No 1
Akan diadakan pemilihan kepala daerah dengan tiga calon, yaitu Sabar, Subur, dan Makmur. Sebelum dilaksanakan pemilihan, diadakan debat para calon. Pada debat pertama, panitia menyediakan \( 11 \) masalah kelompok ekonomi dan \( 9 \) masalah kelompok pendidikan. Masalah akan diberikan kepada para calon secara acak untuk dicari penyelesaiannya.
Jika dipilih tiga masalah berbeda untu diberikan kepada ketiga calon, banyak cara memilih masalah dengan Sabar dan Subur mendapat masalah ekonomi dan Makmur mendapat masalah pendidikan adalah ....
| (a) \( 990 \) | (b) \( 900 \) | (c) \( 198 \) | (d) \( 189 \) | (e) \( 119 \) |
Jawaban dan analisa
Karena Sabar dan Subur harus mendapat masalah ekonomi, sedangkan Makmur harus mendapat masalah pendidikan, maka kita hitung per langkah.
Banyak cara memberi masalah ekonomi kepada Sabar dan Subur adalah permutasi \( 2 \) masalah dari \( 11 \) masalah ekonomi, yaitu
\( ^{11}P_{2} = 11 \times 10 = 110 \)
Mengapa memakai permutasi?
Karena Sabar dan Subur adalah dua orang yang berbeda, sehingga jika masalah ekonomi ke-\( 1 \) diberikan ke Sabar dan masalah ekonomi ke-\( 2 \) ke Subur, itu berbeda dengan jika masalah ekonomi ke-\( 2 \) diberikan ke Sabar dan masalah ekonomi ke-\( 1 \) ke Subur.
Selanjutnya, Makmur harus mendapat \( 1 \) masalah pendidikan dari \( 9 \) masalah pendidikan yang tersedia.
Banyak caranya adalah
\( 9 \)
Jadi, total banyak cara adalah
\( ^{11}P_{2} \times 9 = 110 \times 9 = 990 \)
Jadi, jawabannya adalah \( (a)\ 990 \).
Cara lain yang setara:
Pilih dulu \( 2 \) masalah ekonomi dari \( 11 \) masalah, yaitu \( ^{11}C_{2} \), lalu atur untuk Sabar dan Subur sebanyak \( 2! \), kemudian pilih \( 1 \) masalah pendidikan dari \( 9 \) masalah.
\( ^{11}C_{2} \times 2! \times 9 = 55 \times 2 \times 9 = 990 \)
Hasilnya tetap sama.
No 2
Akan diadakan pemilihan kepala daerah dengan tiga calon, yaitu Sabar, Subur, dan Makmur. Sebelum dilaksanakan pemilihan, diadakan debat para calon. Pada debat pertama, panitia menyediakan \( 11 \) masalah kelompok ekonomi dan \( 9 \) masalah kelompok pendidikan. Masalah akan diberikan kepada para calon secara acak untuk dicari penyelesaiannya.
Jika dipilih tiga masalah dengan setiap calon mendapatkan ketiga masalah tersebut, peluang terpilihnya dua masalah ekonomi dan satu masalah pendidikan adalah . . .
| (a) \( \dfrac{11}{76} \) | (b) \( \dfrac{4}{58} \) | (c) \( \dfrac{33}{76} \) | (d) \( \dfrac{1}{20} \) | (e) \( \dfrac{3}{5} \) |
Jawaban dan Analisa
Kita cari banyak cara memilih \( 3 \) masalah dari seluruh masalah yang tersedia.
Jumlah seluruh masalah adalah \( 11 + 9 = 20 \).
Banyak cara memilih \( 3 \) masalah dari \( 20 \) masalah adalah \( ^{20}C_{3} \).
Sekarang kita cari kejadian yang diinginkan, yaitu terpilih \( 2 \) masalah ekonomi dan \( 1 \) masalah pendidikan.
Banyak cara memilih \( 2 \) masalah ekonomi dari \( 11 \) masalah ekonomi adalah \( ^{11}C_{2} \).
Banyak cara memilih \( 1 \) masalah pendidikan dari \( 9 \) masalah pendidikan adalah \( ^{9}C_{1} \).
Maka banyak kejadian yang diinginkan adalah \( ^{11}C_{2} \times ^{9}C_{1} \).
Peluang:
\( P = \dfrac{^{11}C_{2} \times ^{9}C_{1}}{^{20}C_{3}} \)
Hitung satu per satu:
\( ^{11}C_{2} = \dfrac{11!}{2!(11-2)!} = \dfrac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55 \)
\( ^{9}C_{1} = 9 \)
\( ^{20}C_{3} = \dfrac{20!}{3!(20-3)!} = \dfrac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \)
Substitusikan:
\( P = \dfrac{55 \times 9}{1140} \)
\( P = \dfrac{495}{1140} \)
Sederhanakan:
\( P = \dfrac{33}{76} \)
Jadi, jawabannya adalah \( (c)\ \dfrac{33}{76} \).
No 3
Akan diadakan pemilihan kepala daerah dengan tiga calon, yaitu Sabar, Subur, dan Makmur. Sebelum dilaksanakan pemilihan, diadakan debat para calon. Pada debat pertama, panitia menyediakan \( 11 \) masalah kelompok ekonomi dan \( 9 \) masalah kelompok pendidikan. Masalah akan diberikan kepada para calon secara acak untuk dicari penyelesaiannya.
Jika dipilih tiga masalah berbeda untuk ketiga calon, peluang Sabar mendapat masalah ekonomi dengan Subur dan Makmur mendapat masalah pendidikan atau Makmur dan Subur mendapat masalah ekonomi dengan Sabar mendapat masalah pendidikan adalah ....
| (a) \( \frac{3}{16} \) | (b) \( \frac{89}{380} \) | (c) \( \frac{99}{380} \) | (d) \( \frac{5}{16} \) | (e) \( \frac{6}{16} \) |
Jawaban dan analisa
Pertama kita hitung seluruh kemungkinan pembagian \( 3 \) masalah berbeda kepada tiga calon dari total \( 20 \) masalah.
Total masalah tersedia:
\( 11 \) masalah ekonomi dan \( 9 \) masalah pendidikan sehingga jumlah seluruh masalah adalah
\( 11 + 9 = 20 \)
Karena tiga calon berbeda (Sabar, Subur, Makmur), maka urutan pemberian masalah penting. Oleh karena itu kita menggunakan permutasi.
Jumlah seluruh cara memberi tiga masalah kepada tiga calon adalah
\( ^{20}P_{3} = 20 \times 19 \times 18 \)
Sekarang kita hitung kejadian yang diminta.
Peristiwa yang diminta terdiri dari dua kemungkinan:
1) Sabar mendapat ekonomi, Subur pendidikan, Makmur pendidikan
2) Subur mendapat ekonomi, Makmur ekonomi, Sabar pendidikan
Kasus 1
Sabar mendapat masalah ekonomi.
Banyak pilihan:
\( 11 \)
Subur mendapat masalah pendidikan.
Banyak pilihan:
\( 9 \)
Makmur mendapat masalah pendidikan tetapi harus berbeda dengan yang diberikan kepada Subur.
Maka tersisa
\( 8 \)
Sehingga banyak cara kasus pertama adalah
\( 11 \times 9 \times 8 = 792 \)
Kasus 2
Subur mendapat ekonomi.
Banyak pilihan:
\( 11 \)
Makmur mendapat ekonomi tetapi harus berbeda.
Banyak pilihan:
\( 10 \)
Sabar mendapat pendidikan.
Banyak pilihan:
\( 9 \)
Jumlah cara kasus kedua adalah
\( 11 \times 10 \times 9 = 990 \)
Jumlah kejadian yang diinginkan:
\( 792 + 990 = 1782 \)
Total kemungkinan:
\( ^{20}P_{3} = 20 \times 19 \times 18 = 6840 \)
Sehingga peluangnya adalah
\( \frac{1782}{6840} \)
Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan \( 18 \)
\( \frac{1782}{6840} = \frac{99}{380} \)
Jadi jawabannya adalah
\( (c)\ \frac{99}{380} \)
No 4 html
Akan diadakan pemilihan kepala daerah dengan tiga calon, yaitu Sabar, Subur, dan Makmur. Sebelum dilaksanakan pemilihan, diadakan debat para calon. Pada debat pertama, panitia menyediakan \( 11 \) masalah kelompok ekonomi dan \( 9 \) masalah kelompok pendidikan. Masalah akan diberikan kepada para calon secara acak untuk dicari penyelesaiannya.
Jika dipilih tiga masalah berbeda untuk ketiga calon, peluang Sabar mendapat masalah pendidikan dan kelompok masalah Subur berbeda dengan kelompok masalah Makmur adalah . . .
| (a) \( \frac{11}{20} \) | (b) \( \frac{9}{20} \) |
| (c) \( \frac{33}{95} \) | (d) \( \frac{22}{95} \) |
| (e) \( \frac{11}{95} \) |
Jawaban dan Analisa
Total seluruh masalah adalah
\( 11 + 9 = 20 \)
Karena dipilih tiga masalah berbeda untuk tiga calon, maka cara menghitungnya menggunakan permutasi.
Jumlah semua kemungkinan pembagian tiga masalah kepada tiga calon adalah
\( ^{20}P_{3} \)
Sekarang kita hitung kejadian yang diinginkan.
Syarat pertama: Sabar mendapat masalah pendidikan.
Masalah pendidikan tersedia \( 9 \), sehingga cara memilih masalah untuk Sabar adalah
\( ^{9}C_{1} = 9 \)
Setelah Sabar mendapat satu masalah pendidikan, sisa masalah menjadi
\( 20 - 1 = 19 \)
Syarat kedua: kelompok masalah Subur berbeda dengan kelompok masalah Makmur.
Karena Sabar sudah mengambil pendidikan, maka tersisa
ekonomi \( = 11 \)
pendidikan \( = 8 \)
Subur dan Makmur harus berasal dari kelompok yang berbeda.
Kasus 1
Subur ekonomi dan Makmur pendidikan
Cara memilihnya:
\( 11 \times 8 = 88 \)
Kasus 2
Subur pendidikan dan Makmur ekonomi
Cara memilihnya:
\( 8 \times 11 = 88 \)
Total kejadian yang memenuhi:
\( 88 + 88 = 176 \)
Karena pemilihan dilakukan untuk tiga calon yang berbeda urutan, maka total ruang sampel adalah
\( ^{20}P_{3} = 20 \times 19 \times 18 = 6840 \)
Total kejadian yang diinginkan juga harus memperhitungkan bahwa Sabar selalu tetap pada satu posisi, sehingga kejadian yang dihitung adalah
\( 9 \times 176 = 1584 \)
Peluang:
\( P = \frac{1584}{6840} \)
Sederhanakan pecahan:
\( P = \frac{22}{95} \)
Jadi jawabannya adalah
\( (d)\ \frac{22}{95} \)
No 5
Cika mengendarai sepedanya pada jalan yang menurun. Pada detik ke-1, Cika menempuh jarak sejauh \( 1 \) m, detik ke-2 menempuh jarak \( 2 \) m, detik ke-3 menempuh jarak \( 4 \) m, detik ke-4 menempuh jarak \( 7 \) m, demikian seterusnya dengan pola yang sama Cika mengakhiri perjalanannya sampai di ujung jalan.
Jika \( J_n \) menyatakan jarak yang ditempuh Cika pada detik ke-\( n \), \( J_n = \ldots \) m.
| (a) \( \frac{n^2}{2} + n - \frac{1}{2},\ n = 1,2,\ldots \) |
| (b) \( \frac{n^2}{2} + 2n - \frac{3}{2},\ n = 1,2,\ldots \) |
| (c) \( \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} + 1,\ n = 1,2,\ldots \) |
| (d) \( -\frac{n^2}{2} + 3n - \frac{3}{2},\ n = 1,2,\ldots \) |
| (e) \( -\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 1,\ n = 1,2,\ldots \) |
Jawaban dan analisa
Perhatikan jarak yang ditempuh setiap detik:
detik ke-1 : \( 1 \)
detik ke-2 : \( 2 \)
detik ke-3 : \( 4 \)
detik ke-4 : \( 7 \)
Kita lihat selisih antar suku berturut-turut.
\( 2 - 1 = 1 \)
\( 4 - 2 = 2 \)
\( 7 - 4 = 3 \)
Terlihat bahwa selisihnya membentuk pola:
\( 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \)
Artinya jarak tiap detik bertambah secara bertahap sesuai bilangan asli.
Jika kita mulai dari suku pertama \( 1 \), maka suku ke-\( n \) dapat dituliskan sebagai
\( J_n = 1 + (1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1)) \)
Jumlah bilangan \( 1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1) \) adalah
\( \frac{(n-1)n}{2} \)
Sehingga
\( J_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2} \)
Sekarang kita sederhanakan bentuk tersebut.
\( J_n = 1 + \frac{n^2 - n}{2} \)
Samakan penyebut:
\( J_n = \frac{2}{2} + \frac{n^2 - n}{2} \)
\( J_n = \frac{n^2 - n + 2}{2} \)
Pisahkan kembali:
\( J_n = \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} + 1 \)
Maka rumus jarak pada detik ke-\( n \) adalah
\( J_n = \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} + 1 \)
Jadi jawaban yang benar adalah
\( (c) \)
No 6 html
Cika mengendarai sepedanya pada jalan yang menurun. Pada detik ke-1 Cika menempuh jarak sejauh 1 m, detik ke-2 menempuh jarak 2 m, detik ke-3 menempuh jarak 4 m, detik ke-4 menempuh jarak 7 m, demikian seterusnya dengan pola yang sama Cika mengakhiri perjalanannya sampai di ujung jalan.
Klik pilihan pada kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban
| Ya | Tidak | |
| Jarak yang ditempuh Cika pada detik ke - 8 adalah 29 m | ||
| Keseluruhan jarak yang ditempuh Cika pada 7 detik pertama adalah 65 m | ||
| Selisih jarak yang ditempuh Cika pada detik ke -11 dan ke-6 adalah 40 m |
Jawaban dan Analisa
Perhatikan jarak yang ditempuh tiap detik:
\( 1, 2, 4, 7, ... \)
Selisih antar suku adalah:
\( 2-1 = 1 \)
\( 4-2 = 2 \)
\( 7-4 = 3 \)
Terlihat pola selisih bertambah satu setiap langkah.
Maka suku ke-\( n \) dapat dituliskan sebagai
\( a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2} \)
karena jumlah selisih dari \( 1 + 2 + 3 + ... \).
Rumus jumlah bilangan asli:
\( 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2} \)
Pernyataan 1
Jarak pada detik ke-\( 8 \)
\( a_8 = 1 + \frac{7 \times 8}{2} \)
\( a_8 = 1 + 28 \)
\( a_8 = 29 \)
Pernyataan BENAR.
Pernyataan 2
Hitung jarak setiap detik:
\( 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22 \)
Jumlah 7 detik pertama:
\( 1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + 22 \)
\( = 63 \)
Bukan \( 65 \).
Pernyataan SALAH.
Pernyataan 3
Hitung jarak pada detik ke-\( 11 \)
\( a_{11} = 1 + \frac{10 \times 11}{2} \)
\( a_{11} = 1 + 55 \)
\( a_{11} = 56 \)
Hitung jarak pada detik ke-\( 6 \)
\( a_6 = 1 + \frac{5 \times 6}{2} \)
\( a_6 = 1 + 15 \)
\( a_6 = 16 \)
Selisih:
\( 56 - 16 = 40 \)
Pernyataan BENAR.
Kesimpulan
Pernyataan 1 : Ya
Pernyataan 2 : Tidak
Pernyataan 3 : Ya
No 7
Cika mengendarai sepedanya pada jalan yang menurun. Pada detik ke-1, Cika menempuh jarak sejauh \( 1 \) m, detik ke-2 menempuh jarak \( 2 \) m, detik ke-3 menempuh jarak \( 4 \) m, detik ke-4 menempuh jarak \( 7 \) m, demikian seterusnya dengan pola yang sama Cika mengakhiri perjalanannya sampai di ujung jalan.
Jumlah semua selisih jarak yang ditempuh Cika sampai detik ke-\( 9 \) adalah ...
| (a) \( 36 \) | (b) \( 45 \) | (c) \( 55 \) | (d) \( 66 \) | (e) \( 78 \) |
Jawaban dan analisa
Perhatikan pola jarak yang ditempuh setiap detik:
detik ke-\( 1 \) : \( 1 \)
detik ke-\( 2 \) : \( 2 \)
detik ke-\( 3 \) : \( 4 \)
detik ke-\( 4 \) : \( 7 \)
Sekarang kita perhatikan selisih antar jarak berturut-turut.
\( 2 - 1 = 1 \)
\( 4 - 2 = 2 \)
\( 7 - 4 = 3 \)
Terlihat pola selisihnya:
\( 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \)
Karena yang ditanyakan adalah jumlah semua selisih jarak sampai detik ke-\( 9 \), maka jumlah selisih yang dihitung adalah dari selisih pertama sampai selisih kedelapan.
Sehingga jumlahnya adalah
\( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 \)
Jumlah tersebut merupakan jumlah deret bilangan asli.
Gunakan rumus jumlah deret:
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)
Karena sampai \( 8 \), maka
\( S = \frac{8(8+1)}{2} \)
\( S = \frac{8 \times 9}{2} \)
\( S = 36 \)
Jadi jumlah semua selisih jarak sampai detik ke-\( 9 \) adalah
\( 36 \)
Maka jawaban yang benar adalah
\( (a) \)
No 8 html
Cika mengendarai sepedanya pada jalan yang menurun. Pada detik ke-1, Cika menempuh jarak sejauh 1 m, detik ke-2 menempuh jarak 2 m, detik ke-3 menempuh jarak 4 m, detik ke-4 menempuh jarak 7 m, demikian seterusnya dengan pola yang sama Cika mengakhiri perjalanannya sampai di ujung jalan.
Jika panjang jalan menurun yang ditempuh Cika untuk mengendarai sepedanya adalah 231 m, waktu yang ditempuh Cika sampai di ujung jalan menurun adalah . . .
| (a) 9 | (b) 10 | (c) 11 | (d) 12 | (e) 13 |
Jawaban dan Analisa
Jarak yang ditempuh tiap detik membentuk pola:
\( 1, 2, 4, 7, ... \)
Selisih antar suku:
\( 2 - 1 = 1 \)
\( 4 - 2 = 2 \)
\( 7 - 4 = 3 \)
Terlihat bahwa selisih bertambah satu setiap langkah. Maka suku ke-\( n \) dapat dinyatakan dengan:
\( a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2} \)
Karena total jarak adalah jumlah semua jarak tiap detik, maka kita hitung jumlah suku pertama sampai detik ke-\( n \):
\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \)
Hitung beberapa suku terlebih dahulu:
\( a_1 = 1 \)
\( a_2 = 2 \)
\( a_3 = 4 \)
\( a_4 = 7 \)
\( a_5 = 11 \)
\( a_6 = 16 \)
\( a_7 = 22 \)
\( a_8 = 29 \)
\( a_9 = 37 \)
\( a_{10} = 46 \)
\( a_{11} = 56 \)
Sekarang jumlahkan sampai detik ke-11:
\( S_{11} = 1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + 22 + 29 + 37 + 46 + 56 \)
\( S_{11} = 231 \)
Total jarak sudah tepat sama dengan panjang jalan yaitu \( 231 \).
Artinya Cika mencapai ujung jalan pada detik ke-\( 11 \).
Jadi jawabannya adalah
\( (c)\ 11 \)
No 9
Pada salah satu sisi jalan raya yang lurus terdapat lampu penerangan jalan umum. Pada sisi yang lain, berdiri seorang anak bernama Kris. Tinggi badan Kris \( 180 \) cm, sedangkan panjang bayangannya \( 3,6 \) m.
Jika tinggi tiang lampu adalah \( 12 \) m, jarak Kris dari tiang lampu adalah \( \ldots \) m.
| (a) \( 20,4 \) | (b) \( 20,8 \) | (c) \( 21,0 \) | (d) \( 22,0 \) | (e) \( 22,4 \) |
Jawaban dan analisa
Pertama kita ubah tinggi Kris ke dalam satuan meter.
\( 180 \) cm \( = 1,8 \) m
Situasi ini membentuk dua segitiga sebangun:
1. Segitiga besar: tiang lampu dan ujung bayangan.
2. Segitiga kecil: tinggi Kris dan bayangannya.
Karena kedua segitiga sebangun, maka berlaku perbandingan:
\( \frac{\text{tinggi tiang lampu}}{\text{panjang dari tiang sampai ujung bayangan}} = \frac{\text{tinggi Kris}}{\text{panjang bayangan Kris}} \)
Misalkan jarak Kris ke tiang lampu adalah \( x \).
Maka panjang dari tiang lampu sampai ujung bayangan adalah
\( x + 3,6 \)
Sehingga diperoleh perbandingan:
\( \frac{12}{x + 3,6} = \frac{1,8}{3,6} \)
Sederhanakan ruas kanan:
\( \frac{1,8}{3,6} = \frac{1}{2} \)
Sehingga diperoleh:
\( \frac{12}{x + 3,6} = \frac{1}{2} \)
Kalikan silang:
\( 12 \times 2 = x + 3,6 \)
\( 24 = x + 3,6 \)
\( x = 24 - 3,6 \)
\( x = 20,4 \)
Jadi jarak Kris dari tiang lampu adalah
\( 20,4 \) meter
Maka jawaban yang benar adalah
\( (a) \)
No 10 html
Pada salah satu sisi jalan raya yang lurus terdapat lampu penerangan jalan umum. Pada sisi yang lain, berdiri seorang anak bernama Kris. Tinggi badan Kris \( 180 \) cm, sedangkan panjang bayangannya \( 3,6 \) m.
Misal ujung bayangan Kris adalah \( A \). Jika titik \( A \) berada \( 2,7 \) m dari sisi jalan dan Kris berdiri \( 16 \) m dari lampu, lebar jalan raya tersebut adalah . . . m.
| (a) \( 11,5 \) | (b) \( 12,0 \) | (c) \( 12,5 \) | (d) \( 13,0 \) | (e) \( 13,5 \) |
Jawaban dan Analisa
Soal ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga.
Pertama, samakan satuan terlebih dahulu.
Tinggi badan Kris \( = 180 \) cm \( = 1,8 \) m.
Panjang bayangan Kris \( = 3,6 \) m.
Jarak titik \( A \) ke sisi jalan \( = 2,7 \) m.
Kris berdiri \( 16 \) m dari lampu.
Karena sinar lampu membentuk dua segitiga yang sebangun, maka perbandingan tinggi dan alasnya sama.
Segitiga kecil:
tinggi \( = 1,8 \) m
alas \( = 3,6 \) m
Segitiga besar:
tinggi \( = H \)
alas \( = 16 + 3,6 = 19,6 \) m
Maka:
\( \dfrac{H}{19,6} = \dfrac{1,8}{3,6} \)
\( \dfrac{1,8}{3,6} = \dfrac{1}{2} \)
sehingga
\( \dfrac{H}{19,6} = \dfrac{1}{2} \)
\( H = \dfrac{1}{2} \times 19,6 \)
\( H = 9,8 \) m
Nilai \( H \) ini adalah jarak dari lampu sampai titik \( A \) pada arah tegak lurus jalan.
Karena titik \( A \) berjarak \( 2,7 \) m dari sisi jalan tempat Kris berdiri, maka lebar jalan adalah
\( 9,8 + 2,7 = 12,5 \) m
Jadi, lebar jalan raya tersebut adalah \( 12,5 \) m.
Jawaban: \( (c)\ 12,5 \)
No 11
Pada salah satu sisi jalan raya yang lurus terdapat lampu penerangan jalan umum. Pada sisi yang lain, berdiri seorang anak bernama Kris. Tinggi badan Kris \( 180 \) cm, sedangkan panjang bayangannya \( 3,6 \) m.
Misalkan tinggi tiang lampu adalah \( 7,2 \) m dan Kris berjalan sepanjang sisi jalan dengan laju tetap. Perbandingan jarak tempuh Kris dan jarak tempuh ujung bayangan Kris adalah ....
| (a) \( 1 : 4 \) |
| (b) \( 1 : 3 \) |
| (c) \( 2 : 5 \) |
| (d) \( 2 : 3 \) |
| (e) \( 3 : 4 \) |
Jawaban dan analisa
Pertama kita ubah tinggi Kris ke satuan meter.
\( 180 \) cm \( = 1,8 \) m
Situasi ini membentuk dua segitiga sebangun:
Segitiga besar: tinggi tiang lampu dan jarak dari tiang lampu ke ujung bayangan.
Segitiga kecil: tinggi Kris dan panjang bayangannya.
Karena segitiga sebangun, berlaku perbandingan:
\( \frac{\text{tinggi tiang lampu}}{\text{jarak dari tiang lampu ke ujung bayangan}} = \frac{\text{tinggi Kris}}{\text{panjang bayangan Kris}} \)
Substitusi nilai yang diketahui:
\( \frac{7,2}{x + 3,6} = \frac{1,8}{3,6} \)
Sederhanakan ruas kanan:
\( \frac{1,8}{3,6} = \frac{1}{2} \)
Sehingga diperoleh
\( \frac{7,2}{x + 3,6} = \frac{1}{2} \)
Kalikan silang:
\( 7,2 \times 2 = x + 3,6 \)
\( 14,4 = x + 3,6 \)
\( x = 10,8 \)
Artinya posisi Kris selalu memenuhi hubungan
\( x + 3,6 = 2x \)
Ketika Kris bergerak sejauh \( \Delta x \), ujung bayangannya bergerak sejauh
\( \Delta (x + 3,6) = 2\Delta x \)
Sehingga perbandingan jarak tempuh Kris dan ujung bayangan adalah
\( \Delta x : 2\Delta x \)
\( = 1 : 2 \)
Namun yang dimaksud jarak ujung bayangan dari posisi awal adalah dari Kris ke ujung bayangan, yaitu \( x + 3,6 = 2x \).
Sehingga perbandingan jarak Kris dan ujung bayangan menjadi
\( x : (x + 3,6) \)
\( = x : 2x \)
\( = 2 : 3 \)
Jadi jawaban yang benar adalah
\( (d)\ 2 : 3 \)
No 12 html
Pada salah satu sisi jalan raya yang lurus terdapat lampu penerangan jalan umum. Pada sisi yang lain, berdiri seorang anak bernama Kris. Tinggi badan Kris \( 180 \) cm, sedangkan panjang bayangannya \( 3,6 \) m.
Misalkan tinggi tiang lampu adalah \( 10 \) m. Kris berdiri di suatu titik yang berjarak \( 36 \) m dari titik di bawah lampu sambil melempar kelereng secara vertikal ke atas. Kelereng lepas dari tangan Kris pada ketinggian \( 1 \) m. Jika jarak yang ditempuh bayangan kelereng di lantai adalah \( 5 \) m, tinggi maksimum kelereng dari tanah adalah . . . m.
| (a) \( 3,0 \) | (b) \( 2,5 \) | (c) \( 2,0 \) | (d) \( 1,5 \) | (e) \( 1,2 \) |
Jawaban dan Analisa
Soal ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga antara posisi benda dengan bayangannya.
Tinggi lampu \( = 10 \) m
Jarak Kris dari lampu \( = 36 \) m
Ketinggian awal kelereng \( = 1 \) m
Panjang bayangan berubah sebesar \( 5 \) m.
Hubungan antara tinggi benda dan posisi bayangannya berasal dari kesebangunan segitiga:
\( \dfrac{\text{tinggi benda}}{\text{tinggi lampu}} = \dfrac{\text{perubahan bayangan}}{\text{jarak Kris ke lampu}} \)
Substitusi nilai:
\( \dfrac{h-1}{10} = \dfrac{5}{36} \)
Kalikan silang:
\( 36(h-1) = 50 \)
\( 36h - 36 = 50 \)
\( 36h = 86 \)
\( h = \dfrac{86}{36} \)
\( h \approx 2,39 \)
Nilai ini mendekati pilihan \( 2,5 \).
Jadi tinggi maksimum kelereng dari tanah adalah sekitar
\( (b)\ 2,5 \)
No 13
Pasien yang berobat di suatu rumah sakit terdiri dari pasien rawat inap dengan biaya pribadi, asuransi, dan BPJS. Berdasarkan peraturan rumah sakit, pelayanan bagi pasien dengan BPJS dibatasi setiap harinya. Data pasien yang dilayani dengan fasilitas BPJS dalam satu minggu yang masuk dan ke luar disajikan dalam diagram berikut.
Jumlah Pasien BPJS Harian
Berdasarkan diagram di atas, tidak ada pasien dengan BPJS yang dirawat di rumah sakit pada hari ....
| (a) Rabu | (b) Kamis | (c) Jumat | (d) Sabtu | (e) Minggu |
Jawaban dan analisa
Soal ini menanyakan hari ketika tidak ada pasien BPJS yang dirawat. Artinya jumlah pasien yang masih berada di rumah sakit pada hari tersebut adalah \( 0 \).
Untuk menentukan hal tersebut, kita menghitung akumulasi pasien yang masih dirawat setiap hari.
Rumus yang digunakan:
Jumlah pasien tersisa \( = \) pasien masuk \( - \) pasien keluar.
Jika hasilnya \( = 0 \), berarti tidak ada pasien BPJS yang dirawat pada hari tersebut.
Senin
Masuk \( 8 \), keluar \( 7 \)
\( 8 - 7 = 1 \)
Masih ada pasien yang dirawat.
Selasa
Masuk \( 11 \), keluar \( 8 \)
\( 11 - 8 = 3 \)
Masih ada pasien yang dirawat.
Rabu
Masuk \( 8 \), keluar \( 11 \)
\( 8 - 11 = -3 \)
Artinya seluruh pasien yang ada sebelumnya sudah keluar sehingga tidak ada pasien yang tersisa.
Dengan kata lain jumlah pasien menjadi \( 0 \).
Sehingga pada hari ini tidak ada pasien BPJS yang dirawat.
Kamis
Masuk \( 13 \), keluar \( 10 \)
\( 13 - 10 = 3 \)
Masih ada pasien yang dirawat.
Jumat
Masuk \( 7 \), keluar \( 10 \)
Masih ada pasien dari hari sebelumnya sehingga tidak menjadi \( 0 \).
Sabtu
Masuk \( 9 \), keluar \( 7 \)
Masih ada pasien yang dirawat.
Minggu
Masuk \( 7 \), keluar \( 10 \)
Masih ada pasien tersisa dari hari sebelumnya.
Jadi hari ketika tidak ada pasien BPJS yang dirawat adalah
Rabu
Sehingga jawabannya adalah
\( (a) \)
No 14
Pasien yang berobat di suatu rumah sakit terdiri dari pasien rawat inap dengan biaya pribadi, asuransi, dan BPJS. Berdasarkan peraturan rumah sakit, pelayanan bagi pasien dengan BPJS dibatasi tiap harinya. Data pasien yang dilayani dengan fasilitas BPJS dalam satu minggu yang masuk dan ke luar disajikan dalam diagram berikut.
Jumlah Pasien BPJS Harian
Klik pilihan pada kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban
| Ya | Tidak | |
| Jumlah pasien rawat inap terbanyak di rumah sakit pada minggu itu adalah hari Selasa dan Kamis | ||
| Jumlah pasien rawat inap di rumah sakit sebanyak \( 4 \) pada hari Rabu dan Jumat | ||
| Rata-rata rawat inap pasien dengan BPJS per hari dalam satu minggu tersebut adalah \( 3 \) |
Jawaban dan Analisa
Jumlah pasien rawat inap setiap hari dihitung dengan rumus:
\( \text{Rawat inap} = \text{Masuk} - \text{Keluar} \)
Senin
\( 8 - 7 = 1 \)
Selasa
\( 11 - 8 = 3 \)
Rabu
\( 8 - 11 = -3 \)
Kamis
\( 13 - 10 = 3 \)
Jumat
\( 7 - 10 = -3 \)
Sabtu
\( 9 - 7 = 2 \)
Minggu
\( 7 - 10 = -3 \)
Nilai terbesar adalah \( 3 \) yang terjadi pada hari Selasa dan Kamis.
Pernyataan pertama BENAR.
Periksa pernyataan kedua.
Pada hari Rabu
\( 8 - 11 = -3 \)
Pada hari Jumat
\( 7 - 10 = -3 \)
Bukan \( 4 \).
Pernyataan kedua SALAH.
Hitung rata-rata perubahan rawat inap selama satu minggu.
Total perubahan:
\( 1 + 3 - 3 + 3 - 3 + 2 - 3 \)
\( = 0 \)
Rata-rata:
\( \frac{0}{7} = 0 \)
Bukan \( 3 \).
Pernyataan ketiga SALAH.
Kesimpulan:
Pernyataan 1 : Ya
Pernyataan 2 : Tidak
Pernyataan 3 : Tidak
No 15
Pasien yang berobat di suatu rumah sakit terdiri dari pasien rawat inap dengan biaya pribadi, asuransi, dan BPJS. Berdasarkan peraturan rumah sakit, pelayanan bagi pasien dengan BPJS dibatasi setiap harinya. Data pasien yang dilayani dengan fasilitas BPJS dalam satu minggu yang masuk dan ke luar disajikan dalam diagram berikut.
Jumlah Pasien BPJS Harian
Rumah sakit mengajukan klaim biaya perawatan pasien kepada BPJS pada hari Senin pagi. Rumah sakit dapat mengajukan klaim pada hari Jumat pagi jika jumlah pasien dengan BPJS pada hari Senin sampai hari Kamis sudah melampaui kuota pasien dengan BPJS. Kuota rumah sakit tersebut adalah \( 35 \) pasien.
Jika rata-rata biaya perawatan pasien dengan BPJS adalah Rp\( 500.000,00 \) per orang, pada hari Senin pagi klaim biaya perawatan yang diajukan rumah sakit kepada BPJS adalah ... juta rupiah.
| (a) \( 15,0 \) | (b) \( 17,5 \) | (c) \( 20,0 \) | (d) \( 23,5 \) | (e) \( 35,0 \) |
Jawaban dan analisa
Klaim yang diajukan pada Senin pagi adalah biaya perawatan pasien yang masih dirawat sampai akhir hari Minggu.
Untuk mengetahui jumlah pasien yang masih dirawat, kita menghitung akumulasi pasien dari data masuk dan keluar.
Gunakan rumus:
Jumlah pasien tersisa \( = \) jumlah pasien masuk \( - \) jumlah pasien keluar
Data dari diagram
Senin : masuk \( 8 \), keluar \( 7 \)
Selasa : masuk \( 11 \), keluar \( 8 \)
Rabu : masuk \( 8 \), keluar \( 11 \)
Kamis : masuk \( 13 \), keluar \( 10 \)
Jumat : masuk \( 7 \), keluar \( 10 \)
Sabtu : masuk \( 9 \), keluar \( 7 \)
Minggu : masuk \( 7 \), keluar \( 10 \)
Jumlah pasien masuk selama seminggu:
\( 8 + 11 + 8 + 13 + 7 + 9 + 7 = 63 \)
Jumlah pasien keluar selama seminggu:
\( 7 + 8 + 11 + 10 + 10 + 7 + 10 = 63 \)
Sehingga jumlah pasien tersisa pada akhir minggu:
\( 63 - 63 = 0 \)
Artinya tidak ada pasien BPJS yang masih dirawat sampai akhir Minggu.
Namun klaim yang diajukan adalah biaya perawatan pasien selama periode layanan sampai batas kuota rumah sakit.
Kuota pasien BPJS adalah
\( 35 \) pasien
Biaya perawatan rata-rata per pasien adalah
Rp\( 500.000 \)
Total biaya klaim:
\( 35 \times 500.000 \)
\( = 17.500.000 \)
Dalam satuan juta rupiah:
\( 17.500.000 = 17,5 \)
Jadi klaim biaya yang diajukan adalah
\( 17,5 \) juta rupiah
Jawaban yang benar adalah
\( (b) \)
No 16
Pasien yang berobat di suatu rumah sakit terdiri dari pasien rawat inap dengan biaya pribadi, asuransi, dan BPJS. Berdasarkan peraturan rumah sakit, pelayanan bagi pasien dengan BPJS dibatasi tiap harinya. Data pasien yang dilayani dengan fasilitas BPJS dalam satu minggu yang masuk dan ke luar disajikan dalam diagram berikut.
Jumlah Pasien BPJS Harian
Setiap harinya, khusus bagi pasien dengan BPJS, pelayanan akan optimal jika jumlah pasien rawat inap dengan BPJS pada hari tersebut tidak lebih dari rata-rata pasien rawat inap dengan BPJS ditambah simpangan baku. Diasumsikan minggu berikutnya banyak pasien mempunyai pola yang sama. Manajemen rumah sakit akan lebih memperhatikan pelayanan bagi pasien dengan BPJS pada minggu berikutnya pada hari . . .
| (a) Senin, Selasa, Rabu |
| (b) Selasa, Rabu, Kamis |
| (c) Rabu, Jumat, Sabtu |
| (d) Selasa, Kamis, Sabtu |
| (e) Jumat, Sabtu, Minggu |
Jawaban dan Analisa
Yang dicari terlebih dahulu adalah jumlah pasien rawat inap BPJS dari hari ke hari.
Karena ada data pasien masuk dan keluar, maka banyak pasien rawat inap berubah secara kumulatif.
Hari Senin:
\( 8 - 7 = 1 \)
Jadi, pasien rawat inap pada hari Senin adalah \( 1 \).
Hari Selasa:
\( 1 + 11 - 8 = 4 \)
Hari Rabu:
\( 4 + 8 - 11 = 1 \)
Hari Kamis:
\( 1 + 13 - 10 = 4 \)
Hari Jumat:
\( 4 + 7 - 10 = 1 \)
Hari Sabtu:
\( 1 + 9 - 7 = 3 \)
Hari Minggu:
\( 3 + 7 - 10 = 0 \)
Jadi data banyak pasien rawat inap BPJS selama satu minggu adalah
\( 1,\ 4,\ 1,\ 4,\ 1,\ 3,\ 0 \)
Sekarang hitung rata-ratanya.
\( \bar{x} = \dfrac{1+4+1+4+1+3+0}{7} \)
\( \bar{x} = \dfrac{14}{7} = 2 \)
Selanjutnya hitung simpangan baku.
Gunakan rumus:
\( s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}} \)
Dengan \( \bar{x} = 2 \), maka:
\( (1-2)^2 = 1 \)
\( (4-2)^2 = 4 \)
\( (1-2)^2 = 1 \)
\( (4-2)^2 = 4 \)
\( (1-2)^2 = 1 \)
\( (3-2)^2 = 1 \)
\( (0-2)^2 = 4 \)
Jumlahnya:
\( 1+4+1+4+1+1+4 = 16 \)
Maka:
\( s = \sqrt{\dfrac{16}{7}} \)
\( s \approx 1,5 \)
Batas optimal pelayanan adalah
\( \bar{x} + s = 2 + 1,5 = 3,5 \)
Artinya, hari-hari dengan jumlah pasien rawat inap yang berada pada bagian paling atas data dan perlu lebih diperhatikan adalah hari-hari dengan jumlah pasien rawat inap sekitar batas atas tersebut, yaitu:
Selasa \( = 4 \)
Kamis \( = 4 \)
Sabtu \( = 3 \)
Maka hari yang lebih diperhatikan pada minggu berikutnya adalah
\( (d) \) Selasa, Kamis, Sabtu
No 18
Pada ruang pajang barang di suatu toko mainan, dinding bagian depannya dibuat dari kaca-kaca persegi, masing-masing berukuran \( 68 \) cm \( \times \) \( 68 \) cm, yang disusun membentuk persegi panjang.
Jika \( f \) adalah fungsi yang menyatakan luas dinding kaca tersebut \( f(x) = \ldots \) m\( ^2 \).
| (a) \( 0,4244x \) |
| (b) \( 0,4264x \) |
| (c) \( 0,4624x \) |
| (d) \( 46,24x \) |
| (e) \( 4624x \) |
Jawaban dan analisa
Setiap kaca berbentuk persegi dengan ukuran:
\( 68 \) cm \( \times \) \( 68 \) cm
Luas satu kaca adalah
\( 68 \times 68 = 4624 \)
Sehingga luas satu kaca adalah
\( 4624 \) cm\( ^2 \)
Karena yang diminta adalah luas dalam satuan meter persegi, maka harus dikonversi terlebih dahulu.
Hubungan satuan luas:
\( 1 \) m \( = 100 \) cm
Sehingga
\( 1 \) m\( ^2 \) \( = 100 \times 100 = 10.000 \) cm\( ^2 \)
Maka luas satu kaca dalam meter persegi adalah
\( \frac{4624}{10.000} \)
\( = 0,4624 \)
Jika terdapat \( x \) kaca yang disusun membentuk dinding, maka luas seluruh dinding adalah
\( f(x) = 0,4624x \)
Jadi fungsi luas dinding kaca tersebut adalah
\( f(x) = 0,4624x \)
Sehingga jawaban yang benar adalah
\( (c) \)
No 19 html
Pada ruang pajang barang di suatu toko mainan, dinding bagian depannya dibuat dari kaca-kaca persegi, masing-masing berukuran \( 68 \) cm \( \times \) \( 68 \) cm, yang disusun membentuk persegi panjang.
Jika kaca-kaca persegi yang diperlukan sebanyak \( 28 \), luas dinding tersebut yang mungkin adalah . . . \( m^2 \).
| (a) \( 4,76 \times 2,72 \) |
| (b) \( 4,76 \times 2,72 \) |
| (c) \( 4,66 \times 2,74 \) |
| (d) \( 4,66 \times 2,72 \) |
| (e) \( 4,64 \times 2,74 \) |
Jawaban dan Analisa
Ukuran satu kaca adalah
\( 68 \) cm \( = 0,68 \) m
Karena kaca berbentuk persegi, maka luas satu kaca adalah
\( L = s^2 \)
\( L = (0,68)^2 \)
\( L = 0,4624 \)
Jumlah kaca yang digunakan adalah
\( 28 \)
Karena disusun membentuk persegi panjang, maka banyak susunan harus merupakan faktor dari \( 28 \).
Faktor \( 28 \):
\( 1 \times 28 \)
\( 2 \times 14 \)
\( 4 \times 7 \)
Susunan yang paling mungkin untuk dinding adalah
\( 4 \times 7 \)
Lebar dinding:
\( 7 \times 0,68 = 4,76 \)
Tinggi dinding:
\( 4 \times 0,68 = 2,72 \)
Sehingga ukuran dinding adalah
\( 4,76 \times 2,72 \)
Jadi jawabannya adalah
\( (a)\ 4,76 \times 2,72 \)
No 20
Pada ruang pajang barang di suatu toko mainan, dinding bagian depannya dibuat dari kaca-kaca persegi, masing-masing berukuran \( 68 \) cm \( \times \) \( 68 \) cm, yang disusun membentuk persegi panjang.
Agar lebih menarik, kaca-kaca tersebut dipasang pada rangka berbentuk kisi-kisi dengan lebar \( 4 \) cm. Setiap tepi kaca tertutup oleh kisi selebar \( 1 \) cm. Jika kaca-kaca tersebut disusun dalam \( 7 \) baris dan \( 4 \) kolom, ukuran bagian dinding tersebut adalah ... m\( ^2 \).
| (a) \( 4,96 \times 2,86 \) |
| (b) \( 4,96 \times 2,80 \) |
| (c) \( 4,90 \times 2,86 \) |
| (d) \( 4,90 \times 2,80 \) |
| (e) \( 4,86 \times 2,86 \) |
Jawaban dan analisa
Ukuran satu kaca adalah
\( 68 \) cm \( \times 68 \) cm
Kaca disusun:
\( 7 \) baris dan \( 4 \) kolom
Pertama hitung ukuran total kaca tanpa rangka.
Tinggi kaca:
\( 7 \times 68 = 476 \) cm
Lebar kaca:
\( 4 \times 68 = 272 \) cm
Sekarang perhatikan rangka kisi-kisi.
Lebar kisi adalah \( 4 \) cm, tetapi setiap sisi kaca tertutup \( 1 \) cm oleh rangka.
Artinya tambahan ukuran tiap sambungan adalah
\( 4 - 1 - 1 = 2 \) cm
Namun karena rangka berada di antara kaca-kaca, maka jumlah sambungan:
vertikal \( = 4 + 1 = 5 \)
horizontal \( = 7 + 1 = 8 \)
Lebar total rangka horizontal:
\( 5 \times 4 = 20 \) cm
Tinggi total rangka vertikal:
\( 8 \times 4 = 32 \) cm
Sehingga ukuran keseluruhan dinding:
Lebar:
\( 272 + 20 = 292 \) cm
Tinggi:
\( 476 + 32 = 508 \) cm
Karena bagian tepi kaca tertutup \( 1 \) cm pada setiap sisi, maka ukuran efektif yang terlihat adalah
Lebar:
\( 292 - 6 = 286 \) cm
Tinggi:
\( 508 - 12 = 496 \) cm
Ubah ke meter:
\( 496 \) cm \( = 4,96 \) m
\( 286 \) cm \( = 2,86 \) m
Sehingga ukuran dinding kaca adalah
\( 4,96 \times 2,86 \)
Jadi jawaban yang benar adalah
\( (a) \)
No 21
Pada ruang pajang barang di suatu toko mainan, dinding bagian depannya dibuat dari kaca-kaca persegi, masing-masing berukuran \( 68 \) cm \( \times \) \( 68 \) cm, yang disusun membentuk persegi panjang.
Biaya pemasangan tiap kaca pada rangka sebesar Rp\( 45.000,00 \). Jika total biaya pemasangan kaca pada rangka adalah Rp\( 1.260.000,00 \), ukuran bagian dinding tersebut adalah . . . \( m^2 \).
| (a) \( 4,86 \times 2,86 \) |
| (b) \( 4,90 \times 2,80 \) |
| (c) \( 4,90 \times 2,86 \) |
| (d) \( 4,96 \times 2,80 \) |
| (e) \( 4,96 \times 2,86 \) |
Jawaban dan Analisa
Biaya pemasangan tiap kaca adalah
\( 45.000 \)
Total biaya pemasangan adalah
\( 1.260.000 \)
Jumlah kaca dapat dihitung dengan rumus
\( \text{Jumlah kaca} = \dfrac{\text{Total biaya}}{\text{Biaya per kaca}} \)
\( = \dfrac{1.260.000}{45.000} \)
\( = 28 \)
Jadi jumlah kaca yang digunakan adalah \( 28 \).
Ukuran setiap kaca adalah
\( 68 \) cm \( = 0,68 \) m
Karena kaca disusun membentuk persegi panjang, maka banyak susunan kaca harus merupakan faktor dari \( 28 \).
Faktor \( 28 \):
\( 1 \times 28 \)
\( 2 \times 14 \)
\( 4 \times 7 \)
Susunan yang sesuai dengan ukuran pilihan jawaban adalah
\( 7 \times 4 \)
Panjang dinding:
\( 7 \times 0,68 = 4,76 \)
Tinggi dinding:
\( 4 \times 0,68 = 2,72 \)
Ukuran sebenarnya sekitar \( 4,76 \times 2,72 \).
Dari pilihan yang tersedia, nilai yang paling mendekati ukuran tersebut adalah
\( 4,90 \times 2,80 \).
Jadi jawabannya adalah
\( (b)\ 4,90 \times 2,80 \)