Soal 32. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari \(11\) cm dan \(3\) cm dengan pusat di \(M\) dan \(N\). Jika jarak antara \(M\) dan \(N\) \(= 17\) cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar \(AB\) adalah ....
| A. \(8\) | B. \(9\) | C. \(15\) | D. \(18\) |
Jawaban & Analisis Soal 32
Jawaban: C
Untuk dua lingkaran dengan jarak pusat \(d\), jari-jari \(r_1\) dan \(r_2\), panjang garis singgung persekutuan luar memenuhi \(AB = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\).
Diketahui \(d = 17\), \(r_1 = 11\), \(r_2 = 3\), sehingga \(r_1 - r_2 = 8\). Maka \(AB = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\).
Analisis opsi:
A. \(8\): ini sama dengan \(r_1 - r_2\), bukan \(AB\).
B. \(9\): terlalu kecil, karena \(AB = \sqrt{225} = 15\) dan \(9 \lt 15\).
C. \(15\): sesuai hasil perhitungan.
D. \(18\): terlalu besar, karena \(AB\) harus lebih kecil dari \(d\) dan \(18 \gt 17\).
Soal 33. Diketahui luas segitiga \(ABC = 84\,\text{cm}^2\), panjang \(BC = 17\) cm, \(AC = 10\) cm dan panjang jari-jari lingkaran \(3,5\) cm. Panjang garis tinggi dari titik \(C\) ke sisi \(AB\) adalah ....
| A. \(4\) cm | B. \(8\) cm | C. \(16,8\) cm | D. \(21\) cm |
Jawaban & Analisis Soal 33
Jawaban: B
Jari-jari lingkaran pada segitiga (inradius) \(r\) memenuhi hubungan \(L = r \cdot s\), dengan \(L\) luas segitiga dan \(s\) semiperimeter.
Diketahui \(L = 84\) dan \(r = 3,5\), maka \(s = \frac{L}{r} = \frac{84}{3,5} = 24\). Jadi keliling segitiga \(= 2s = 48\).
Karena \(BC = 17\) dan \(AC = 10\), maka \(AB = 48 - 17 - 10 = 21\).
Garis tinggi dari \(C\) ke \(AB\) (misal \(t\)) memenuhi \(L = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot t\), sehingga \(t = \frac{2L}{AB} = \frac{2 \cdot 84}{21} = \frac{168}{21} = 8\).
Analisis opsi:
A. \(4\) cm: terlalu kecil, karena \(t = 8\) dan \(4 \lt 8\).
B. \(8\) cm: sesuai hasil perhitungan.
C. \(16,8\) cm: terlalu besar, karena \(16,8 \gt 8\).
D. \(21\) cm: ini sama dengan \(AB\), bukan tinggi dari \(C\).
Soal 34. Nilai dari \( \frac{21x^2 + 38x + 5}{12x^2 + 29x + 15} \) adalah ....
| A. \( \frac{7x+1}{4x+3} \) | B. \( \frac{3x+5}{4x+3} \) | C. \( \frac{7x+1}{3x+5} \) | D. \( \frac{3x+5}{7x+1} \) |
Jawaban & Analisis Soal 34
Jawaban: A
Faktorkan pembilang: \(21x^2 + 38x + 5 = (3x+5)(7x+1)\).
Faktorkan penyebut: \(12x^2 + 29x + 15 = (3x+5)(4x+3)\).
Maka \( \frac{21x^2 + 38x + 5}{12x^2 + 29x + 15} = \frac{(3x+5)(7x+1)}{(3x+5)(4x+3)} = \frac{7x+1}{4x+3} \), dengan syarat \(3x+5 \ne 0\) dan \(4x+3 \ne 0\).
Analisis opsi:
A. \( \frac{7x+1}{4x+3} \): tepat setelah penyederhanaan.
B. \( \frac{3x+5}{4x+3} \): ini “tersisa” jika yang dicoret salah; hasil benar pembilangnya \(7x+1\).
C. \( \frac{7x+1}{3x+5} \): penyebutnya keliru karena yang tersisa seharusnya \(4x+3\).
D. \( \frac{3x+5}{7x+1} \): bentuk terbalik tidak sesuai.
Soal 35. Persegi panjang \(PQRS\) panjangnya \(12\ \text{cm}\) dan lebarnya \(8\ \text{cm}\). Diketahui \(AQ = BR = CS = DP = x\ \text{cm}\). Luas minimum segiempat \(ABCD\) adalah ....
| A. | \(23\ \text{cm}^2\) |
| B. | \(46\ \text{cm}^2\) |
| C. | \(92\ \text{cm}^2\) |
| D. | \(96\ \text{cm}^2\) |
Jawaban dan Analisa
Misalkan koordinat persegi panjang: \(P(0,0)\), \(Q(12,0)\), \(R(12,8)\), dan \(S(0,8)\). Karena \(AQ = x\), titik \(A\) pada \(PQ\) adalah \(A(12-x,0)\). Karena \(BR = x\), titik \(B\) pada \(QR\) adalah \(B(12,8-x)\). Karena \(CS = x\), titik \(C\) pada \(SR\) adalah \(C(x,8)\). Karena \(DP = x\), titik \(D\) pada \(SP\) adalah \(D(0,x)\).
Luas segiempat \(ABCD\) dapat dihitung dengan rumus shoelace: \(L = \frac{1}{2}\left|x_Ay_B + x_By_C + x_Cy_D + x_Dy_A - (y_Ax_B + y_Bx_C + y_Cx_D + y_Dx_A)\right|\).
Substitusi \(A(12-x,0)\), \(B(12,8-x)\), \(C(x,8)\), \(D(0,x)\) menghasilkan \(L = 2(x^2 - 10x + 48)\ \text{cm}^2\).
Agar minimum, ubah ke bentuk kuadrat sempurna: \(x^2 - 10x + 48 = (x-5)^2 + 23\). Maka \(L = 2\left((x-5)^2 + 23\right)\).
Nilai minimum terjadi saat \((x-5)^2 = 0\) yaitu \(x = 5\), sehingga \(L_{\min} = 2 \times 23 = 46\ \text{cm}^2\).
Jawaban: B
Soal 36. Dua bilangan cacah berbeda \(6\) dan hasil kalinya \(216\). Bilangan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah ....
| A. | \(12\) |
| B. | \(16\) |
| C. | \(18\) |
| D. | \(30\) |
Jawaban dan Analisa
Misalkan bilangan lebih kecil \(n\), maka bilangan lebih besar \(n+6\). Diketahui hasil kali \(216\), sehingga \(n(n+6) = 216\).
\(n^2 + 6n - 216 = 0\). Faktorkan: \((n+18)(n-12) = 0\).
Karena bilangan cacah, \(n = 12\) (bukan \(n=-18\)). Maka bilangan pasangannya \(n+6 = 18\).
Jawaban: C