Soal 31. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=-x^2+3x \), sumbu \( X \), garis \( x=6 \), dan \( x=3 \) adalah ….
A. | \( 4\dfrac{1}{2} \) satuan luas |
B. | \( 13\dfrac{1}{2} \) satuan luas |
C. | \( 18 \) satuan luas |
D. | \( 22\dfrac{1}{2} \) satuan luas |
E. | \( 27 \) satuan luas |
Jawaban dan Analisis Soal 31
Langkah 1: Tentukan tanda fungsi \( y=-x^2+3x \) pada selang \( 3 \le x \le 6 \).
\( y=-x^2+3x=x(3-x) \). Untuk \( x \gt 3 \), maka \( 3-x \lt 0 \) sehingga \( y \lt 0 \).
Berarti pada interval \( 3 \le x \le 6 \), grafik berada di bawah sumbu \( X \).
Langkah 2: Luas daerah terhadap sumbu \( X \) adalah integral nilai mutlak:
\( L=\int_{3}^{6} | -x^2+3x |\,dx=\int_{3}^{6} (x^2-3x)\,dx \).
Langkah 3: Hitung integral.
\( \int (x^2-3x)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2} \).
Langkah 4: Substitusi batas \( 3 \) sampai \( 6 \).
\( L=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}\right]_{3}^{6} =\left(\dfrac{216}{3}-\dfrac{3\cdot 36}{2}\right)-\left(\dfrac{27}{3}-\dfrac{3\cdot 9}{2}\right) \).
Nilai di \( x=6 \): \( \dfrac{216}{3}=72 \) dan \( \dfrac{3\cdot 36}{2}=54 \) sehingga \( 72-54=18 \).
Nilai di \( x=3 \): \( \dfrac{27}{3}=9 \) dan \( \dfrac{3\cdot 9}{2}=\dfrac{27}{2}=13\dfrac{1}{2} \) sehingga \( 9-13\dfrac{1}{2}=-4\dfrac{1}{2} \).
Maka \( L=18-(-4\dfrac{1}{2})=22\dfrac{1}{2} \).
Jawaban: D yaitu \( 22\dfrac{1}{2} \) satuan luas.
Soal 32. Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari \( 10 \) orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah ….
A. | \( 72 \) |
B. | \( 120 \) |
C. | \( 360 \) |
D. | \( 720 \) |
E. | \( 810 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 32
Langkah 1: Karena jabatan berbeda (ketua, sekretaris, bendahara), urutan pemilihan penting.
Langkah 2: Pilih ketua: \( 10 \) cara.
Setelah ketua terpilih, sisa \( 9 \) orang untuk sekretaris: \( 9 \) cara.
Setelah sekretaris terpilih, sisa \( 8 \) orang untuk bendahara: \( 8 \) cara.
Langkah 3: Kalikan karena pilihan berurutan.
\( 10\cdot 9\cdot 8=720 \).
Jawaban: D yaitu \( 720 \).
Soal 33. Banyak bilangan yang terdiri dari \( 4 \) angka berbeda yang dapat disusun dari angka \( 1,2,3,4,5,6 \) adalah ….
A. | \( 36 \) |
B. | \( 72 \) |
C. | \( 120 \) |
D. | \( 210 \) |
E. | \( 360 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 33
Langkah 1: Bilangan \( 4 \) angka berbeda artinya memilih \( 4 \) digit tanpa pengulangan dan urutan penting.
Langkah 2: Banyak susunan adalah permutasi:
Posisi pertama: \( 6 \) pilihan.
Posisi kedua: \( 5 \) pilihan.
Posisi ketiga: \( 4 \) pilihan.
Posisi keempat: \( 3 \) pilihan.
Langkah 3: Kalikan:
\( 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360 \).
Jawaban: E yaitu \( 360 \).
Soal 34. Di sebuah warung penjual martabak manis, kamu dapat memesan martabak biasa dengan \( 2 \) macam isi: mentega dan gula. Kamu juga dapat memesan martabak manis dengan isi tambahan. Kamu dapat memilih dari empat macam isi berikut: keju, coklat, pisang, dan kacang. Pipit ingin memesan sebuah martabak manis dengan dua macam isi tambahan. Berapakah banyaknya jenis martabak berbeda yang dapat dipilih oleh Pipit?
A. | \( 4 \) |
B. | \( 6 \) |
C. | \( 8 \) |
D. | \( 12 \) |
E. | \( 24 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 34
Langkah 1: Isi dasar mentega dan gula selalu ada, jadi yang membedakan hanya pilihan isi tambahan.
Langkah 2: Pipit memilih \( 2 \) macam isi tambahan dari \( 4 \) pilihan: keju, coklat, pisang, kacang.
Karena memilih “dua macam” berarti tidak memperhatikan urutan, gunakan kombinasi.
Langkah 3: Banyak cara:
\( \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\,2!}=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6 \).
Jawaban: B yaitu \( 6 \).
Soal 35. Dalam suatu kotak terdapat \( 5 \) bola hijau dan \( 4 \) bola kuning. Bila diambil \( 2 \) bola sekaligus, peluang terambilnya \( 1 \) bola hijau dan \( 1 \) bola kuning adalah ….
A. | \( \dfrac{2}{81} \) |
B. | \( \dfrac{2}{9} \) |
C. | \( \dfrac{4}{9} \) |
D. | \( \dfrac{5}{9} \) |
E. | \( \dfrac{20}{81} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 35
Langkah 1: Total bola \( =5+4=9 \). Diambil \( 2 \) bola sekaligus, artinya urutan tidak penting.
Langkah 2 (ruang sampel): Banyak cara mengambil \( 2 \) bola dari \( 9 \) bola:
\( \binom{9}{2}=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36 \).
Langkah 3 (kejadian): Ambil \( 1 \) hijau dari \( 5 \) dan \( 1 \) kuning dari \( 4 \):
\( \binom{5}{1}\binom{4}{1}=5\cdot 4=20 \).
Langkah 4 (peluang):
\( P=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9} \).
Jawaban: D yaitu \( \dfrac{5}{9} \).