik:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Substitusi \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \):
\( m = \frac{-5 - 3}{7 - 1} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)
Jadi pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menentukan nilai \( m \) agar kolinear
Jika kolinear, maka gradien \( P_1P_2 = P_1B \)
Gradien \( P_1B \):
\( \frac{m - 3}{-2 - 1} = \frac{m - 3}{-3} \)
Karena harus sama dengan \( -\frac{4}{3} \), maka:
\( \frac{m - 3}{-3} = -\frac{4}{3} \)
Kalikan silang:
\( 3(m - 3) = 12 \)
\( m - 3 = 4 \)
\( m = 7 \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Luas segitiga
Jika tiga titik kolinear, maka luas segitiga yang dibentuk adalah \( 0 \).
Karena \( B \) segaris dengan \( P_1 \) dan \( P_2 \), maka:
Luas \( \triangle P_1P_2B = 0 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Posisi titik \( B \)
Karena \( m = 7 \), maka titik \( B(-2,7) \)
Kuadran II memiliki \( x \lt 0 \) dan \( y \gt 0 \)
Di sini \( -2 \lt 0 \) dan \( 7 \gt 0 \), sehingga berada di Kuadran II.
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 9
Diberikan sebuah lingkaran dengan persamaan \( (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 4 \). Jika kita meninjau jarak dari titik asal \( O(0,0) \) ke lingkaran tersebut, manakah pernyataan yang benar?
(1) Jarak dari titik asal \( O \) ke pusat lingkaran adalah \( 10 \) satuan
(2) Jarak terdekat dari titik asal \( O \) ke kulit lingkaran adalah \( 8 \) satuan
(3) Jarak terjauh dari titik asal \( O \) ke kulit lingkaran adalah \( 12 \) satuan
(4) Titik asal \( O \) berada di luar lingkaran
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari
Bentuk baku lingkaran adalah:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Dari soal:
Pusat \( (6,8) \)
\( r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 \)
Langkah 2: Jarak titik asal ke pusat
Gunakan rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{6^2 + 8^2} \)
\( d = \sqrt{36 + 64} \)
\( d = \sqrt{100} \)
\( d = 10 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Jarak terdekat ke lingkaran
Karena titik di luar lingkaran, maka:
Jarak terdekat = jarak ke pusat dikurangi jari-jari
\( 10 - 2 = 8 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Jarak terjauh ke lingkaran
Jarak terjauh = jarak ke pusat ditambah jari-jari
\( 10 + 2 = 12 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Posisi titik terhadap lingkaran
Bandingkan jarak ke pusat dengan jari-jari:
\( 10 \gt 2 \)
Artinya titik berada di luar lingkaran.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 10
Diberikan dua buah lingkaran sebagai berikut:
\( L_1 : x^2 + y^2 = 25 \)
\( L_2 : (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 144 \)
Manakah pernyataan yang benar mengenai hubungan kedua lingkaran tersebut?
(1) Jarak antara pusat \( L_1 \) dan pusat \( L_2 \) adalah \( 13 \) satuan
(2) Kedua lingkaran tersebut saling bersinggungan di luar
(3) Lingkaran \( L_1 \) berada sepenuhnya di dalam lingkaran \( L_2 \)
(4) Kedua lingkaran tersebut saling berpotongan di dua titik
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran
Bentuk baku lingkaran adalah:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 = 25 \)
Pusat \( L_1 = (0,0) \)
Jari-jari \( r_1 = 5 \)
Untuk \( L_2 : (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 144 \)
Pusat \( L_2 = (12,5) \)
Jari-jari \( r_2 = 12 \)
Langkah 2: Menghitung jarak antar pusat
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{(12 - 0)^2 + (5 - 0)^2} \)
\( d = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menentukan hubungan kedua lingkaran
Bandingkan nilai \( d \), \( r_1 \), dan \( r_2 \)
\( r_1 + r_2 = 5 + 12 = 17 \)
\( |r_2 - r_1| = |12 - 5| = 7 \)
Diketahui \( 7 \lt 13 \lt 17 \)
Karena \( |r_2 - r_1| \lt d \lt r_1 + r_2 \), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.
Pernyataan (4) benar.
Bukan bersinggungan luar karena itu terjadi jika \( d = r_1 + r_2 \).
Bukan sepenuhnya di dalam karena itu terjadi jika \( d \lt |r_2 - r_1| \).
Jadi:
(2) salah
(3) salah
Kesimpulan akhir:
(1) dan (4) benar.
Jawaban yang paling sesuai: tidak tersedia dalam pilihan.
Namun berdasarkan perhitungan yang benar secara matematis, pernyataan yang benar adalah (1) dan (4).
No 11
Sebuah lingkaran memiliki persamaan umum \( x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \). Pernyataan manakah yang benar?
(1) Titik \( (4,6) \) berada pada lingkaran tersebut
(2) Panjang diameter lingkaran tersebut adalah \( 5 \) satuan
(3) Luas lingkaran tersebut adalah \( 25\pi \) satuan luas
(4) Titik \( (1,2) \) adalah titik terjauh dari pusat lingkaran
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Mengubah ke bentuk baku
Kelompokkan:
\( x^2 - 2x + y^2 - 4y = 20 \)
Lengkapi kuadrat sempurna:
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 20 + 1 + 4 \)
\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \)
Pusat \( (1,2) \)
\( r^2 = 25 \Rightarrow r = 5 \)
Langkah 2: Cek pernyataan (1)
Substitusi titik \( (4,6) \):
\( (4-1)^2 + (6-2)^2 \)
\( = 3^2 + 4^2 \)
\( = 9 + 16 \)
\( = 25 \)
Karena hasilnya \( 25 \), maka titik berada pada lingkaran.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Cek pernyataan (2)
Diameter \( = 2r \)
\( 2 \times 5 = 10 \)
Bukan \( 5 \), jadi salah.
✘ Pernyataan (2) SALAH.
Langkah 4: Cek pernyataan (3)
Rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( L = \pi (5)^2 \)
\( L = 25\pi \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Cek pernyataan (4)
Titik terjauh dari pusat lingkaran adalah titik pada keliling lingkaran.
Titik \( (1,2) \) adalah pusat lingkaran, bukan titik terjauh.
✘ Pernyataan (4) SALAH.
Kesimpulan:
(1) dan (3) SAJA yang benar.
Jawaban: B
No 12
Diberikan lingkaran \( L : x^2 - 14x + y^2 + 10y + c = 0 \). Jika diketahui bahwa jari-jari lingkaran tersebut adalah \( 4 \), maka pernyataan yang benar mengenai nilai \( c \) dan propertinya adalah...
(1) Nilai \( c \) yang memenuhi adalah \( 58 \)
(2) Titik pusat lingkaran tersebut adalah \( (7,-5) \)
(3) Lingkaran tersebut tidak memotong sumbu-X
(4) Jarak pusat lingkaran ke titik asal adalah \( \sqrt{74} \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Ubah ke bentuk baku lingkaran
Bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Diketahui:
\( x^2 - 14x + y^2 + 10y + c = 0 \)
Kelompokkan:
\( (x^2 - 14x) + (y^2 + 10y) + c = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 14x = (x - 7)^2 - 49 \)
\( y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25 \)
Substitusi kembali:
\( (x - 7)^2 - 49 + (y + 5)^2 - 25 + c = 0 \)
\( (x - 7)^2 + (y + 5)^2 + c - 74 = 0 \)
\( (x - 7)^2 + (y + 5)^2 = 74 - c \)
Karena \( r = 4 \), maka \( r^2 = 16 \)
Sehingga:
\( 74 - c = 16 \)
\( c = 58 \)
Pusat \( = (7,-5) \)
Pernyataan (1) dan (2) benar.
Langkah 2: Uji apakah memotong sumbu-X
Lingkaran memotong sumbu-X jika jarak pusat ke sumbu-X \( \le r \).
Jarak pusat ke sumbu-X adalah nilai mutlak ordinatnya:
\( |-5| = 5 \)
Karena \( 5 \gt 4 \), maka lingkaran tidak memotong sumbu-X.
Pernyataan (3) benar.
Langkah 3: Jarak pusat ke titik asal
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{7^2 + (-5)^2} \)
\( d = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 13
Pusat lingkaran \( L_1 \) berada pada \( P_1(1,3) \). Sebuah titik \( C(x,6) \) memiliki jarak tepat \( 5 \) satuan dari titik \( P_1 \). Berdasarkan informasi ini, pernyataan manakah yang benar?
(1) Nilai \( x \) yang mungkin adalah \( 5 \)
(2) Nilai \( x \) yang mungkin adalah \( -3 \)
(3) Titik \( C \) berada di luar lingkaran \( L_1 \) (jari-jari \( L_1 = 2 \))
(4) Segitiga yang dibentuk oleh titik \( P_1 \), \( C \), dan titik \( (x,3) \) adalah segitiga siku-siku
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Gunakan rumus jarak dua titik
Rumus jarak:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
Diketahui: \( P_1(1,3) \)
\( C(x,6) \)
Jarak \( = 5 \)
Substitusi:
\( \sqrt{(x-1)^2 + (6-3)^2} = 5 \)
\( \sqrt{(x-1)^2 + 9} = 5 \)
Kuadratkan kedua sisi:
\( (x-1)^2 + 9 = 25 \)
\( (x-1)^2 = 16 \)
\( x-1 = \pm 4 \)
Sehingga:
\( x = 5 \) atau \( x = -3 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 2: Posisi terhadap lingkaran
Lingkaran berpusat di \( (1,3) \) dengan jari-jari \( r = 2 \).
Karena jarak titik \( C \) ke pusat adalah \( 5 \), dan \( 5 \gt 2 \), maka titik berada di luar lingkaran.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 3: Cek segitiga siku-siku
Titik-titik: \( P_1(1,3) \)
\( C(x,6) \)
\( (x,3) \)
Perhatikan bahwa titik \( (x,3) \) memiliki koordinat y sama dengan pusat.
Garis dari \( (x,3) \) ke \( C(x,6) \) adalah garis vertikal.
Garis dari \( (x,3) \) ke \( P_1(1,3) \) adalah garis horizontal.
Garis vertikal dan horizontal saling tegak lurus.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 14
Sebuah segitiga siku-siku memiliki titik-titik sudut di \( P(0,0) \), \( Q(6,0) \), dan \( R(0,8) \). Sebuah lingkaran \( L \) merupakan lingkaran luar (circumcircle) dari segitiga \( PQR \). Pernyataan manakah yang benar?
(1) Pusat lingkaran \( L \) berada di titik \( (3,4) \)
(2) Jari-jari lingkaran \( L \) adalah \( 5 \) satuan
(3) Persamaan lingkaran \( L \) adalah \( x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 \)
(4) Lingkaran tersebut melalui titik \( (0,0) \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat lingkaran luar segitiga siku-siku
Untuk segitiga siku-siku, pusat lingkaran luar adalah titik tengah sisi miring.
Hitung panjang sisi-sisi segitiga:
\( PQ = 6 \)
\( PR = 8 \)
Panjang sisi miring \( QR \):
\( QR = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2} \)
\( QR = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
Karena siku-siku di \( P \), maka sisi miring adalah \( QR \).
Titik tengah \( QR \):
\( \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2} \right) = (3,4) \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (3,4) \).
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menentukan jari-jari
Untuk segitiga siku-siku, jari-jari lingkaran luar adalah setengah sisi miring.
\( r = \frac{10}{2} = 5 \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran
Gunakan bentuk baku:
\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)
Kembangkan:
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Uji titik \( (0,0) \)
Substitusi ke bentuk baku:
\( (0-3)^2 + (0-4)^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena \( = 25 \), maka titik tersebut berada pada lingkaran.
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 15
Diberikan lingkaran \( L \) dengan persamaan \( x^2 + y^2 = 16 \). Manakah pernyataan berikut yang benar?
(1) Jari-jari lingkaran tersebut adalah \( 4 \) satuan
(2) Luas maksimum persegi panjang yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut (persegi) adalah \( 32 \) satuan luas
(3) Panjang sisi persegi terbesar yang dapat masuk ke dalam lingkaran tersebut adalah \( 4\sqrt{2} \)
(4) Luas lingkaran \( L \) adalah \( 16\pi \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan jari-jari
Bentuk baku lingkaran adalah:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Dari \( x^2 + y^2 = 16 \) diperoleh:
\( r^2 = 16 \)
\( r = 4 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Persegi terbesar dalam lingkaran
Persegi terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam lingkaran memiliki diagonal sama dengan diameter lingkaran.
Diameter \( = 2r = 8 \)
Jika sisi persegi \( = s \), maka diagonalnya:
\( s\sqrt{2} = 8 \)
\( s = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \)
Pernyataan (3) benar.
Luas persegi maksimum:
\( s^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32 \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Luas lingkaran
Rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( L = \pi (4)^2 \)
\( L = 16\pi \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 16
Diketahui lingkaran \( L \) dengan persamaan \( x^2 + y^2 = 8 \). Periksalah pernyataan berikut:
(1) Garis \( y = x + 4 \) menyinggung lingkaran \( L \)
(2) Lingkaran \( L \) memiliki jari-jari sebesar \( 2\sqrt{2} \)
(3) Jarak titik pusat lingkaran ke garis \( x + y - 4 = 0 \) adalah \( 2\sqrt{2} \)
(4) Garis \( y = 5 \) tidak memiliki titik potong dengan lingkaran \( L \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Persamaan lingkaran:
\( x^2 + y^2 = 8 \)
Pusat di \( (0,0) \) dan:
\( r^2 = 8 \Rightarrow r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 2: Periksa garis \( y = x + 4 \)
Ubah ke bentuk umum:
\( y - x - 4 = 0 \)
Jarak pusat ke garis:
Rumus jarak titik ke garis:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Dengan \( A=-1, B=1, C=-4 \)
\( d = \frac{|-4|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{4}{\sqrt{2}} \)
\( d = 2\sqrt{2} \)
Karena \( d = r \), maka garis menyinggung lingkaran.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Jarak ke garis \( x + y - 4 = 0 \)
Gunakan rumus jarak:
\( d = \frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{4}{\sqrt{2}} \)
\( d = 2\sqrt{2} \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 4: Periksa garis \( y = 5 \)
Substitusi ke lingkaran:
\( x^2 + 5^2 = 8 \)
\( x^2 + 25 = 8 \)
\( x^2 = -17 \)
Karena tidak mungkin \( x^2 \lt 0 \), maka tidak ada titik potong.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 17
Diberikan pusat \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \). Jika titik \( M(a,b) \) adalah titik tengah dari ruas garis \( P_1P_2 \), manakah pernyataan yang benar?
(1) Nilai \( a + b = 3 \)
(2) Titik \( M \) memiliki koordinat \( (4,-1) \)
(3) Jarak \( P_1 \) ke \( M \) adalah \( 5 \) satuan
(4) Titik \( M \) berada di dalam lingkaran \( L_2 \) (pusat \( P_2 \), jari-jari \( r_2 = 4 \))
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan titik tengah
Rumus titik tengah dua titik:
\( M\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Substitusi:
\( M = \left( \frac{1+7}{2}, \frac{3+(-5)}{2} \right) \)
\( M = \left( \frac{8}{2}, \frac{-2}{2} \right) \)
\( M = (4,-1) \)
Pernyataan (2) benar.
Nilai \( a+b = 4 + (-1) = 3 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menghitung jarak \( P_1 \) ke \( M \)
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} \)
\( d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \)
\( d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 3: Mengecek apakah \( M \) berada di dalam lingkaran \( L_2 \)
Lingkaran \( L_2 \) berpusat di \( P_2(7,-5) \) dengan \( r = 4 \).
Hitung jarak \( P_2 \) ke \( M \):
\( d = \sqrt{(4-7)^2 + (-1-(-5))^2} \)
\( d = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \)
\( d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Karena \( 5 \gt 4 \), maka titik \( M \) berada di luar lingkaran.
Pernyataan (4) salah.
Kesimpulan akhir:
(1), (2), dan (3) benar.
Jawaban: A
No 18
Diberikan garis \( g \) yang melalui titik pusat \( P_1 \) dan \( P_2 \). Pernyataan manakah yang benar mengenai garis \( g \) tersebut?
(1) Gradien garis \( g \) adalah \( -\frac{4}{3} \)
(2) Persamaan garis \( g \) adalah \( 4x + 3y - 13 = 0 \)
(3) Garis \( g \) memotong sumbu-\( Y \) di titik \( \left(0,\frac{13}{3}\right) \)
(4) Garis \( g \) melalui titik \( (4,-1) \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan gradien dari persamaan garis
Jika persamaan garis dalam bentuk umum:
\( Ax + By + C = 0 \)
Maka gradiennya:
\( m = -\frac{A}{B} \)
Untuk persamaan:
\( 4x + 3y - 13 = 0 \)
Gradiennya:
\( m = -\frac{4}{3} \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Titik potong dengan sumbu-\( Y \)
Untuk mencari titik potong sumbu-\( Y \), substitusi \( x = 0 \).
\( 4(0) + 3y - 13 = 0 \)
\( 3y = 13 \)
\( y = \frac{13}{3} \)
Titik potong adalah:
\( \left(0,\frac{13}{3}\right) \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 3: Uji titik \( (4,-1) \)
Substitusi ke persamaan:
\( 4(4) + 3(-1) - 13 \)
\( 16 - 3 - 13 = 0 \)
Karena memenuhi persamaan, maka titik tersebut terletak pada garis.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Langkah 4: Evaluasi pernyataan (2)
Karena persamaan \( 4x + 3y - 13 = 0 \) konsisten dengan gradien dan titik uji, maka benar.
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 19
Diberikan sebuah lingkaran \( L \) dengan persamaan \( x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0 \). Berdasarkan persamaan tersebut, manakah pernyataan yang benar?
(1) Lingkaran \( L \) melalui titik pusat koordinat \( (0,0) \)
(2) Titik \( (4,-3) \) merupakan pusat lingkaran \( L \)
(3) Jari-jari lingkaran \( L \) sama dengan jarak pusat ke titik asal
(4) Titik \( (8,-6) \) terletak di luar lingkaran \( L \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Ubah ke bentuk baku
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( x^2 - 8x + y^2 + 6y = 0 \)
Lengkapi kuadrat sempurna:
\( x^2 - 8x + 16 + y^2 + 6y + 9 = 16 + 9 \)
\( (x-4)^2 + (y+3)^2 = 25 \)
Pusat \( (4,-3) \)
\( r^2 = 25 \Rightarrow r = 5 \)
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
Substitusi \( (0,0) \):
\( (0-4)^2 + (0+3)^2 \)
\( = 16 + 9 \)
\( = 25 \)
Karena hasilnya sama dengan \( r^2 \), maka titik berada pada lingkaran.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2)
Dari bentuk baku, pusat adalah \( (4,-3) \).
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Periksa pernyataan (3)
Hitung jarak pusat ke titik asal:
\( d = \sqrt{4^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 9} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \)
Karena \( r = 5 \), maka benar.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Substitusi \( (8,-6) \):
\( (8-4)^2 + (-6+3)^2 \)
\( = 4^2 + (-3)^2 \)
\( = 16 + 9 \)
\( = 25 \)
Karena hasilnya sama dengan \( r^2 \), titik berada pada lingkaran, bukan di luar.
✘ Pernyataan (4) SALAH.
Kesimpulan:
(1), (2), dan (3) SAJA yang benar.
Jawaban: A
No 20
Sebuah lingkaran \( L \) berada di Kuadran II, menyinggung sumbu-X dan sumbu-Y, serta memiliki jari-jari \( 3 \) satuan. Manakah pernyataan yang benar?
(1) Pusat lingkaran tersebut berada di titik \( (-3,3) \)
(2) Persamaan lingkaran tersebut adalah \( x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0 \)
(3) Jarak pusat lingkaran ke titik asal \( (0,0) \) adalah \( 3\sqrt{2} \) satuan
(4) Garis \( y = 6 \) menyinggung lingkaran tersebut
Pilihan Jawaban:
A. (1) dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (2) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat lingkaran dari informasi “menyinggung sumbu-X dan sumbu-Y”
Jika lingkaran menyinggung sumbu-Y, maka jarak pusat ke sumbu-Y sama dengan jari-jari.
Jarak pusat \( (a,b) \) ke sumbu-Y adalah \( |a| \).
Jika lingkaran menyinggung sumbu-X, maka jarak pusat ke sumbu-X sama dengan jari-jari.
Jarak pusat \( (a,b) \) ke sumbu-X adalah \( |b| \).
Diketahui jari-jari \( r = 3 \), sehingga:
\( |a| = 3 \) dan \( |b| = 3 \)
Karena pusat berada di Kuadran II, maka \( a \lt 0 \) dan \( b \gt 0 \).
Maka pusatnya adalah:
\( (a,b) = (-3,3) \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menentukan persamaan lingkaran
Bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Dengan \( (a,b)=(-3,3) \) dan \( r=3 \):
\( (x+3)^2 + (y-3)^2 = 9 \)
Kembangkan:
\( x^2 + 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 9 \)
\( x^2 + y^2 + 6x - 6y + 18 = 9 \)
\( x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0 \)
Jadi pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Jarak pusat ke titik asal
Pusat \( (-3,3) \) ke \( (0,0) \) memakai rumus jarak:
\( d = \sqrt{(0-(-3))^2 + (0-3)^2} \)
\( d = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Uji garis \( y = 6 \) menyinggung lingkaran
Garis \( y = 6 \) menyinggung lingkaran jika jarak pusat ke garis sama dengan jari-jari.
Jarak titik \( (a,b) \) ke garis \( y = k \) adalah \( |b-k| \).
Dengan pusat \( (-3,3) \):
\( |3-6| = 3 \)
Karena \( 3 = r \), maka garis \( y = 6 \) menyinggung lingkaran.
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 21
Diberikan dua lingkaran \( L_1 : x^2 + y^2 = 16 \) dan \( L_2 : (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 4 \). Manakah pernyataan yang benar mengenai kedua lingkaran tersebut?
(1) Jarak antar pusat kedua lingkaran adalah \( 13 \) satuan
(2) Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah \( \sqrt{165} \) satuan
(3) Kedua lingkaran tersebut saling lepas (tidak berpotongan)
(4) Jari-jari \( L_1 \) adalah dua kali jari-jari \( L_2 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 = 16 \)
Pusat \( (0,0) \)
\( r_1 = \sqrt{16} = 4 \)
Untuk \( L_2 : (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 4 \)
Pusat \( (12,5) \)
\( r_2 = \sqrt{4} = 2 \)
Langkah 2: Jarak antar pusat
Gunakan rumus jarak:
\( d = \sqrt{(12-0)^2 + (5-0)^2} \)
\( d = \sqrt{144 + 25} \)
\( d = \sqrt{169} \)
\( d = 13 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Garis singgung persekutuan luar
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar:
\( \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2} \)
Substitusi:
\( \sqrt{13^2 - (4-2)^2} \)
\( = \sqrt{169 - 4} \)
\( = \sqrt{165} \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Hubungan kedua lingkaran
Bandingkan:
\( d = 13 \)
\( r_1 + r_2 = 6 \)
Karena \( 13 \gt 6 \), maka kedua lingkaran saling lepas.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
\( r_1 = 4 \)
\( r_2 = 2 \)
Karena \( 4 = 2 \times 2 \), maka benar.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 22
Diketahui lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 10 \). Manakah pernyataan berikut yang bernilai benar?
(1) Garis \( y = 3x + 10 \) menyinggung lingkaran \( L \)
(2) Garis \( y = x \) memotong lingkaran \( L \) di dua titik berbeda
(3) Garis \( x = 4 \) tidak memiliki titik potong dengan lingkaran \( L \)
(4) Jarak terdekat dari garis \( y = 5 \) ke lingkaran \( L \) adalah \( 5 - \sqrt{10} \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari
Bentuk baku lingkaran:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Dari \( x^2 + y^2 = 10 \) diperoleh:
Pusat \( (0,0) \)
\( r = \sqrt{10} \)
Langkah 2: Uji pernyataan (1)
Ubah garis ke bentuk umum:
\( 3x - y + 10 = 0 \)
Rumus jarak titik ke garis:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Substitusi pusat \( (0,0) \):
\( d = \frac{|10|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \)
Karena \( d = r \), maka garis menyinggung lingkaran.
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Uji pernyataan (2)
Substitusi \( y = x \) ke persamaan lingkaran:
\( x^2 + x^2 = 10 \)
\( 2x^2 = 10 \)
\( x^2 = 5 \)
Memiliki dua solusi berbeda.
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Uji pernyataan (3)
Jika \( x = 4 \), maka:
\( 4^2 + y^2 = 10 \)
\( 16 + y^2 = 10 \)
\( y^2 = -6 \)
Tidak ada solusi real.
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Uji pernyataan (4)
Jarak pusat ke garis \( y = 5 \) adalah:
\( 5 \)
Jarak terdekat ke lingkaran:
\( 5 - \sqrt{10} \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 23
Diberikan dua persamaan lingkaran:
\( L_1 : x^2 + y^2 = 4 \)
\( L_2 : (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 49 \)
Berdasarkan informasi tersebut, manakah pernyataan yang benar?
(1) Jarak antar pusat kedua lingkaran adalah \( 10 \) satuan
(2) Kedua lingkaran tersebut tidak saling berpotongan maupun bersinggungan
(3) Jarak terdekat antara kulit lingkaran \( L_1 \) dan \( L_2 \) adalah \( 1 \) satuan
(4) Luas \( L_2 \) lebih dari sepuluh kali luas \( L_1 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 = 4 \)
Pusat \( (0,0) \)
\( r_1 = \sqrt{4} = 2 \)
Untuk \( L_2 : (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 49 \)
Pusat \( (6,8) \)
\( r_2 = \sqrt{49} = 7 \)
Langkah 2: Jarak antar pusat
Gunakan rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{6^2 + 8^2} \)
\( d = \sqrt{36 + 64} \)
\( d = \sqrt{100} \)
\( d = 10 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Hubungan kedua lingkaran
Bandingkan:
\( r_1 + r_2 = 9 \)
\( |r_2 - r_1| = 5 \)
\( d = 10 \)
Karena \( d \gt r_1 + r_2 \), maka kedua lingkaran saling lepas.
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Jarak terdekat antar kulit
Karena saling lepas, jarak terdekat:
\( d - (r_1 + r_2) \)
\( 10 - 9 = 1 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Bandingkan luas
Luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( L_1 = \pi (2)^2 = 4\pi \)
\( L_2 = \pi (7)^2 = 49\pi \)
Bandingkan:
\( \frac{49\pi}{4\pi} = \frac{49}{4} = 12.25 \)
Karena \( 12.25 \gt 10 \), maka benar.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 24
Diberikan dua persamaan lingkaran:
\( L_1 : x^2 + y^2 = 4 \)
\( L_2 : (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 49 \)
Berdasarkan informasi tersebut, manakah pernyataan yang benar?
(1) Jarak antar pusat kedua lingkaran adalah \( 10 \) satuan
(2) Kedua lingkaran tersebut tidak saling berpotongan maupun bersinggungan
(3) Jarak terdekat antara kulit lingkaran \( L_1 \) dan \( L_2 \) adalah \( 1 \) satuan
(4) Luas \( L_2 \) lebih dari sepuluh kali luas \( L_1 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari
Bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 = 4 \)
Pusat \( (0,0) \), \( r_1 = 2 \)
Untuk \( L_2 : (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 49 \)
Pusat \( (6,8) \), \( r_2 = 7 \)
Langkah 2: Menghitung jarak antar pusat
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} \)
\( d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menentukan hubungan kedua lingkaran
Hitung:
\( r_1 + r_2 = 2 + 7 = 9 \)
Karena \( d = 10 \gt 9 \), maka kedua lingkaran terpisah (tidak berpotongan dan tidak bersinggungan).
Pernyataan (2) benar.
Jarak terdekat antar kulit lingkaran:
\( d - (r_1 + r_2) = 10 - 9 = 1 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Membandingkan luas
Rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( L_1 = \pi (2)^2 = 4\pi \)
\( L_2 = \pi (7)^2 = 49\pi \)
Bandingkan:
\( 49\pi \gt 10 \times 4\pi = 40\pi \)
Karena \( 49\pi \gt 40\pi \), maka luas \( L_2 \) lebih dari sepuluh kali luas \( L_1 \).
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 25
Sebuah segitiga siku-siku dibentuk oleh sumbu-\( X \), sumbu-\( Y \), dan garis \( 4x + 3y - 12 = 0 \). Sebuah lingkaran \( L \) diletakkan tepat di dalam segitiga tersebut (lingkaran dalam).
Pernyataan manakah yang benar?
(1) Titik sudut segitiga tersebut adalah \( (0,0) \), \( (3,0) \), dan \( (0,4) \)
(2) Jari-jari lingkaran dalam tersebut adalah \( 1 \) satuan
(3) Pusat lingkaran dalam tersebut berada di titik \( (1,1) \)
(4) Luas lingkaran dalam tersebut adalah \( \pi \) satuan luas
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan titik sudut segitiga
Garis memotong sumbu-\( X \) saat \( y = 0 \):
\( 4x - 12 = 0 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
Titiknya \( (3,0) \).
Garis memotong sumbu-\( Y \) saat \( x = 0 \):
\( 3y - 12 = 0 \)
\( 3y = 12 \)
\( y = 4 \)
Titiknya \( (0,4) \).
Ditambah titik asal \( (0,0) \).
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Panjang sisi-sisi segitiga
Sisi tegak: \( 3 \) dan \( 4 \).
Sisi miring:
\( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \)
Langkah 3: Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku
Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku:
\( r = \frac{a + b - c}{2} \)
Substitusi:
\( r = \frac{3 + 4 - 5}{2} \)
\( r = \frac{2}{2} \)
\( r = 1 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Pusat lingkaran dalam
Untuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di \( (0,0) \), pusat lingkaran dalam berada di \( (r,r) \).
Karena \( r = 1 \), maka pusatnya \( (1,1) \).
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Luas lingkaran
Rumus luas:
\( L = \pi r^2 \)
\( L = \pi (1)^2 = \pi \)
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 26
Sebuah lingkaran baru, \( L_3 \), dibentuk dengan menjadikan ruas garis \( P_1P_2 \) sebagai diameternya. Pernyataan manakah yang benar mengenai \( L_3 \)?
(1) Pusat lingkaran \( L_3 \) adalah \( (4,-1) \)
(2) Jari-jari lingkaran \( L_3 \) adalah \( 5 \) satuan
(3) Lingkaran \( L_3 \) melalui titik \( (7,3) \)
(4) Persamaan lingkaran \( L_3 \) adalah \( x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat lingkaran
Karena \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \) adalah ujung-ujung diameter, maka pusat adalah titik tengahnya.
Rumus titik tengah:
\( M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
\( M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-5)}{2}\right) \)
\( M = (4,-1) \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menentukan jari-jari
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
Diameter:
\( d = \sqrt{(7-1)^2 + (-5-3)^2} \)
\( d = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \)
Jari-jari:
\( r = \frac{10}{2} = 5 \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Uji titik \( (7,3) \)
Gunakan bentuk baku:
\( (x-4)^2 + (y+1)^2 = 25 \)
Substitusi \( (7,3) \):
\( (7-4)^2 + (3+1)^2 \)
\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena \( = 25 \), maka titik tersebut berada pada lingkaran.
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Menentukan persamaan umum
Mulai dari:
\( (x-4)^2 + (y+1)^2 = 25 \)
Kembangkan:
\( x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 27
Diketahui lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 25 \) dan sebuah garis \( g : y = x + c \). Agar garis \( g \) menyinggung lingkaran \( L \), manakah pernyataan yang benar?
(1) Nilai \( c \) yang memenuhi adalah \( 5\sqrt{2} \) atau \( -5\sqrt{2} \)
(2) Jika \( c = 0 \), maka garis memotong lingkaran di dua titik
(3) Jika \( c = 10 \), maka garis \( g \) tidak memotong lingkaran
(4) Jarak dari pusat \( (0,0) \) ke garis \( x - y + c = 0 \) harus sama dengan \( 5 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Persamaan lingkaran:
\( x^2 + y^2 = 25 \)
Pusat \( (0,0) \)
\( r = 5 \)
Langkah 2: Syarat garis menyinggung lingkaran
Ubah persamaan garis ke bentuk umum:
\( y = x + c \Rightarrow x - y + c = 0 \)
Rumus jarak titik ke garis:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk pusat \( (0,0) \):
\( d = \frac{|c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \)
\( d = \frac{|c|}{\sqrt{2}} \)
Agar menyinggung:
\( \frac{|c|}{\sqrt{2}} = 5 \)
\( |c| = 5\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( c = 5\sqrt{2} \) atau \( c = -5\sqrt{2} \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Langkah 3: Periksa \( c = 0 \)
Jarak ke garis:
\( d = 0 \)
Karena \( 0 \lt 5 \), maka garis memotong lingkaran di dua titik.
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Periksa \( c = 10 \)
\( d = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \)
Karena \( 5\sqrt{2} \gt 5 \), maka garis tidak memotong lingkaran.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 28
Sebuah lingkaran memiliki persamaan \( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \). Pernyataan manakah yang benar?
(1) Lingkaran tersebut menyinggung garis \( y = 2 \)
(2) Pusat lingkaran berada di kuadran IV
(3) Garis \( x = -1 \) merupakan garis singgung lingkaran tersebut
(4) Jari-jari lingkaran tersebut adalah \( 3 \) satuan
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Ubah ke bentuk baku
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) - 4 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \)
\( y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 \)
Substitusi kembali:
\( (x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 - 4 = 0 \)
\( (x-2)^2 + (y+1)^2 - 9 = 0 \)
\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \)
Pusat \( (2,-1) \)
Jari-jari \( r = 3 \)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 2: Uji pernyataan (2)
Kuadran IV memiliki \( x \gt 0 \) dan \( y \lt 0 \).
Pusat \( (2,-1) \) memenuhi \( 2 \gt 0 \) dan \( -1 \lt 0 \).
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Uji garis \( y = 2 \)
Jarak pusat ke garis \( y = 2 \) adalah:
\( |-1 - 2| = 3 \)
Karena \( 3 = r \), maka garis tersebut menyinggung lingkaran.
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Uji garis \( x = -1 \)
Jarak pusat ke garis \( x = -1 \):
\( |2 - (-1)| = 3 \)
Karena \( 3 = r \), maka garis tersebut menyinggung lingkaran.
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 29
Diberikan lingkaran \( L : (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \) dan sebuah titik luar \( P(10,5) \). Manakah pernyataan yang benar?
(1) Jarak titik \( P \) ke pusat lingkaran adalah \( 10 \) satuan
(2) Nilai kuasa titik \( P \) terhadap lingkaran \( L \) adalah \( 75 \)
(3) Panjang garis singgung yang ditarik dari titik \( P \) ke kulit lingkaran adalah \( 5\sqrt{3} \)
(4) Titik \( P \) berada di Kuadran I
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Pusat \( (2,-1) \)
\( r = \sqrt{25} = 5 \)
Langkah 2: Jarak titik \( P \) ke pusat
Gunakan rumus jarak:
\( d = \sqrt{(10-2)^2 + (5-(-1))^2} \)
\( d = \sqrt{8^2 + 6^2} \)
\( d = \sqrt{64 + 36} \)
\( d = \sqrt{100} \)
\( d = 10 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Kuasa titik
Rumus kuasa titik:
\( \text{Kuasa} = d^2 - r^2 \)
\( = 10^2 - 5^2 \)
\( = 100 - 25 \)
\( = 75 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Panjang garis singgung
Rumus panjang garis singgung:
\( PT = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( PT = \sqrt{75} \)
\( PT = 5\sqrt{3} \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Kuadran titik \( P \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( y \gt 0 \), maka titik berada di Kuadran I.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 30
Diberikan lingkaran \( L_1 : x^2 + y^2 = 25 \) dan \( L_2 : x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0 \). Pernyataan manakah yang benar?
(1) Pusat \( L_2 \) adalah \( (3,4) \)
(2) Jari-jari \( L_2 \) adalah \( 2 \) satuan
(3) Kedua lingkaran tersebut bersinggungan di dalam (internally tangent)
(4) Titik \( (3,4) \) berada di dalam lingkaran \( L_1 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari \( L_1 \)
Bentuk baku:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Untuk \( L_1 \):
Pusat \( (0,0) \)
\( r_1 = 5 \)
Langkah 2: Mengubah \( L_2 \) ke bentuk baku
Kelompokkan:
\( (x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + 21 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9 \)
\( y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16 \)
Substitusi:
\( (x-3)^2 - 9 + (y-4)^2 - 16 + 21 = 0 \)
\( (x-3)^2 + (y-4)^2 - 4 = 0 \)
\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 4 \)
Pusat \( (3,4) \)
\( r_2 = 2 \)
Pernyataan (1) dan (2) benar.
Langkah 3: Hubungan kedua lingkaran
Jarak antar pusat:
\( d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \)
\( d = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)
Hitung selisih jari-jari:
\( r_1 - r_2 = 5 - 2 = 3 \)
Karena \( d = 5 \) dan \( r_1 + r_2 = 7 \), serta \( d \neq r_1 - r_2 \), maka tidak bersinggungan di dalam.
Karena \( 3 \lt 5 \lt 7 \), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.
Pernyataan (3) salah.
Langkah 4: Mengecek titik \( (3,4) \) pada \( L_1 \)
Substitusi ke \( L_1 \):
\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena \( = 25 \), maka titik berada pada lingkaran, bukan di dalam.
Pernyataan (4) salah.
Kesimpulan akhir:
(1) dan (2) benar.
Tidak ada pilihan yang sesuai.
No 31
Diberikan sebuah lingkaran dengan persamaan \( x^2 + y^2 - 10x - 10y + 16 = 0 \). Berdasarkan informasi tersebut, manakah pernyataan yang benar?
(1) Lingkaran tersebut memotong sumbu-\( X \) di titik \( (2,0) \) dan \( (8,0) \)
(2) Jarak antara dua titik potong pada sumbu-\( Y \) adalah \( 6 \) satuan
(3) Pusat lingkaran berada di titik \( (5,5) \)
(4) Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah \( \sqrt{34} \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Ubah ke bentuk baku
Kelompokkan suku:
\( x^2 - 10x + y^2 - 10y = -16 \)
Lengkapi kuadrat sempurna:
\( x^2 - 10x + 25 + y^2 - 10y + 25 = -16 + 25 + 25 \)
\( (x-5)^2 + (y-5)^2 = 34 \)
Pusat \( (5,5) \)
\( r^2 = 34 \Rightarrow r = \sqrt{34} \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Langkah 2: Titik potong dengan sumbu-\( X \)
Substitusi \( y = 0 \):
\( (x-5)^2 + (0-5)^2 = 34 \)
\( (x-5)^2 + 25 = 34 \)
\( (x-5)^2 = 9 \)
\( x-5 = \pm 3 \)
\( x = 8 \) atau \( x = 2 \)
Titiknya \( (2,0) \) dan \( (8,0) \).
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Titik potong dengan sumbu-\( Y \)
Substitusi \( x = 0 \):
\( (0-5)^2 + (y-5)^2 = 34 \)
\( 25 + (y-5)^2 = 34 \)
\( (y-5)^2 = 9 \)
\( y-5 = \pm 3 \)
\( y = 8 \) atau \( y = 2 \)
Jarak antara \( (0,8) \) dan \( (0,2) \):
\( 8 - 2 = 6 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 32
Diberikan lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 25 \) dan sebuah titik \( T(3,-4) \) yang terletak pada lingkaran tersebut. Manakah pernyataan yang benar?
(1) Persamaan garis singgung di titik \( T \) adalah \( 3x - 4y = 25 \)
(2) Gradien garis singgung di titik \( T \) adalah \( \frac{3}{4} \)
(3) Garis singgung tersebut memotong sumbu \( Y \) di titik \( (0,-\frac{25}{4}) \)
(4) Garis singgung tersebut tegak lurus dengan garis yang melalui pusat \( (0,0) \) dan titik \( T \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \), persamaan garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) adalah:
\( xx_1 + yy_1 = r^2 \)
Substitusi \( (3,-4) \) dan \( r^2 = 25 \):
\( 3x + (-4)y = 25 \)
\( 3x - 4y = 25 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Menentukan gradien garis singgung
Ubah ke bentuk \( y = mx + c \):
\( -4y = -3x + 25 \)
\( y = \frac{3}{4}x - \frac{25}{4} \)
Gradien \( = \frac{3}{4} \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Titik potong sumbu \( Y \)
Jika \( x = 0 \):
\( 3(0) - 4y = 25 \)
\( -4y = 25 \)
\( y = -\frac{25}{4} \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Hubungan dengan jari-jari
Gradien garis pusat ke \( T \):
\( m = \frac{-4-0}{3-0} = -\frac{4}{3} \)
Gradien garis singgung \( = \frac{3}{4} \)
Karena:
\( -\frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = -1 \)
Maka kedua garis saling tegak lurus.
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan akhir:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 33
Diketahui titik \( P(7,1) \) dan lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 25 \). Dari titik \( P \) ditarik dua garis singgung ke lingkaran \( L \). Jika \( A \) dan \( B \) adalah titik-titik singgungnya, manakah pernyataan yang benar?
(1) Persamaan garis yang melalui titik \( A \) dan \( B \) (garis polar) adalah \( 7x + y = 25 \)
(2) Jarak dari titik \( P \) ke pusat lingkaran adalah \( 5\sqrt{2} \)
(3) Panjang ruas garis singgung \( PA \) adalah \( 5 \) satuan
(4) Segitiga yang dibentuk oleh pusat lingkaran, titik \( A \), dan titik \( P \) adalah segitiga siku-siku sama kaki
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Lingkaran \( x^2 + y^2 = 25 \)
Pusat \( (0,0) \)
\( r = 5 \)
Langkah 2: Jarak titik \( P \) ke pusat
Gunakan rumus jarak:
\( d = \sqrt{7^2 + 1^2} \)
\( d = \sqrt{49 + 1} \)
\( d = \sqrt{50} \)
\( d = 5\sqrt{2} \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 3: Garis polar
Rumus garis polar untuk lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \):
\( xx_1 + yy_1 = r^2 \)
Substitusi \( (7,1) \):
\( 7x + y = 25 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 4: Panjang garis singgung
Rumus panjang garis singgung:
\( PA = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( PA = \sqrt{50 - 25} \)
\( PA = \sqrt{25} \)
\( PA = 5 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Bentuk segitiga \( OAP \)
Karena \( OA = r = 5 \) dan \( AP = 5 \), serta \( OP = 5\sqrt{2} \),
\( OP^2 = OA^2 + AP^2 \)
\( (5\sqrt{2})^2 = 5^2 + 5^2 \)
\( 50 = 25 + 25 \)
Memenuhi teorema Pythagoras, sehingga segitiga siku-siku dengan kaki sama panjang.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 34
Diberikan dua lingkaran:
\( L_1 : x^2 + y^2 - 4 = 0 \)
\( L_2 : x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0 \)
Manakah pernyataan yang benar mengenai kedua lingkaran tersebut?
(1) Kedua lingkaran tersebut saling berpotongan
(2) Persamaan tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah \( 8x - 11 = 0 \)
(3) Tali busur persekutuan tersebut tegak lurus dengan sumbu \( X \)
(4) Panjang jari-jari \( L_2 \) adalah \( \sqrt{7} \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 - 4 = 0 \)
\( x^2 + y^2 = 4 \)
Pusat \( (0,0) \), \( r_1 = 2 \)
Untuk \( L_2 : x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0 \)
Kelompokkan:
\( (x^2 - 8x) + y^2 + 7 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16 \)
Substitusi:
\( (x-4)^2 - 16 + y^2 + 7 = 0 \)
\( (x-4)^2 + y^2 - 9 = 0 \)
\( (x-4)^2 + y^2 = 9 \)
Pusat \( (4,0) \), \( r_2 = 3 \)
Pernyataan (4) salah karena \( r_2 = 3 \), bukan \( \sqrt{7} \).
Langkah 2: Hubungan kedua lingkaran
Jarak antar pusat:
\( d = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4 \)
Hitung:
\( r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 \)
\( |r_2 - r_1| = 1 \)
Karena \( 1 \lt 4 \lt 5 \), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menentukan tali busur persekutuan
Kurangkan persamaan \( L_2 - L_1 \):
\( (x^2 + y^2 - 8x + 7) - (x^2 + y^2 - 4) = 0 \)
\( -8x + 7 + 4 = 0 \)
\( -8x + 11 = 0 \)
\( 8x - 11 = 0 \)
Pernyataan (2) benar.
Karena persamaan hanya memuat \( x \), maka garisnya berbentuk \( x = \frac{11}{8} \), yaitu garis vertikal.
Garis vertikal tegak lurus sumbu \( X \).
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan akhir:
(1), (2), dan (3) benar.
Jawaban: A
No 35
Diberikan dua lingkaran:
\( L_1 : x^2 + y^2 - 4 = 0 \)
\( L_2 : x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0 \)
Manakah pernyataan yang benar mengenai kedua lingkaran tersebut?
(1) Kedua lingkaran tersebut saling berpotongan
(2) Persamaan tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah \( 8x - 11 = 0 \)
(3) Tali busur persekutuan tersebut tegak lurus dengan sumbu \( X \)
(4) Panjang jari-jari \( L_2 \) adalah \( \sqrt{7} \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 - 4 = 0 \)
\( x^2 + y^2 = 4 \)
Pusat \( (0,0) \), \( r_1 = 2 \)
Untuk \( L_2 : x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0 \)
Kelompokkan:
\( (x^2 - 8x) + y^2 + 7 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16 \)
Substitusi:
\( (x-4)^2 - 16 + y^2 + 7 = 0 \)
\( (x-4)^2 + y^2 - 9 = 0 \)
\( (x-4)^2 + y^2 = 9 \)
Pusat \( (4,0) \), \( r_2 = 3 \)
Pernyataan (4) salah karena \( r_2 = 3 \), bukan \( \sqrt{7} \).
Langkah 2: Hubungan kedua lingkaran
Jarak antar pusat:
\( d = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4 \)
Hitung:
\( r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 \)
\( |r_2 - r_1| = 1 \)
Karena \( 1 \lt 4 \lt 5 \), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menentukan tali busur persekutuan
Kurangkan persamaan \( L_2 - L_1 \):
\( (x^2 + y^2 - 8x + 7) - (x^2 + y^2 - 4) = 0 \)
\( -8x + 7 + 4 = 0 \)
\( -8x + 11 = 0 \)
\( 8x - 11 = 0 \)
Pernyataan (2) benar.
Karena persamaan hanya memuat \( x \), maka garisnya berbentuk \( x = \frac{11}{8} \), yaitu garis vertikal.
Garis vertikal tegak lurus sumbu \( X \).
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan akhir:
(1), (2), dan (3) benar.
Jawaban: A
No 36
Diberikan lingkaran \( L : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16 \) dan sebuah titik \( A(5,5) \). Manakah pernyataan yang benar?
(1) Nilai kuasa titik \( A \) terhadap lingkaran \( L \) adalah \( 9 \)
(2) Titik \( A \) terletak di luar lingkaran \( L \)
(3) Panjang garis singgung yang ditarik dari titik \( A \) ke lingkaran \( L \) adalah \( 5 \) satuan
(4) Jarak titik \( A \) ke pusat lingkaran adalah \( 5 \) satuan
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Bentuk baku lingkaran:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
Dari \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16 \), diperoleh:
Pusat \( (1,2) \)
Jari-jari \( r = 4 \)
Langkah 2: Menghitung jarak titik \( A \) ke pusat
Rumus jarak dua titik:
\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
Untuk \( A(5,5) \) dan pusat \( (1,2) \):
\( d = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} \)
\( d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 3: Menentukan posisi titik \( A \)
Bandingkan jarak \( d \) dengan jari-jari \( r \):
\( d = 5 \) dan \( r = 4 \)
Karena \( 5 \gt 4 \), maka titik \( A \) berada di luar lingkaran.
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Kuasa titik dan panjang garis singgung
Kuasa titik \( A \) terhadap lingkaran berpusat \( O \) adalah:
\( P = OA^2 - r^2 \)
Dengan \( OA = 5 \) dan \( r = 4 \):
\( P = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \)
Pernyataan (1) benar.
Panjang garis singgung dari titik luar memenuhi:
\( t^2 = P \)
\( t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \)
Jadi panjang garis singgung bukan \( 5 \), melainkan \( 3 \).
Pernyataan (3) salah.
Kesimpulan akhir:
Yang benar adalah (1), (2), dan (4).
Jawaban yang paling sesuai: tidak tersedia dalam pilihan.
No 37
Diketahui dua buah lingkaran:
\( L_1 : x^2 + y^2 = 9 \)
\( L_2 : x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 \)
Manakah pernyataan yang benar mengenai hubungan keduanya?
(1) Persamaan garis kuasa dua lingkaran tersebut adalah \( x + y = 4 \)
(2) Garis kuasa tersebut tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran
(3) Kedua lingkaran tersebut saling berpotongan di dua titik
(4) Nilai kuasa titik asal \( (0,0) \) terhadap \( L_2 \) adalah \( 7 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari
Untuk \( L_1 : x^2 + y^2 = 9 \)
Pusat \( (0,0) \)
\( r_1 = 3 \)
Ubah \( L_2 \) ke bentuk baku:
\( x^2 - 4x + y^2 - 4y = -7 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = -7 + 4 + 4 \)
\( (x-2)^2 + (y-2)^2 = 1 \)
Pusat \( (2,2) \)
\( r_2 = 1 \)
Langkah 2: Garis kuasa
Kurangkan persamaan kedua lingkaran:
\( (x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7) = 9 - 0 \)
\( 4x + 4y - 7 = 9 \)
\( 4x + 4y - 16 = 0 \)
Bagi 4:
\( x + y - 4 = 0 \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Hubungan garis kuasa dan garis pusat
Gradien garis kuasa:
\( x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = -x + 4 \)
Gradien \( m_1 = -1 \)
Gradien garis penghubung pusat:
\( m_2 = \frac{2-0}{2-0} = 1 \)
Karena \( m_1 \cdot m_2 = -1 \), maka tegak lurus.
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Hubungan kedua lingkaran
Jarak pusat:
\( d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
Bandingkan:
\( r_1 + r_2 = 4 \)
\( |r_1 - r_2| = 2 \)
Karena \( 2 \lt 2\sqrt{2} \lt 4 \), maka berpotongan di dua titik.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Kuasa titik asal terhadap \( L_2 \)
Kuasa titik:
\( OP^2 - r_2^2 \)
\( = (2\sqrt{2})^2 - 1^2 \)
\( = 8 - 1 \)
\( = 7 \)
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 38
Diberikan lingkaran \( L : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \). Manakah pernyataan yang benar mengenai garis singgung lingkaran tersebut yang tegak lurus dengan garis \( 3x - 4y + 7 = 0 \)?
(1) Gradien garis singgung tersebut adalah \( -\frac{4}{3} \)
(2) Lingkaran tersebut memiliki jari-jari \( 5 \) satuan
(3) Salah satu persamaan garis singgungnya adalah \( 4x + 3y + 16 = 0 \)
(4) Lingkaran melalui titik \( (2,2) \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Ubah ke bentuk baku
Kelompokkan:
\( x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \)
Lengkapi kuadrat sempurna:
\( x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 12 + 4 + 9 \)
\( (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25 \)
Pusat \( (2,-3) \)
\( r = 5 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 2: Gradien garis yang tegak lurus
Garis \( 3x - 4y + 7 = 0 \)
Ubah ke bentuk \( y = mx + c \):
\( -4y = -3x - 7 \)
\( y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{4} \)
Gradiennya \( \frac{3}{4} \).
Gradien garis tegak lurus:
\( m = -\frac{4}{3} \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Uji garis \( 4x + 3y + 16 = 0 \)
Gradien garis tersebut:
\( m = -\frac{4}{3} \)
Sesuai dengan gradien yang dicari.
Cek jarak pusat ke garis:
Gunakan rumus jarak:
\( d = \frac{|4(2) + 3(-3) + 16|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \)
\( = \frac{|8 - 9 + 16|}{5} \)
\( = \frac{15}{5} = 3 \)
Karena \( 3 \lt 5 \), maka bukan garis singgung.
✘ Pernyataan (3) SALAH.
Langkah 4: Uji titik \( (2,2) \)
Substitusi ke bentuk baku:
\( (2-2)^2 + (2+3)^2 \)
\( = 0 + 25 = 25 \)
Karena sama dengan \( r^2 \), maka titik berada pada lingkaran.
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
(1), (2), dan (4) benar.
Jawaban yang sesuai adalah:
C
No 39
Sebuah lingkaran memiliki persamaan \( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 50 \). Di dalam lingkaran tersebut terdapat sebuah persegi terbesar yang semua titik sudutnya menyentuh lingkaran. Pernyataan manakah yang benar?
(1) Panjang diagonal persegi tersebut adalah \( 10\sqrt{2} \) satuan
(2) Luas persegi tersebut adalah \( 100 \) satuan luas
(3) Panjang sisi persegi tersebut adalah \( 10 \) satuan
(4) Titik \( (6,6) \) merupakan salah satu titik sudut persegi tersebut
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Bentuk baku:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Pusat \( (1,1) \)
\( r^2 = 50 \Rightarrow r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
Langkah 2: Hubungan diagonal persegi dan lingkaran
Untuk persegi terbesar dalam lingkaran, diagonal persegi sama dengan diameter lingkaran.
Diameter:
\( 2r = 2(5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \)
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 3: Panjang sisi persegi
Rumus diagonal persegi:
\( d = s\sqrt{2} \)
Substitusi:
\( s\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)
\( s = 10 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 4: Luas persegi
\( L = s^2 \)
\( L = 10^2 = 100 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 5: Uji titik \( (6,6) \)
Substitusi ke persamaan lingkaran:
\( (6-1)^2 + (6-1)^2 \)
\( = 5^2 + 5^2 \)
\( = 25 + 25 \)
\( = 50 \)
Karena memenuhi \( r^2 \), maka titik tersebut berada pada lingkaran.
Dan untuk persegi dengan pusat sama, salah satu sudutnya memang dapat berada di \( (6,6) \).
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 40
Garis \( h \) memiliki persamaan \( 3x - 4y - 15 = 0 \). Jika \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \) adalah pusat lingkaran \( L_1 \) (jari-jari \( 2 \)) dan \( L_2 \) (jari-jari \( 4 \)), manakah pernyataan yang benar?
(1) Garis \( h \) menyinggung lingkaran \( L_2 \)
(2) Jarak pusat \( P_1 \) ke garis \( h \) adalah \( 4,8 \) satuan
(3) Garis \( h \) tidak memotong lingkaran \( L_1 \)
(4) Garis \( h \) sejajar dengan garis yang melalui \( P_1 \) dan \( P_2 \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Rumus jarak titik ke garis
Rumus:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( 3x - 4y - 15 = 0 \), diperoleh:
\( A = 3, \; B = -4, \; C = -15 \)
\( \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \)
Langkah 2: Jarak \( P_1(1,3) \)
\( d_1 = \frac{|3(1) - 4(3) - 15|}{5} \)
\( = \frac{|3 - 12 - 15|}{5} \)
\( = \frac{24}{5} \)
\( = 4,8 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Karena \( 4,8 \gt 2 \), maka garis tidak memotong lingkaran \( L_1 \).
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 3: Jarak \( P_2(7,-5) \)
\( d_2 = \frac{|3(7) - 4(-5) - 15|}{5} \)
\( = \frac{|21 + 20 - 15|}{5} \)
\( = \frac{26}{5} \)
\( = 5,2 \)
Karena \( 5,2 \gt 4 \), maka garis tidak menyinggung maupun memotong \( L_2 \).
✘ Pernyataan (1) SALAH.
Langkah 4: Gradien garis
Garis \( h \):
\( -4y = -3x + 15 \)
\( y = \frac{3}{4}x - \frac{15}{4} \)
Gradien \( m_h = \frac{3}{4} \)
Gradien garis melalui \( P_1 \) dan \( P_2 \):
\( m = \frac{-5 - 3}{7 - 1} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)
Karena \( \frac{3}{4} \neq -\frac{4}{3} \), maka tidak sejajar.
✘ Pernyataan (4) SALAH.
Kesimpulan:
(2) dan (3) benar, tetapi tidak tersedia dalam pilihan jawaban.
Jawaban yang paling sesuai adalah:
C
No 41
Diberikan titik \( P_1(1,3) \) dan \( P_2(7,-5) \). Jika kita membentuk dua titik tambahan \( Q_1(7,3) \) dan \( Q_2(1,-5) \), manakah pernyataan yang benar mengenai bangun \( P_1Q_1P_2Q_2 \)?
(1) Bangun tersebut merupakan sebuah persegi panjang
(2) Luas bangun tersebut adalah \( 48 \) satuan luas
(3) Panjang diagonal bangun tersebut adalah \( 10 \) satuan
(4) Titik pusat simetri bangun tersebut adalah \( (4,-1) \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Periksa bentuk bangun
Titik-titik:
\( P_1(1,3) \)
\( Q_1(7,3) \)
\( P_2(7,-5) \)
\( Q_2(1,-5) \)
Sisi atas dan bawah sejajar sumbu-\( X \), serta sisi kiri dan kanan sejajar sumbu-\( Y \).
Semua sudut siku-siku, sehingga bangun tersebut persegi panjang.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Hitung panjang sisi
Panjang sisi horizontal:
\( 7 - 1 = 6 \)
Panjang sisi vertikal:
\( 3 - (-5) = 8 \)
Langkah 3: Luas bangun
\( L = p \times l \)
\( L = 6 \times 8 = 48 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 4: Panjang diagonal
Gunakan rumus jarak:
\( d = \sqrt{6^2 + 8^2} \)
\( d = \sqrt{36 + 64} \)
\( d = \sqrt{100} \)
\( d = 10 \)
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 5: Titik pusat simetri
Titik tengah diagonal:
\( x = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)
\( y = \frac{3 + (-5)}{2} = -1 \)
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 42
Jika dari titik \( P(0,5) \) ditarik dua buah garis singgung terhadap lingkaran \( L : x^2 + y^2 = 9 \), maka pernyataan yang benar adalah…
(1) Titik \( P \) berada di luar lingkaran
(2) Persamaan garis kutub (polar) titik \( P \) terhadap lingkaran \( L \) adalah \( 5y = 9 \)
(3) Garis kutub tersebut memotong lingkaran di dua titik berbeda
(4) Garis kutub tersebut sejajar dengan sumbu \( X \)
Pilihan Jawaban:
A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar
B. (1) dan (3) SAJA yang benar
C. (2) dan (4) SAJA yang benar
D. Hanya (4) SAJA yang benar
E. SEMUA pilihan benar
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Tentukan posisi titik \( P \)
Lingkaran \( x^2 + y^2 = 9 \) memiliki:
Pusat \( (0,0) \)
\( r = 3 \)
Jarak titik \( P(0,5) \) ke pusat:
\( d = \sqrt{0^2 + 5^2} \)
\( d = 5 \)
Karena \( 5 \gt 3 \), maka titik berada di luar lingkaran.
✔ Pernyataan (1) BENAR.
Langkah 2: Persamaan garis kutub (polar)
Untuk lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \), polar titik \( (x_1,y_1) \) adalah:
\( xx_1 + yy_1 = r^2 \)
Substitusi \( (0,5) \):
\( 0x + 5y = 9 \)
\( 5y = 9 \)
✔ Pernyataan (2) BENAR.
Langkah 3: Apakah memotong lingkaran?
Dari \( 5y = 9 \) diperoleh:
\( y = \frac{9}{5} \)
Substitusi ke lingkaran:
\( x^2 + \left(\frac{9}{5}\right)^2 = 9 \)
\( x^2 + \frac{81}{25} = 9 \)
\( x^2 = 9 - \frac{81}{25} \)
\( x^2 = \frac{225 - 81}{25} \)
\( x^2 = \frac{144}{25} \)
\( x = \pm \frac{12}{5} \)
Ada dua titik potong berbeda.
✔ Pernyataan (3) BENAR.
Langkah 4: Arah garis
Persamaan \( y = \frac{9}{5} \) adalah garis horizontal.
Garis horizontal sejajar sumbu \( X \).
✔ Pernyataan (4) BENAR.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E