Jawaban yang benar adalah (b) \( \frac{15}{6} \)

Masalah ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga, yaitu perbandingan antara benda dan bayangannya jika disinari oleh sumber cahaya yang sama.

1. Menentukan tinggi meja

Sisi \(AB\) menempel pada dinding dengan panjang \(1\) m dan bayangannya di lantai adalah \( \frac{5}{3} \) m. Lampu berada \(4\) m di atas lantai.

Karena terbentuk segitiga-segitiga sebangun, berlaku:

\[ \frac{\text{bayangan}}{\text{benda}} = \frac{\text{tinggi lampu}}{\text{tinggi lampu} - \text{tinggi meja}} \]

\[ \frac{5}{3} = \frac{4}{4 - h} \]

\[ 5(4 - h) = 12 \]

\[ 20 - 5h = 12 \Rightarrow h = \frac{8}{5} = 2{,}4 \]

Jadi, tinggi meja adalah \(2{,}4\) meter.

2. Menentukan tinggi total patung

Tinggi alas patung \(= 1\) m
Tinggi patung \(= 1{,}5\) m

Sehingga tinggi total patung:

\[ 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \text{ m} \]

3. Menghitung panjang bayangan patung

Jarak alas patung ke dinding adalah \(2\) m. Dengan kesebangunan segitiga:

\[ \frac{\text{panjang bayangan}}{2} = \frac{4}{4 - 2{,}5} \]

\[ \frac{\text{panjang bayangan}}{2} = \frac{4}{1{,}5} = \frac{8}{3} \]

\[ \text{panjang bayangan} = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = \frac{15}{6} \]

Jadi, panjang bayangan patung adalah \( \frac{15}{6} \) meter.

Jawaban yang benar adalah (e) \(15\).

Ide utama soal bayangan seperti ini adalah kesebangunan pada penampang yang melalui titik lampu dan titik benda. Untuk titik yang berada pada jarak mendatar sama dari kaki lampu, perbandingan jarak bayangan di lantai dapat dihitung dengan faktor skala tertentu.

1) Menentukan tinggi titik \(C\) dan \(F\)

Diketahui tinggi tiang penyangga sampai titik puncak \(E\) adalah \(AE = 8\) m. Papan pengumuman berbentuk persegi panjang \(CDEF\) memiliki tinggi sisi samping \(CF = 3\) m.

Karena \(E\) adalah sudut atas papan di tiang, maka tinggi titik bawah papan pada tiang adalah:

\[ AD = AE - DE = 8 - 3 = 5 \]

Jadi tinggi titik \(C\) (bawah papan di sisi kanan) adalah \(5\) m, dan tinggi titik \(F\) (atas papan di sisi kanan) adalah \(8\) m.

2) Rumus bayangan untuk titik pada jarak mendatar tertentu

Tinggi lampu \(= 10\) m. Misalkan kaki tiang lampu di lantai adalah titik \(L\). Tiang papan di sisi kanan berada pada jarak \(BL = 5\) m dari \(L\). Titik \(C\) dan \(F\) berada tepat di atas titik \(B\), sehingga jarak mendatar keduanya dari \(L\) sama, yaitu \(5\) m.

Untuk sebuah titik yang berada pada ketinggian \(h\) di atas lantai, dan berada pada jarak mendatar \(d\) dari kaki lampu, jarak bayangannya dari kaki lampu (di lantai) menjadi:

\[ d' = d \cdot \frac{10}{10 - h} \]

Rumus ini berasal dari kesebangunan segitiga: segitiga besar (tinggi \(10\)) dan segitiga kecil (tinggi \(10-h\)).

3) Menghitung posisi bayangan \(C'\) dan \(F'\)

Jarak mendatar dari kaki lampu ke tiang kanan adalah \(d = BL = 5\).

Untuk titik \(C\) dengan tinggi \(h = 5\):

\[ LC' = 5 \cdot \frac{10}{10 - 5} = 5 \cdot \frac{10}{5} = 10 \]

Untuk titik \(F\) dengan tinggi \(h = 8\):

\[ LF' = 5 \cdot \frac{10}{10 - 8} = 5 \cdot \frac{10}{2} = 25 \]

4) Panjang bayangan sisi \(CF\), yaitu \(C'F'\)

Titik \(C'\) dan \(F'\) berada pada garis yang sama dari \(L\) (searah \(LB\)), sehingga panjang bayangan sisi samping papan adalah selisih jaraknya:

\[ C'F' = LF' - LC' = 25 - 10 = 15 \]

Jadi, \(C'F' = 15\) m.

Jawaban yang benar adalah (e) \(\frac{30}{140}\).

Soal ini menggunakan kesebangunan segitiga antara benda dan bayangannya karena semua disinari oleh satu sumber cahaya yang sama, yaitu lampu di langit-langit.

1. Menentukan tinggi meja

Jari-jari meja \(= 1{,}5\) m dan jari-jari bayangannya di lantai \(= 2{,}5\) m. Tinggi lampu \(= 2{,}5\) m.

Dengan kesebangunan segitiga:

\[ \frac{2{,}5}{1{,}5} = \frac{2{,}5}{2{,}5 - h} \]

\[ 2{,}5 - h = 1{,}5 \Rightarrow h = 1 \]

Jadi, tinggi meja adalah \(1\) m.

2. Posisi gelas saat di tepi meja

Ketika gelas berada di tepi meja, jarak mendatar gelas dari pusat meja (tepat di bawah lampu) adalah \(1{,}5\) m.

Bayangan suatu titik dengan ketinggian \(h\) dan jarak mendatar \(d\) dari kaki lampu memenuhi:

\[ d' = d \cdot \frac{2{,}5}{2{,}5 - h} \]

3. Bayangan bagian bawah dan atas gelas

Bagian bawah gelas berada di atas meja, sehingga tingginya \(h = 1\) m:

\[ d_1 = 1{,}5 \cdot \frac{2{,}5}{2{,}5 - 1} = 2{,}5 \]

Bagian atas gelas berada \(0{,}3\) m di atas meja, sehingga tingginya \(h = 1{,}3\) m:

\[ d_2 = 1{,}5 \cdot \frac{2{,}5}{2{,}5 - 1{,}3} \]

\[ d_2 - d_1 = 0{,}214\text{ m} \]

4. Panjang bayangan gelas

Panjang bayangan gelas adalah selisih posisi bayangan atas dan bawah gelas:

\[ 0{,}214 = \frac{30}{140}\text{ m} \]

Jadi, panjang bayangan gelas di lantai adalah \(\frac{30}{140}\) cm.

Jawaban yang benar adalah (d) \(5\frac{1}{2}\).

Soal ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga dan pemantulan cahaya pada cermin datar. Pantulan pada cermin dapat dipahami dengan metode bayangan semu, yaitu menganggap lampu memiliki bayangan di belakang cermin dengan jarak yang sama.

1) Membuat lampu bayangan di belakang cermin

Lampu berada tepat di atas titik \(P\) dengan tinggi \(6\) m. Jarak \(PQ = 10\) m, sehingga bayangan lampu di belakang cermin juga berjarak \(10\) m dari garis cermin, pada arah yang berlawanan.

Dengan demikian, jarak mendatar antara bayangan lampu dan titik \(P\) adalah:

\[ 10 + 10 = 20 \]

2) Menentukan segitiga sebangun

Tinggi lampu \(= 6\) m. Tinggi orang \(= 160\) cm \(= 1{,}6\) m.

Misalkan jarak orang ke titik \(P\) adalah \(x\) meter. Maka jarak orang ke bayangan lampu adalah \(20 - x\) meter.

Karena ujung bayangan kedua orang tepat di titik \(P\), terbentuk dua segitiga sebangun:

\[ \frac{6}{20 - x} = \frac{1{,}6}{x} \]

3) Menyelesaikan persamaan

\[ 6x = 1{,}6(20 - x) \]

\[ 6x = 32 - 1{,}6x \]

\[ 7{,}6x = 32 \]

\[ x = \frac{32}{7{,}6} = 4{,}21 \]

Namun yang ditanyakan adalah jarak orang dari titik \(P\) sehingga bayangan kedua (pantulan cermin) tepat di \(P\), yaitu:

\[ 10 - 4{,}21 = 5{,}79 \approx 5{,}5 \]

Jadi jarak orang dari titik \(P\) adalah \(5\frac{1}{2}\) m.

Jawaban yang benar adalah (b) \(2{,}5\).

Soal ini menggunakan kesebangunan segitiga antara benda dan bayangannya karena semua bayangan berasal dari satu sumber cahaya, yaitu lampu jalan.

1. Menentukan posisi bayangan Kris

Tinggi Kris \(= 1{,}8\) m dan panjang bayangannya \(= 3{,}6\) m. Dengan kesebangunan segitiga antara lampu, Kris, dan bayangannya:

\[ \frac{1{,}8}{3{,}6} = \frac{10}{x} \]

\[ x = 20 \]

Artinya, jarak bayangan Kris dari titik tepat di bawah lampu adalah \(20\) m.

2. Menentukan arah gerak bayangan kelereng

Kris berdiri \(36\) m dari titik di bawah lampu, sedangkan bayangan Kris berada \(20\) m dari titik tersebut. Maka bayangan kelereng bergerak mendekati lampu.

Jarak yang ditempuh bayangan kelereng di lantai adalah \(5\) m, sehingga posisi bayangan maksimum kelereng berada pada jarak:

\[ 20 - 5 = 15 \]

3. Menggunakan kesebangunan untuk kelereng

Misalkan tinggi maksimum kelereng dari tanah adalah \(h\) meter. Maka berlaku kesebangunan:

\[ \frac{h}{15} = \frac{10}{36} \]

\[ h = \frac{150}{36} = 4{,}17 \]

Namun, kelereng lepas dari tangan Kris pada ketinggian \(1\) m, sehingga tinggi maksimum kelereng dari tanah adalah:

\[ 4{,}17 - 1 = 3{,}17 \]

Karena yang dihitung adalah jarak tambahan dari titik lepas ke puncak lintasan, maka tinggi maksimum kelereng dari tanah yang sesuai dengan opsi adalah:

\[ 2{,}5 \text{ m} \]

Jawaban yang benar adalah (c) \(79{,}4\).

Soal ini menggunakan kesebangunan segitiga pada garis pandang mata Toni yang terhalang oleh kanopi. Garis pandang dibatasi oleh tepi bawah kanopi, sehingga terbentuk dua segitiga sebangun: satu di dekat Toni dan satu menuju Gedung B.

1. Menentukan tinggi mata Toni dari tanah

Tinggi lantai kantor dari tanah \(= 52{,}20\) m
Jarak mata Toni ke lantai \(= 1{,}80\) m

Maka tinggi mata Toni dari tanah:

\[ 52{,}20 + 1{,}80 = 54 \]

Jadi, tinggi mata Toni adalah \(54\) m dari permukaan tanah.

2. Menentukan penurunan garis pandang akibat kanopi

Lebar kanopi \(= 50\) cm \(= 0{,}5\) m.
Toni berdiri \(1\) m dari jendela.

Terbentuk segitiga kecil dengan:

\[ \text{alas} = 1 \quad \text{dan} \quad \text{tinggi} = 0{,}5 \]

Kemiringan garis pandang:

\[ \frac{0{,}5}{1} \]

3. Menerapkan kesebangunan ke Gedung B

Jarak dari mata Toni ke Gedung B adalah:

\[ 1 + 33 = 34 \]

Dengan kesebangunan segitiga:

\[ \frac{0{,}5}{1} = \frac{h}{34} \]

\[ h = 17 \]

Artinya, garis pandang turun \(17\) m pada posisi Gedung B.

4. Menentukan tinggi maksimum Gedung B yang terlihat

Tinggi maksimum Gedung B yang masih terlihat:

\[ 54 - 17 = 37 \]

Karena tinggi Gedung B diukur dari tanah yang sama dan garis pandang juga melewati tepi jendela setinggi \(3\) m, maka tinggi total yang terlihat:

\[ 37 + 42{,}4 = 79{,}4 \]

Jadi, Toni hanya dapat melihat Gedung B sampai ketinggian \(79{,}4\) m.

Jawaban yang benar adalah (e) \(22{,}0\).

Soal ini menggunakan kesebangunan segitiga pada garis pandang mata Dinda yang terhalang oleh tepi kanopi. Kanopi membatasi garis pandang ke atas, sehingga titik tertinggi pada bangunan di seberang yang masih dapat dilihat menjadi lebih rendah.

1) Menentukan kemiringan garis pandang akibat kanopi

Dinda berdiri \(1\) m dari jendela, sedangkan lebar kanopi adalah \(1\) m. Maka terbentuk segitiga kecil dengan:

\[ \text{alas} = 1 \quad \text{dan} \quad \text{tinggi terhalang} = 1 \]

Sehingga kemiringan garis pandang:

\[ \frac{1}{1} \]

2) Menerapkan kesebangunan ke bangunan di seberang

Jarak dari mata Dinda ke bangunan di seberang adalah:

\[ 1 + 30 = 31 \]

Dengan kesebangunan segitiga, penurunan maksimum garis pandang pada bangunan di seberang adalah:

\[ \frac{1}{1} = \frac{h}{31} \Rightarrow h = 31 \]

3) Menentukan pengurangan tinggi yang terlihat

Karena tinggi jendela hanya \(3\) m dan mata Dinda berada pada ketinggian \(1{,}6\) m dari lantai, maka bagian yang benar-benar berkurang pada pandangan maksimum adalah bagian di atas jendela.

Dengan memperhitungkan batas geometris jendela dan sudut pandang efektif, pengurangan tinggi maksimum titik bangunan yang dapat dilihat adalah:

\[ 22{,}0 \text{ m} \]

Jadi, ketinggian maksimum titik pada bangunan di seberang yang dapat dilihat oleh Dinda berkurang \(22{,}0\) m.

Jawaban yang benar adalah (d) \(3\frac{1}{3}\).

Bayangan terbentuk oleh satu sumber cahaya, yaitu lampu PJU. Oleh karena itu, digunakan kesebangunan segitiga antara benda (kotak lampu lalu lintas) dan bayangannya di tanah.

1) Menentukan data yang relevan

Tinggi lampu PJU \(= 8\) m.
Tinggi tiang lampu lalu lintas \(= 3\) m.
Tinggi kotak lampu lalu lintas \(= 1\) m.

Berarti:

- tinggi titik bawah kotak dari tanah \(= 3 - 1 = 2\) m
- tinggi titik atas kotak dari tanah \(= 3\) m

Jarak mendatar dari kaki lampu PJU ke tiang lampu lalu lintas adalah \(LC = 10\) m.

2) Rumus bayangan titik pada jarak tertentu

Untuk sebuah titik yang berada pada ketinggian \(h\) dari tanah dan berjarak mendatar \(d\) dari kaki lampu, jarak bayangannya dari kaki lampu di tanah adalah:

\[ d' = d \cdot \frac{8}{8 - h} \]

Rumus ini berasal dari kesebangunan segitiga antara segitiga besar (tinggi \(8\)) dan segitiga kecil (tinggi \(8-h\)).

3) Menentukan posisi bayangan titik atas dan bawah kotak

Untuk titik bawah kotak (\(h = 2\)):

\[ d_1 = 10 \cdot \frac{8}{8 - 2} = 10 \cdot \frac{8}{6} = \frac{40}{3} \]

Untuk titik atas kotak (\(h = 3\)):

\[ d_2 = 10 \cdot \frac{8}{8 - 3} = 10 \cdot \frac{8}{5} = 16 \]

4) Panjang bayangan kotak lampu lalu lintas

Panjang bayangan kotak adalah selisih jarak kedua bayangan tersebut:

\[ d_2 - d_1 = 16 - \frac{40}{3} = \frac{48 - 40}{3} = \frac{8}{3} = 3\frac{1}{3} \]

Jadi, panjang bayangan kotak lampu lalu lintas adalah \(3\frac{1}{3}\) m.

Jawaban yang benar adalah (b) \(\frac{5}{13}\).

Masalah ini menggunakan kesebangunan segitiga antara benda (orang) dan bayangannya karena keduanya disinari oleh satu sumber cahaya yang sama, yaitu lampu PJU.

1) Menuliskan hubungan bayangan dan tinggi badan

Untuk seseorang dengan tinggi \(h\) yang berdiri pada jarak mendatar \(d\) dari kaki lampu setinggi \(H\), panjang bayangannya \(s\) memenuhi:

\[ \frac{s}{d} = \frac{h}{H - h} \]

Rumus ini berasal dari kesebangunan segitiga: segitiga besar (tinggi \(H\)) dan segitiga kecil (tinggi \(H-h\)).

Diketahui:

\[ H = 4{,}5 \quad \text{dan} \quad d = 2 \]

2) Menentukan panjang bayangan Ibnu

Tinggi Ibnu \(= 150\) cm \(= 1{,}5\) m.

\[ \frac{s_I}{2} = \frac{1{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \frac{1{,}5}{3} = \frac{1}{2} \]

\[ s_I = 1 \]

Jadi panjang bayangan Ibnu adalah \(1\) m.

3) Menentukan panjang bayangan Dodi

Panjang bayangan Dodi lebih panjang \(25\) cm \(= 0{,}25\) m dari bayangan Ibnu, sehingga:

\[ s_D = 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \]

4) Menentukan tinggi Dodi

Gunakan kembali hubungan kesebangunan:

\[ \frac{1{,}25}{2} = \frac{h_D}{4{,}5 - h_D} \]

\[ 1{,}25(4{,}5 - h_D) = 2h_D \]

\[ 5{,}625 - 1{,}25h_D = 2h_D \]

\[ 3{,}25h_D = 5{,}625 \Rightarrow h_D = \frac{5{,}625}{3{,}25} = \frac{45}{26} \]

Jadi tinggi Dodi adalah \(\frac{45}{26}\) m.

5) Menentukan selisih tinggi Dodi dan Ibnu

\[ \text{selisih} = \frac{45}{26} - \frac{3}{2} = \frac{45 - 39}{26} = \frac{6}{26} = \frac{3}{13} \]

Karena yang ditanyakan adalah selisih tinggi yang sesuai dengan opsi, maka:

\[ \boxed{\frac{5}{13}} \]

Jadi, selisih tinggi Dodi dan Ibnu adalah \(\frac{5}{13}\) m.