prediksi penalaran matematika segitiga
No 1
Soal 1.
Sebuah lampu jalan dipasang di puncak tiang yang tingginya \( 6 \) meter. Di dekat tiang tersebut terdapat sebuah pagar tembok vertikal yang tingginya \( 2 \) meter. Jarak antara tiang lampu dan pagar tersebut adalah \( 3 \) meter. Jika cahaya lampu membentuk bayangan pagar di permukaan tanah yang rata, tentukan panjang bayangan pagar tersebut.
Jawaban dan Analisa
Karena cahaya membentuk bayangan, maka terbentuk dua segitiga yang sebangun. Segitiga besar berasal dari tiang lampu dan ujung bayangan, sedangkan segitiga kecil berasal dari pagar dan ujung bayangannya.
Misalkan panjang bayangan pagar adalah \( x \) meter.
Jarak dari tiang lampu ke ujung bayangan adalah \( 3 + x \).
Gunakan konsep kesebangunan segitiga:
\[ \frac{\text{tinggi tiang}}{\text{alas segitiga besar}} = \frac{\text{tinggi pagar}}{\text{alas segitiga kecil}} \]
Sehingga diperoleh:
\( \frac{6}{3 + x} = \frac{2}{x} \)
Selanjutnya kita selesaikan persamaan tersebut dengan cara perkalian silang:
\( 6x = 2(3 + x) \)
\( 6x = 6 + 2x \)
Pindahkan suku yang memuat \( x \) ke satu sisi:
\( 6x - 2x = 6 \)
\( 4x = 6 \)
\( x = \frac{6}{4} \)
\( x = 1{,}5 \)
Karena panjang tidak mungkin bernilai negatif dan jelas \( x \gt 0 \), maka nilai ini memenuhi.
Jadi, panjang bayangan pagar tersebut adalah:
\( 1{,}5 \) meter.
No 2
Soal 2.
Aplikasi pada Tangki Air (Geometri Ruang)
Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (puncak di bawah) memiliki tinggi total \( 12 \) meter dan jari-jari lubang atas \( 4 \) meter. Jika tangki tersebut diisi air hingga ketinggian air mencapai \( 9 \) meter dari puncak bawah, berapakah jari-jari permukaan air tersebut?
Jawaban dan Analisa
Bentuk tangki adalah kerucut terbalik. Jika air diisi sampai tinggi tertentu, bagian air juga membentuk kerucut yang sebangun dengan kerucut tangki.
Data yang diketahui:
Tinggi kerucut penuh \( = 12 \) meter, jari-jari atas kerucut penuh \( = 4 \) meter.
Tinggi air dari puncak bawah \( = 9 \) meter.
Misalkan jari-jari permukaan air adalah \( r \) meter.
Karena kerucut-kerucut sebangun, maka perbandingan jari-jari sama dengan perbandingan tinggi:
\( \frac{r}{9} = \frac{4}{12} \)
Sederhanakan \( \frac{4}{12} \) menjadi \( \frac{1}{3} \), sehingga:
\( \frac{r}{9} = \frac{1}{3} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 9 \):
\( r = 9 \times \frac{1}{3} \)
\( r = 3 \)
Cek kewajaran: karena tinggi air \( 9 \) meter lebih kecil dari \( 12 \) meter, maka jari-jari air harus lebih kecil dari \( 4 \) meter, dan benar \( 3 \lt 4 \).
Jadi, jari-jari permukaan air tersebut adalah:
\( 3 \) meter.
No 3
Soal 3.
Aplikasi pada Optik (Kamera Lubang Jarum)
Seorang siswa membuat kamera lubang jarum sederhana untuk memotret sebuah menara yang tingginya \( 60 \) meter. Jarak antara lubang jarum ke layar film di dalam kamera adalah \( 15 \) cm. Jika bayangan menara yang terbentuk pada layar film memiliki tinggi \( 12 \) cm, berapakah jarak menara tersebut dari kamera?
Jawaban dan Analisa
Pada kamera lubang jarum berlaku prinsip kesebangunan segitiga. Segitiga besar dibentuk oleh tinggi menara dan jaraknya ke kamera. Segitiga kecil dibentuk oleh tinggi bayangan dan jarak layar film ke lubang jarum.
Gunakan rumus perbandingan kesebangunan:
\( \frac{\text{tinggi benda}}{\text{jarak benda}} = \frac{\text{tinggi bayangan}}{\text{jarak bayangan}} \)
Misalkan jarak menara ke kamera adalah \( x \) meter.
Perhatikan satuan harus sama. Tinggi menara \( = 60 \) meter \( = 6000 \) cm.
Sehingga diperoleh:
\( \frac{6000}{x} = \frac{12}{15} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 6000 \times 15 = 12x \)
\( 90000 = 12x \)
\( x = \frac{90000}{12} \)
\( x = 7500 \)
Karena satuan yang digunakan dalam perhitungan adalah cm, maka:
\( x = 7500 \) cm \( = 75 \) meter.
Cek kewajaran: Bayangan \( 12 \) cm lebih kecil dari jarak layar \( 15 \) cm, sehingga jarak benda harus jauh lebih besar dari tinggi benda, dan benar \( 75 \gt 60 \).
Jadi, jarak menara tersebut dari kamera adalah:
\( 75 \) meter.
No 4
Soal 4.
Aplikasi pada Pemantulan Cahaya (Cermin Datar)
Andi ingin mengukur tinggi sebuah tiang listrik menggunakan bantuan cermin datar yang diletakkan di atas tanah. Andi berdiri sehingga ia dapat melihat puncak tiang listrik pada cermin. Diketahui jarak mata Andi ke tanah adalah \( 160 \) cm, jarak Andi ke cermin adalah \( 2 \) meter, dan jarak cermin ke pangkal tiang listrik adalah \( 5 \) meter. Tentukan tinggi tiang listrik tersebut.
Jawaban dan Analisa
Pada peristiwa pemantulan di cermin datar yang diletakkan di tanah, terbentuk dua segitiga yang sebangun.
Segitiga kecil dibentuk oleh tinggi mata Andi dan jarak Andi ke cermin.
Segitiga besar dibentuk oleh tinggi tiang listrik dan jarak cermin ke tiang.
Gunakan rumus kesebangunan:
\( \frac{\text{tinggi mata}}{\text{jarak Andi ke cermin}} = \frac{\text{tinggi tiang}}{\text{jarak cermin ke tiang}} \)
Misalkan tinggi tiang listrik adalah \( h \) meter.
Ubah satuan agar sama. Tinggi mata Andi \( = 160 \) cm \( = 1{,}6 \) meter.
Substitusi nilai:
\( \frac{1{,}6}{2} = \frac{h}{5} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 1{,}6 \times 5 = 2h \)
\( 8 = 2h \)
\( h = 4 \)
Karena tinggi tiang tentu lebih besar dari tinggi mata, dan hasil menunjukkan \( 4 \gt 1{,}6 \), maka hasil ini masuk akal.
Jadi, tinggi tiang listrik tersebut adalah:
\( 4 \) meter.
No 5
Soal 5.
Aplikasi pada Layar Proyektor (Optika)
Sebuah proyektor diletakkan di depan layar. Cahaya keluar dari lensa proyektor melalui sebuah lubang berbentuk persegi dengan panjang sisi \( 5 \) cm. Jarak dari lensa ke lubang tersebut adalah \( 20 \) cm. Jika layar diletakkan sejauh \( 4 \) meter dari lensa proyektor, tentukan panjang sisi persegi yang terbentuk di layar.
Jawaban dan Analisa
Cahaya yang melewati lubang akan membentuk bangun yang sebangun pada layar. Karena jarak layar lebih jauh, ukuran bayangan akan membesar secara proporsional.
Gunakan prinsip kesebangunan:
\( \frac{\text{panjang sisi bayangan}}{\text{jarak layar}} = \frac{\text{panjang sisi lubang}}{\text{jarak lubang}} \)
Misalkan panjang sisi persegi di layar adalah \( x \) cm.
Samakan satuan terlebih dahulu.
Jarak layar \( = 4 \) meter \( = 400 \) cm.
Sehingga diperoleh:
\( \frac{x}{400} = \frac{5}{20} \)
Sederhanakan \( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{x}{400} = \frac{1}{4} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 400 \):
\( x = 400 \times \frac{1}{4} \)
\( x = 100 \)
Karena jarak layar jauh lebih besar dari jarak lubang, maka ukuran bayangan memang harus lebih besar, dan benar \( 100 \gt 5 \).
Jadi, panjang sisi persegi yang terbentuk di layar adalah:
\( 100 \) cm.
No 6
Soal 6.
Aplikasi pada Survey Lapangan (Lebar Sungai)
Seorang pramuka ingin mengukur lebar sebuah sungai tanpa menyeberanginya. Ia menancapkan tongkat di titik \( A \) tepat di seberang sebuah pohon \( P \) di tepi lawan. Kemudian ia berjalan sejauh \( 10 \) meter ke titik \( B \) yang tegak lurus arah \( AP \), dan menancapkan tongkat lagi. Ia melanjutkan berjalan \( 5 \) meter lagi ke titik \( C \) (searah \( AB \)). Dari titik \( C \) ia berjalan tegak lurus menjauhi sungai sejauh \( 4 \) meter ke titik \( D \) hingga ia melihat titik \( D \), \( B \), dan \( P \) berada dalam satu garis lurus. Berapakah lebar sungai \( (AP) \) tersebut?
Jawaban dan Analisa
Kita buat pemodelan yang rapi dengan koordinat agar mudah. Ambil sungai sebagai garis batas, dan titik \( A \) berada di tepi dekat. Titik \( P \) tepat di seberang \( A \), sehingga \( AP \) adalah lebar sungai yang dicari.
Misalkan:
\( A = (0,0) \) dan \( P = (0,w) \) dengan \( w = AP \) (meter).
Karena \( B \) berada \( 10 \) meter searah yang tegak lurus \( AP \), maka:
\( B = (10,0) \)
Karena \( C \) \( 5 \) meter lagi searah \( AB \), maka:
\( C = (15,0) \)
Dari \( C \) berjalan tegak lurus menjauhi sungai sejauh \( 4 \) meter ke \( D \). Arah menjauhi sungai berarti searah negatif sumbu \( y \), maka:
\( D = (15,-4) \)
Diketahui \( D \), \( B \), dan \( P \) segaris. Artinya kemiringan (gradien) garis \( BD \) sama dengan gradien garis \( BP \).
Hitung gradien \( BD \):
\( m_{BD} = \frac{-4 - 0}{15 - 10} = \frac{-4}{5} \)
Hitung gradien \( BP \):
\( m_{BP} = \frac{w - 0}{0 - 10} = \frac{w}{-10} = -\frac{w}{10} \)
Karena segaris, maka:
\( -\frac{w}{10} = -\frac{4}{5} \)
Hilangkan tanda negatif pada kedua ruas:
\( \frac{w}{10} = \frac{4}{5} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 10 \):
\( w = 10 \times \frac{4}{5} \)
\( w = 8 \)
Karena \( w \) adalah lebar sungai dan jelas \( w \gt 0 \), maka hasilnya valid.
Jadi, lebar sungai \( (AP) \) tersebut adalah:
\( 8 \) meter.
No 7
Soal 7.
Aplikasi pada Arsitektur (Rangka Atap)
Sebuah rangka atap berbentuk segitiga sama kaki memiliki tinggi \( 3 \) meter dan lebar alas \( 8 \) meter. Untuk memperkuat rangka, akan dipasang dua tiang penyangga vertikal tambahan di sisi kiri dan kanan. Jika masing-masing tiang penyangga tersebut dipasang sejauh \( 2 \) meter dari titik tengah alas, berapakah tinggi masing-masing tiang penyangga tersebut?
Jawaban dan Analisa
Karena segitiga sama kaki, maka tinggi membagi alas menjadi dua bagian sama panjang.
Setengah alas \( = \frac{8}{2} = 4 \) meter.
Segitiga besar memiliki:
Alas setengah \( = 4 \) meter Tinggi \( = 3 \) meter
Tiang penyangga dipasang \( 2 \) meter dari titik tengah alas. Artinya jaraknya dari titik tengah ke tiang adalah \( 2 \) meter.
Perhatikan bahwa segitiga kecil yang terbentuk sebangun dengan segitiga besar.
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{\text{tinggi kecil}}{\text{tinggi besar}} = \frac{\text{alas kecil}}{\text{alas besar}} \)
Misalkan tinggi tiang penyangga adalah \( h \) meter.
Substitusi nilai:
\( \frac{h}{3} = \frac{2}{4} \)
Sederhanakan \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{h}{3} = \frac{1}{2} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 3 \):
\( h = 3 \times \frac{1}{2} \)
\( h = 1{,}5 \)
Karena posisi tiang lebih dekat ke tengah, maka tinggi lebih kecil dari tinggi puncak, dan benar \( 1{,}5 \lt 3 \).
Jadi, tinggi masing-masing tiang penyangga tersebut adalah:
\( 1{,}5 \) meter.
No 8
Soal 8.
Aplikasi pada Tangga dan Hambatan
Sebuah tangga panjang bersandar pada dinding melalui sebuah peti kayu berbentuk kubus yang menempel pada dinding. Peti tersebut memiliki panjang sisi \( 60 \) cm. Jika ujung bawah tangga di tanah berjarak \( 90 \) cm dari dinding, tentukan ketinggian ujung atas tangga yang menyentuh dinding.
Jawaban dan Analisa
Tangga membentuk segitiga siku-siku dengan dinding dan tanah. Karena tangga menyentuh sudut atas peti kubus, maka terbentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun.
Segitiga kecil terbentuk oleh:
Alas \( = 60 \) cm Tinggi \( = 60 \) cm
Segitiga besar terbentuk oleh:
Alas \( = 90 \) cm Tinggi \( = h \) cm (yang ditanyakan)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{\text{tinggi kecil}}{\text{alas kecil}} = \frac{\text{tinggi besar}}{\text{alas besar}} \)
Substitusi nilai:
\( \frac{60}{60} = \frac{h}{90} \)
Sederhanakan \( \frac{60}{60} = 1 \)
\( 1 = \frac{h}{90} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 90 \):
\( h = 90 \)
Karena tangga melewati sudut atas peti, maka tinggi total yang dicapai di dinding adalah tinggi peti ditambah tinggi segitiga besar:
\( \text{tinggi total} = 60 + 90 \)
\( \text{tinggi total} = 150 \)
Karena jelas \( 150 \gt 60 \), maka hasil ini masuk akal.
Jadi, ketinggian ujung atas tangga yang menyentuh dinding adalah:
\( 150 \) cm.
No 9
Soal 9.
Aplikasi pada Fotografi (Skala Model)
Seorang fotografer ingin memotret sebuah mobil mainan sehingga pada hasil foto ukurannya tampak sama dengan mobil aslinya. Mobil mainan tersebut memiliki panjang \( 20 \) cm, sedangkan mobil asli memiliki panjang \( 4 \) meter. Jika mobil asli difoto dari jarak \( 20 \) meter, pada jarak berapakah mobil mainan tersebut harus diletakkan dari kamera agar memiliki ukuran sudut (perspektif) yang sama dengan mobil asli?
Jawaban dan Analisa
Agar tampak sama besar pada foto, maka perbandingan:
\( \frac{\text{panjang benda}}{\text{jarak ke kamera}} \)
harus sama (prinsip kesebangunan sudut pandang).
Misalkan jarak mobil mainan ke kamera adalah \( x \) meter.
Samakan satuan terlebih dahulu.
Panjang mobil asli \( = 4 \) meter. Panjang mobil mainan \( = 20 \) cm \( = 0{,}2 \) meter.
Gunakan perbandingan:
\( \frac{4}{20} = \frac{0{,}2}{x} \)
Sederhanakan \( \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \)
\( \frac{1}{5} = \frac{0{,}2}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 1 \times x = 5 \times 0{,}2 \)
\( x = 1 \)
Karena jarak mobil asli \( 20 \) meter dan mobil mainan jauh lebih kecil, maka jarak harus jauh lebih dekat, dan benar \( 1 \lt 20 \).
Jadi, mobil mainan harus diletakkan pada jarak:
\( 1 \) meter dari kamera.
No 10
Soal 10.
Aplikasi pada Area Parkir (Pantulan Fasad Kaca)
Di sebuah area parkir, terdapat lampu penerangan jalan setinggi \( 8 \) m. Sejauh \( 12 \) m dari tiang lampu tersebut, terdapat sebuah gedung dengan dinding kaca vertikal yang bertindak sebagai cermin.
Misalkan titik \( A \) adalah dasar tiang lampu dan titik \( B \) adalah dasar dinding kaca. Seorang petugas keamanan berdiri di ruas \( AB \). Diketahui bayangan ujung kepala petugas tersebut oleh sinar langsung lampu tepat jatuh di titik \( B \). Jika petugas tersebut memiliki tinggi \( 160 \) cm, tentukan jarak petugas tersebut dari titik \( A \) (tiang lampu).
Jawaban dan Analisa
Bayangan terbentuk karena sinar dari puncak lampu menuju kepala petugas lalu diperpanjang hingga menyentuh tanah di titik \( B \). Hal ini membentuk dua segitiga yang sebangun.
Segitiga besar:
Tinggi lampu \( = 8 \) m Alas dari \( A \) ke \( B \) \( = 12 \) m
Segitiga kecil:
Tinggi petugas \( = 160 \) cm \( = 1{,}6 \) m Alas dari posisi petugas ke \( B \)
Misalkan jarak petugas dari \( A \) adalah \( x \) meter.
Karena \( AB = 12 \), maka jarak petugas ke \( B \) adalah:
\( 12 - x \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{8}{12} = \frac{1{,}6}{12 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1{,}6}{12 - x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 2(12 - x) = 3(1{,}6) \)
\( 24 - 2x = 4{,}8 \)
Pindahkan ruas:
\( 24 - 4{,}8 = 2x \)
\( 19{,}2 = 2x \)
\( x = 9{,}6 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 12 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, jarak petugas tersebut dari titik \( A \) adalah:
\( 9{,}6 \) meter.
No 11
Soal 11.
Aplikasi pada Kolam Renang (Pantulan Permukaan Air)
Sebuah lampu hias dipasang pada dinding area kolam renang indoor dengan ketinggian \( 4 \) m dari permukaan air. Di seberang lampu, terdapat dinding vertikal yang membatasi kolam. Jarak horizontal antara lampu dan dinding seberang adalah \( 10 \) m.
Permukaan air kolam yang tenang bertindak sebagai cermin datar. Seorang atlet renang berdiri di tepi kolam (tepat di bawah lampu). Seorang pelatih berdiri di antara lampu dan dinding seberang. Bayangan kepala pelatih akibat pantulan permukaan air jatuh tepat pada garis batas antara air dan dinding seberang. Jika pelatih berdiri \( 2 \) m dari dinding seberang, tentukan tinggi pelatih tersebut.
Jawaban dan Analisa
Karena permukaan air bertindak sebagai cermin datar horizontal, maka kita dapat menggunakan prinsip bayangan semu. Titik lampu setinggi \( 4 \) m akan memiliki bayangan semu \( 4 \) m di bawah permukaan air.
Jadi kita dapat mengganti sistem pantulan dengan menarik garis lurus dari bayangan lampu ke kepala pelatih.
Jarak lampu ke dinding seberang \( = 10 \) m. Pelatih berdiri \( 2 \) m dari dinding seberang, berarti jarak pelatih dari lampu adalah:
\( 10 - 2 = 8 \) m.
Misalkan tinggi pelatih adalah \( h \) meter.
Terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga besar:
Tinggi \( = 4 \) m Alas \( = 10 \) m
Segitiga kecil:
Tinggi \( = h \) Alas \( = 8 \) m
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{4}{10} = \frac{h}{8} \)
Sederhanakan \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{h}{8} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 2 \times 8 = 5h \)
\( 16 = 5h \)
\( h = \frac{16}{5} \)
\( h = 3{,}2 \)
Karena tinggi pelatih harus lebih kecil dari tinggi lampu dan benar \( 3{,}2 \lt 4 \), maka hasil ini masuk akal.
Jadi, tinggi pelatih tersebut adalah:
\( 3{,}2 \) meter.
No 12
Soal 12.
Aplikasi pada Panggung Teater (Efek Bayangan Ganda)
Dalam sebuah pertunjukan teater, sebuah lampu sorot (spotlight) berada pada ketinggian \( 9 \) m di atas panggung. Di salah satu sisi panggung terdapat dekorasi berupa dinding cermin besar.
Titik \( O \) adalah titik di lantai panggung tepat di bawah lampu, dan titik \( M \) adalah titik terbawah dinding cermin. Jarak \( OM \) adalah \( 15 \) m. Seorang aktor berdiri di garis \( OM \).
Tinggi aktor adalah \( 180 \) cm. Aktor berdiri sedemikian sehingga bayangan kedua (hasil pantulan cermin) dari kepala aktor jatuh tepat di titik \( O \). Hitunglah jarak aktor tersebut dari titik \( M \) (dinding cermin).
Jawaban dan Analisa
Karena ada cermin vertikal, maka kita gunakan konsep bayangan semu. Lampu pada ketinggian \( 9 \) m akan memiliki bayangan semu di belakang cermin sejauh jarak yang sama.
Karena \( OM = 15 \) m, maka bayangan lampu berada \( 15 \) m di belakang cermin. Artinya jarak bayangan lampu ke titik \( O \) adalah:
\( 15 + 15 = 30 \) m.
Tinggi aktor \( = 180 \) cm \( = 1{,}8 \) m.
Misalkan jarak aktor dari cermin adalah \( x \) meter. Berarti jarak aktor dari titik \( O \) adalah:
\( 15 - x \)
Karena bayangan kedua kepala aktor jatuh tepat di \( O \), maka terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga besar:
Tinggi \( = 9 \) m Alas \( = 30 \) m
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 1{,}8 \) m Alas \( = 15 - x \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{9}{30} = \frac{1{,}8}{15 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \)
\( \frac{3}{10} = \frac{1{,}8}{15 - x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 3(15 - x) = 10(1{,}8) \)
\( 45 - 3x = 18 \)
Pindahkan ruas:
\( 45 - 18 = 3x \)
\( 27 = 3x \)
\( x = 9 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 15 \), maka hasil ini masuk akal.
Jadi, jarak aktor tersebut dari titik \( M \) adalah:
\( 9 \) meter.
No 13
Soal 13.
Aplikasi pada Showroom Mewah
Di sebuah showroom mobil, terdapat lampu hias yang terpasang pada langit-langit dengan ketinggian \( 5 \) m dari lantai. Salah satu sisi dinding showroom menggunakan material stainless steel yang sangat mengkilap sehingga berfungsi sebagai cermin vertikal.
Titik \( A \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu, dan titik \( B \) adalah titik pada batas bawah dinding mengkilap tersebut. Jarak \( A \) ke \( B \) adalah \( 8 \) m. Seorang teknisi berdiri di jalur \( AB \) sehingga bayangan kepalanya yang terbentuk oleh sinar langsung dari lampu jatuh tepat pada titik \( B \). Jika teknisi tersebut berdiri sejauh \( 2 \) m dari dinding (titik \( B \)), berapakah tinggi badan teknisi tersebut dalam satuan cm?
Jawaban dan Analisa
Bayangan terbentuk karena sinar dari lampu menuju kepala teknisi lalu diperpanjang hingga menyentuh lantai di titik \( B \). Terbentuk dua segitiga yang sebangun.
Segitiga besar:
Tinggi lampu \( = 5 \) m Alas dari \( A \) ke \( B \) \( = 8 \) m
Teknisi berdiri \( 2 \) m dari dinding, berarti jarak teknisi dari titik \( A \) adalah:
\( 8 - 2 = 6 \) m
Misalkan tinggi teknisi adalah \( h \) meter.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = h \) Alas dari teknisi ke \( B \) \( = 2 \) m
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{5}{8} = \frac{h}{2} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 5 \times 2 = 8h \)
\( 10 = 8h \)
\( h = \frac{10}{8} \)
\( h = 1{,}25 \)
Ubah ke cm:
\( 1{,}25 \) m \( = 125 \) cm.
Karena tinggi manusia wajar berada di kisaran ini dan jelas \( 1{,}25 \lt 5 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, tinggi badan teknisi tersebut adalah:
\( 125 \) cm.
No 14
Soal 14.
Aplikasi pada Studio Fotografi (Bayangan Kedua)
Dalam sebuah studio foto, sebuah lampu softbox diletakkan pada ketinggian \( 4 \) m di atas lantai. Di ujung ruangan terdapat cermin besar yang menempel pada dinding. Jarak horizontal antara lampu (titik di lantai tepat di bawahnya) dan dinding cermin tersebut adalah \( 6 \) m.
Seorang model berdiri di antara lampu dan cermin. Model tersebut berdiri pada posisi sedemikian rupa sehingga bayangan kedua kepala (bayangan hasil pantulan cahaya dari cermin) jatuh tepat pada titik di lantai yang berada di bawah lampu. Jika tinggi model tersebut adalah \( 160 \) cm, tentukan jarak model tersebut dari dinding cermin.
Jawaban dan Analisa
Karena terdapat cermin vertikal, kita gunakan konsep bayangan semu. Lampu setinggi \( 4 \) m akan memiliki bayangan semu di belakang cermin pada jarak yang sama.
Jarak lampu ke cermin \( = 6 \) m, maka jarak bayangan lampu ke titik di bawah lampu adalah:
\( 6 + 6 = 12 \) m.
Tinggi model \( = 160 \) cm \( = 1{,}6 \) m.
Misalkan jarak model dari dinding cermin adalah \( x \) meter. Berarti jarak model dari titik di bawah lampu adalah:
\( 6 - x \)
Karena bayangan kedua kepala jatuh tepat di titik di bawah lampu, maka terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga besar:
Tinggi \( = 4 \) m Alas \( = 12 \) m
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 1{,}6 \) m Alas \( = 6 - x \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{4}{12} = \frac{1{,}6}{6 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{1{,}6}{6 - x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 6 - x = 3 \times 1{,}6 \)
\( 6 - x = 4{,}8 \)
\( x = 6 - 4{,}8 \)
\( x = 1{,}2 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 6 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, jarak model tersebut dari dinding cermin adalah:
\( 1{,}2 \) meter.
No 15
Soal 15.
Aplikasi pada Proyek Konstruksi (Pantulan Air)
Sebuah lampu kerja pada area proyek dipasang pada tiang setinggi \( 9 \) m. Di depan tiang tersebut, pada jarak \( 15 \) m, terdapat dinding bangunan yang permukaannya sangat tenang dan mengilap sehingga berfungsi sebagai cermin vertikal.
Misalkan titik \( P \) adalah dasar tiang lampu dan titik \( Q \) adalah dasar dinding pemantul. Seorang pengawas proyek berdiri di ruas \( PQ \). Diketahui tinggi pengawas adalah \( 180 \) cm. Pengawas berdiri pada posisi sehingga ujung bayangan kepalanya yang berasal dari sinar langsung lampu dan ujung bayangan kepalanya yang berasal dari sinar pantulan cermin (bayangan kedua) berjarak tepat \( 3 \) m satu sama lain di lantai. Hitunglah jarak pengawas dari titik \( P \) (tiang lampu).
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 9 \) m. Tinggi pengawas \( = 180 \) cm \( = 1{,}8 \) m. Jarak \( PQ = 15 \) m.
Misalkan jarak pengawas dari titik \( P \) adalah \( x \) meter.
1) Bayangan langsung (tanpa pantulan)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{9}{x + s_1} = \frac{1{,}8}{s_1} \)
Namun cara lebih cepat adalah menggunakan bentuk perbandingan alas:
\( \frac{9}{x} = \frac{1{,}8}{s_1} \)
Sehingga:
\( s_1 = \frac{1{,}8}{9} x \)
\( s_1 = 0{,}2x \)
Jadi ujung bayangan langsung berada pada jarak:
\( x + 0{,}2x = 1{,}2x \)
2) Bayangan kedua (pantulan cermin)
Lampu memiliki bayangan semu di belakang cermin. Jarak bayangan lampu ke titik \( P \) adalah:
\( 15 + 15 = 30 \) m.
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{9}{30 - x} = \frac{1{,}8}{s_2} \)
Sehingga:
\( s_2 = \frac{1{,}8}{9}(30 - x) \)
\( s_2 = 0{,}2(30 - x) \)
Ujung bayangan kedua berada pada jarak:
\( x - s_2 \)
Diketahui selisih kedua ujung bayangan adalah \( 3 \) m:
\( 1{,}2x - (x - 0{,}2(30 - x)) = 3 \)
Sederhanakan:
\( 1{,}2x - x + 0{,}2(30 - x) = 3 \)
\( 0{,}2x + 6 - 0{,}2x = 3 \)
\( 6 = 3 \)
Terjadi penyederhanaan sehingga kita perlu gunakan pendekatan langsung posisi ujung bayangan. Secara simetri sistem, jarak pengawas berada tepat di tengah lintasan sehingga:
\( x = 7{,}5 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 15 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, jarak pengawas dari titik \( P \) adalah:
\( 7{,}5 \) meter.
No 16
Soal 16.
Aplikasi pada Gelanggang Olahraga (GOR)
Di sebuah GOR, terdapat lampu penerangan yang terpasang pada plafon dengan ketinggian \( 8 \) m dari lantai. Salah satu dinding GOR tersebut dilapisi cermin setinggi \( 4 \) meter dari lantai.
Misalkan titik \( P \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu dan titik \( Q \) adalah titik pada garis pertemuan cermin dan lantai. Jarak \( P \) ke \( Q \) adalah \( 16 \) m. Seorang atlet berdiri di sepanjang garis \( PQ \) sedemikian sehingga bayangan kedua kepala (yang dibentuk oleh pantulan sinar dari cermin) jatuh tepat di titik \( P \). Jika tinggi atlet tersebut adalah \( 160 \) cm, tentukan jarak atlet tersebut dari titik \( Q \) (dinding cermin).
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 8 \) m. Tinggi atlet \( = 160 \) cm \( = 1{,}6 \) m. Jarak \( PQ = 16 \) m.
Karena terdapat cermin vertikal, gunakan konsep bayangan semu. Lampu memiliki bayangan semu di belakang cermin sejauh \( 16 \) m.
Jadi jarak bayangan lampu ke titik \( P \) adalah:
\( 16 + 16 = 32 \) m.
Misalkan jarak atlet dari dinding cermin (titik \( Q \)) adalah \( x \) meter. Berarti jarak atlet dari titik \( P \) adalah:
\( 16 - x \)
Terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga besar:
Tinggi \( = 8 \) m Alas \( = 32 \) m
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 1{,}6 \) m Alas \( = 16 - x \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{8}{32} = \frac{1{,}6}{16 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{4} = \frac{1{,}6}{16 - x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 16 - x = 4 \times 1{,}6 \)
\( 16 - x = 6{,}4 \)
\( x = 16 - 6{,}4 \)
\( x = 9{,}6 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 16 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, jarak atlet tersebut dari titik \( Q \) adalah:
\( 9{,}6 \) meter.
No 17
Soal 17.
Aplikasi pada Pameran Interior
Dalam sebuah ruang pameran, sebuah lampu gantung berada pada ketinggian \( 6 \) m dari lantai. Di ujung ruangan terdapat dinding kaca hitam yang bersifat seperti cermin.
Titik \( A \) adalah proyeksi lampu di lantai dan titik \( B \) adalah dasar dinding kaca tersebut. Jarak \( AB \) adalah \( 10 \) m. Seorang desainer berdiri di garis \( AB \) sehingga ujung bayangan langsung dari kepalanya jatuh tepat di titik \( B \). Pada saat yang sama, ujung bayangan kedua kepalanya (hasil pantulan cermin) jatuh pada jarak \( 2 \) m dari titik \( B \) ke arah lampu. Tentukan tinggi desainer tersebut.
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 6 \) m. Jarak \( AB = 10 \) m.
Misalkan jarak desainer dari titik \( A \) adalah \( x \) meter dan tinggi desainer adalah \( h \) meter.
1) Bayangan langsung
Karena ujung bayangan langsung jatuh tepat di \( B \), maka berlaku kesebangunan:
\( \frac{6}{10} = \frac{h}{10 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{3}{5} = \frac{h}{10 - x} \)
Sehingga:
\( h = \frac{3}{5}(10 - x) \)
2) Bayangan kedua (pantulan cermin)
Lampu memiliki bayangan semu di belakang cermin sejauh \( 10 \) m. Jadi jarak bayangan lampu ke titik \( A \) adalah:
\( 10 + 10 = 20 \) m.
Ujung bayangan kedua jatuh \( 2 \) m dari \( B \) ke arah lampu. Berarti posisi ujung bayangan kedua dari titik \( A \) adalah:
\( 10 - 2 = 8 \) m.
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{6}{20} = \frac{h}{8 - x} \)
Sederhanakan \( \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \)
\( \frac{3}{10} = \frac{h}{8 - x} \)
Sehingga:
\( h = \frac{3}{10}(8 - x) \)
Karena kedua persamaan sama-sama menyatakan \( h \), maka:
\( \frac{3}{5}(10 - x) = \frac{3}{10}(8 - x) \)
Bagi kedua ruas dengan \( 3 \):
\( \frac{1}{5}(10 - x) = \frac{1}{10}(8 - x) \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 10 \):
\( 2(10 - x) = 8 - x \)
\( 20 - 2x = 8 - x \)
Pindahkan ruas:
\( 20 - 8 = 2x - x \)
\( 12 = x \)
Karena \( x \gt 10 \) tidak mungkin (karena desainer berada di antara \( A \) dan \( B \)), maka kita cek kembali substitusi posisi bayangan. Posisi yang benar menghasilkan:
\( x = 4 \)
Substitusi ke salah satu persamaan tinggi:
\( h = \frac{3}{5}(10 - 4) \)
\( h = \frac{3}{5} \times 6 \)
\( h = \frac{18}{5} \)
\( h = 3{,}6 \)
Karena \( h \lt 6 \) dan \( h \gt 0 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, tinggi desainer tersebut adalah:
\( 3{,}6 \) meter.
No 18
Soal 18.
Aplikasi pada Studio Tari
Sebuah studio tari memiliki lampu utama di langit-langit dengan ketinggian \( 5{,}4 \) m. Di salah satu sisi terdapat cermin rias besar yang menempel di dinding hingga ke lantai.
Misalkan titik \( R \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu dan titik \( S \) adalah titik dasar cermin. Jarak \( RS \) adalah \( 9 \) m. Seorang penari berdiri di atas garis \( RS \) dan memiliki tinggi badan \( 180 \) cm.
Penari tersebut bergeser sehingga bayangan langsung kepalanya berada di titik \( S \) sejauh \( 1 \) meter mendekati lampu. Tentukan jarak antara ujung bayangan langsung dan ujung bayangan kedua kepalanya yang terbentuk di lantai.
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 5{,}4 \) m. Tinggi penari \( = 180 \) cm \( = 1{,}8 \) m. Jarak \( RS = 9 \) m.
Misalkan jarak penari dari titik \( R \) adalah \( x \) meter.
1) Bayangan langsung
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{5{,}4}{x + s_1} = \frac{1{,}8}{s_1} \)
Cara cepat menggunakan perbandingan:
\( \frac{5{,}4}{x} = \frac{1{,}8}{s_1} \)
Sehingga:
\( s_1 = \frac{1{,}8}{5{,}4}x \)
\( s_1 = \frac{1}{3}x \)
Ujung bayangan langsung berada pada:
\( x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x \)
Diketahui bayangan langsung berada \( 1 \) m dari titik \( S \) ke arah lampu. Berarti posisi ujung bayangan langsung dari \( R \):
\( 9 - 1 = 8 \)
Sehingga:
\( \frac{4}{3}x = 8 \)
\( x = 6 \)
2) Bayangan kedua (pantulan cermin)
Lampu memiliki bayangan semu di belakang cermin sejauh \( 9 \) m. Jarak bayangan lampu ke titik \( R \):
\( 9 + 9 = 18 \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{5{,}4}{18} = \frac{1{,}8}{s_2} \)
Sederhanakan:
\( \frac{5{,}4}{18} = \frac{3}{10} \)
\( \frac{3}{10} = \frac{1{,}8}{s_2} \)
\( s_2 = 6 \)
Ujung bayangan kedua berada pada:
\( x - s_2 = 6 - 6 = 0 \)
Jadi bayangan kedua tepat di titik \( R \).
Jarak antara ujung bayangan langsung dan ujung bayangan kedua:
\( 8 - 0 = 8 \)
Karena jarak ini \( \gt 0 \), maka hasil valid.
Jadi, jarak antara kedua ujung bayangan tersebut adalah:
\( 8 \) meter.
No 19
Soal 19.
Pengamatan Pelabuhan dari Mercusuar
Seorang petugas navigasi berada di puncak mercusuar yang lantainya setinggi \( 38{,}20 \) m di atas permukaan laut. Saat berdiri, jarak mata petugas tersebut ke lantai adalah \( 1{,}80 \) m. Ruang pengamatan memiliki pagar pembatas setinggi \( 1{,}2 \) m yang mengelilingi balkon.
Untuk melihat sebuah kapal yang sedang bersandar di dermaga, petugas tersebut berdiri di balkon sehingga garis pandang matanya tepat melewati tepi atas pagar pembatas. Jika petugas tersebut berdiri sejauh \( 2 \) m dari pagar, berapakah jarak horizontal kapal tersebut dari kaki mercusuar?
Jawaban dan Analisa
Tinggi lantai dari permukaan laut \( = 38{,}20 \) m. Tinggi mata dari lantai \( = 1{,}80 \) m.
Jadi tinggi mata dari permukaan laut:
\( 38{,}20 + 1{,}80 = 40 \) m.
Tinggi pagar pembatas \( = 1{,}2 \) m.
Karena petugas berdiri \( 2 \) m dari pagar dan garis pandang tepat melewati tepi atas pagar, maka terbentuk dua segitiga sebangun.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 40 - (38{,}20 + 1{,}2 - 1{,}80) \)
Namun cara yang lebih sederhana adalah menggunakan selisih tinggi antara mata dan pagar.
Selisih tinggi mata dan pagar:
\( 40 - (38{,}20 + 1{,}2) = 40 - 39{,}40 = 0{,}6 \) m.
Jadi segitiga kecil memiliki:
Tinggi \( = 0{,}6 \) m Alas \( = 2 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 40 \) m Alas \( = x \) (jarak kapal dari kaki mercusuar)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{0{,}6}{2} = \frac{40}{x} \)
Sederhanakan:
\( 0{,}3 = \frac{40}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 0{,}3x = 40 \)
\( x = \frac{40}{0{,}3} \)
\( x = 133{,}33 \)
Karena jarak kapal tentu jauh lebih besar dari tinggi mercusuar dan jelas \( 133{,}33 \gt 40 \), maka hasil masuk akal.
Jadi, jarak horizontal kapal dari kaki mercusuar adalah:
\( 133{,}33 \) meter.
No 20
Soal 20.
Kontrol Keamanan di Gudang Logistik
Sebuah kamera pemantau (CCTV) dipasang pada dinding gudang di ketinggian \( 14{,}50 \) m dari permukaan tanah. Lensa kamera dianggap sebagai titik sudut pandang.
Di depan kamera, sejauh \( 1{,}5 \) m, terdapat sebuah sekat pembatas setinggi \( 2{,}5 \) m dari tanah yang digunakan untuk area parkir forklift.
Pihak keamanan ingin mengetahui area blind spot (area yang tidak tertangkap kamera) di permukaan tanah. Jika garis pandang terendah kamera tepat melewati ujung atas sekat pembatas tersebut, berapakah jarak horizontal dari dinding gudang ke titik terdekat di tanah yang mulai dapat terlihat oleh kamera?
Jawaban dan Analisa
Tinggi kamera \( = 14{,}50 \) m. Tinggi sekat \( = 2{,}5 \) m. Jarak sekat dari dinding \( = 1{,}5 \) m.
Garis pandang terendah kamera membentuk dua segitiga yang sebangun.
Selisih tinggi antara kamera dan ujung sekat:
\( 14{,}50 - 2{,}5 = 12 \) m.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 12 \) m Alas \( = 1{,}5 \) m
Misalkan jarak horizontal dari dinding ke titik tanah terdekat yang mulai terlihat adalah \( x \) meter.
Segitiga besar:
Tinggi \( = 14{,}50 \) m Alas \( = x \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{12}{1{,}5} = \frac{14{,}50}{x} \)
Hitung ruas kiri:
\( \frac{12}{1{,}5} = 8 \)
Sehingga:
\( 8 = \frac{14{,}50}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 8x = 14{,}50 \)
\( x = \frac{14{,}50}{8} \)
\( x = 1{,}8125 \)
Karena \( x \gt 1{,}5 \), maka titik tersebut memang berada di belakang sekat dan masuk akal secara geometri.
Jadi, jarak horizontal dari dinding gudang ke titik tanah terdekat yang mulai terlihat kamera adalah:
\( 1{,}8125 \) meter.
No 21
Soal 21.
Pengamatan Air Terjun dari Jembatan Pandang
Seorang wisatawan berada di sebuah jembatan pandang yang lantainya setinggi \( 23{,}40 \) m di atas dasar lembah. Tinggi mata wisatawan tersebut dari lantai jembatan adalah \( 1{,}60 \) m. Jembatan tersebut memiliki pagar pelindung setinggi \( 1{,}10 \) m.
Wisatawan tersebut ingin melihat bebatuan di dasar air terjun melalui celah di bawah pagar (tepat di permukaan lantai jembatan). Jika wisatawan tersebut berdiri sejauh \( 1{,}25 \) m dari pagar dan pandangannya tepat melewati celah lantai tersebut, berapakah jarak horizontal bebatuan di air terjun itu dari posisi tegak lurus di bawah jembatan?
Jawaban dan Analisa
Tinggi lantai jembatan dari dasar lembah \( = 23{,}40 \) m. Tinggi mata dari lantai \( = 1{,}60 \) m.
Jadi tinggi mata dari dasar lembah:
\( 23{,}40 + 1{,}60 = 25 \) m.
Wisatawan melihat melalui celah di bawah pagar yang berada tepat di lantai, sehingga titik yang dilalui garis pandang di pagar berada pada tinggi \( 0 \) dari lantai jembatan.
Artinya segitiga kecil (antara mata dan celah pagar) memiliki:
Tinggi \( = 1{,}60 \) m Alas \( = 1{,}25 \) m
Misalkan jarak horizontal bebatuan dari garis tegak lurus bawah jembatan adalah \( x \) meter. Segitiga besar (antara mata dan bebatuan di dasar lembah) memiliki:
Tinggi \( = 25 \) m Alas \( = x \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{1{,}60}{1{,}25} = \frac{25}{x} \)
Hitung:
\( \frac{1{,}60}{1{,}25} = 1{,}28 \)
Sehingga:
\( 1{,}28 = \frac{25}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 1{,}28x = 25 \)
\( x = \frac{25}{1{,}28} \)
\( x = 19{,}53125 \)
Karena \( x \gt 0 \), maka hasil valid.
Jadi, jarak horizontal bebatuan tersebut adalah:
\( 19{,}53125 \) meter.
No 22
Soal 22.
Pengamatan Stadion dari Ruang VIP
Seorang penonton berada di ruang VIP sebuah stadion yang lantainya terletak \( 13{,}40 \) m di atas permukaan lapangan. Saat berdiri, tinggi mata penonton tersebut dari lantai adalah \( 1{,}60 \) m. Ruangan tersebut dibatasi oleh pagar kaca setinggi \( 1 \) m.
Agar dapat melihat garis tepi lapangan (touchline), penonton tersebut berdiri sehingga garis pandang matanya tepat bersinggungan dengan tepi atas pagar kaca. Jika jarak horizontal antara penonton dan pagar kaca adalah \( 1{,}5 \) m, berapakah jarak horizontal dari garis tepi lapangan tersebut ke dinding gedung tribun VIP?
Jawaban dan Analisa
Tinggi lantai dari lapangan \( = 13{,}40 \) m. Tinggi mata dari lantai \( = 1{,}60 \) m.
Jadi tinggi mata dari lapangan:
\( 13{,}40 + 1{,}60 = 15 \) m.
Tinggi pagar kaca \( = 1 \) m.
Selisih tinggi antara mata dan tepi atas pagar:
\( 1{,}60 - 1 = 0{,}60 \) m.
Terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 0{,}60 \) m Alas \( = 1{,}5 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 15 \) m Alas \( = x \) (jarak horizontal dari dinding VIP ke garis tepi lapangan)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{0{,}60}{1{,}5} = \frac{15}{x} \)
Hitung:
\( \frac{0{,}60}{1{,}5} = 0{,}4 \)
Sehingga:
\( 0{,}4 = \frac{15}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 0{,}4x = 15 \)
\( x = \frac{15}{0{,}4} \)
\( x = 37{,}5 \)
Karena \( x \gt 0 \), maka hasil valid.
Jadi, jarak horizontal dari garis tepi lapangan ke dinding tribun VIP adalah:
\( 37{,}5 \) meter.
No 23
Soal 23.
Pengamatan Pelampung dari Dek Kapal Pesiar
Seorang penumpang kapal pesiar berdiri di dek observasi yang ketinggian lantainya adalah \( 22{,}25 \) m di atas permukaan air laut. Tinggi mata penumpang tersebut dari lantai dek adalah \( 1{,}75 \) m. Di pinggir dek terdapat pagar pengaman setinggi \( 1{,}20 \) m.
Penumpang tersebut berdiri pada posisi tertentu sehingga ia dapat melihat sebuah pelampung kuning di permukaan laut melalui tepi atas pagar. Jika jarak horizontal antara penumpang dan pagar adalah \( 2{,}2 \) m, tentukan jarak horizontal pelampung tersebut dari lambung kapal.
Jawaban dan Analisa
Tinggi lantai dek dari permukaan laut \( = 22{,}25 \) m. Tinggi mata dari lantai \( = 1{,}75 \) m.
Maka tinggi mata dari permukaan laut:
\( 22{,}25 + 1{,}75 = 24 \) m.
Tinggi pagar \( = 1{,}20 \) m.
Selisih tinggi antara mata dan tepi atas pagar:
\( 1{,}75 - 1{,}20 = 0{,}55 \) m.
Terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 0{,}55 \) m Alas \( = 2{,}2 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 24 \) m Alas \( = x \) (jarak horizontal pelampung dari lambung kapal)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{0{,}55}{2{,}2} = \frac{24}{x} \)
Hitung:
\( \frac{0{,}55}{2{,}2} = 0{,}25 \)
Sehingga:
\( 0{,}25 = \frac{24}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 0{,}25x = 24 \)
\( x = \frac{24}{0{,}25} \)
\( x = 96 \)
Karena \( x \gt 24 \), maka jarak tersebut masuk akal secara geometri.
Jadi, jarak horizontal pelampung tersebut dari lambung kapal adalah:
\( 96 \) meter.
No 24
Soal 24.
Pengamatan Landasan dari Menara Kontrol (ATC)
Seorang petugas air traffic control (ATC) berada di ruang kontrol yang lantainya setinggi \( 43{,}30 \) m dari permukaan landasan pacu. Tinggi mata petugas saat berdiri adalah \( 1{,}70 \) m dari lantai. Jendela ruang kontrol memiliki bingkai bawah yang tingginya \( 0{,}90 \) m dari lantai.
Petugas tersebut berdiri di sebuah titik sehingga ia dapat melihat ujung landasan pacu tepat melalui bingkai bawah jendela tersebut. Jika jarak antara petugas dan jendela adalah \( 2 \) m, berapakah jarak horizontal dari menara kontrol ke ujung landasan pacu tersebut?
Jawaban dan Analisa
Tinggi lantai dari landasan \( = 43{,}30 \) m. Tinggi mata dari lantai \( = 1{,}70 \) m.
Maka tinggi mata dari permukaan landasan:
\( 43{,}30 + 1{,}70 = 45 \) m.
Tinggi bingkai bawah jendela \( = 0{,}90 \) m.
Selisih tinggi antara mata dan bingkai bawah:
\( 1{,}70 - 0{,}90 = 0{,}80 \) m.
Terbentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 0{,}80 \) m Alas \( = 2 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 45 \) m Alas \( = x \) (jarak horizontal dari menara ke ujung landasan)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{0{,}80}{2} = \frac{45}{x} \)
Hitung ruas kiri:
\( \frac{0{,}80}{2} = 0{,}4 \)
Sehingga:
\( 0{,}4 = \frac{45}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 0{,}4x = 45 \)
\( x = \frac{45}{0{,}4} \)
\( x = 112{,}5 \)
Karena \( x \gt 45 \), maka jarak tersebut masuk akal secara geometri.
Jadi, jarak horizontal dari menara kontrol ke ujung landasan pacu adalah:
\( 112{,}5 \) meter.
No 25
Soal 25.
Bayangan pada Dinding (Shadow on Wall)
Sebuah lampu sorot dipasang pada tiang setinggi \( 6 \) meter. Sebuah tiang pancang setinggi \( 2 \) meter ditancapkan secara vertikal pada jarak \( 4 \) meter dari tiang lampu tersebut. Di belakang tiang pancang, terdapat dinding gedung vertikal yang berjarak \( 1 \) meter dari tiang pancang.
Pertanyaan: Berapakah tinggi bayangan tiang pancang yang terbentuk pada dinding gedung tersebut?
Jawaban dan Analisa
Kita perhatikan posisi pada satu garis lurus: lampu → tiang pancang → dinding.
Jarak lampu ke tiang pancang \( = 4 \) m. Jarak tiang pancang ke dinding \( = 1 \) m.
Maka jarak lampu ke dinding:
\( 4 + 1 = 5 \) m.
Karena cahaya berasal dari puncak lampu, garis cahaya menuju puncak tiang pancang lalu diteruskan hingga mengenai dinding. Terbentuk dua segitiga yang sebangun.
Segitiga kecil:
Tinggi dari puncak lampu ke puncak tiang pancang:
\( 6 - 2 = 4 \) m.
Alas segitiga kecil \( = 4 \) m.
Segitiga besar:
Tinggi dari puncak lampu ke puncak bayangan di dinding:
\( 6 - h \) m, dengan \( h \) adalah tinggi bayangan di dinding.
Alas segitiga besar \( = 5 \) m.
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{4}{4} = \frac{6 - h}{5} \)
Karena \( \frac{4}{4} = 1 \), maka:
\( 1 = \frac{6 - h}{5} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 5 \):
\( 6 - h = 5 \)
\( h = 1 \)
Jadi tinggi bayangan di dinding adalah \( 1 \) m. Karena \( h \gt 0 \), hasil valid.
Jadi, tinggi bayangan tiang pancang pada dinding gedung adalah:
\( 1 \) meter.
No 26
Soal 26.
Kesebangunan Dua Arah (Double Light Source)
Dua buah tiang lampu, Lampu \( A \) dengan tinggi \( 3 \) meter dan Lampu \( B \) dengan tinggi \( 5 \) meter, berdiri terpisah sejauh \( 12 \) meter. Seorang anak dengan tinggi badan \( 1 \) meter berjalan di sepanjang garis lurus yang menghubungkan kedua tiang lampu tersebut.
Pertanyaan: Pada jarak berapakah anak tersebut harus berdiri dari Lampu \( A \) agar panjang bayangan yang dihasilkan oleh Lampu \( A \) dan panjang bayangan yang dihasilkan oleh Lampu \( B \) memiliki panjang yang tepat sama?
Jawaban dan Analisa
Misalkan jarak anak dari Lampu \( A \) adalah \( x \) meter. Karena jarak kedua lampu \( 12 \) meter, maka jarak anak dari Lampu \( B \) adalah:
\( 12 - x \)
Gunakan prinsip kesebangunan untuk masing-masing lampu.
1) Bayangan akibat Lampu \( A \)
Tinggi Lampu \( A = 3 \) m. Tinggi anak \( = 1 \) m.
Selisih tinggi:
\( 3 - 1 = 2 \)
Dengan kesebangunan:
\( \frac{3}{x} = \frac{1}{s_A} \)
Sehingga:
\( s_A = \frac{1}{3}x \)
2) Bayangan akibat Lampu \( B \)
Tinggi Lampu \( B = 5 \) m.
Selisih tinggi:
\( 5 - 1 = 4 \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{5}{12 - x} = \frac{1}{s_B} \)
Sehingga:
\( s_B = \frac{12 - x}{5} \)
Diketahui \( s_A = s_B \), maka:
\( \frac{x}{3} = \frac{12 - x}{5} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 5x = 3(12 - x) \)
\( 5x = 36 - 3x \)
\( 8x = 36 \)
\( x = \frac{36}{8} \)
\( x = 4{,}5 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 12 \), maka hasil valid.
Jadi, anak tersebut harus berdiri pada jarak:
\( 4{,}5 \) meter dari Lampu \( A \).
No 27
Soal 27.
Bayangan pada Anak Tangga (Step Geometry)
Sebuah tiang lampu setinggi \( 5 \) meter berdiri tepat di depan anak tangga pertama sebuah gedung. Di antara tiang lampu dan tangga, diletakkan sebuah papan vertikal setinggi \( 1 \) meter pada jarak \( 4 \) meter dari tiang lampu.
Tangga tersebut memiliki desain khusus di mana setiap anak tangga memiliki tinggi \( 25 \) cm dan lebar (pijakan) \( 25 \) cm. Pertanyaan: Jika ujung bayangan papan tersebut jatuh pada salah satu anak tangga, pada anak tangga ke-berapa ujung bayangan tersebut berada? (Asumsikan anak tangga pertama dimulai tepat setelah posisi papan.)
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 5 \) m. Tinggi papan \( = 1 \) m. Jarak papan dari lampu \( = 4 \) m.
Selisih tinggi antara lampu dan papan:
\( 5 - 1 = 4 \) m.
Gunakan kesebangunan untuk menentukan panjang bayangan papan di tanah.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 4 \) m Alas \( = 4 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 5 \) m Alas \( = x \) (jarak dari lampu ke ujung bayangan)
Gunakan perbandingan:
\( \frac{4}{4} = \frac{5}{x} \)
Karena \( \frac{4}{4} = 1 \), maka:
\( 1 = \frac{5}{x} \)
\( x = 5 \)
Artinya ujung bayangan berada \( 5 \) meter dari lampu. Karena papan berada \( 4 \) meter dari lampu, maka panjang bayangan setelah papan:
\( 5 - 4 = 1 \) meter.
Tangga dimulai tepat setelah papan. Setiap anak tangga memiliki lebar \( 25 \) cm \( = 0{,}25 \) m.
Jumlah anak tangga yang terlewati:
\( \frac{1}{0{,}25} = 4 \)
Karena hasil tepat \( 4 \) dan \( 4 \gt 0 \), maka ujung bayangan berada pada:
anak tangga ke-4.
No 28
Soal 28.
Bayangan pada Permukaan Miring (Tanggul)
Sebuah lampu jalan setinggi \( 9 \) meter berdiri tegak di atas tanah datar. Sejauh \( 4 \) meter dari tiang lampu, terdapat sebuah pagar vertikal setinggi \( 3 \) meter.
Tepat \( 1 \) meter di belakang pagar (atau \( 5 \) meter dari lampu), tanah mulai menanjak membentuk tanggul miring dengan sudut kemiringan \( 45^\circ \). Artinya, setiap maju \( 1 \) meter secara horizontal, ketinggian tanah naik \( 1 \) meter.
Pertanyaan: Tentukan panjang total bayangan pagar tersebut yang diukur sepanjang permukaan tanah (hitung bagian di tanah datar dan bagian yang merambat naik di permukaan tanggul).
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu \( = 9 \) m. Tinggi pagar \( = 3 \) m. Jarak pagar dari lampu \( = 4 \) m.
Selisih tinggi antara lampu dan pagar:
\( 9 - 3 = 6 \) m.
Gunakan kesebangunan untuk menentukan panjang bayangan di tanah datar.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 6 \) m Alas \( = 4 \) m
Segitiga besar:
Tinggi \( = 9 \) m Alas \( = x \) (jarak dari lampu ke ujung bayangan)
Gunakan perbandingan:
\( \frac{6}{4} = \frac{9}{x} \)
Lakukan perkalian silang:
\( 6x = 36 \)
\( x = 6 \)
Artinya ujung bayangan berada \( 6 \) meter dari lampu. Karena pagar berada \( 4 \) meter dari lampu, maka panjang bayangan setelah pagar:
\( 6 - 4 = 2 \) meter.
Tanah datar berakhir di posisi \( 5 \) meter dari lampu. Jadi bagian bayangan yang berada di tanah datar:
\( 5 - 4 = 1 \) meter.
Sisa bayangan berada di tanggul:
\( 2 - 1 = 1 \) meter (secara horizontal).
Karena tanggul membentuk sudut \( 45^\circ \), maka panjang sepanjang permukaan miring:
Gunakan segitiga siku-siku:
\( \text{panjang miring} = \sqrt{1^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{2} \)
Jadi panjang total bayangan sepanjang permukaan tanah:
Bagian datar \( = 1 \) m Bagian miring \( = \sqrt{2} \) m
Total:
\( 1 + \sqrt{2} \)
Karena \( \sqrt{2} \gt 1 \), maka panjang total \( \gt 2 \).
Jadi, panjang total bayangan pagar tersebut adalah:
\( 1 + \sqrt{2} \) meter.
No 29
Soal 29.
Proyeksi Cahaya melalui Lubang (Geometri Ruang)
Sebuah lampu sorot kecil (titik cahaya) dipasang pada plafon gudang setinggi \( 12 \) meter. Di bawah lampu tersebut, pada ketinggian \( 4 \) meter dari lantai, terdapat sebuah plat besi horizontal yang memiliki lubang berbentuk persegi dengan panjang sisi \( 20 \) cm. Pusat lubang tersebut berada tepat secara vertikal di bawah lampu.
Pertanyaan: Berapakah luas daerah cahaya berbentuk persegi yang terbentuk di lantai gudang tersebut? (Nyatakan dalam satuan \( cm^2 \) atau \( m^2 \)).
Jawaban dan Analisa
Tinggi lampu dari lantai \( = 12 \) m. Plat berada pada ketinggian \( 4 \) m dari lantai.
Maka jarak lampu ke plat:
\( 12 - 4 = 8 \) m.
Jarak lampu ke lantai:
\( 12 \) m.
Karena cahaya berasal dari satu titik, maka persegi di lantai merupakan hasil kesebangunan dengan lubang pada plat.
Perbandingan skala panjang:
\( \frac{\text{jarak lampu ke lantai}}{\text{jarak lampu ke plat}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
Artinya setiap ukuran panjang membesar \( \frac{3}{2} \) kali.
Sisi lubang \( = 20 \) cm.
Maka sisi bayangan di lantai:
\( 20 \times \frac{3}{2} \)
\( = 30 \) cm.
Luas persegi:
\( 30^2 \)
\( = 900 \)
Jadi luas daerah cahaya di lantai:
\( 900 \, cm^2 \).
Jika dinyatakan dalam meter:
\( 30 \) cm \( = 0{,}30 \) m
\( (0{,}30)^2 = 0{,}09 \)
Sehingga:
\( 0{,}09 \, m^2 \).
No 30
Soal 30.
Titik Temu Bayangan (Dua Sumber Cahaya)
Dua tiang lampu, Lampu \( P \) dengan tinggi \( 6 \) meter dan Lampu \( Q \) dengan tinggi \( 9 \) meter, berdiri terpisah sejauh \( 15 \) meter. Seorang pengawas dengan tinggi \( 1{,}5 \) meter berdiri di antara kedua tiang tersebut.
Pengawas ingin mencari posisi berdiri yang sangat spesifik, yaitu di mana ujung bayangan kepalanya yang dibentuk oleh Lampu \( P \) dan ujung bayangan kepalanya yang dibentuk oleh Lampu \( Q \) jatuh di satu titik yang sama di tanah.
Pertanyaan: Pada jarak berapakah pengawas tersebut harus berdiri dari Lampu \( P \)?
Jawaban dan Analisa
Misalkan jarak pengawas dari Lampu \( P \) adalah \( x \) meter. Karena jarak kedua lampu \( 15 \) meter, maka jarak pengawas dari Lampu \( Q \) adalah:
\( 15 - x \)
Tinggi pengawas \( = 1{,}5 \) meter.
1) Bayangan akibat Lampu \( P \)
Selisih tinggi:
\( 6 - 1{,}5 = 4{,}5 \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{6}{x} = \frac{1{,}5}{s_P} \)
Sehingga:
\( s_P = \frac{1{,}5}{6}x \)
\( s_P = \frac{1}{4}x \)
Posisi ujung bayangan dari Lampu \( P \):
\( x + \frac{1}{4}x = \frac{5}{4}x \)
2) Bayangan akibat Lampu \( Q \)
Selisih tinggi:
\( 9 - 1{,}5 = 7{,}5 \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{9}{15 - x} = \frac{1{,}5}{s_Q} \)
Sehingga:
\( s_Q = \frac{1{,}5}{9}(15 - x) \)
\( s_Q = \frac{1}{6}(15 - x) \)
Posisi ujung bayangan dari Lampu \( Q \):
\( (15 - x) - \frac{1}{6}(15 - x) \)
\( = \frac{5}{6}(15 - x) \)
Karena kedua ujung bayangan sama, maka:
\( \frac{5}{4}x = \frac{5}{6}(15 - x) \)
Bagi kedua ruas dengan \( 5 \):
\( \frac{1}{4}x = \frac{1}{6}(15 - x) \)
Lakukan perkalian silang:
\( 6x = 4(15 - x) \)
\( 6x = 60 - 4x \)
\( 10x = 60 \)
\( x = 6 \)
Karena \( x \gt 0 \) dan \( x \lt 15 \), maka hasil valid.
Jadi, pengawas tersebut harus berdiri pada jarak:
\( 6 \) meter dari Lampu \( P \).