Karena daerah diminta di kuadran I, maka \(x\ge 0\) dan \(y\ge 0\). Batas-batasnya ditentukan dari titik potong dengan sumbu \(X\) dan titik potong kurva dengan garis.

Kurva \(y=x^2-2x-3\) memotong sumbu \(X\) saat \(0=x^2-2x-3\), yaitu \((x-3)(x+1)=0\) sehingga \(x=3\) atau \(x=-1\). Di kuadran I dipakai \(x=3\), jadi titiknya \((3,0)\).

Garis \(5x-3y-5=0\) dapat ditulis \(y=\frac{5x-5}{3}\). Garis ini memotong sumbu \(X\) saat \(y=0\) sehingga \(5x-5=0\) dan \(x=1\). Jadi titiknya \((1,0)\).

Titik potong garis dengan kurva: \[ x^2-2x-3=\frac{5x-5}{3}. \] Kalikan \(3\): \(3x^2-6x-9=5x-5\) sehingga \(3x^2-11x-4=0\). Akar: \(x=\frac{11\pm\sqrt{169}}{6}=\frac{11\pm 13}{6}\), yaitu \(x=4\) atau \(x=\frac{-1}{3}\). Di kuadran I dipakai \(x=4\). Nilai \(y\) di titik itu \(y=4^2-2(4)-3=5\), sehingga titik potongnya \((4,5)\).

Bentuk daerah tertutupnya: dari \((1,0)\) ke \((3,0)\) sepanjang sumbu \(X\), lalu dari \((3,0)\) ke \((4,5)\) mengikuti kurva (karena kurva sudah \(y\ge 0\) untuk \(x\ge 3\)), lalu kembali ke \((1,0)\) melalui garis. Maka luas: \[ L=\int_{1}^{3}\left(\frac{5x-5}{3}-0\right)dx+\int_{3}^{4}\left(\frac{5x-5}{3}-(x^2-2x-3)\right)dx. \]

Hitung bagian pertama: \[ \int_{1}^{3}\frac{5x-5}{3}dx=\frac{1}{3}\left[\frac{5}{2}x^2-5x\right]_{1}^{3}=\frac{10}{3}. \]

Bagian kedua: \[ \int_{3}^{4}\left(\frac{5x-5}{3}-x^2+2x+3\right)dx =\int_{3}^{4}\left(-x^2+\frac{11}{3}x+\frac{4}{3}\right)dx =\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{11}{6}x^2+\frac{4}{3}x\right]_{3}^{4} =\frac{11}{6}. \]

Total: \[ L=\frac{10}{3}+\frac{11}{6}=\frac{31}{6}=5\frac{1}{6}. \]

Jawaban: B

Gunakan identitas hasil kali ke jumlah: \[ \sin A\cos B=\frac{1}{2}\left(\sin(A+B)+\sin(A-B)\right). \] Ambil \(A=7x\) dan \(B=6x\), maka \[ \sin 7x\cos 6x=\frac{1}{2}\left(\sin 13x+\sin x\right). \] Sehingga integran menjadi \[ 4\sin 7x\cos 6x=2\left(\sin 13x+\sin x\right). \]

Maka: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}4\sin 7x\cos 6x\,dx =2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin 13x\,dx+2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin x\,dx. \] Dengan \(\int \sin kx\,dx=\frac{-\cos kx}{k}\), diperoleh \[ =2\left[\frac{-\cos 13x}{13}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}+2\left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}. \]

Hitung nilai kosinus: \[ \cos\left(13\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(0)=1. \] Maka nilai integral: \[ 2\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{13}\right)+2\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{1}\right) =2\left(\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{13}\right)+2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{28-14\sqrt{3}}{13}. \] Nilai ini memenuhi \(0 \lt \frac{28-14\sqrt{3}}{13} \lt 1\).

Jawaban (hasil hitung): \( \frac{28-14\sqrt{3}}{13} \).
Catatan: hasil ini tidak muncul persis pada pilihan jawaban yang tersedia.

Gunakan rumus integral dasar: \[ \int \cos(2x-\pi)\,dx=\frac{1}{2}\sin(2x-\pi). \] Dan rumus: \[ \int x\cos(2x-\pi)\,dx=\frac{x}{2}\sin(2x-\pi)+\frac{1}{4}\cos(2x-\pi). \]

Pisahkan: \[ \int (x+3)\cos(2x-\pi)\,dx=\int x\cos(2x-\pi)\,dx+3\int \cos(2x-\pi)\,dx. \] Sehingga: \[ =\left(\frac{x}{2}\sin(2x-\pi)+\frac{1}{4}\cos(2x-\pi)\right)+3\left(\frac{1}{2}\sin(2x-\pi)\right) =\frac{x+3}{2}\sin(2x-\pi)+\frac{1}{4}\cos(2x-\pi)+C. \]

Kalikan \(16\): \[ 16\int (x+3)\cos(2x-\pi)\,dx =8(x+3)\sin(2x-\pi)+4\cos(2x-\pi)+C. \]

Jawaban: C

“Transformasi \(T_1\) ke \(T_2\)” berarti titik \(A\) ditransformasikan oleh \(T_1\) lalu hasilnya ditransformasikan lagi oleh \(T_2\), sehingga \[ A' = T_2(T_1(A)). \] Untuk mencari \(A\), lakukan invers secara urut terbalik: \[ A = T_1^{-1}(T_2^{-1}(A')). \] Pencerminan adalah invers dirinya sendiri, jadi \(T_2^{-1}=T_2\).

Pencerminan terhadap \(y=-x\) mengubah \((x,y)\) menjadi \((-y,-x)\). Maka dari \(A'(8,-6)\) diperoleh: \[ T_2(A') = (6,-8). \]

Rotasi \(90^\circ\) (searah jarum jam) memetakan \((x,y)\) menjadi \((y,-x)\). Karena kita butuh \(T_1^{-1}\), maka \(T_1^{-1}\) adalah rotasi \(90^\circ\) berlawanan jarum jam, yaitu \((x,y)\) menjadi \((-y,x)\). Terapkan pada \((6,-8)\): \[ (-(-8),6)=(8,6). \]

Jawaban: D

Langkah \(1\): pencerminan terhadap sumbu \(X\) mengubah setiap titik \((x,y)\) menjadi \((x,-y)\). Artinya pada persamaan, \(y\) diganti dengan \(-y\). Dari \(y=x^2-3x+2\) menjadi: \[ -y=x^2-3x+2 \Rightarrow y=-x^2+3x-2. \]

Langkah \(2\): dilatasi pusat \(O\) faktor \(3\) mengubah \((x,y)\) menjadi \((3x,3y)\). Jika koordinat hasil dilatasi dinyatakan \((X,Y)\), maka \(X=3x\) dan \(Y=3y\), sehingga \(x=\frac{X}{3}\) dan \(y=\frac{Y}{3}\). Substitusi ke \(y=-x^2+3x-2\): \[ \frac{Y}{3}=-\left(\frac{X}{3}\right)^2+3\left(\frac{X}{3}\right)-2 =-\frac{X^2}{9}+X-2. \]

Kalikan \(9\): \[ 3Y=-X^2+9X-18 \Rightarrow X^2+3Y-9X+18=0. \] Ganti kembali \((X,Y)\) menjadi \((x,y)\): \[ x^2+3y-9x+18=0 \Rightarrow 3y+x^2-9x+18=0. \]

Jawaban: A