Langkah pertama, kita cari hasil perkalian matriks \( AB \). Rumus perkalian matriks:

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \), maka:

\( AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix} \)

Sekarang kita hitung satu per satu.

Elemen baris 1 kolom 1: \( (3)(4) + (-2)(-2) = 12 + 4 = 16 \)

Elemen baris 1 kolom 2: \( (3)(3) + (-2)(-1) = 9 + 2 = 11 \)

Elemen baris 2 kolom 1: \( (4)(4) + (-1)(-2) = 16 + 2 = 18 \)

Elemen baris 2 kolom 2: \( (4)(3) + (-1)(-1) = 12 + 1 = 13 \)

Maka diperoleh:

\( AB = \begin{pmatrix} 16 & 11 \\ 18 & 13 \end{pmatrix} \)

Langkah kedua, hitung \( AB - C \). Pengurangan matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen yang bersesuaian.

\( AB - C = \begin{pmatrix} 16 & 11 \\ 18 & 13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah terakhir, kita hitung determinan matriks ordo \(2 \times 2\). Rumus determinan:

Jika \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka \( \det(M) = ad - bc \).

Untuk matriks \( \begin{pmatrix} 12 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \):

\( \det = (12)(1) - (1)(9) = 12 - 9 = 3 \)

Jadi, nilai determinan \( (AB - C) \) adalah \( 3 \).

Jawaban: D

Langkah pertama, kita gunakan rumus operasi penjumlahan dan pengurangan matriks.

Jika dua matriks berordo sama dijumlahkan atau dikurangkan, maka setiap elemen yang seletak dijumlahkan atau dikurangkan.

Hitung terlebih dahulu \( A + B \).

\( A + B = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + x & y + 5 \\ 5 + (-3) & -1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + x & y + 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)

Selanjutnya kita kurangkan dengan \( C \).

\( A + B - C = \begin{pmatrix} 3 + x & y + 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ y & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + x - (-3) & y + 5 - (-1) \\ 2 - y & 5 - 9 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} x + 6 & y + 6 \\ 2 - y & -4 \end{pmatrix} \)

Diketahui hasilnya adalah \( \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix} \)

Karena dua matriks sama, maka elemen yang seletak harus sama.

1) \( x + 6 = 8 \)
\( x = 2 \)

2) \( y + 6 = 5x \)
\( y + 6 = 5(2) \)
\( y + 6 = 10 \)
\( y = 4 \)

3) Cek baris ketiga: \( 2 - y = -x \)
\( 2 - 4 = -2 \) ✔ benar

Sekarang hitung yang ditanyakan:

\( x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 2 + 16 + 4 = 22 \)

Jadi jawabannya adalah E. 22.

Kita kerjakan bertahap: cari \( AB \), lalu \( AB + C \), terakhir determinannya.

1) Menghitung \( AB \)
Rumus perkalian matriks ordo \(2 \times 2\):

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \), maka \( AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix} \).

Untuk \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \):

Elemen baris 1 kolom 1: \( (1)(1) + (2)(0) = 1 + 0 = 1 \)

Elemen baris 1 kolom 2: \( (1)(1) + (2)(1) = 1 + 2 = 3 \)

Elemen baris 2 kolom 1: \( (3)(1) + (4)(0) = 3 + 0 = 3 \)

Elemen baris 2 kolom 2: \( (3)(1) + (4)(1) = 3 + 4 = 7 \)

Jadi, \( AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \).

2) Menghitung \( AB + C \)
Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen yang bersesuaian:

\( AB + C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 6 & 14 \end{pmatrix} \).

3) Menghitung determinan \( AB + C \)
Rumus determinan matriks \(2 \times 2\): Jika \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka \( \det(M) = ad - bc \).

Untuk \( \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 6 & 14 \end{pmatrix} \):

\( \det(AB + C) = (3)(14) - (8)(6) = 42 - 48 = -6 \).

Jawaban: B

Langkah pertama, kita cari terlebih dahulu matriks \( A - B \).

Rumus pengurangan matriks: setiap elemen yang seletak dikurangkan.

\( A - B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & -2-(-2) \\ -2-(-2) & -2-(-3) \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Sekarang kita cari inversnya.

Rumus invers matriks ordo \( 2 \times 2 \):

Jika \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Karena \( A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Maka determinannya:

\( (1)(1) - (0)(0) = 1 \)

Sehingga inversnya adalah:

\( (A-B)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Jadi jawabannya adalah C.

Langkah pertama, kita harus mencari hubungan antara matriks \( A \) dan \( B \).

Perhatikan:

\( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Jika kita jumlahkan elemen yang berhadapan secara diagonal:

\( 3 + 1 = 4 \)

\( 2 + 4 = 6 \)

Sekarang perhatikan matriks \( B \):

\( B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \)

Jika kita jumlahkan \( A + B \):

\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)

Perhatikan bahwa hasilnya simetris terhadap diagonal utama.

Namun lebih sederhana lagi, kita perhatikan bahwa setiap elemen \( B \) merupakan negatif dari elemen \( A \) yang ditukar posisinya (transpose lalu diberi tanda negatif).

Transpose dari \( A \):

\( A^T = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Jika kita beri tanda negatif:

\( -A^T = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \)

Tetapi karena pada soal terlihat pola jumlah baris tetap, maka hubungan yang dimaksud adalah:

Jumlah setiap baris pada \( A \):

Baris pertama: \( 3 + 2 = 5 \)

Baris kedua: \( 4 + 1 = 5 \)

Jumlah setiap baris pada \( B \):

Baris pertama: \( 1 + (-4) = -3 \)

Baris kedua: \( -2 + 3 = 1 \)

Jika diperhatikan lebih teliti, sebenarnya hubungan paling jelas adalah:

Setiap elemen \( B \) merupakan negatif dari elemen \( A \) yang diputar \( 180^\circ \).

Artinya:

\( B_{11} = -A_{22} \)

\( B_{12} = -A_{21} \)

\( B_{21} = -A_{12} \)

\( B_{22} = -A_{11} \)

Coba cek:

\( B_{11} = 1 \), sedangkan \( -A_{22} = -1 \) → tidak cocok.

Maka kita periksa kembali:

Perhatikan bahwa:

\( A + B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)

Jika kita perhatikan pola, ternyata:

\( B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \)

Adalah matriks kofaktor dari \( A \).

Determinan \( A \):

\( \det(A) = (3)(1) - (2)(4) = 3 - 8 = -5 \)

Matriks adj(A):

\( \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \)

Jika kita transpose:

\( \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \)

Ternyata sama dengan \( B \).

Jadi hubungan yang dimaksud adalah:

\( B = \text{adj}(A) \)

Maka berlaku:

Jika \( D \) mempunyai hubungan serupa dengan \( C \), maka:

\( D = \text{adj}(C) \)

Hitung determinan \( C \):

\( \det(C) = (5)(2) - (-3)(-3) = 10 - 9 = 1 \)

Adj(C):

Untuk matriks \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka:

\( \text{adj} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Sehingga:

\( D = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \)

Sekarang hitung \( C + D \):

\( \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \)

Jadi jawabannya adalah:

D. \( \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \)

Langkah pertama, kita gunakan konsep dasar operasi matriks pada materi SMA:

✔ Penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen yang seletak.
✔ Perkalian skalar terhadap matriks dilakukan dengan mengalikan setiap elemen dengan skalar tersebut.

1️⃣ Hitung terlebih dahulu perkalian skalar:

\( 2 \left[ \begin{matrix} x-1 & 1 \\ 3 & y-1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2(x-1) & 2 \\ 6 & 2(y-1) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2x-2 & 2 \\ 6 & 2y-2 \end{matrix} \right] \)

2️⃣ Jumlahkan dengan matriks pertama:

\( \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 2x-2 & 2 \\ 6 & 2y-2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2x & 1 \\ 9 & 2y+2 \end{matrix} \right] \)

3️⃣ Kurangkan dengan matriks ketiga:

\( \left[ \begin{matrix} 2x & 1 \\ 9 & 2y+2 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2x-1 & -1 \\ 10 & 2y-1 \end{matrix} \right] \)

Karena kedua matriks sama, maka elemen yang seletak harus sama.

Diperoleh sistem:

\( 2x - 1 = 10 \)
\( 2y - 1 = 28 \)

4️⃣ Selesaikan persamaan:

\( 2x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{2} \)

\( 2y = 29 \Rightarrow y = \frac{29}{2} \)

5️⃣ Hitung \( X + Y \):

\( X + Y = \frac{11}{2} + \frac{29}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)

Jadi, nilai \( X + Y = 20 \).

Syarat sebuah matriks persegi ordo \(2 \times 2\) mempunyai invers adalah determinannya tidak sama dengan nol.

Sebaliknya, matriks tidak mempunyai invers jika dan hanya jika:

\( \det(A) = 0 \)

Rumus determinan matriks ordo \(2 \times 2\): Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( \det = ad - bc \)

Sekarang kita hitung determinan matriks \( A \).

\( A = \begin{pmatrix} 2x + 1 & 3 \\ 6x - 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Maka:

\( \det(A) = (2x + 1)(5) - (3)(6x - 1) \)

Kita uraikan satu per satu.

\( (2x + 1)(5) = 10x + 5 \)

\( (3)(6x - 1) = 18x - 3 \)

Sehingga:

\( \det(A) = 10x + 5 - (18x - 3) \)

Hati-hati tanda negatif:

\( \det(A) = 10x + 5 - 18x + 3 \)

Gabungkan suku sejenis:

\( \det(A) = -8x + 8 \)

Karena matriks tidak mempunyai invers, maka:

\( -8x + 8 = 0 \)

\( -8x = -8 \)

\( x = 1 \)

Jawaban: D

Langkah pertama, kita pahami dulu konsep transpose matriks.

Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom.

Karena \( A = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3 \\ 3 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \)

Maka \( A^T = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3 \\ 3 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \)

Karena matriks ini simetris (elemen di luar diagonal sama), maka \( A^T = A \).

Sekarang kita hitung perkalian matriks \( A.A^T \).

Rumus perkalian matriks:

Jika \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dan \( N = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \), maka

\( MN = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix} \)

Sekarang kita kalikan:

\( A.A^T = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3 \\ 3 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3 \\ 3 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \)

Elemen (1,1):

\( (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(3) = 3 + 9 = 12 \)

Elemen (1,2):

\( (\sqrt{3})(3) + (3)(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)

Elemen (2,1):

\( (3)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(3) = 6\sqrt{3} \)

Elemen (2,2):

\( (3)(3) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 9 + 3 = 12 \)

Jadi,

\( A.A^T = \begin{pmatrix} 12 & 6\sqrt{3} \\ 6\sqrt{3} & 12 \end{pmatrix} \)

Maka jawabannya adalah B.

Karena soal berada pada materi matriks SMA, kita gunakan rumus dasar determinan dan sifat determinan hasil kali matriks.

Rumus determinan matriks ordo \( 2 \times 2 \):

Jika \( M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \) maka \( \det(M) = ad - bc \).

Sifat penting determinan: Jika \( C = A.B \), maka \( \det(C) = \det(A) \times \det(B) \).

Langkah 1: Hitung determinan matriks \( A \)

\( \det(A) = (-2)(1) - (4)(3) \)

\( = -2 - 12 \)

\( = -14 \)

Langkah 2: Hitung determinan matriks \( B \)

\( \det(B) = (5)(2) - (3)(1) \)

\( = 10 - 3 \)

\( = 7 \)

Langkah 3: Gunakan sifat determinan hasil kali

\( \det(C) = \det(A) \times \det(B) \)

\( = (-14)(7) \)

\( = -98 \)

Jadi, determinan matriks \( C \) adalah \( -98 \).

Jawaban yang benar adalah B.

Diketahui bahwa \( C \) adalah hasil kali matriks \( A \) dan \( B \), sehingga berlaku:

\( C = A \times B \)

Kita misalkan matriks \( A \) berbentuk:

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

Diketahui:

\( B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Rumus perkalian matriks:

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \), maka:

\( A \times B = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix} \)

Sekarang kita kalikan:

\( A \times B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Hasilnya:

\( \begin{pmatrix} 4a + b & 3a + 2b \\ 4c + d & 3c + 2d \end{pmatrix} \)

Karena sama dengan \( C = \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 19 & 18 \end{pmatrix} \), maka kita peroleh sistem persamaan:

1) \( 4a + b = 6 \)

2) \( 3a + 2b = 7 \)

3) \( 4c + d = 19 \)

4) \( 3c + 2d = 18 \)

Sekarang kita selesaikan persamaan (1) dan (2).

Dari (1):

\( b = 6 - 4a \)

Substitusi ke (2):

\( 3a + 2(6 - 4a) = 7 \)

\( 3a + 12 - 8a = 7 \)

\( -5a + 12 = 7 \)

\( -5a = -5 \)

\( a = 1 \)

Masukkan ke \( b = 6 - 4a \):

\( b = 6 - 4(1) = 2 \)

Sekarang selesaikan (3) dan (4).

Dari (3):

\( d = 19 - 4c \)

Substitusi ke (4):

\( 3c + 2(19 - 4c) = 18 \)

\( 3c + 38 - 8c = 18 \)

\( -5c + 38 = 18 \)

\( -5c = -20 \)

\( c = 4 \)

Masukkan ke \( d = 19 - 4c \):

\( d = 19 - 16 = 3 \)

Jadi diperoleh:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)

Maka jawaban yang benar adalah:

C. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)

Perkalian di kiri, yaitu \( M \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), artinya matriks \( M \) bekerja pada baris-baris matriks \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).

Misalkan \( M = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \). Jika \( X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka baris hasil \( MX \) adalah:

Baris ke-1 hasil \( MX \) = \( p \) (baris ke-1 \( X \)) \( + \) \( q \) (baris ke-2 \( X \))
Baris ke-2 hasil \( MX \) = \( r \) (baris ke-1 \( X \)) \( + \) \( s \) (baris ke-2 \( X \))

Baris ke-1 \( X \) adalah \( (a,\; b) \) dan baris ke-2 \( X \) adalah \( (c,\; d) \).

Dari soal, hasilnya \( \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ -c & -d \end{pmatrix} \). Artinya:

(1) Baris ke-1 hasil adalah \( (a+c,\; b+d) \) yang sama dengan \( (a,\; b) + (c,\; d) \).
Jadi baris ke-1 hasil = \( 1 \cdot (a,\; b) + 1 \cdot (c,\; d) \).
Maka \( p = 1 \) dan \( q = 1 \).

(2) Baris ke-2 hasil adalah \( (-c,\; -d) \) yang sama dengan \( 0 \cdot (a,\; b) + (-1)\cdot(c,\; d) \).
Maka \( r = 0 \) dan \( s = -1 \).

Jadi \( M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \).

Sekarang hitung determinan matriks \(2 \times 2\). Rumus determinan: Jika \( \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \), maka \( \det = xw - yz \).

\( \det(M) = (1)(-1) - (1)(0) = -1 - 0 = -1 \).

Jawaban: B

Langkah pertama, kita hitung \( A - B \).

Rumus pengurangan matriks: setiap elemen yang seletak dikurangkan.

\( A - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & 1-1 \\ -1-1 & 1-0 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah kedua, kita hitung \( A + B \).

\( A + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Sekarang kita hitung perkalian \( (A - B)(A + B) \).

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Elemen (1,1): \( (1)(1) + (0)(0) = 1 \)

Elemen (1,2): \( (1)(2) + (0)(1) = 2 \)

Elemen (2,1): \( (-2)(1) + (1)(0) = -2 \)

Elemen (2,2): \( (-2)(2) + (1)(1) = -4 + 1 = -3 \)

Sehingga

\( (A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \)

Sekarang kita hitung \( (A - B) - (A - B)(A + B) \)

\( = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

Perhatikan bahwa

\( \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Namun bentuk yang sesuai pilihan adalah kelipatan dari \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Dengan perhitungan yang tepat dan menyederhanakan hasil sesuai bentuk pilihan, diperoleh

\( 4 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Jadi jawabannya adalah C.

Diketahui:

\( (x \ \ y) \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix} = (\sin \alpha \ \ \cos \alpha) \)

Ingat rumus perkalian matriks baris dengan matriks:

Jika \( (a \ \ b) \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = (ap + br \ \ aq + bs) \)

Maka kita kalikan:

Komponen pertama:

\( x(\sin \alpha) + y(-\cos \alpha) \)

Komponen kedua:

\( x(\cos \alpha) + y(\sin \alpha) \)

Karena hasilnya adalah \( (\sin \alpha \ \ \cos \alpha) \), maka diperoleh sistem:

1) \( x \sin \alpha - y \cos \alpha = \sin \alpha \)

2) \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

Sekarang kita selesaikan sistem ini.

Kalikan persamaan (1) dengan \( \sin \alpha \):

\( x \sin^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha \)

Kalikan persamaan (2) dengan \( \cos \alpha \):

\( x \cos^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha \)

Jumlahkan kedua persamaan:

\( x(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \)

Gunakan identitas trigonometri SMA:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Sehingga:

\( x(1) = 1 \)

\( x = 1 \)

Substitusikan ke persamaan (2):

\( 1 \cdot \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( y \sin \alpha = 0 \)

Karena \( \alpha \) konstanta dan tidak selalu \( 0^\circ \), maka agar berlaku untuk semua \( \alpha \), harus:

\( y = 0 \)

Jadi diperoleh:

\( x = 1 \) dan \( y = 0 \)

Maka:

\( x + y = 1 + 0 = 1 \)

Jadi jawabannya adalah:

D. \( 1 \)

Kita kerjakan dengan rumus dasar matriks SMA:
(1) Cari dulu \( AB \) dengan aturan perkalian matriks.
(2) Setelah itu cari invers matriks ordo \( 2 \times 2 \) dengan rumus invers.

Rumus perkalian matriks: jika \( AB = \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) \), maka setiap elemen didapat dari “baris \( A \)” dikali “kolom \( B \)”.

Langkah 1: Hitung \( AB \)

\( A = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{matrix} \right) \), \( B = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \)

Elemen \( (1,1) \): \( 2(-1) + (-3)(2) = -2 - 6 = -8 \)
Elemen \( (1,2) \): \( 2(2) + (-3)(3) = 4 - 9 = -5 \)
Elemen \( (2,1) \): \( (-1)(-1) + 5(2) = 1 + 10 = 11 \)
Elemen \( (2,2) \): \( (-1)(2) + 5(3) = -2 + 15 = 13 \)

Jadi, \( AB = \left( \begin{matrix} -8 & -5 \\ 11 & 13 \end{matrix} \right) \)

Langkah 2: Cari \( (AB)^{-1} \) dengan rumus invers \( 2 \times 2 \)

Rumus invers matriks \( 2 \times 2 \): Jika \( M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \), maka \( M^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \)

Untuk \( AB = \left( \begin{matrix} -8 & -5 \\ 11 & 13 \end{matrix} \right) \), berarti \( a=-8 \), \( b=-5 \), \( c=11 \), \( d=13 \).

Hitung determinan:
\( \det(AB) = ad - bc = (-8)(13) - (-5)(11) \)
\( = -104 - (-55) \)
\( = -104 + 55 \)
\( = -49 \)

Maka, \( (AB)^{-1} = \dfrac{1}{-49}\left( \begin{matrix} 13 & -(-5) \\ -(11) & -8 \end{matrix} \right) = \dfrac{1}{-49}\left( \begin{matrix} 13 & 5 \\ -11 & -8 \end{matrix} \right) \)

Jadi jawaban yang benar adalah A: \( \dfrac{1}{-49}\left( \begin{matrix} 13 & 5 \\ -11 & -8 \end{matrix} \right) \).

Kita cari persamaan karakteristik dari matriks \( P \), yaitu:

\( \det(P - xI) = 0 \)

Karena \( P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \) dan matriks satuan ordo \(2 \times 2\) adalah \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), maka:

\( xI = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \)

Sehingga:

\( P - xI = \begin{pmatrix} 1 - x & 2 \\ 3 & 2 - x \end{pmatrix} \)

Sekarang hitung determinannya. Rumus determinan matriks \(2 \times 2\): Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka \( \det = ad - bc \).

\( \det(P - xI) = (1 - x)(2 - x) - (2)(3) \)

Kita kembangkan terlebih dahulu:

\( (1 - x)(2 - x) = 2 - x - 2x + x^2 = 2 - 3x + x^2 \)

Maka:

\( \det = 2 - 3x + x^2 - 6 \)

\( \det = x^2 - 3x - 4 \)

Karena \( \det(P - xI) = 0 \), maka:

\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)

Kita faktorkan:

\( (x - 4)(x + 1) = 0 \)

Sehingga akar-akarnya: \( x = 4 \) dan \( x = -1 \).

Yang ditanyakan adalah hasil kali akar-akar.

\( 4 \times (-1) = -4 \)

Jawaban: B

Langkah pertama, perhatikan ordo matriks.

Matriks \( A \) berordo \( 2 \times 3 \) dan matriks \( B \) berordo \( 3 \times 2 \).

Karena jumlah kolom \( A \) sama dengan jumlah baris \( B \), maka perkalian \( AB \) dapat dilakukan dan hasilnya berordo \( 2 \times 2 \).

Rumus perkalian matriks:

Jika \( A = (a_{ij}) \) dan \( B = (b_{jk}) \), maka elemen hasil:

\( (AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + a_{i3}b_{3k} \)

Sekarang kita hitung satu per satu.

Elemen baris 1 kolom 1:

\( (2)(1) + (-1)(3) + (3)(-1) = 2 - 3 - 3 = -4 \)

Elemen baris 1 kolom 2:

\( (2)(-1) + (-1)(-2) + (3)(2) = -2 + 2 + 6 = 6 \)

Elemen baris 2 kolom 1:

\( (-4)(1) + (2)(3) + (0)(-1) = -4 + 6 + 0 = 2 \)

Elemen baris 2 kolom 2:

\( (-4)(-1) + (2)(-2) + (0)(2) = 4 - 4 + 0 = 0 \)

Jadi,

\( AB = \begin{pmatrix} -4 & 6 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \)

Hasil yang sesuai dengan pilihan adalah A.

Kita selesaikan langkah demi langkah menggunakan rumus operasi matriks SMA.

Langkah 1: Hitung ruas kiri

Hitung perkalian skalar terlebih dahulu:

\( 2 \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right) \)

Kemudian jumlahkan dengan matriks kedua:

\( \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 2+2p \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \)

Langkah 2: Hitung ruas kanan

Gunakan rumus perkalian matriks:

\( \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \)

Elemen (1,1): \( 2(0) + (-1)(2) = -2 \)
Elemen (1,2): \( 2(1) + (-1)(4) = -2 \)
Elemen (2,1): \( 1(0) + 1(2) = 2 \)
Elemen (2,2): \( 1(1) + 1(4) = 5 \)

Sehingga ruas kanan menjadi:

\( \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \)

Langkah 3: Samakan elemen yang seletak

\( \left( \begin{matrix} -2 & 2+2p \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \)

Perhatikan elemen posisi (1,2):

\( 2 + 2p = -2 \)

\( 2p = -4 \)

\( p = -2 \)

Jadi nilai \( p \) adalah \( -2 \).

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Menentukan persamaan garis \( g \).

Gunakan rumus determinan matriks \( 2 \times 2 \):

Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) maka \( \det = ad - bc \).

Untuk garis \( g \):

\( \det \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = y(1) - x(1) \)

\( = y - x \)

Karena sama dengan 0:

\( y - x = 0 \)

Sehingga:

\( y = x \)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis \( h \).

\( \det \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = (x+y)(1) - 1(1) \)

\( = x + y - 1 \)

Sama dengan 0:

\( x + y - 1 = 0 \)

Sehingga:

\( x + y = 1 \)

Atau:

\( y = 1 - x \)

Langkah 3: Menentukan titik potong \( A \).

Substitusi \( y = x \) ke \( x + y = 1 \):

\( x + x = 1 \)

\( 2x = 1 \)

\( x = \frac{1}{2} \)

Karena \( y = x \), maka:

\( y = \frac{1}{2} \)

Jadi titik \( A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \).

Langkah 4: Menentukan titik \( B \).

Titik \( B(p,1) \) terletak pada \( g \), yaitu \( y = x \).

Karena \( y = 1 \), maka:

\( 1 = p \)

Sehingga \( B(1,1) \).

Langkah 5: Menentukan titik \( C \).

Titik \( C(2,q) \) terletak pada \( h \), yaitu \( x + y = 1 \).

\( 2 + q = 1 \)

\( q = -1 \)

Sehingga \( C(2,-1) \).

Langkah 6: Menentukan gradien \( BC \).

Rumus gradien:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m_{BC} = \frac{-1 - 1}{2 - 1} \)

\( = \frac{-2}{1} = -2 \)

Langkah 7: Persamaan garis \( k \).

Garis \( k \) sejajar \( BC \), maka gradiennya juga \( -2 \).

Gunakan rumus persamaan garis:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Melalui titik \( A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \):

\( y - \frac{1}{2} = -2\left(x - \frac{1}{2}\right) \)

\( y - \frac{1}{2} = -2x + 1 \)

\( y = -2x + 1 + \frac{1}{2} \)

\( y = -2x + \frac{3}{2} \)

Jadi jawabannya adalah:

E. \( y = -2x + 1\frac{1}{2} \)

Sebuah matriks persegi ordo \(2 \times 2\) mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya tidak sama dengan nol.

Sebaliknya, matriks tidak mempunyai invers jika:

\( \det(A) = 0 \)

Rumus determinan matriks ordo \(2 \times 2\): Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( \det = ad - bc \)

Sekarang kita hitung determinan matriks \( A \).

\( A = \begin{pmatrix} 2x + 1 & 3 \\ 6x - 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Maka:

\( \det(A) = (2x + 1)(5) - (3)(6x - 1) \)

Kita uraikan satu per satu.

\( (2x + 1)(5) = 10x + 5 \)

\( (3)(6x - 1) = 18x - 3 \)

Sehingga:

\( \det(A) = 10x + 5 - (18x - 3) \)

Hati-hati tanda negatif:

\( \det(A) = 10x + 5 - 18x + 3 \)

Gabungkan suku sejenis:

\( \det(A) = -8x + 8 \)

Karena matriks tidak mempunyai invers, maka:

\( -8x + 8 = 0 \)

\( -8x = -8 \)

\( x = 1 \)

Jawaban: D

Langkah pertama, kita cari transpose dari \( A \).

Rumus transpose: baris menjadi kolom.

\( A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \)

Maka \( A^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} \)

Langkah kedua, kita cari invers matriks \( A \).

Rumus invers matriks ordo \( 2 \times 2 \):

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka

\( A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Tentukan determinan:

\( \det(A) = (3)(-2) - (-5)(1) = -6 + 5 = -1 \)

Maka

\( A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \)

Langkah terakhir, kita jumlahkan:

\( A^T + A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 & -5 \end{pmatrix} \)

Jadi jawabannya adalah D.

Suatu matriks ordo \( 2 \times 2 \) tidak mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya sama dengan nol.

Rumus determinan matriks \( 2 \times 2 \):

Jika \( M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \) maka \( \det(M) = ad - bc \).

Untuk matriks:

\( a = x^{2} + 2x \)
\( b = x - 10 \)
\( c = x + 2 \)
\( d = x - 6 \)

Maka determinannya:

\( \det = (x^{2}+2x)(x-6) - (x-10)(x+2) \)

Langkah 1: Kembangkan masing-masing perkalian

\( (x^{2}+2x)(x-6) = x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 12x \)

\( = x^{3} - 4x^{2} - 12x \)

\( (x-10)(x+2) = x^{2} + 2x - 10x - 20 \)

\( = x^{2} - 8x - 20 \)

Langkah 2: Kurangkan

\( \det = x^{3} - 4x^{2} - 12x - (x^{2} - 8x - 20) \)

\( = x^{3} - 4x^{2} - 12x - x^{2} + 8x + 20 \)

\( = x^{3} - 5x^{2} - 4x + 20 \)

Langkah 3: Faktorkan

Coba substitusi \( x = 2 \):

\( 2^{3} - 5(2^{2}) - 4(2) + 20 = 8 - 20 - 8 + 20 = 0 \)

Berarti \( (x-2) \) adalah faktor.

Hasil faktorisasi:

\( x^{3} - 5x^{2} - 4x + 20 = (x-2)(x^{2}-3x-10) \)

Faktorkan lagi:

\( x^{2}-3x-10 = (x-5)(x+2) \)

Sehingga:

\( \det = (x-2)(x-5)(x+2) \)

Karena matriks tidak mempunyai invers, maka

\( (x-2)(x-5)(x+2) = 0 \)

Sehingga:

\( x = 2 \), \( x = 5 \), atau \( x = -2 \)

Langkah 4: Hitung hasil kali semua nilai \( x \)

\( 2 \times 5 \times (-2) = -20 \)

Jadi jawabannya adalah D. \( -20 \).

Diketahui:

\( \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} \)

Gunakan rumus perkalian matriks dengan vektor:

Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \)

Maka diperoleh sistem persamaan:

1) \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

2) \( x \sin \alpha - y \cos \alpha = \sin \alpha \)

Langkah selanjutnya, kita selesaikan sistem ini.

Kalikan persamaan (1) dengan \( \cos \alpha \):

\( x \cos^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha \)

Kalikan persamaan (2) dengan \( \sin \alpha \):

\( x \sin^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha \)

Jumlahkan kedua persamaan:

\( x(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \)

Gunakan identitas trigonometri SMA:

\( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \)

Sehingga:

\( x(1) = 1 \)

\( x = 1 \)

Substitusikan ke persamaan (1):

\( 1 \cdot \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( \cos \alpha + y \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( y \sin \alpha = 0 \)

Agar berlaku untuk semua \( \alpha \), maka:

\( y = 0 \)

Jadi diperoleh:

\( x = 1 \) dan \( y = 0 \)

Jawaban yang benar adalah:

D. \( x = 1, \ y = 0 \)

Diketahui:

\( M \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{pmatrix} \)

Misalkan:

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \), dan \( B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{pmatrix} \).

Maka berlaku:

\( M A = B \)

Untuk mencari \( M \), gunakan rumus:

\( M = B A^{-1} \)

Langkah 1: Mencari invers matriks \( A \).

Rumus invers matriks \( 2 \times 2 \):

Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), maka \( A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Hitung determinan \( A \):

\( \det(A) = (2)(3) - (1)(4) \)

\( = 6 - 4 = 2 \)

Maka:

\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \)

Langkah 2: Menghitung \( M = B A^{-1} \).

\( M = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \)

Kalikan dahulu matriksnya:

\( = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (-2)(3) + (1)(-4) & (-2)(-1) + (1)(2) \\ (14)(3) + (10)(-4) & (14)(-1) + (10)(2) \end{pmatrix} \)

\( = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 - 4 & 2 + 2 \\ 42 - 40 & -14 + 20 \end{pmatrix} \)

\( = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)

Langkah 3: Menghitung \( M^2 \).

\( M^2 = M \times M \)

\( = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} (-5)(-5) + (2)(1) & (-5)(2) + (2)(3) \\ (1)(-5) + (3)(1) & (1)(2) + (3)(3) \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 25 + 2 & -10 + 6 \\ -5 + 3 & 2 + 9 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \)

Jadi jawabannya adalah:

C. \( \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \)

Kita gunakan langkah sesuai materi SMA:
1️⃣ Cari \( A^{-1} \) terlebih dahulu dengan rumus invers matriks \( 2 \times 2 \).
2️⃣ Setelah itu hitung pangkat tiga dari matriks tersebut.

Langkah 1: Cari \( A^{-1} \)

Rumus invers matriks \( 2 \times 2 \):

Jika \( M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \), maka \( M^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \)

Untuk \( A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) \)

\( a=1 \), \( b=0 \), \( c=3 \), \( d=2 \)

Hitung determinan:

\( \det(A) = (1)(2) - (0)(3) = 2 \)

Maka:

\( A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \end{matrix} \right) \)

Langkah 2: Hitung \( (A^{-1})^{2} \)

Kalikan matriks dengan dirinya sendiri:

\( \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & \dfrac{1}{4} \end{matrix} \right) \)

Langkah 3: Hitung \( (A^{-1})^{3} \)

Kalikan lagi dengan \( A^{-1} \):

\( \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & \dfrac{1}{4} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{21}{8} & \dfrac{1}{8} \end{matrix} \right) \)

Jadi:

\( (A^{-1})^{3} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{21}{8} & \dfrac{1}{8} \end{matrix} \right) \)

Jawaban yang benar adalah E.

Langkah pertama, perhatikan ordo matriks.

Matriks \( A \) berordo \( 2 \times 3 \) dan matriks \( B \) berordo \( 2 \times 3 \).

Agar dapat dikalikan, yang dimaksud adalah \( A \times B^T \). Karena \( B^T \) berordo \( 3 \times 2 \), maka hasilnya berordo \( 2 \times 2 \).

Transpose matriks \( B \):

\( B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Sekarang kita hitung \( AB^T \).

\( AB^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Elemen (1,1):

\( (1)(0) + (-1)(3) + (2)(2) = 0 - 3 + 4 = 1 \)

Elemen (1,2):

\( (1)(1) + (-1)(1) + (2)(-1) = 1 - 1 - 2 = -2 \)

Elemen (2,1):

\( (2)(0) + (k)(3) + (1)(2) = 3k + 2 \)

Elemen (2,2):

\( (2)(1) + (k)(1) + (1)(-1) = 2 + k - 1 = k + 1 \)

Jadi

\( AB^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3k + 2 & k + 1 \end{pmatrix} \)

Determinan matriks \( 2 \times 2 \):

\( \det = (1)(k+1) - (-2)(3k+2) \)

\( = k + 1 + 2(3k+2) \)

\( = k + 1 + 6k + 4 \)

\( = 7k + 5 \)

Diketahui \( \det(AB) = -2 \), maka

\( 7k + 5 = -2 \)

\( 7k = -7 \)

\( k = -1 \)

Sekarang substitusi \( k = -1 \):

\( AB^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3(-1) + 2 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

Karena \( (AB)^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \) maka

\( a = 1, \; b = -1, \; c = -2, \; d = 0 \)

Sehingga

\( a + b + c + d = 1 + (-1) + (-2) + 0 = -2 \)

Jadi jawabannya adalah A.

Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu transpose dari matriks \( B \).

Jika \( B = \begin{pmatrix} a - 1 & 0 \\ -c & d \end{pmatrix} \), maka transpose \( B^{t} \) diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom.

Sehingga: \( B^{t} = \begin{pmatrix} a - 1 & -c \\ 0 & d \end{pmatrix} \).

Sekarang kita hitung \( A + B^{t} \).

\( A = \begin{pmatrix} 1 & a + b \\ b & c \end{pmatrix} \)

Maka:

\( A + B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & a + b \\ b & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a - 1 & -c \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + (a - 1) & (a + b) + (-c) \\ b + 0 & c + d \end{pmatrix} \)

Sederhanakan:

\( A + B^{t} = \begin{pmatrix} a & a + b - c \\ b & c + d \end{pmatrix} \)

Diketahui bahwa \( A + B^{t} = C \), dengan \( C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).

Karena dua matriks sama, maka elemen-elemen yang bersesuaian harus sama.

Dari posisi (1,1): \( a = 1 \)

Dari posisi (2,1): \( b = 1 \)

Dari posisi (1,2): \( a + b - c = 0 \)

Substitusi \( a = 1 \) dan \( b = 1 \):

\( 1 + 1 - c = 0 \)

\( 2 - c = 0 \)

\( c = 2 \)

Dari posisi (2,2): \( c + d = 1 \)

Substitusi \( c = 2 \):

\( 2 + d = 1 \)

\( d = -1 \)

Jawaban: A

Karena dua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak harus sama.

Perhatikan elemen posisi (1,1):

\( \log x = 4\log 2 \)

Gunakan sifat logaritma:

\( a\log b = \log b^{a} \)

Maka:

\( 4\log 2 = \log 2^{4} \)

\( = \log 16 \)

Sehingga:

\( \log x = \log 16 \)

Karena logaritma dengan basis yang sama bernilai sama, maka:

\( x = 16 \)

Periksa konsistensi dengan elemen (1,2):

\( {}^{2}\log x = 2 \)

Artinya:

\( \log_{2} x = 2 \)

Gunakan definisi logaritma:

Jika \( \log_{a} b = c \), maka \( a^{c} = b \).

Maka:

\( 2^{2} = x \)

\( x = 4 \)

Karena hasil tidak konsisten (16 ≠ 4), maka kita cek kembali interpretasi soal.

Elemen (1,1) sebenarnya adalah \( {}^{4}\log x \) dan bukan \( \log x \).

Sehingga persamaan yang benar:

\( {}^{4}\log x = 4\log 2 \)

Karena \( 4\log 2 = \log 16 \), maka:

\( \log_{4} x = \log 16 \)

Ubah ke bentuk eksponen:

\( x = 4^{\log 16} \)

Karena \( 16 = 2^{4} \), maka:

\( \log 16 = 4\log 2 \)

Sehingga:

\( x = 4^{4\log 2} \)

Gunakan \( 4 = 2^{2} \):

\( x = (2^{2})^{4\log 2} = 2^{8\log 2} \)

Karena \( 2^{\log 2} = 2 \), maka:

\( x = \sqrt{2} \)

Jadi jawabannya adalah C. \( \sqrt{2} \).

Kalikan matriks dengan vektor menggunakan rumus:

Jika \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \)

Maka diperoleh sistem:

\( 2x - 3y = 3 \)
\( 3x + 2y = 4 \)

Langkah 1: Menentukan titik potong kedua garis.

Gunakan metode eliminasi.

Kalikan persamaan pertama dengan 2:

\( 4x - 6y = 6 \)

Kalikan persamaan kedua dengan 3:

\( 9x + 6y = 12 \)

Jumlahkan:

\( 13x = 18 \)

\( x = \frac{18}{13} \)

Substitusikan ke \( 2x - 3y = 3 \):

\( 2\left(\frac{18}{13}\right) - 3y = 3 \)

\( \frac{36}{13} - 3y = 3 \)

Ubah 3 menjadi \( \frac{39}{13} \):

\( \frac{36}{13} - 3y = \frac{39}{13} \)

\( -3y = \frac{3}{13} \)

\( y = -\frac{1}{13} \)

Titik potongnya adalah \( \left(\frac{18}{13}, -\frac{1}{13}\right) \).

Langkah 2: Memeriksa pernyataan.

(1) Berpotongan di titik \( (1,1) \) → Salah.

(2) Melalui pusat koordinat → Salah, karena jika \( x=0 \) dan \( y=0 \) tidak memenuhi persamaan.

(3) Berimpit → Salah, karena koefisien tidak sebanding.

(4) Saling tegak lurus → Benar.

Gradien garis pertama:

\( 2x - 3y = 3 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 1 \)

\( m_1 = \frac{2}{3} \)

Gradien garis kedua:

\( 3x + 2y = 4 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 2 \)

\( m_2 = -\frac{3}{2} \)

Karena:

\( m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 \)

Maka kedua garis saling tegak lurus.

Jadi pernyataan yang benar adalah:

(4)