Soal 26
Persamaan parabola pada gambar adalah ....
Catatan: gambar tidak digambar ulang di sini. Gunakan informasi titik puncak dan posisi parabola dari gambar.
A. \( x^2+2x+2y+5=0 \)
B. \( x^2+2x-2y+5=0 \)
C. \( x^2-2x-2y+5=0 \)
D. \( x^2+2x-2y-5=0 \)
E. \( x^2-2x-2y-5=0 \)
Jawaban dan Analisis
Dari gambar terlihat parabola membuka ke atas dan titik puncaknya berada di \( (1,-3) \). Jadi bentuknya cocok dengan \( y=a(x-1)^2-3 \) dengan \( a \gt 0 \).
Cek pilihan \( E \): \( x^2-2x-2y-5=0 \Rightarrow 2y=x^2-2x-5 \Rightarrow y=\frac{1}{2}(x^2-2x-5) \).
Lengkapi kuadrat: \( x^2-2x-5=(x-1)^2-6 \), sehingga \( y=\frac{1}{2}(x-1)^2-3 \). Titik puncaknya tepat \( (1,-3) \) dan koefisien \( \frac{1}{2} \gt 0 \) berarti parabola membuka ke atas.
Jadi persamaan parabolanya adalah pilihan \( E \). Jawaban: E.
Soal 27
Persamaan elips dengan fokus \( (2,1) \) dan \( (8,1) \) serta panjang sumbu mayor \( 10 \) adalah ....
A. \( 16x^2+25y^2+160x+50y+25=0 \)
B. \( 16x^2+25y^2+160x-50y+25=0 \)
C. \( 16x^2+25y^2-160x-50y+25=0 \)
D. \( 25x^2+16y^2+50x-160y+25=0 \)
E. \( 25x^2+16y^2-50x+160y+25=0 \)
Jawaban dan Analisis
Fokus \( (2,1) \) dan \( (8,1) \) segaris horizontal, maka pusat elips adalah titik tengah: \( \left(\frac{2+8}{2},\frac{1+1}{2}\right)=(5,1) \).
Jarak pusat ke fokus adalah \( c=|8-5|=3 \). Panjang sumbu mayor \( 10 \) berarti \( 2a=10 \Rightarrow a=5 \) dan \( a \gt c \).
Untuk elips berlaku \( b^2=a^2-c^2 \), maka \( b^2=25-9=16 \). Persamaan baku: \( \frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}=1 \).
Ubah ke bentuk umum: \( 16(x-5)^2+25(y-1)^2=400 \). Ekspansi: \( 16(x^2-10x+25)+25(y^2-2y+1)=400 \).
\( 16x^2-160x+400+25y^2-50y+25=400 \Rightarrow 16x^2+25y^2-160x-50y+25=0 \). Ini sesuai pilihan \( C \). Jawaban: C.
Soal 28
Titik potong sumbu \( X \) dengan salah satu asimtot hiperbola \( \frac{(x-3)^2}{16}-\frac{(y-2)^2}{9}=1 \) adalah ....
A. \( (-3,0) \)
B. \( (-6,0) \)
C. \( \left(-\frac{17}{3},0\right) \)
D. \( \left(\frac{17}{3},0\right) \)
E. \( (3,0) \)
Jawaban dan Analisis
Untuk hiperbola \( \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \), asimtotnya adalah \( y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h) \). Di sini \( h=3 \), \( k=2 \), \( a=4 \), \( b=3 \).
Jadi asimtot: \( y-2=\pm\frac{3}{4}(x-3) \). Titik potong sumbu \( X \) berarti \( y=0 \). Substitusi \( y=0 \) memberi \( -2=\pm\frac{3}{4}(x-3) \).
Ambil tanda \( + \): \( -2=\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow x-3=-\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{3} \). Ambil tanda \( - \): \( -2=-\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow x-3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{17}{3} \).
Yang tersedia pada pilihan adalah \( \left(\frac{17}{3},0\right) \). Jawaban: D.
Soal 29
Suku banyak \( f(x)=x^4-3x^3-5x^2+x-6 \) dibagi oleh \( x^2-x-2 \), sisanya sama dengan ....
A. \( 16x+8 \)
B. \( 16x-8 \)
C. \( -8x+16 \)
D. \( -8x-16 \)
E. \( -8x-24 \)
Jawaban dan Analisis
Karena pembagi berderajat \( 2 \), sisa pembagian berbentuk \( R(x)=ax+b \). Pembagi \( x^2-x-2 \) dapat difaktorkan: \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \). Jadi untuk \( x=2 \) dan \( x=-1 \), berlaku \( f(x)=R(x) \).
Hitung \( f(2) \): \( f(2)=2^4-3\cdot2^3-5\cdot2^2+2-6 =16-24-20+2-6=-32 \), sehingga \( R(2)=-32 \Rightarrow 2a+b=-32 \).
Hitung \( f(-1) \): \( f(-1)=(-1)^4-3(-1)^3-5(-1)^2+(-1)-6 =1+3-5-1-6=-8 \), sehingga \( R(-1)=-8 \Rightarrow -a+b=-8 \).
Selesaikan sistem: dari \( 2a+b=-32 \) dan \( -a+b=-8 \), kurangkan persamaan kedua dari pertama: \( 3a=-24 \Rightarrow a=-8 \). Substitusi ke \( -a+b=-8 \) memberi \( 8+b=-8 \Rightarrow b=-16 \).
Jadi sisanya \( R(x)=-8x-16 \). Jawaban: D.
Soal 30
Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus \( y'=3x^2-6x+2 \). Jika kurva tersebut melalui titik \( (1,-5) \), maka persamaan kurvanya adalah ....
A. \( y=x^3-3x^2+2x+5 \)
B. \( y=x^3-3x^2+2x-5 \)
C. \( y=x^3-3x^2+2x-1 \)
D. \( y=x^3-3x^2+2x+1 \)
E. \( y=x^3-3x^2+2x \)
Jawaban dan Analisis
Diketahui \( y'=\frac{dy}{dx}=3x^2-6x+2 \). Untuk memperoleh \( y \), lakukan integrasi: \( y=\int(3x^2-6x+2)\,dx=x^3-3x^2+2x+C \).
Gunakan titik \( (1,-5) \) pada kurva: \( -5=1^3-3\cdot1^2+2\cdot1+C=1-3+2+C=0+C \), sehingga \( C=-5 \) dan \( -5 \lt 0 \).
Jadi persamaan kurvanya \( y=x^3-3x^2+2x-5 \). Jawaban: B.