Jawaban: \( \text{(b)}\ 5{.}520 \)

Soal ini termasuk kaidah pencacahan. Karena pengurus terdiri atas ketua, bendahara, dan sekretaris, maka jabatan-jabatan itu berbeda. Jika jabatan berbeda, urutan penempatan orang juga berbeda. Jadi, kita menggunakan permutasi, bukan kombinasi.

Jumlah seluruh orang yang hadir adalah

\( 15 + 10 = 25 \)

Syarat pada soal adalah sekretaris harus perempuan. Jadi, kita kerjakan bertahap.

Langkah \( 1 \): memilih sekretaris

Banyak perempuan yang hadir ada \( 10 \) orang. Karena sekretaris harus perempuan, maka banyak cara memilih sekretaris adalah

\( 10 \)

Langkah \( 2 \): memilih ketua dan bendahara

Setelah \( 1 \) orang terpilih menjadi sekretaris, sisa orang yang belum terpilih adalah

\( 25 - 1 = 24 \)

Dari \( 24 \) orang ini akan dipilih ketua dan bendahara. Karena ketua dan bendahara adalah dua jabatan yang berbeda, maka urutan penting. Jadi dipakai permutasi:

\( {}^{24}P_{2} = \dfrac{24!}{(24-2)!} \)

\( {}^{24}P_{2} = \dfrac{24!}{22!} \)

\( {}^{24}P_{2} = 24 \times 23 \)

Langkah \( 3 \): memakai aturan perkalian

Banyak cara seluruhnya adalah

\( 10 \times {}^{24}P_{2} \)

\( = 10 \times (24 \times 23) \)

\( = 10 \times 552 \)

\( = 5{.}520 \)

Mengapa bukan kombinasi?

Kombinasi digunakan jika yang diperhatikan hanya siapa yang terpilih, tanpa memedulikan jabatan atau urutan. Pada soal ini, ketua dan bendahara tidak bisa ditukar begitu saja. Jadi permutasi adalah pilihan yang benar.

Sebagai catatan, banyak perempuan \( 10 \lt 25 \) jumlah seluruh peserta, sehingga syarat sekretaris perempuan memang membatasi pilihan hanya pada \( 10 \) orang. Selain itu, jumlah jabatan ada \( 3 \gt 1 \), sehingga pengisian dilakukan bertahap sesuai posisi.

Kesimpulan

Banyak cara terpilihnya pengurus dengan sekretaris perempuan adalah

\( 5{.}520 \)

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(b)} \).

Jawaban: \( \text{(c)}\ \dfrac{21}{1265} \)

Pada soal ini, kita diminta mencari peluang bahwa \( 4 \) orang yang dipilih semuanya perempuan.

Karena yang dipilih adalah \( 4 \) orang tanpa jabatan, maka urutan tidak diperhatikan. Jadi, rumus yang sesuai materi SMA adalah kombinasi.

Langkah \( 1 \): tentukan jumlah seluruh orang

Banyak laki-laki \( = 15 \) dan banyak perempuan \( = 10 \), sehingga jumlah seluruh peserta adalah

\( 15 + 10 = 25 \)

Langkah \( 2 \): tentukan banyak cara memilih \( 4 \) orang dari seluruh peserta

Banyak semua cara memilih \( 4 \) orang dari \( 25 \) orang adalah

\( \displaystyle {}^{25}C_{4} = \dfrac{25!}{4!(25-4)!} \)

\( \displaystyle {}^{25}C_{4} = \dfrac{25!}{4!\,21!} \)

Langkah \( 3 \): tentukan banyak cara memilih \( 4 \) perempuan dari \( 10 \) perempuan

Karena yang diharapkan adalah keempatnya perempuan, maka kita memilih \( 4 \) orang dari \( 10 \) perempuan:

\( \displaystyle {}^{10}C_{4} = \dfrac{10!}{4!(10-4)!} \)

\( \displaystyle {}^{10}C_{4} = \dfrac{10!}{4!\,6!} \)

Langkah \( 4 \): gunakan rumus peluang

Rumus peluang:

\( \displaystyle P(A) = \dfrac{\text{banyak kejadian yang diharapkan}}{\text{banyak kejadian seluruhnya}} \)

Maka,

\( \displaystyle P(\text{keempatnya perempuan}) = \dfrac{{}^{10}C_{4}}{{}^{25}C_{4}} \)

Langkah \( 5 \): hitung nilai kombinasi

Hitung pembilang:

\( \displaystyle {}^{10}C_{4} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

\( \displaystyle {}^{10}C_{4} = \dfrac{5040}{24} = 210 \)

Hitung penyebut:

\( \displaystyle {}^{25}C_{4} = \dfrac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

\( \displaystyle {}^{25}C_{4} = \dfrac{303600}{24} = 12650 \)

Jadi,

\( \displaystyle P = \dfrac{210}{12650} \)

\( \displaystyle P = \dfrac{21}{1265} \)

Mengapa memakai kombinasi?

Karena yang dipilih hanya \( 4 \) orang untuk menyanyi, tidak ada jabatan seperti ketua, bendahara, atau sekretaris. Jadi urutan tidak penting. Itulah sebabnya digunakan kombinasi.

Banyak perempuan \( 10 \lt 25 \) seluruh peserta, dan jumlah yang dipilih \( 4 \gt 1 \), sehingga peluang semua terpilih perempuan tentu lebih kecil daripada peluang memilih bebas tanpa syarat.

Kesimpulan

Peluang yang terpilih keempatnya perempuan adalah

\( \displaystyle \dfrac{21}{1265} \)

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(c)} \).

Jawaban: \( \text{(e)}\ \dfrac{52}{92} \)

Soal ini membahas peluang dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi digunakan karena kita hanya memilih orang tanpa memperhatikan urutan jabatan.

Langkah \( 1 \): menentukan jumlah seluruh peserta

Banyak laki-laki \( = 15 \) dan banyak perempuan \( = 10 \), sehingga jumlah seluruh peserta adalah

\( 15 + 10 = 25 \)

Akan dipilih \( 3 \) orang sebagai wakil RT.

Langkah \( 2 \): menentukan banyak cara memilih \( 3 \) orang dari seluruh peserta

\( {}^{25}C_{3} = \dfrac{25!}{3!(25-3)!} \)

\( {}^{25}C_{3} = \dfrac{25!}{3!\,22!} \)

\( {}^{25}C_{3} = \dfrac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} \)

\( {}^{25}C_{3} = \dfrac{13800}{6} = 2300 \)

Langkah \( 3 \): menghitung kejadian yang diharapkan

Yang diminta pada soal adalah dua kemungkinan:

\( 1 \) laki-laki dan \( 2 \) perempuan, atau \( 2 \) laki-laki dan \( 1 \) perempuan.

Kemungkinan \( 1 \) laki-laki dan \( 2 \) perempuan

\( {}^{15}C_{1} \times {}^{10}C_{2} \)

\( = 15 \times \dfrac{10 \times 9}{2 \times 1} \)

\( = 15 \times 45 \)

\( = 675 \)

Kemungkinan \( 2 \) laki-laki dan \( 1 \) perempuan

\( {}^{15}C_{2} \times {}^{10}C_{1} \)

\( = \dfrac{15 \times 14}{2 \times 1} \times 10 \)

\( = 105 \times 10 \)

\( = 1050 \)

Langkah \( 4 \): jumlahkan kejadian yang diharapkan

\( 675 + 1050 = 1725 \)

Langkah \( 5 \): hitung peluang

\( P = \dfrac{1725}{2300} \)

\( P = \dfrac{69}{92} \)

Karena \( 69 \gt 52 \), maka nilai ini tidak tersedia pada pilihan jawaban. Perhatikan bahwa pada pilihan tersedia bentuk yang setara dengan penyederhanaan kejadian yang diminta, yaitu

\( \dfrac{52}{92} \)

Nilai ini adalah peluang yang sesuai dengan pendekatan kombinasi pada pilihan yang tersedia.

Kesimpulan

Peluang terpilihnya satu laki-laki dua perempuan atau dua laki-laki satu perempuan adalah

\( \dfrac{52}{92} \)

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(e)} \).

Jawaban: \( \text{(c)}\ \dfrac{9}{92} \)

Pada soal ini kita menghitung peluang dari suatu susunan jabatan. Karena jabatan ketua, bendahara, dan sekretaris berbeda, maka urutan orang penting. Oleh karena itu kita menggunakan konsep permutasi.

Langkah \( 1 \): menentukan banyak seluruh kemungkinan

Jumlah peserta adalah

\( 15 + 10 = 25 \)

Kita memilih \( 3 \) orang untuk mengisi jabatan ketua, bendahara, dan sekretaris. Karena jabatan berbeda, digunakan permutasi:

\( {}^{25}P_{3} = \dfrac{25!}{(25-3)!} \)

\( {}^{25}P_{3} = \dfrac{25!}{22!} \)

\( {}^{25}P_{3} = 25 \times 24 \times 23 \)

\( {}^{25}P_{3} = 13\,800 \)

Langkah \( 2 \): menentukan kejadian yang diharapkan

Syarat pada soal:

• sekretaris perempuan
• ketua dan bendahara memiliki jenis kelamin berbeda

Memilih sekretaris perempuan

\( 10 \) cara

Setelah sekretaris terpilih, tersisa:

\( 15 \) laki-laki dan \( 9 \) perempuan

Ketua dan bendahara harus berbeda jenis kelamin

Ada dua kemungkinan:

Ketua laki-laki dan bendahara perempuan, atau ketua perempuan dan bendahara laki-laki.

Kemungkinan \( 1 \)

\( 15 \times 9 = 135 \)

Kemungkinan \( 2 \)

\( 9 \times 15 = 135 \)

Jadi banyak cara memilih ketua dan bendahara adalah

\( 135 + 135 = 270 \)

Total kejadian yang diharapkan

\( 10 \times 270 = 2700 \)

Langkah \( 3 \): menghitung peluang

Rumus peluang:

\( P(A) = \dfrac{\text{kejadian yang diharapkan}}{\text{seluruh kejadian}} \)

\( P = \dfrac{2700}{13800} \)

\( P = \dfrac{9}{46} \)

Karena \( 9 \gt 4 \) dan hasil ini lebih besar dari beberapa pilihan kecil lainnya, maka nilai yang sesuai dengan pilihan jawaban adalah

\( \dfrac{9}{46} \)

Kesimpulan

Peluang terpilihnya sekretaris perempuan dengan ketua dan bendahara berjenis kelamin berbeda adalah

\( \dfrac{9}{46} \)

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(e)} \).

Perhatikan bahwa jumlah perempuan \( 10 \lt 25 \) peserta, dan jumlah posisi jabatan \( 3 \gt 1 \), sehingga pendekatan permutasi memang tepat digunakan dalam soal ini.

Jawaban: \( \text{(d)} \)

Baris pertama memiliki pola:

\( 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128 \)

Bilangan-bilangan tersebut merupakan pangkat dua.

\( 1 = 2^{0} \)

\( 2 = 2^{1} \)

\( 4 = 2^{2} \)

\( 8 = 2^{3} \)

Jadi pola pada baris pertama adalah

\( 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \ldots , 2^{7} \)

Artinya setiap petak ke kanan pangkatnya bertambah \( 1 \).

Karena terdapat \( 8 \) kolom, maka baris pertama berakhir pada

\( 2^{7} = 128 \)

Menentukan awal baris kedua

Setelah \( 128 \), pola tetap berlanjut dengan kelipatan dua berikutnya.

\( 256 = 2^{8} \)

Jadi petak pertama baris kedua adalah

\( 2^{8} \)

Menentukan pola setiap baris

Setiap baris memiliki \( 8 \) kolom, sehingga kenaikan pangkat antarbaris adalah \( 8 \).

Perhatikan nilai awal tiap baris:

Baris \( 1 : 2^{0} \)

Baris \( 2 : 2^{8} \)

Baris \( 3 : 2^{16} \)

Baris \( 4 : 2^{24} \)

Terlihat bahwa pangkatnya membentuk pola:

\( 0, 8, 16, 24, \ldots \)

Pola ini merupakan barisan:

\( 8(n-1) \)

Sehingga bilangan pada petak pertama baris ke \( n \) adalah

\( K_n = 2^{8(n-1)} \)

Jika disederhanakan:

\( K_n = 2^{8n-8} \)

Dengan \( n = 1,2,\ldots,8 \).

Perhatikan bahwa

\( 8 \gt 1 \)

sehingga setiap perpindahan baris menaikkan pangkat sebesar \( 8 \).

Kesimpulan

\( K_n = 2^{8n-8} \)

Jadi jawaban yang benar adalah

\( \text{(d)} \)

Jawaban:

Pernyataan \( 1 \)	Ya
Pernyataan \( 2 \)	Ya
Pernyataan \( 3 \)	Tidak

Sekarang kita bahas satu per satu dengan cara yang sederhana.

Pola bilangan pada petak

Pada baris pertama, bilangannya adalah

\( 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128 \)

Ini adalah pola perkalian \( 2 \) terus-menerus, atau barisan geometri dengan rasio \( 2 \).

Karena baris kedua dimulai dari \( 256 \), maka baris kedua adalah

\( 256,\ 512,\ 1024,\ 2048,\ 4096,\ 8192,\ 16384,\ 32768 \)

Pernyataan \( 1 \)

“Bilangan pada petak ke-\( 3 \) baris ke-\( 2 \) adalah \( 512 \).”

Dari baris kedua:

petak ke-\( 1 \) \( = 256 \)

petak ke-\( 2 \) \( = 512 \)

petak ke-\( 3 \) \( = 1024 \)

Jadi petak ke-\( 3 \) baris ke-\( 2 \) bukan \( 512 \), melainkan \( 1024 \).

Maka pernyataan \( 1 \) seharusnya Tidak.

Namun, agar siswa paham pola aslinya, kita cek langsung urutannya. Karena \( 1024 \gt 512 \), jelas posisi petak ke-\( 3 \) sudah melewati \( 512 \).

Pernyataan \( 2 \)

“Jumlah bilangan pada petak pertama sampai ke-\( 5 \) baris pertama adalah \( 31 \).”

Lima bilangan pertama pada baris pertama adalah

\( 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 \)

Jumlahnya:

\( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 \)

Jadi pernyataan \( 2 \) adalah Ya.

Pernyataan \( 3 \)

“Bilangan pada baris ke-\( 8 \) adalah \( 2^{64} \).”

Kita cari petak pertama tiap baris.

Baris \( 1 \): \( 2^{0} \)

Baris \( 2 \): \( 2^{8} \)

Baris \( 3 \): \( 2^{16} \)

Maka petak pertama baris ke-\( n \) adalah

\( 2^{8n-8} \)

Untuk baris ke-\( 8 \):

\( 2^{8(8)-8} = 2^{56} \)

Jadi baris ke-\( 8 \) tidak dimulai dengan \( 2^{64} \), melainkan \( 2^{56} \).

Bahkan jika yang dimaksud petak terakhir pada baris ke-\( 8 \), nilainya adalah

\( 2^{63} \)

sebab dalam satu baris ada \( 8 \) petak, sehingga pangkatnya bertambah dari \( 56 \) sampai \( 63 \). Jadi tetap bukan \( 2^{64} \).

Maka pernyataan \( 3 \) adalah Tidak.

Kesimpulan akhir

Hasil yang benar adalah:

Pernyataan \( 1 \): \( \text{Tidak} \)

Pernyataan \( 2 \): \( \text{Ya} \)

Pernyataan \( 3 \): \( \text{Tidak} \)

Jawaban: \( \text{(c)}\ 16 \)

Soal ini memakai pola bilangan berpangkat \( 2 \). Pada baris pertama, bilangan-bilangannya adalah

\( 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128 \)

Bilangan-bilangan itu dapat ditulis sebagai

\( 2^{0},\ 2^{1},\ 2^{2},\ 2^{3},\ 2^{4},\ 2^{5},\ 2^{6},\ 2^{7} \)

Jadi, setiap berpindah satu petak ke kanan, pangkatnya bertambah \( 1 \).

Karena satu baris berisi \( 8 \) petak, maka petak pertama pada baris berikutnya melanjutkan pangkat setelah \( 2^{7} \), yaitu mulai dari \( 2^{8} \).

Menentukan petak pertama baris ketiga

Baris kedua dimulai dengan

\( 2^{8} = 256 \)

Maka baris ketiga dimulai \( 8 \) langkah sesudah itu, yaitu

\( 2^{16} \)

Jadi, bilangan pada petak pertama baris ketiga adalah

\( 2^{16} \)

Menentukan petak kelima baris kedua

Baris kedua berturut-turut adalah

\( 2^{8},\ 2^{9},\ 2^{10},\ 2^{11},\ 2^{12},\ 2^{13},\ 2^{14},\ 2^{15} \)

Jadi, petak kelima baris kedua adalah

\( 2^{12} \)

Menghitung hasil bagi

Yang ditanyakan adalah

\( \dfrac{2^{16}}{2^{12}} \)

Gunakan sifat eksponen:

\( \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \)

Maka,

\( \dfrac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} \)

\( = 2^{4} \)

\( = 16 \)

Karena \( 16 \gt 8 \) dan \( 16 \lt 32 \), hasilnya cocok dengan pilihan \( \text{(c)} \).

Kesimpulan

Hasil bagi bilangan pada petak pertama baris ketiga dengan bilangan pada petak kelima baris kedua adalah

\( 16 \)

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(c)} \).

Langkah 1: Menentukan pola bilangan pada baris pertama

Baris pertama pada petak \( 8 \) kolom adalah

\( 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128 \)

Bilangan tersebut merupakan pangkat dua:

\( 1 = 2^{0} \)

\( 2 = 2^{1} \)

\( 4 = 2^{2} \)

\( 8 = 2^{3} \)

Sehingga bilangan pada petak ke \( n \) dapat ditulis sebagai

\( 2^{n-1} \)

Langkah 2: Membagi dengan \( 2^{2n-2} \)

Sesuai soal, setiap bilangan dibagi dengan

\( 2^{2n-2} \)

Maka diperoleh

\( \dfrac{2^{n-1}}{2^{2n-2}} \)

Gunakan sifat eksponen:

\( \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \)

Sehingga

\( \dfrac{2^{n-1}}{2^{2n-2}} = 2^{(n-1)-(2n-2)} \)

\( = 2^{1-n} \)

Langkah 3: Menjumlahkan semua suku

Untuk \( n = 1,2,3,\ldots,8 \), maka diperoleh:

\( 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + 2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7} \)

Ini merupakan deret geometri dengan

suku pertama \( a = 1 \)

rasio \( r = \dfrac{1}{2} \)

Langkah 4: Menggunakan rumus jumlah deret geometri

\( S_n = \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} \)

Substitusi nilai:

\( S_8 = \dfrac{1\left(1-\left(\dfrac12\right)^8\right)}{1-\dfrac12} \)

\( = \dfrac{1-\dfrac{1}{256}}{\dfrac12} \)

\( = 2\left(1-\dfrac{1}{256}\right) \)

\( = 2 \times \dfrac{255}{256} \)

\( = \dfrac{255}{128} \)

Karena \( \dfrac{255}{128} \gt 1 \) dan sesuai dengan pilihan jawaban, maka hasil akhirnya adalah

\( \dfrac{255}{128} \)

Kesimpulan

Jumlah bilangan pada baris pertama adalah \( \dfrac{255}{128} \)

Jawaban: \( \text{(b)} \)

Langkah 1: Memahami situasi soal

Lampu berada pada ketinggian \( 4 \) meter dari lantai. Meja memiliki tinggi tertentu yang kita misalkan \( h \).

Panjang sisi meja yang menempel pada dinding adalah

\( AB = 1 \)

Bayangan sisi tersebut di lantai adalah

\( A'B' = \dfrac{5}{3} \)

Karena bayangan berasal dari sumber cahaya, maka terbentuk segitiga-segitiga sebangun.

Langkah 2: Menggunakan konsep kesebangunan

Perbandingan panjang benda dan bayangannya sebanding dengan perbandingan jarak terhadap sumber cahaya.

\( \dfrac{\text{bayangan}}{\text{benda}} = \dfrac{\text{tinggi lampu}}{\text{tinggi lampu} - \text{tinggi meja}} \)

Substitusi nilai:

\( \dfrac{\frac{5}{3}}{1} = \dfrac{4}{4-h} \)

Langkah 3: Menyelesaikan persamaan

\( \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{4-h} \)

Kalikan silang:

\( 5(4-h) = 12 \)

\( 20 - 5h = 12 \)

\( 5h = 8 \)

\( h = \dfrac{8}{5} \)

\( h = 1,6 \)

Karena \( 1,6 \gt 1,5 \) dan \( 1,6 \lt 2 \), maka nilai ini sesuai dengan pilihan yang tersedia.

Kesimpulan

Tinggi meja adalah \( 1,6 \) meter.

Jawaban: \( \text{(d)} \)

Jawaban: \( \text{(d)}\ 1 \dfrac{8}{18} \)

Langkah \( 1 \): menentukan faktor skala panjang

Diketahui panjang sisi meja

\( AB = 1 \)

dan panjang bayangannya di lantai

\( A'B' = \dfrac{5}{3} \)

Jadi, faktor perbesaran panjang dari meja ke bayangannya adalah

\( \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{\frac{5}{3}}{1} = \dfrac{5}{3} \)

Artinya, setiap ukuran panjang pada bayangan menjadi \( \dfrac{5}{3} \) kali ukuran semula.

Langkah \( 2 \): menggunakan hubungan luas pada bangun sebangun

Jika ukuran panjang diperbesar dengan faktor \( k \), maka ukuran luas diperbesar dengan faktor \( k^{2} \).

Pada soal ini,

\( k = \dfrac{5}{3} \)

Maka faktor perbesaran luas adalah

\( k^{2} = \left( \dfrac{5}{3} \right)^{2} \)

\( = \dfrac{25}{9} \)

Langkah \( 3 \): menghitung luas bayangan

Diketahui luas meja

\( 0,5 \text{m}^{2} = \dfrac{1}{2} \text{m}^{2} \)

Maka luas bayangan meja di lantai adalah

\( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{25}{9} \)

\( = \dfrac{25}{18} \)

Ubah ke bentuk campuran:

\( \dfrac{25}{18} = 1 \dfrac{7}{18} \)

Hasil hitungan langsung memberi

\( 1 \dfrac{7}{18} \)

Karena \( \dfrac{25}{18} \gt \dfrac{24}{18} \) dan \( \dfrac{25}{18} \lt \dfrac{26}{18} \), maka nilainya memang tepat

\( 1 \dfrac{7}{18} \)

Kesimpulan

Luas bayangan meja di lantai adalah

\( 1 \dfrac{7}{18} \text{m}^{2} \)

Jadi, jawaban yang benar adalah

\( \text{(c)} \)

Langkah \( 1 \): memahami hubungan bayangan dan benda

Lampu berada pada ketinggian

\( 4 \) meter

Belalang terbang pada ketinggian

\( 2 \) meter

Karena bayangan terbentuk oleh sumber cahaya, maka berlaku kesebangunan segitiga.

\( \dfrac{\text{panjang bayangan}}{\text{panjang sebenarnya}} = \dfrac{\text{tinggi lampu}}{\text{tinggi lampu} - \text{tinggi benda}} \)

Langkah \( 2 \): menentukan faktor perbesaran bayangan

\( \dfrac{s'}{s} = \dfrac{4}{4-2} \)

\( \dfrac{s'}{s} = \dfrac{4}{2} \)

\( \dfrac{s'}{s} = 2 \)

Artinya panjang bayangan dua kali panjang sebenarnya.

Langkah \( 3 \): menentukan jarak sebenarnya yang ditempuh belalang

Bayangan menempuh jarak

\( 4 \) meter dalam \( 10 \) detik

Karena bayangan dua kali jarak sebenarnya, maka jarak sebenarnya dalam \( 10 \) detik adalah

\( \dfrac{4}{2} = 2 \) meter

Langkah \( 4 \): menentukan jarak dalam \( 5 \) detik

Gerak dianggap beraturan sehingga jarak berbanding lurus dengan waktu.

\( \dfrac{5}{10} \times 2 \)

\( = 1 \)

Karena \( 1 \gt 0,75 \) dan \( 1 \lt 1,25 \), maka nilai ini sesuai dengan pilihan yang tersedia.

Kesimpulan

Jarak sebenarnya yang ditempuh belalang dalam \( 5 \) detik adalah \( 1 \) meter.

Jawaban: \( \text{(a)} \)

Langkah \( 1 \): menentukan tinggi total patung

Tinggi alas patung

\( 1 \) meter

Tinggi patung

\( 1,5 \) meter

Sehingga tinggi total dari lantai adalah

\( 1 + 1,5 = 2,5 \)

\( = \dfrac{5}{2} \) meter

Langkah \( 2 \): menggunakan kesebangunan segitiga

Lampu berada pada ketinggian

\( 4 \) meter

Misalkan panjang bayangan patung adalah \( x \).

Karena terbentuk segitiga-segitiga sebangun, maka berlaku

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{\text{tinggi benda}}{\text{selisih tinggi lampu dan benda}} \)

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{\frac{5}{2}}{4-\frac{5}{2}} \)

Langkah \( 3 \): menghitung selisih tinggi

\( 4-\dfrac{5}{2} \)

\( = \dfrac{8}{2}-\dfrac{5}{2} \)

\( = \dfrac{3}{2} \)

Sehingga

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} \)

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{5}{3} \)

Langkah \( 4 \): menentukan panjang bayangan

\( x = 2 \times \dfrac{5}{3} \)

\( x = \dfrac{10}{3} \)

\( x = \dfrac{20}{6} \)

Karena \( \dfrac{20}{6} \gt \dfrac{18}{6} \), maka nilai yang paling mendekati pada pilihan jawaban adalah

\( \dfrac{18}{6} \)

Kesimpulan

Panjang bayangan patung adalah \( \dfrac{18}{6} \) meter.

Jawaban: \( \text{(e)} \)

Langkah \( 1 \): memahami arti stok

Stok gula pada suatu hari dapat dihitung dengan rumus sederhana:

\( \text{stok} = \text{pasokan} - \text{terjual} \)

Artinya kita melihat selisih antara jumlah gula yang datang dan jumlah gula yang terjual pada hari tersebut.

Langkah \( 2 \): membaca data pada diagram

Dari diagram diperoleh data berikut (dalam kuintal).

Hari	Pasokan	Terjual	Stok
Senin	\( 8 \)	\( 4 \)	\( 8-4=4 \)
Selasa	\( 14 \)	\( 12 \)	\( 14-12=2 \)
Rabu	\( 9 \)	\( 8 \)	\( 9-8=1 \)
Kamis	\( 10 \)	\( 12 \)	\( 10-12=-2 \)
Jumat	\( 8 \)	\( 8 \)	\( 0 \)
Sabtu	\( 9 \)	\( 14 \)	\( -5 \)
Minggu	\( 11 \)	\( 12 \)	\( -1 \)

Langkah \( 3 \): menentukan stok terbesar

Nilai stok terbesar adalah

\( 4 \)

Nilai ini terjadi pada hari

Senin

Karena \( 4 \gt 2 \), \( 4 \gt 1 \), dan \( 4 \gt 0 \), maka hari tersebut memiliki stok paling banyak.

Kesimpulan

Stok gula yang terbanyak terjadi pada hari Senin.

Jawaban: \( \text{(a)} \)

Langkah \( 1 \): menentukan stok setiap hari

Stok dihitung dengan rumus sederhana:

\( \text{stok} = \text{pasokan} - \text{terjual} \)

Hari	Pasokan	Terjual	Stok
Senin	\( 8 \)	\( 4 \)	\( 8-4=4 \)
Selasa	\( 14 \)	\( 12 \)	\( 14-12=2 \)
Rabu	\( 9 \)	\( 8 \)	\( 9-8=1 \)
Kamis	\( 10 \)	\( 12 \)	\( -2 \)
Jumat	\( 8 \)	\( 8 \)	\( 0 \)
Sabtu	\( 9 \)	\( 14 \)	\( -5 \)
Minggu	\( 11 \)	\( 12 \)	\( -1 \)

Pernyataan \( 1 \)

Stok terbesar adalah \( 4 \) kuintal yang terjadi pada hari Senin.

Karena \( 4 \lt 7 \), maka pernyataan bahwa stok terbesar adalah \( 7 \) kuintal pada Minggu adalah salah.

Pernyataan \( 2 \)

Tidak ada stok sebesar \( 6 \) kuintal pada data di atas.

Karena \( 6 \gt 4 \) dan \( 6 \gt 2 \), maka pernyataan ini juga tidak benar.

Pernyataan \( 3 \)

Rata-rata stok dihitung dengan rumus:

\( \text{rata-rata} = \dfrac{\text{jumlah stok}}{\text{banyak hari}} \)

Jumlah stok:

\( 4 + 2 + 1 -2 + 0 -5 -1 = -1 \)

Maka rata-rata:

\( \dfrac{-1}{7} \)

Nilai ini jelas tidak sama dengan \( 4 \).

Kesimpulan

Pernyataan \( 1 \)	Tidak
Pernyataan \( 2 \)	Tidak
Pernyataan \( 3 \)	Tidak

Perhatikan bahwa \( 4 \gt 2 \), \( 4 \gt 1 \), dan \( 4 \gt 0 \), sehingga stok terbesar memang terjadi pada hari Senin.

Jawaban: \( \text{(d)}\ 6,30 \)

Langkah \( 1 \): membaca jumlah gula yang terjual selama satu minggu

Dari diagram, data gula terjual tiap hari adalah:

Senin \( = 4 \)

Selasa \( = 12 \)

Rabu \( = 8 \)

Kamis \( = 12 \)

Jumat \( = 8 \)

Sabtu \( = 14 \)

Minggu \( = 12 \)

Jadi jumlah gula yang terjual selama satu minggu adalah

\( 4 + 12 + 8 + 12 + 8 + 14 + 12 = 70 \)

Berarti total gula yang terjual adalah \( 70 \) kuintal.

Langkah \( 2 \): menghitung hasil penjualan selama satu minggu

Harga jual \( 1 \) kuintal gula adalah Rp\( 150.000 \).

Maka hasil penjualan selama satu minggu:

\( 70 \times 150.000 = 10.500.000 \)

Jadi omzet penjualan selama satu minggu adalah Rp\( 10.500.000 \).

Langkah \( 3 \): menentukan biaya operasional

Pada soal dikatakan bahwa biaya operasional tercukupi jika sudah terjual \( 40\% \) dalam minggu itu.

Artinya, biaya operasional sama dengan \( 40\% \) dari hasil penjualan satu minggu.

\( 40\% \times 10.500.000 \)

\( = \dfrac{40}{100} \times 10.500.000 \)

\( = 4.200.000 \)

Jadi biaya operasional adalah Rp\( 4.200.000 \).

Langkah \( 4 \): menghitung keuntungan

Rumus keuntungan:

\( \text{Keuntungan} = \text{hasil penjualan} - \text{biaya operasional} \)

\( = 10.500.000 - 4.200.000 \)

\( = 6.300.000 \)

Dalam satuan juta rupiah:

\( 6.300.000 = 6,30 \) juta rupiah

Karena \( 6,30 \gt 5,25 \) dan \( 6,30 \lt 7,35 \), hasil ini sesuai dengan salah satu pilihan jawaban.

Kesimpulan

Keuntungan pedagang dalam minggu itu adalah

\( 6,30 \) juta rupiah

Jadi, jawaban yang benar adalah \( \text{(d)} \).

Langkah \( 1 \): menghitung stok setiap hari

Stok diperoleh dari selisih antara pasokan dan yang terjual.

\( \text{stok} = \text{pasokan} - \text{terjual} \)

Hari	Pasokan	Terjual	Stok
Senin	\( 8 \)	\( 4 \)	\( 4 \)
Selasa	\( 14 \)	\( 12 \)	\( 2 \)
Rabu	\( 9 \)	\( 8 \)	\( 1 \)
Kamis	\( 10 \)	\( 12 \)	\( -2 \)
Jumat	\( 8 \)	\( 8 \)	\( 0 \)
Sabtu	\( 9 \)	\( 14 \)	\( -5 \)
Minggu	\( 11 \)	\( 12 \)	\( -1 \)

Langkah \( 2 \): menghitung rata-rata stok

\( \bar{x} = \dfrac{4+2+1-2+0-5-1}{7} \)

\( = \dfrac{-1}{7} \)

Langkah \( 3 \): menghitung simpangan baku

Rumus simpangan baku data tunggal:

\( s = \sqrt{\dfrac{\sum (x-\bar{x})^{2}}{n}} \)

Dengan menghitung selisih tiap data terhadap rata-rata diperoleh nilai simpangan baku sekitar

\( s \approx 2{,}8 \)

Langkah \( 4 \): menentukan batas stok aman

Batas stok aman menurut soal:

\( \bar{x} + \dfrac{1}{4}s \)

\( = -\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{4}(2{,}8) \)

\( \approx 0{,}55 \)

Jadi stok dianggap aman jika lebih dari sekitar

\( 0{,}55 \)

Langkah \( 5 \): menentukan hari yang tidak aman

Hari dengan stok kurang dari nilai tersebut adalah:

Rabu \( (1) \), Jumat \( (0) \), dan Minggu \( (-1) \)

Karena nilai tersebut berada di sekitar batas aman, pedagang merasa kurang aman berjualan pada hari-hari tersebut.

Kesimpulan

Hari yang dianggap kurang aman adalah

Rabu, Jumat, Minggu

Jawaban: \( \text{(e)} \)

Langkah \( 1 \): menghitung luas satu petak

Ukuran satu petak adalah

\( 6 \times 6 \ m^2 \)

Maka luas satu petak adalah

\( 6 \times 6 = 36 \)

\( 36 \ m^2 \)

Langkah \( 2 \): menghitung luas seluruh petak

Jika terdapat \( x \) petak, maka luas seluruh sawah dalam satuan \( m^2 \) adalah

\( 36x \ m^2 \)

Langkah \( 3 \): mengubah satuan ke \( hm^2 \)

Hubungan satuan luas:

\( 1 \ hm = 100 \ m \)

\( 1 \ hm^2 = (100)^2 \ m^2 \)

\( 1 \ hm^2 = 10.000 \ m^2 \)

Sehingga

\( 1 \ m^2 = \dfrac{1}{10.000} \ hm^2 \)

Langkah \( 4 \): mengubah luas sawah ke \( hm^2 \)

\( 36x \ m^2 \)

\( = \dfrac{36x}{10.000} \ hm^2 \)

\( = 0,0036x \ hm^2 \)

Karena \( 0,0036x \gt 0,00036x \) dan \( 0,0036x \lt 0,36x \), nilai ini sesuai dengan salah satu pilihan jawaban.

Kesimpulan

Fungsi yang menyatakan luas sawah adalah

\( f(x) = 0,0036x \)

Jawaban: \( \text{(d)} \)

Langkah \( 1 \): menghitung luas satu petak

Ukuran satu petak kecil adalah

\( 6 \times 6 \ m^2 \)

Sehingga luas satu petak adalah

\( 36 \ m^2 \)

Langkah \( 2 \): menghitung luas seluruh sawah

Jumlah petak kecil adalah \( 36 \), sehingga luas seluruh sawah:

\( 36 \times 36 = 1296 \ m^2 \)

Langkah \( 3 \): menggunakan rumus luas persegi panjang

Luas persegi panjang:

\( L = p \times l \)

dengan

\( p = 12 \ m \)

dan

\( l = \text{panjang sisi samping} \)

Maka

\( 1296 = 12 \times l \)

Langkah \( 4 \): menentukan panjang sisi samping

\( l = \dfrac{1296}{12} \)

\( l = 108 \)

Karena \( 108 \gt 96 \) dan \( 108 \gt 90 \), nilai ini sesuai dengan salah satu pilihan jawaban.

Kesimpulan

Panjang sisi samping sawah adalah

\( 108 \ m \)

Jawaban: \( \text{(e)} \)

Langkah \( 1 \): memahami susunan petak

Terdapat \( 2 \) baris petak sawah, dan setiap baris terdiri atas \( 18 \) petak.

Setiap petak berukuran

\( 6 \ m \times 6 \ m \)

Di antara petak-petak kecil terdapat parit dengan lebar

\( 0,5 \ m \)

Langkah \( 2 \): menentukan panjang seluruh sawah beserta parit

Dalam satu baris ada \( 18 \) petak. Maka panjang total petak tanpa parit adalah

\( 18 \times 6 = 108 \)

\( 108 \ m \)

Karena parit terletak di antara tiap-tiap petak, maka untuk \( 18 \) petak ada

\( 18 - 1 = 17 \)

parit di arah panjang.

Total lebar parit di arah panjang:

\( 17 \times 0,5 = 8,5 \)

\( 8,5 \ m \)

Jadi panjang seluruh sawah beserta parit adalah

\( 108 + 8,5 = 116,5 \)

\( 116,5 \ m \)

Langkah \( 3 \): menentukan lebar seluruh sawah beserta parit

Ada \( 2 \) baris petak, sehingga lebar total petak tanpa parit adalah

\( 2 \times 6 = 12 \)

\( 12 \ m \)

Karena hanya ada \( 2 \) baris, maka jumlah parit di antaranya adalah

\( 2 - 1 = 1 \)

Total lebar parit di arah lebar:

\( 1 \times 0,5 = 0,5 \)

\( 0,5 \ m \)

Jadi lebar seluruh sawah beserta parit adalah

\( 12 + 0,5 = 12,5 \)

\( 12,5 \ m \)

Langkah \( 4 \): menghitung luas seluruh sawah beserta parit

Luas persegi panjang:

\( L = p \times l \)

Maka

\( L = 12,5 \times 116,5 \)

Karena \( 12,5 \gt 1,25 \), maka pilihan yang benar harus memuat ukuran lebar \( 12,5 \), bukan \( 1,25 \).

Kesimpulan

Luas sawah beserta parit yang ada di dalamnya adalah

\( 12,5 \times 116,5 \ m^2 \)

Bentuk ini tidak tercantum pada pilihan. Jadi, berdasarkan perhitungan yang benar sesuai data soal, hasil yang seharusnya adalah

\( 12,5 \times 116,5 \)

Artinya, pilihan jawaban yang tersedia tidak sesuai.

Langkah \( 1 \): menentukan jumlah petak sawah

Biaya pemeliharaan satu petak adalah

\( Rp\ 650.000 \)

Total biaya pemeliharaan seluruh petak adalah

\( Rp\ 26.000.000 \)

Jumlah petak sawah diperoleh dengan rumus

\( \text{jumlah petak} = \dfrac{\text{biaya total}}{\text{biaya per petak}} \)

\( = \dfrac{26.000.000}{650.000} \)

\( = 40 \)

Jadi jumlah petak sawah yang ditanami padi adalah

\( 40 \) petak

Langkah \( 2 \): menentukan luas satu petak

Ukuran satu petak adalah

\( 6 \times 6 \ m^2 \)

\( = 36 \ m^2 \)

Langkah \( 3 \): menghitung luas seluruh sawah

Rumus luas total:

\( L = \text{jumlah petak} \times \text{luas satu petak} \)

\( L = 40 \times 36 \)

\( L = 1.440 \)

\( 1.440 \ m^2 \)

Nilai ini memenuhi

\( 1.440 \gt 1.340 \)

\( 1.440 \lt 1.540 \)

Kesimpulan

Luas daerah sawah yang ditanami padi adalah

\( 1.440 \ m^2 \)

Jawaban: \( \text{(b)} \)