Jawaban: A

Misalkan \(u=2x-\pi\), maka \(y=\cos^2 u=(\cos u)^2\).

Gunakan aturan rantai: \(\frac{d}{dx}(\cos u)^2=2\cos u\cdot \frac{d}{dx}(\cos u)\).

Karena \(\frac{d}{dx}(\cos u)=-\sin u\cdot u'\) dan \(u'=2\), maka:

\(y'=2\cos u\cdot(-\sin u)\cdot 2=-4\sin u\cos u\).

Gunakan identitas \(\sin(2u)=2\sin u\cos u\), sehingga:

\(y'=-4\sin u\cos u=-2\sin(2u)=-2\sin(4x-2\pi)\).

Jawaban: B

Misalkan banyak pakaian model I adalah \(x\) dan model II adalah \(y\). Karena jumlah pakaian tidak mungkin negatif, maka \(x\ge 0\) dan \(y\ge 0\). Koefisien keuntungan \(15.000\gt 0\) dan \(10.000\gt 0\), sehingga keuntungan naik jika \(x\) atau \(y\) bertambah selama masih memenuhi batas kain.

Kendala kain polos: \(1x+2y\le 20\).

Kendala kain bergaris: \(1{,}5x+0{,}5y\le 10\).

Fungsi keuntungan yang dimaksimumkan: \(Z=15.000x+10.000y\).

Titik pojok daerah feasible didapat dari perpotongan garis batas dan sumbu:

1) \(y=0\): dari \(1{,}5x\le 10\Rightarrow x\le \frac{20}{3}\). Titik \(\left(\frac{20}{3},0\right)\).

2) \(x=0\): dari \(2y\le 20\Rightarrow y\le 10\). Titik \((0,10)\).

3) Perpotongan \(x+2y=20\) dan \(1{,}5x+0{,}5y=10\):

Dari \(1{,}5x+0{,}5y=10\Rightarrow 3x+y=20\). Substitusi \(y=20-3x\) ke \(x+2y=20\):

\(x+2(20-3x)=20\Rightarrow x+40-6x=20\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4\). Maka \(y=20-3(4)=8\). Titik \((4,8)\).

Hitung \(Z\) di titik pojok:

\(\left(\frac{20}{3},0\right)\Rightarrow Z=15.000\cdot \frac{20}{3}=100.000\).

\((0,10)\Rightarrow Z=10.000\cdot 10=100.000\).

\((4,8)\Rightarrow Z=15.000\cdot 4+10.000\cdot 8=60.000+80.000=140.000\).

Maka laba maksimum adalah \(Rp.\ 140.000{,}00\).

Jawaban: C

Hitung bertahap:

\(2b=2\begin{pmatrix}5\\4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\8\\-2\end{pmatrix}\).

\(3c=3\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\-3\\3\end{pmatrix}\).

\(a+2b=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\8\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\10\\1\end{pmatrix}\).

\(a+2b-3c=\begin{pmatrix}11\\10\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\13\\-2\end{pmatrix}\).

Jawaban: B

Proyeksi skalar \(\vec{u}\) pada arah \(\vec{v}\) adalah \(\mathrm{comp}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}\). Karena \(\|\vec{v}\|\gt 0\), kita boleh mengalikan kedua ruas dengan \(\|\vec{v}\|\).

Diketahui \(\dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{1}{2}\|\vec{v}\|\), sehingga:

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\|\vec{v}\|^2\).

Hitung \(\vec{u}\cdot \vec{v}\):

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot 2+(-1)\cdot p+1\cdot 2=6-p+2=8-p\).

Hitung \(\|\vec{v}\|^2\):

\(\|\vec{v}\|^2=2^2+p^2+2^2=8+p^2\).

Masukkan ke persamaan:

\(8-p=\frac{1}{2}(8+p^2)\Rightarrow 16-2p=8+p^2\Rightarrow p^2+2p-8=0\).

Faktorkan:

\((p+4)(p-2)=0\Rightarrow p=-4\) atau \(p=2\).

Jawaban: A

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan melengkapkan kuadrat:

\(x^2-2x+y^2+4y-4=0\).

\((x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=9\).

Jadi pusat \((1,-2)\) dan jari-jari \(r=3\).

Garis \(5x-12y+15=0\) memiliki kemiringan \(m=\frac{5}{12}\). Garis yang tegak lurus memiliki kemiringan \(-\frac{12}{5}\), sehingga bentuk umumnya dapat ditulis \(12x+5y+c=0\).

Syarat garis \(12x+5y+c=0\) menyinggung lingkaran: jarak pusat ke garis sama dengan \(r\):

\(\dfrac{|12(1)+5(-2)+c|}{\sqrt{12^2+5^2}}=3\Rightarrow \dfrac{|2+c|}{13}=3\Rightarrow |2+c|=39\).

Maka \(2+c=39\Rightarrow c=37\) atau \(2+c=-39\Rightarrow c=-41\).

Jadi garis singgungnya \(12x+5y+37=0\) dan \(12x+5y-41=0\).