Soal 11
Himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut: \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=4 \), \( \frac{2}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=0 \), dan \( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=-2 \) adalah ....
A. \( \{(2,1,-1)\} \)
B. \( \{(-2,1,1)\} \)
C. \( \left\{\left(\frac{1}{2},1,-1\right)\right\} \)
D. \( \left\{\left(\frac{1}{2},-1,1\right)\right\} \)
E. \( \left\{\left(\frac{1}{2},1,1\right)\right\} \)
Jawaban dan Analisis
Agar bentuknya lebih mudah, misalkan \( a=\frac{1}{x} \), \( b=\frac{1}{y} \), dan \( c=\frac{1}{z} \). Maka sistem menjadi: \( a+b-c=4 \), \( 2a-3b+c=0 \), dan \( a-b=-2 \).
Dari \( a-b=-2 \) diperoleh \( a=b-2 \). Substitusi ke \( a+b-c=4 \): \( (b-2)+b-c=4 \Rightarrow 2b-c=6 \Rightarrow c=2b-6 \).
Substitusi \( a=b-2 \) dan \( c=2b-6 \) ke \( 2a-3b+c=0 \): \( 2(b-2)-3b+(2b-6)=0 \Rightarrow b-10=0 \Rightarrow b=10 \).
Maka \( a=b-2=8 \) dan \( c=2b-6=14 \). Artinya \( \frac{1}{x}=8 \Rightarrow x=\frac{1}{8} \), \( \frac{1}{y}=10 \Rightarrow y=\frac{1}{10} \), \( \frac{1}{z}=14 \Rightarrow z=\frac{1}{14} \), dan jelas \( \frac{1}{8} \gt 0 \), \( \frac{1}{10} \gt 0 \), \( \frac{1}{14} \gt 0 \).
Jadi solusi yang diperoleh adalah \( \left(\frac{1}{8},\frac{1}{10},\frac{1}{14}\right) \). Nilai ini tidak ada di pilihan A–E, sehingga kemungkinan ada ketidaksesuaian pada opsi jawaban (atau ada tanda operasi pada soal yang tercetak berbeda).
Soal 12
Diketahui matriks \( S=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix} \) dan \( M=\begin{pmatrix}1&2\\0&-3\end{pmatrix} \). Jika fungsi \( f(S,M)=S^2-M^2 \), maka matriks \( f(S+M,S-M) \) adalah ....
A. \( \begin{pmatrix}4&20\\4&-40\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}4&20\\4&-30\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}4&-8\\4&-38\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}4&20\\-4&-40\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}4&-8\\-4&36\end{pmatrix} \)
Jawaban dan Analisis
Hitung dulu \( S+M=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\0&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&2\\0&0\end{pmatrix} \) dan \( S-M=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\0&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-2\\0&6\end{pmatrix} \).
Kuadrat matriks (perkalian matriks): \( (S+M)^2=\begin{pmatrix}3&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9&6\\0&0\end{pmatrix} \).
\( (S-M)^2=\begin{pmatrix}1&-2\\0&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-14\\0&36\end{pmatrix} \).
Maka \( f(S+M,S-M)=(S+M)^2-(S-M)^2 =\begin{pmatrix}9&6\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-14\\0&36\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8&20\\0&-36\end{pmatrix} \), dan \( 8 \gt 0 \).
Hasil \( \begin{pmatrix}8&20\\0&-36\end{pmatrix} \) tidak muncul pada pilihan A–E, sehingga kemungkinan ada perbedaan penafsiran pada \( S^2 \) dan \( M^2 \) (misalnya bukan kuadrat matriks), atau terjadi salah cetak pada opsi.
Soal 13
Nilai \( \sum_{n=2}^{21}(5n-6) \) adalah ....
A. \( 882 \)
B. \( 1030 \)
C. \( 1040 \)
D. \( 1957 \)
E. \( 2060 \)
Jawaban dan Analisis
Pecah jumlah: \( \sum_{n=2}^{21}(5n-6)=5\sum_{n=2}^{21}n-6\sum_{n=2}^{21}1 \).
Banyak suku dari \( n=2 \) sampai \( n=21 \) adalah \( 21-2+1=20 \) dan \( 20 \gt 0 \), sehingga \( \sum_{n=2}^{21}1=20 \).
Jumlah bilangan: \( \sum_{n=2}^{21}n=\sum_{n=1}^{21}n-1=\frac{21\cdot22}{2}-1=231-1=230 \).
Maka \( 5\cdot230-6\cdot20=1150-120=1030 \). Jawaban: B.
Soal 14
Data tinggi tanaman tiap hari membentuk barisan geometri. Jika pada pengamatan hari kedua tingginya \( 2 \) cm dan pada hari keempat \( 3\frac{5}{9} \) cm, maka tinggi tanaman pada hari pertama adalah ....
A. \( 1 \) cm
B. \( 1\frac{1}{3} \) cm
C. \( 1\frac{1}{2} \) cm
D. \( 1\frac{7}{9} \) cm
E. \( 2\frac{1}{4} \) cm
Jawaban dan Analisis
Misal barisan geometri \( a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots \) dengan rasio \( r \). Diketahui \( a_2=a_1r=2 \) dan \( a_4=a_1r^3=3\frac{5}{9}=\frac{32}{9} \).
Bagi \( a_4 \) dengan \( a_2 \): \( \frac{a_4}{a_2}=\frac{a_1r^3}{a_1r}=r^2=\frac{\frac{32}{9}}{2}=\frac{16}{9} \), sehingga \( r=\frac{4}{3} \) dan \( \frac{4}{3} \gt 1 \).
Maka \( a_1=\frac{a_2}{r}=\frac{2}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \). Jawaban: C.
Soal 15
Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama \( 3 \) dan mata dadu kedua \( 5 \) adalah ....
A. \( \frac{6}{36} \)
B. \( \frac{5}{36} \)
C. \( \frac{4}{36} \)
D. \( \frac{3}{36} \)
E. \( \frac{1}{36} \)
Jawaban dan Analisis
Ruang sampel pelemparan dua dadu adalah \( 6\times6=36 \) kejadian dan \( 36 \gt 0 \).
Kejadian “dadu pertama \( 3 \) dan dadu kedua \( 5 \)” hanya satu pasangan, yaitu \( (3,5) \), sehingga peluangnya \( \frac{1}{36} \). Jawaban: E.