Langkah pertama, kita perhatikan pola jumlah ubin:

\( U_1 = 8 \)

\( U_2 = 12 \)

\( U_3 = 16 \)

Sekarang kita cari selisih antar suku:

\( 12 - 8 = 4 \)

\( 16 - 12 = 4 \)

Karena selisihnya selalu tetap yaitu \( 4 \), maka barisan ini adalah barisan aritmetika.

Rumus umum barisan aritmetika:

\( U_n = a + (n-1)b \)

dengan:

\( a = 8 \) (suku pertama)

\( b = 4 \) (beda)

Substitusikan ke rumus:

\( U_n = 8 + (n-1)4 \)

\( U_n = 8 + 4n - 4 \)

\( U_n = 4n + 4 \)

Jadi rumus jumlah ubin adalah:

\( U_n = 4n + 4 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Setiap ukuran kolam bertambah 1 meter pada setiap sisi. Karena kolam berbentuk persegi, maka kelilingnya bertambah secara teratur. Jumlah ubin di sekeliling kolam selalu bertambah tetap sebesar \( 4 \) ubin setiap kenaikan ukuran.

Secara geometri, ubin dipasang mengelilingi keempat sisi persegi. Karena persegi memiliki 4 sisi, pertambahan panjang sisi menyebabkan total ubin bertambah secara linear terhadap \( n \).

Itulah sebabnya bentuk akhirnya menjadi fungsi linear:

\( U_n = 4n + 4 \)

Langkah 1: Memahami Situasi

Setiap pertukaran terjadi antara sepasang anggota. Artinya kita hanya menghitung banyaknya pasangan yang bisa dibentuk dari \( n \) orang.

Langkah 2: Menuliskan Data

\( K_2 = 1 \)

\( K_3 = 3 \)

\( K_4 = 6 \)

\( K_5 = 10 \)

Perhatikan selisihnya:

\( 3 - 1 = 2 \)

\( 6 - 3 = 3 \)

\( 10 - 6 = 4 \)

Selisih tidak tetap, tetapi bertambah 1 setiap langkah. Ini menunjukkan bahwa pola berbentuk barisan kuadrat.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Kombinasi SMA

Jumlah pasangan yang dapat dibentuk dari \( n \) orang adalah kombinasi 2 dari \( n \), yaitu:

\( K_n = \binom{n}{2} \)

Rumus kombinasi:

\( \binom{n}{2} = \dfrac{n!}{2!(n-2)!} \)

Sederhanakan:

\( \binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2} \)

Jadi rumus umumnya adalah:

\( K_n = \dfrac{n(n-1)}{2} \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Misalkan ada \( n \) orang. Orang pertama bisa bertukar nomor dengan \( (n-1) \) orang. Orang kedua sebenarnya juga bisa bertukar dengan \( (n-1) \) orang, tetapi pasangan dengan orang pertama sudah dihitung.

Jika kita menghitung seluruh kemungkinan, jumlahnya adalah:

\( n(n-1) \)

Namun setiap pasangan terhitung dua kali (misalnya A dengan B dan B dengan A), maka harus dibagi 2.

Sehingga diperoleh:

\( K_n = \dfrac{n(n-1)}{2} \)

Inilah rumus jumlah pertukaran nomor dalam grup.

Langkah 1: Menuliskan Data dalam Bentuk Barisan

\( T_1 = 15000 \)

\( T_2 = 22000 \)

\( T_3 = 29000 \)

\( T_4 = 36000 \)

Langkah 2: Mencari Selisih (Beda)

\( 22000 - 15000 = 7000 \)

\( 29000 - 22000 = 7000 \)

\( 36000 - 29000 = 7000 \)

Karena selisih selalu tetap yaitu \( 7000 \), maka ini adalah barisan aritmetika.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Barisan Aritmetika SMA

Rumus umum:

\( T_n = a + (n-1)b \)

dengan:

\( a = 15000 \)

\( b = 7000 \)

Substitusikan:

\( T_n = 15000 + (n-1)7000 \)

\( T_n = 15000 + 7000n - 7000 \)

\( T_n = 7000n + 8000 \)

Jadi rumus tarif pengiriman adalah:

\( T_n = 7000n + 8000 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Setiap tambahan \( 1 \) kg menyebabkan biaya bertambah tetap sebesar \( 7000 \). Artinya biaya bertambah secara linear terhadap berat.

Karena pertambahannya tetap, kita gunakan rumus barisan aritmetika, sehingga diperoleh bentuk fungsi linear:

\( T_n = 7000n + 8000 \)

Angka \( 8000 \) dapat dianggap sebagai biaya tetap (biaya awal), sedangkan \( 7000n \) adalah biaya yang bergantung pada berat.

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( P_1 = 5 \)

\( P_2 = 7 \)

\( P_3 = 9 \)

\( P_4 = 11 \)

Langkah 2: Mencari Selisih (Beda)

\( 7 - 5 = 2 \)

\( 9 - 7 = 2 \)

\( 11 - 9 = 2 \)

Karena selisihnya tetap yaitu \( 2 \), maka ini adalah barisan aritmetika.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Barisan Aritmetika SMA

Rumus umum:

\( P_n = a + (n-1)b \)

dengan:

\( a = 5 \)

\( b = 2 \)

Substitusikan:

\( P_n = 5 + (n-1)2 \)

\( P_n = 5 + 2n - 2 \)

\( P_n = 2n + 3 \)

Jadi rumus jumlah pipa pada baris ke-\( n \) adalah:

\( P_n = 2n + 3 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Setiap turun satu baris, jumlah pipa bertambah tetap sebanyak \( 2 \). Karena pertambahannya konstan, kita menggunakan rumus barisan aritmetika.

Hasil akhirnya berbentuk fungsi linear terhadap \( n \), yaitu:

\( P_n = 2n + 3 \)

Artinya semakin besar \( n \), jumlah pipa bertambah secara teratur.

Langkah 1: Menuliskan Data

\( E_1 = 4 \)

\( E_2 = 9 \)

\( E_3 = 16 \)

\( E_4 = 25 \)

Langkah 2: Mengamati Pola

Perhatikan bahwa:

\( 4 = 2^2 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 16 = 4^2 \)

\( 25 = 5^2 \)

Terlihat bahwa setiap suku adalah kuadrat dari bilangan yang bertambah satu setiap kenaikan lapisan.

Langkah 3: Menentukan Pola Umum

Untuk \( n = 1 \), diperoleh:

\( E_1 = 2^2 = (1+1)^2 \)

Untuk \( n = 2 \), diperoleh:

\( E_2 = 3^2 = (2+1)^2 \)

Untuk \( n = 3 \), diperoleh:

\( E_3 = 4^2 = (3+1)^2 \)

Maka pola umumnya adalah:

\( E_n = (n+1)^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Barisan ini bukan barisan aritmetika karena selisihnya tidak tetap.

Selisihnya adalah:

\( 9 - 4 = 5 \)

\( 16 - 9 = 7 \)

\( 25 - 16 = 9 \)

Karena selisihnya bertambah secara teratur, maka pola berbentuk kuadrat.

Secara umum, jika suatu barisan mengikuti pola kuadrat, rumusnya berbentuk:

\( an^2 + bn + c \)

Dalam kasus ini, pola paling sederhana yang sesuai adalah:

\( E_n = (n+1)^2 \)

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( B_1 = 3 \)

\( B_2 = 5 \)

\( B_3 = 7 \)

\( B_4 = 9 \)

Langkah 2: Mencari Selisih (Beda)

\( 5 - 3 = 2 \)

\( 7 - 5 = 2 \)

\( 9 - 7 = 2 \)

Karena selisihnya tetap yaitu \( 2 \), maka ini adalah barisan aritmetika.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Barisan Aritmetika SMA

Rumus umum:

\( B_n = a + (n-1)b \)

dengan:

\( a = 3 \)

\( b = 2 \)

Substitusikan:

\( B_n = 3 + (n-1)2 \)

\( B_n = 3 + 2n - 2 \)

\( B_n = 2n + 1 \)

Jadi rumus jumlah batang baja yang diperlukan adalah:

\( B_n = 2n + 1 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Segitiga pertama membutuhkan \( 3 \) batang. Setiap tambahan satu segitiga hanya menambah \( 2 \) batang baru, karena satu sisi berbagi dengan segitiga sebelumnya.

Karena pertambahannya tetap, kita gunakan rumus barisan aritmetika, sehingga diperoleh fungsi linear:

\( B_n = 2n + 1 \)

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( J_0 = 1 \)

\( J_1 = 2 \)

\( J_2 = 4 \)

\( J_3 = 8 \)

Langkah 2: Mengamati Pola Perkalian

Setiap tahap pembelahan, jumlah bakteri selalu dikali \( 2 \).

\( 2 = 1 \times 2 \)

\( 4 = 2 \times 2 \)

\( 8 = 4 \times 2 \)

Karena selalu dikali dengan bilangan yang sama, maka ini adalah barisan geometri.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Barisan Geometri SMA

Rumus umum barisan geometri:

\( J_n = a r^n \)

dengan:

\( a = 1 \)

\( r = 2 \)

Substitusikan:

\( J_n = 1 \cdot 2^n \)

\( J_n = 2^n \)

Jadi rumus jumlah bakteri setelah \( n \) tahap pembelahan adalah:

\( J_n = 2^n \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Pertumbuhan ini disebut pertumbuhan eksponensial, karena jumlahnya bertambah dengan cara dikalikan secara terus-menerus.

Jika tahap pembelahan semakin besar, maka:

\( 2^n \gt 2^{n-1} \)

Artinya jumlah bakteri meningkat sangat cepat seiring bertambahnya \( n \).

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( H_1 = 4 \)

\( H_2 = 6 \)

\( H_3 = 8 \)

Langkah 2: Mencari Selisih (Beda)

\( 6 - 4 = 2 \)

\( 8 - 6 = 2 \)

Karena selisihnya tetap yaitu \( 2 \), maka ini adalah barisan aritmetika.

Langkah 3: Menggunakan Rumus Barisan Aritmetika SMA

Rumus umum:

\( H_n = a + (n-1)b \)

dengan:

\( a = 4 \)

\( b = 2 \)

Substitusikan:

\( H_n = 4 + (n-1)2 \)

\( H_n = 4 + 2n - 2 \)

\( H_n = 2n + 2 \)

Jadi rumus banyaknya atom Hidrogen adalah:

\( H_n = 2n + 2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Setiap penambahan \( 1 \) atom Karbon menyebabkan jumlah Hidrogen bertambah \( 2 \).

Karena pertambahannya tetap, maka hubungan antara jumlah Karbon dan Hidrogen bersifat linear.

Jika \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( H_{n_1} \gt H_{n_2} \)

Artinya semakin panjang rantai Karbon, semakin banyak atom Hidrogen yang dibutuhkan.

Langkah 1: Mengamati Pola Hubungan Sudut dan Bayangan

Perhatikan:

\( \dfrac{360^\circ}{180^\circ} = 2 \) → bayangan \( 1 \)

\( \dfrac{360^\circ}{120^\circ} = 3 \) → bayangan \( 2 \)

\( \dfrac{360^\circ}{90^\circ} = 4 \) → bayangan \( 3 \)

\( \dfrac{360^\circ}{72^\circ} = 5 \) → bayangan \( 4 \)

Terlihat bahwa jika:

\( n = \dfrac{360^\circ}{\text{sudut}} \)

maka jumlah bayangan selalu satu kurang dari nilai tersebut.

Langkah 2: Menentukan Rumus

Karena pola menunjukkan:

\( 2 \to 1 \)

\( 3 \to 2 \)

\( 4 \to 3 \)

\( 5 \to 4 \)

maka rumus umumnya adalah:

\( B_n = n - 1 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Semakin kecil sudut antara dua cermin, maka nilai:

\( \dfrac{360^\circ}{\text{sudut}} \)

akan semakin besar.

Jika \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( B_{n_1} \gt B_{n_2} \)

Artinya semakin besar nilai \( n \), jumlah bayangan semakin banyak.

Karena pola selalu satu kurang dari hasil pembagian, rumus akhirnya adalah:

\( B_n = n - 1 \)

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( S_1 = 5 \)

\( S_2 = 20 \)

\( S_3 = 45 \)

\( S_4 = 80 \)

Langkah 2: Mencari Selisih Pertama

\( 20 - 5 = 15 \)

\( 45 - 20 = 25 \)

\( 80 - 45 = 35 \)

Selisih tidak tetap, maka bukan barisan aritmetika.

Langkah 3: Mencari Selisih Kedua

\( 25 - 15 = 10 \)

\( 35 - 25 = 10 \)

Karena selisih kedua tetap, maka barisan berbentuk kuadrat.

Langkah 4: Menggunakan Rumus Gerak Jatuh Bebas SMA

Dalam fisika SMA, jarak jatuh bebas tanpa kecepatan awal dirumuskan:

\( S = \dfrac{1}{2} g t^2 \)

Jika percepatan gravitasi \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \), maka:

\( S = \dfrac{1}{2} (10) t^2 \)

\( S = 5 t^2 \)

Jika \( t = n \), maka:

\( S_n = 5 n^2 \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \), maka \( S_1 = 5(1)^2 = 5 \)

Jika \( n = 2 \), maka \( S_2 = 5(2)^2 = 20 \)

Jika \( n = 3 \), maka \( S_3 = 5(3)^2 = 45 \)

Jika \( n = 4 \), maka \( S_4 = 5(4)^2 = 80 \)

Semua sesuai dengan data.

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( S_{n_1} \gt S_{n_2} \)

Artinya semakin lama waktu jatuh, jarak semakin besar secara kuadratik.

Langkah 1: Menuliskan Data

\( U_1 = 1 \)

\( U_2 = 9 \)

\( U_3 = 25 \)

\( U_4 = 49 \)

Langkah 2: Mengamati Pola

Perhatikan bahwa:

\( 1 = 1^2 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 25 = 5^2 \)

\( 49 = 7^2 \)

Terlihat bahwa panjang sisi persegi membentuk barisan:

\( 1, 3, 5, 7, \dots \)

Barisan tersebut adalah barisan aritmetika dengan beda \( 2 \). Rumus panjang sisi hari ke-\( n \) adalah:

\( s_n = 1 + (n-1)2 \)

\( s_n = 2n - 1 \)

Langkah 3: Menentukan Total Ubin

Karena total ubin membentuk persegi, maka:

\( U_n = (s_n)^2 \)

Substitusi:

\( U_n = (2n - 1)^2 \)

Jadi rumus total ubin adalah:

\( U_n = (2n - 1)^2 \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \), maka \( U_1 = (1)^2 = 1 \)

Jika \( n = 2 \), maka \( U_2 = (3)^2 = 9 \)

Jika \( n = 3 \), maka \( U_3 = (5)^2 = 25 \)

Jika \( n = 4 \), maka \( U_4 = (7)^2 = 49 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( U_{n_1} \gt U_{n_2} \)

Artinya semakin lama hari pemasangan, luas mosaik bertambah secara kuadratik.

Langkah 1: Menentukan Pola Setoran Bulanan

Setoran tiap bulan membentuk barisan aritmetika:

\( 10, 15, 20, 25, \dots \)

Suku pertama:

\( a = 10 \)

Beda:

\( b = 5 \)

Rumus setoran bulan ke-\( n \):

\( U_n = a + (n-1)b \)

\( U_n = 10 + (n-1)5 \)

\( U_n = 5n + 5 \)

Langkah 2: Menggunakan Rumus Jumlah \( n \) Suku Pertama (SMA)

Total tabungan adalah jumlah \( n \) suku pertama:

\( T_n = \dfrac{n}{2} (2a + (n-1)b) \)

Substitusi \( a = 10 \), \( b = 5 \):

\( T_n = \dfrac{n}{2} (20 + 5(n-1)) \)

\( T_n = \dfrac{n}{2} (20 + 5n - 5) \)

\( T_n = \dfrac{n}{2} (5n + 15) \)

\( T_n = \dfrac{5n(n+3)}{2} \)

Jadi rumus total tabungan adalah:

\( T_n = \dfrac{5n(n+3)}{2} \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \),

\( T_1 = \dfrac{5(1)(4)}{2} = 10 \)

Jika \( n = 2 \),

\( T_2 = \dfrac{5(2)(5)}{2} = 25 \)

Jika \( n = 3 \),

\( T_3 = \dfrac{5(3)(6)}{2} = 45 \)

Jika \( n = 4 \),

\( T_4 = \dfrac{5(4)(7)}{2} = 70 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( T_{n_1} \gt T_{n_2} \)

Artinya semakin lama menabung, total tabungan bertambah secara kuadratik.

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( P_1 = 2 \)

\( P_2 = 4 \)

\( P_3 = 7 \)

\( P_4 = 11 \)

Langkah 2: Mencari Selisih Pertama

\( 4 - 2 = 2 \)

\( 7 - 4 = 3 \)

\( 11 - 7 = 4 \)

Selisihnya bertambah satu setiap langkah.

Langkah 3: Menentukan Pola Pertambahan

Setiap garis baru yang ditambahkan akan berpotongan dengan semua garis sebelumnya. Jika ada \( n \) garis, maka garis ke-\( n \) akan berpotongan dengan \( (n-1) \) garis sebelumnya.

Setiap titik potong menambah satu daerah baru, sehingga penambahan bagian pada langkah ke-\( n \) adalah:

\( n \)

Karena:

Langkah 1 menambah \( 1 \) bagian

Langkah 2 menambah \( 2 \) bagian

Langkah 3 menambah \( 3 \) bagian

dan seterusnya.

Langkah 4: Menggunakan Rumus Jumlah \( n \) Suku Pertama

Jumlah bagian adalah:

\( P_n = 1 + \dfrac{n(n+1)}{2} \)

Sehingga:

\( P_n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1 \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \),

\( P_1 = \dfrac{1(2)}{2} + 1 = 2 \)

Jika \( n = 2 \),

\( P_2 = \dfrac{2(3)}{2} + 1 = 4 \)

Jika \( n = 3 \),

\( P_3 = \dfrac{3(4)}{2} + 1 = 7 \)

Jika \( n = 4 \),

\( P_4 = \dfrac{4(5)}{2} + 1 = 11 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( P_{n_1} \gt P_{n_2} \)

Artinya semakin banyak potongan, jumlah bagian maksimal bertambah secara kuadratik.

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( L_2 = 2 \)

\( L_3 = 6 \)

\( L_4 = 12 \)

\( L_5 = 20 \)

Langkah 2: Mengamati Pola Perkalian

Perhatikan:

\( 2 = 2 \times 1 \)

\( 6 = 3 \times 2 \)

\( 12 = 4 \times 3 \)

\( 20 = 5 \times 4 \)

Terlihat bahwa pola umum adalah:

\( L_n = n(n-1) \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Jika ada \( n \) siswa, maka setiap siswa mengirim laporan kepada \( (n-1) \) siswa lainnya.

Karena ada \( n \) siswa, maka total laporan yang terkirim adalah:

\( n \times (n-1) \)

Sehingga diperoleh:

\( L_n = n(n-1) \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( L_{n_1} \gt L_{n_2} \)

Artinya semakin banyak siswa, jumlah laporan meningkat secara kuadratik.

Langkah 1: Mengamati Pola Pertambahan

Jumlah pohon yang ditanam tiap baris bertambah satu demi satu:

Baris ke-\( 1 \) : tambah \( 1 \)

Baris ke-\( 2 \) : tambah \( 2 \)

Baris ke-\( 3 \) : tambah \( 3 \)

Baris ke-\( 4 \) : tambah \( 4 \)

Sehingga total pohon merupakan jumlah:

\( 1 + 2 + 3 + \dots + n \)

Langkah 2: Menggunakan Rumus Jumlah \( n \) Bilangan Asli (SMA)

Rumus jumlah \( n \) bilangan asli pertama adalah:

\( T_n = \dfrac{n(n+1)}{2} \)

Jadi rumus total seluruh pohon yang tertanam adalah:

\( T_n = \dfrac{n(n+1)}{2} \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \),

\( T_1 = \dfrac{1(2)}{2} = 1 \)

Jika \( n = 2 \),

\( T_2 = \dfrac{2(3)}{2} = 3 \)

Jika \( n = 3 \),

\( T_3 = \dfrac{3(4)}{2} = 6 \)

Jika \( n = 4 \),

\( T_4 = \dfrac{4(5)}{2} = 10 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( T_{n_1} \gt T_{n_2} \)

Artinya semakin banyak baris yang dibuat, jumlah pohon bertambah secara kuadratik.

Langkah 1: Mengamati Perubahan Panjang Sisi

Jika sisi inti \( 1 \), maka sisi total menjadi \( 3 \).

Jika sisi inti \( 2 \), maka sisi total menjadi \( 4 \).

Jika sisi inti \( 3 \), maka sisi total menjadi \( 5 \).

Terlihat bahwa panjang sisi total selalu:

\( n + 2 \)

Hal ini karena bingkai setebal \( 1 \) piksel ditambahkan di kiri dan kanan, serta atas dan bawah.

Langkah 2: Menentukan Total Pixel

Karena bentuk akhirnya tetap persegi, maka jumlah seluruh pixel adalah kuadrat dari sisi total.

\( P_n = (n+2)^2 \)

Jadi rumus total seluruh pixel termasuk bingkai adalah:

\( P_n = (n+2)^2 \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \),

\( P_1 = (1+2)^2 = 9 \)

Jika \( n = 2 \),

\( P_2 = (2+2)^2 = 16 \)

Jika \( n = 3 \),

\( P_3 = (3+2)^2 = 25 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( P_{n_1} \gt P_{n_2} \)

Artinya semakin besar resolusi inti, jumlah pixel total meningkat secara kuadratik.

Langkah 1: Menuliskan Data sebagai Barisan

\( B_1 = 3 \)

\( B_2 = 7 \)

\( B_3 = 13 \)

\( B_4 = 21 \)

Langkah 2: Mencari Selisih Pertama

\( 7 - 3 = 4 \)

\( 13 - 7 = 6 \)

\( 21 - 13 = 8 \)

Selisihnya tidak tetap.

Langkah 3: Mencari Selisih Kedua

\( 6 - 4 = 2 \)

\( 8 - 6 = 2 \)

Karena selisih kedua tetap, maka bentuk rumus adalah kuadrat:

\( B_n = an^2 + bn + c \)

Langkah 4: Menentukan Koefisien

Gunakan data:

\( n = 1 \Rightarrow a + b + c = 3 \)

\( n = 2 \Rightarrow 4a + 2b + c = 7 \)

\( n = 3 \Rightarrow 9a + 3b + c = 13 \)

Dari perhitungan sistem persamaan diperoleh:

\( a = 1 \)

\( b = 1 \)

\( c = 1 \)

Sehingga:

\( B_n = n^2 + n + 1 \)

Jadi rumus jumlah baut yang diperlukan adalah:

\( B_n = n^2 + n + 1 \)

Verifikasi:

Jika \( n = 1 \),

\( B_1 = 1 + 1 + 1 = 3 \)

Jika \( n = 2 \),

\( B_2 = 4 + 2 + 1 = 7 \)

Jika \( n = 3 \),

\( B_3 = 9 + 3 + 1 = 13 \)

Jika \( n = 4 \),

\( B_4 = 16 + 4 + 1 = 21 \)

Karena \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( B_{n_1} \gt B_{n_2} \)

Artinya semakin tinggi tingkat rangka, jumlah baut meningkat secara kuadratik.

Langkah 1: Menentukan Luas Area Pantauan

Area pantauan berbentuk persegi:

\( 100 \times 100 \)

Sehingga luas total area adalah:

\( L_{\text{total}} = 100 \times 100 = 10000 \)

Langkah 2: Menentukan Jari-jari Tumpahan

Karena jari-jari bertambah \( 2 \) meter setiap menit, maka:

\( r = 2t \)

Langkah 3: Menentukan Luas Tumpahan Minyak

Rumus luas lingkaran:

\( L = \pi r^2 \)

Substitusi \( r = 2t \):

\( L_{\text{minyak}} = \pi (2t)^2 \)

\( L_{\text{minyak}} = 4\pi t^2 \)

Langkah 4: Menentukan Luas yang Belum Terkena Minyak

Luas yang belum terkena adalah:

\( L_{\text{sisa}} = L_{\text{total}} - L_{\text{minyak}} \)

\( L_{\text{sisa}} = 10000 - 4\pi t^2 \)

Jadi rumus luas permukaan laut yang belum terkena tumpahan minyak adalah:

\( L_{\text{sisa}} = 10000 - 4\pi t^2 \)

Catatan Penting:

Agar tumpahan masih berada dalam area pantauan, harus berlaku:

\( 2t \lt 50 \)

atau:

\( t \lt 25 \)

Karena setengah sisi persegi adalah \( 50 \) meter. Jika \( t \gt 25 \), maka lingkaran tumpahan sudah melewati batas area pantauan.

Langkah 1: Menentukan Luas Total Lahan

Lahan berbentuk persegi dengan sisi:

\( 60 \)

Sehingga luas total lahan adalah:

\( L_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \)

Langkah 2: Menentukan Luas Area yang Terkena Air

Jari-jari semprotan:

\( r = 3t \)

Rumus luas lingkaran:

\( L = \pi r^2 \)

Substitusi:

\( L_{\text{air}} = \pi (3t)^2 \)

\( L_{\text{air}} = 9\pi t^2 \)

Langkah 3: Menentukan Luas yang Tidak Terkena Air

Luas yang tidak terkena air adalah:

\( L_{\text{sisa}} = L_{\text{total}} - L_{\text{air}} \)

\( L_{\text{sisa}} = 3600 - 9\pi t^2 \)

Jadi rumus luas lahan yang tidak terkena air adalah:

\( L_{\text{sisa}} = 3600 - 9\pi t^2 \)

Syarat sebelum semprotan mencapai pagar:

Setengah sisi persegi adalah:

\( 30 \)

Agar semprotan belum menyentuh pagar, harus berlaku:

\( 3t \lt 30 \)

Sehingga:

\( t \lt 10 \)

Jika \( t \gt 10 \), maka semprotan sudah mencapai atau melewati pagar lahan.

Langkah 1: Menentukan Luas Total Zona Ekonomi

Zona ekonomi berbentuk persegi dengan sisi:

\( 200 \)

Sehingga luas totalnya:

\( L_{\text{total}} = 200 \times 200 = 40000 \)

Langkah 2: Menentukan Radius Jangkauan Radar

Karena radius bertambah \( 20 \) km setiap jam, maka:

\( r = 20t \)

Langkah 3: Menentukan Luas Area yang Terdeteksi Radar

Rumus luas lingkaran:

\( L = \pi r^2 \)

Substitusi:

\( L_{\text{radar}} = \pi (20t)^2 \)

\( L_{\text{radar}} = 400\pi t^2 \)

Langkah 4: Menentukan Luas Wilayah di Luar Jangkauan

Luas wilayah yang berada di luar jangkauan radar adalah:

\( L_{\text{sisa}} = L_{\text{total}} - L_{\text{radar}} \)

\( L_{\text{sisa}} = 40000 - 400\pi t^2 \)

Jadi model matematika yang diminta adalah:

\( L_{\text{sisa}} = 40000 - 400\pi t^2 \)

Syarat agar jangkauan belum melewati batas zona:

Setengah sisi persegi adalah:

\( 100 \)

Agar radar belum mencapai batas zona ekonomi, harus berlaku:

\( 20t \lt 100 \)

Sehingga:

\( t \lt 5 \)

Jika \( t \gt 5 \), maka lingkaran radar sudah mencapai atau melewati batas zona.

Langkah 1: Menentukan Luas Total Alun-Alun

Alun-alun berbentuk persegi dengan sisi:

\( 50 \)

Sehingga luas totalnya:

\( L_{\text{total}} = 50 \times 50 = 2500 \)

Langkah 2: Menentukan Panjang Sisi yang Sudah Dipasang Keramik

Karena panjang sisi bertambah \( 2 \) meter per jam, maka setelah \( t \) jam:

\( s = 2t \)

Luas daerah yang sudah dipasang keramik:

\( L_{\text{keramik}} = s^2 \)

\( L_{\text{keramik}} = (2t)^2 \)

\( L_{\text{keramik}} = 4t^2 \)

Langkah 3: Menentukan Luas yang Belum Dipasang Keramik

Luas sisa lahan adalah:

\( L_{\text{sisa}} = L_{\text{total}} - L_{\text{keramik}} \)

\( L_{\text{sisa}} = 2500 - 4t^2 \)

Jadi rumus luas lahan yang belum terpasang keramik adalah:

\( L_{\text{sisa}} = 2500 - 4t^2 \)

Syarat agar pemasangan belum mencapai tepi alun-alun:

Karena setengah sisi alun-alun adalah:

\( 25 \)

Agar persegi keramik belum mencapai batas, harus berlaku:

\( 2t \lt 50 \)

atau:

\( t \lt 25 \)

Jika \( t \gt 25 \), maka seluruh alun-alun sudah terpasang keramik.

Langkah 1: Menentukan Hubungan Radius dan Waktu

Karena radius bertambah \( 5 \) meter setiap detik, maka:

\( r = 5t \)

Langkah 2: Menggunakan Rumus Luas Lingkaran

Rumus luas lingkaran adalah:

\( A = \pi r^2 \)

Substitusi \( r = 5t \):

\( A = \pi (5t)^2 \)

\( A = 25\pi t^2 \)

Jadi rumus luas kawah pada saat \( t \) detik adalah:

\( A = 25\pi t^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Karena radius bertambah secara linear terhadap waktu, luas bertambah secara kuadratik terhadap waktu.

Jika \( t_1 \gt t_2 \), maka:

\( A(t_1) \gt A(t_2) \)

Artinya semakin lama waktu setelah hantaman, luas kawah meningkat sangat cepat.

Langkah 1: Menentukan Rumus Pendapatan

Pendapatan adalah:

\( R = x \cdot y \)

Diketahui:

\( y = 200 - 2x \)

Substitusi:

\( R = x(200 - 2x) \)

Langkah 2: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( R = 200x - 2x^2 \)

Jadi model matematika pendapatan adalah:

\( R = 200x - 2x^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat:

\( R = -2x^2 + 200x \)

Karena koefisien \( x^2 \) bernilai negatif, grafiknya berbentuk parabola terbuka ke bawah.

Artinya, ada harga tertentu yang menghasilkan pendapatan maksimum.

Agar jumlah pengguna tetap positif, harus berlaku:

\( 200 - 2x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 100 \)

Jika \( x \gt 100 \), maka jumlah pengguna menjadi nol atau negatif (tidak masuk akal secara ekonomi).

Langkah 1: Menentukan Hubungan Sisi dan Jarak

Diketahui panjang sisi persegi cahaya:

\( s = 0,5d + 2 \)

Langkah 2: Menggunakan Rumus Luas Persegi

Rumus luas persegi adalah:

\( L = s^2 \)

Substitusi nilai \( s \):

\( L = (0,5d + 2)^2 \)

Kembangkan bentuk kuadrat:

\( L = (0,5d)^2 + 2(0,5d)(2) + 2^2 \)

\( L = 0,25d^2 + 2d + 4 \)

Jadi rumus luas area cahaya adalah:

\( L = 0,25d^2 + 2d + 4 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Karena panjang sisi bergantung secara linear terhadap \( d \), maka luas (yang merupakan kuadrat sisi) bergantung secara kuadratik terhadap \( d \).

Jika \( d_1 \gt d_2 \), maka:

\( L(d_1) \gt L(d_2) \)

Artinya semakin jauh lampu dari dinding, luas cahaya yang mengenai dinding bertambah semakin cepat.

Langkah 1: Menentukan Luas Persegi

Pelat berbentuk persegi dengan sisi:

\( n \)

Sehingga luas persegi adalah:

\( L_{\text{persegi}} = n^2 \)

Langkah 2: Menentukan Luas Lingkaran

Diameter lingkaran sama dengan \( n \), maka jari-jari:

\( r = \dfrac{n}{2} \)

Rumus luas lingkaran:

\( L_{\text{lingkaran}} = \pi r^2 \)

Substitusi:

\( L_{\text{lingkaran}} = \pi \left(\dfrac{n}{2}\right)^2 \)

\( L_{\text{lingkaran}} = \dfrac{\pi n^2}{4} \)

Langkah 3: Menentukan Luas Sisa Material

Luas sisa material adalah:

\( S = L_{\text{persegi}} - L_{\text{lingkaran}} \)

\( S = n^2 - \dfrac{\pi n^2}{4} \)

Faktorkan \( n^2 \):

\( S = n^2 \left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) \)

Jadi rumus luas sisa material pelat adalah:

\( S = n^2 \left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Luas sisa material merupakan selisih antara luas persegi dan luas lingkaran di dalamnya.

Karena keduanya bergantung pada \( n^2 \), maka luas sisa juga bertambah secara kuadratik terhadap \( n \).

Jika \( n_1 \gt n_2 \), maka:

\( S(n_1) \gt S(n_2) \)

Artinya semakin besar ukuran pelat, luas sisa material juga semakin besar.

Langkah 1: Menentukan Rumus Pendapatan

Pendapatan adalah:

\( R = \text{harga} \times \text{jumlah terjual} \)

Karena harga adalah \( x \) (puluh ribu rupiah) dan jumlah terjual adalah \( y = 100 - 2x \), maka:

\( R = x(100 - 2x) \)

Langkah 2: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( R = 100x - 2x^2 \)

Jadi model pendapatan bulanan adalah:

\( R = 100x - 2x^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat:

\( R = -2x^2 + 100x \)

Karena koefisien \( x^2 \) bernilai negatif, grafiknya berbentuk parabola terbuka ke bawah.

Agar jumlah tas terjual tetap positif, harus berlaku:

\( 100 - 2x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 50 \)

Jika \( x \gt 50 \), maka jumlah tas terjual menjadi nol atau negatif, yang tidak sesuai dengan kondisi nyata.

Langkah 1: Menentukan Keuntungan per Kaos

Harga jual per kaos:

\( 80 - x \)

Biaya produksi per kaos:

\( 30 \)

Maka keuntungan per kaos adalah:

\( (80 - x) - 30 \)

\( = 50 - x \)

Langkah 2: Menghitung Keuntungan Total

Jumlah kaos yang diproduksi dan terjual:

\( x \)

Sehingga keuntungan total:

\( K = (50 - x)x \)

Langkah 3: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( K = 50x - x^2 \)

Jadi rumus keuntungan bersih adalah:

\( K = 50x - x^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Model keuntungan berbentuk fungsi kuadrat:

\( K = -x^2 + 50x \)

Karena koefisien \( x^2 \) negatif, grafiknya berbentuk parabola terbuka ke bawah.

Agar harga jual tetap positif, harus berlaku:

\( 80 - x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 80 \)

Jika \( x \gt 80 \), harga menjadi nol atau negatif, yang tidak masuk akal dalam konteks penjualan.

Langkah 1: Menentukan Harga Tiket Setelah Kenaikan

Harga awal:

\( 20000 \)

Setiap kenaikan sebesar:

\( 2000 \)

Setelah \( n \) kali kenaikan:

\( \text{Harga} = 20000 + 2000n \)

Langkah 2: Menentukan Jumlah Penonton Setelah Kenaikan

Jumlah awal:

\( 500 \)

Setiap kenaikan menyebabkan berkurang:

\( 20 \)

Setelah \( n \) kali kenaikan:

\( \text{Penonton} = 500 - 20n \)

Langkah 3: Menentukan Total Hasil Penjualan

Total hasil penjualan adalah:

\( T = (\text{Harga})(\text{Penonton}) \)

\( T = (20000 + 2000n)(500 - 20n) \)

Langkah 4: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( T = 20000(500 - 20n) + 2000n(500 - 20n) \)

\( T = 10000000 - 400000n + 1000000n - 40000n^2 \)

\( T = 10000000 + 600000n - 40000n^2 \)

Jadi rumus total hasil penjualan tiket adalah:

\( T = 10000000 + 600000n - 40000n^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat terhadap \( n \).

Karena koefisien \( n^2 \) negatif, grafiknya terbuka ke bawah.

Agar jumlah penonton tetap positif, harus berlaku:

\( 500 - 20n \gt 0 \)

Sehingga:

\( n \lt 25 \)

Jika \( n \gt 25 \), jumlah penonton menjadi nol atau negatif, yang tidak masuk akal dalam konteks nyata.

Langkah 1: Menentukan Harga Sewa Setelah Kenaikan

Harga awal:

\( 1000000 \)

Setiap kenaikan:

\( 100000 \)

Setelah \( n \) kali kenaikan:

\( \text{Harga} = 1000000 + 100000n \)

Langkah 2: Menentukan Jumlah Kios Terisi

Jumlah kios awal:

\( 60 \)

Setiap kenaikan menyebabkan \( 2 \) kios kosong, maka:

\( \text{Kios terisi} = 60 - 2n \)

Langkah 3: Menentukan Total Pendapatan

Total pendapatan adalah:

\( P = (\text{Harga})(\text{Kios terisi}) \)

\( P = (1000000 + 100000n)(60 - 2n) \)

Langkah 4: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( P = 1000000(60 - 2n) + 100000n(60 - 2n) \)

\( P = 60000000 - 2000000n + 6000000n - 200000n^2 \)

\( P = 60000000 + 4000000n - 200000n^2 \)

Jadi rumus total pendapatan sewa per bulan adalah:

\( P = 60000000 + 4000000n - 200000n^2 \)

Penjelasan Konsep (untuk yang baru belajar):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat terhadap \( n \).

Karena koefisien \( n^2 \) negatif, grafiknya terbuka ke bawah.

Agar jumlah kios terisi tetap positif, harus berlaku:

\( 60 - 2n \gt 0 \)

Sehingga:

\( n \lt 30 \)

Jika \( n \gt 30 \), semua kios kosong atau jumlahnya tidak masuk akal secara nyata.

Langkah 1: Menentukan Harga Langganan Setelah Kenaikan

Harga awal:

\( 20000 \)

Setiap kenaikan:

\( 1000 \)

Setelah \( x \) kali kenaikan:

\( \text{Harga} = 20000 + 1000x \)

Karena diminta dalam ribuan rupiah, maka:

\( \text{Harga (ribuan)} = 20 + x \)

Langkah 2: Menentukan Jumlah Pelanggan Setelah Kenaikan

Jumlah awal:

\( 500000 \)

Setiap kenaikan menyebabkan \( 10000 \) pelanggan berhenti, maka:

\( \text{Pelanggan} = 500000 - 10000x \)

Dalam satuan ribuan pelanggan:

\( 500 - 10x \)

Langkah 3: Menentukan Total Pendapatan

Pendapatan adalah:

\( R = (\text{Harga})(\text{Jumlah pelanggan}) \)

Dalam ribuan rupiah:

\( R = (20 + x)(500 - 10x) \)

Langkah 4: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( R = 20(500 - 10x) + x(500 - 10x) \)

\( R = 10000 - 200x + 500x - 10x^2 \)

\( R = 10000 + 300x - 10x^2 \)

Jadi rumus total pendapatan bulanan adalah:

\( R = 10000 + 300x - 10x^2 \)

Syarat agar jumlah pelanggan tetap positif:

\( 500 - 10x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 50 \)

Jika \( x \gt 50 \), jumlah pelanggan menjadi nol atau negatif, yang tidak masuk akal secara nyata.

Langkah 1: Menentukan Rumus Keuntungan per Kaos

Keuntungan per kaos adalah:

\( \text{Keuntungan per unit} = \text{Harga jual} - \text{Biaya produksi} \)

\( = H(x) - 60 \)

Substitusi:

\( = (200 - 2x) - 60 \)

\( = 140 - 2x \)

Langkah 2: Menentukan Keuntungan Total

Karena ada \( x \) kaos terjual, maka:

\( K = x(140 - 2x) \)

Langkah 3: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( K = 140x - 2x^2 \)

Jadi rumus keuntungan total adalah:

\( K = 140x - 2x^2 \)

Analisis Konsep (untuk pemula):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat.

Karena koefisien \( x^2 \) negatif, grafik parabola terbuka ke bawah, yang berarti ada nilai maksimum keuntungan.

Agar harga tetap positif:

\( 200 - 2x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 100 \)

Jika \( x \gt 100 \), harga menjadi nol atau negatif, yang tidak masuk akal dalam konteks penjualan.

Langkah 1: Memahami Konsep Nilai Penjualan

Nilai penjualan total diperoleh dari:

\( \text{Nilai Penjualan} = \text{Harga per kg} \times \text{Jumlah kg} \)

Sehingga:

\( V = P(x) \cdot x \)

Langkah 2: Substitusi Fungsi Harga

\( V = (25000 - 50x)x \)

Langkah 3: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( V = 25000x - 50x^2 \)

Jadi rumus total nilai penjualan mangga adalah:

\( V = 25000x - 50x^2 \)

Analisis Konsep (untuk pemula):

Model ini berbentuk fungsi kuadrat terhadap \( x \).

Karena koefisien \( x^2 \) bernilai negatif, grafik parabola terbuka ke bawah, artinya ada titik maksimum nilai penjualan.

Agar harga tetap positif, harus berlaku:

\( 25000 - 50x \gt 0 \)

Sehingga:

\( x \lt 500 \)

Jika \( x \gt 500 \), harga menjadi nol atau negatif, yang tidak masuk akal secara ekonomi.

Langkah 1: Menentukan Harga Tiket Setelah Kenaikan

Harga awal:

\( 100000 \)

Setiap kursi kosong menaikkan harga:

\( 5000 \)

Jika ada \( n \) kursi kosong:

\( \text{Harga} = 100000 + 5000n \)

Langkah 2: Menentukan Jumlah Penumpang

Jumlah kursi tersedia:

\( 50 \)

Jika ada \( n \) kursi kosong, maka jumlah penumpang:

\( 50 - n \)

Langkah 3: Menentukan Total Pendapatan

Pendapatan diperoleh dari:

\( S = (\text{Harga})(\text{Jumlah penumpang}) \)

\( S = (100000 + 5000n)(50 - n) \)

Langkah 4: Mengembangkan Bentuk Aljabar

\( S = 100000(50 - n) + 5000n(50 - n) \)

\( S = 5000000 - 100000n + 250000n - 5000n^2 \)

\( S = 5000000 + 150000n - 5000n^2 \)

Jadi rumus total pendapatan sewa bus adalah:

\( S = 5000000 + 150000n - 5000n^2 \)

Syarat agar jumlah penumpang tetap positif:

\( 50 - n \gt 0 \)

Sehingga:

\( n \lt 50 \)

Jika \( n \gt 50 \), tidak ada penumpang atau model tidak lagi masuk akal secara nyata.