prediksi penalaran matematika bola dan tabung
No 1
Soal
Sebuah pabrik bola tenis mengemas produknya ke dalam kaleng berbentuk tabung. Setiap kaleng berisi tepat \( 3 \) buah bola yang disusun vertikal (menumpuk ke atas). Bola-bola tersebut menyentuh dinding samping, dasar, dan tutup kaleng secara presisi.
Jika jari-jari setiap bola adalah \( r = 3{,}5 \) cm, tentukan volume udara (ruang kosong) yang tersisa di dalam kaleng tersebut. Gunakan \( \pi = \dfrac{22}{7} \).
Jawaban dan Analisa
Karena bola menyentuh dinding samping kaleng, maka jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola.
\( r_{tabung} = r_{bola} = 3{,}5 \text{ cm} \)
Diameter bola adalah:
\( d = 2r = 2(3{,}5) = 7 \text{ cm} \)
Karena ada \( 3 \) bola yang disusun vertikal dan menyentuh dasar serta tutup kaleng, maka tinggi tabung sama dengan \( 3 \) kali diameter bola:
\( t = 3 \times 7 = 21 \text{ cm} \)
Langkah 1: Hitung volume tabung.
Rumus volume tabung:
\( V_{tabung} = \pi r^2 t \)
Substitusi nilai:
\( V_{tabung} = \dfrac{22}{7} \times (3{,}5)^2 \times 21 \)
\( (3{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( V_{tabung} = \dfrac{22}{7} \times 12{,}25 \times 21 \)
Sederhanakan:
\( 21 \div 7 = 3 \)
\( V_{tabung} = 22 \times 12{,}25 \times 3 \)
\( V_{tabung} = 808{,}5 \text{ cm}^3 \)
Langkah 2: Hitung volume 3 bola.
Rumus volume bola:
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \)
Volume satu bola:
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{22}{7} \times (3{,}5)^3 \)
\( (3{,}5)^3 = 42{,}875 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 42{,}875 \)
Sederhanakan:
\( \dfrac{42{,}875}{7} = 6{,}125 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times 22 \times 6{,}125 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times 134{,}75 \)
\( V_{bola} = 179{,}67 \text{ cm}^3 \)
Karena ada \( 3 \) bola:
\( V_{3bola} = 3 \times 179{,}67 = 539{,}01 \text{ cm}^3 \)
Langkah 3: Hitung volume udara.
\( V_{udara} = V_{tabung} - V_{3bola} \)
\( V_{udara} = 808{,}5 - 539{,}01 \)
\( V_{udara} = 269{,}49 \text{ cm}^3 \)
Jadi, volume udara (ruang kosong) yang tersisa di dalam kaleng adalah
\( 269{,}49 \text{ cm}^3 \)
Intuisi penting untuk siswa: Karena bola pas menyentuh sisi dan tinggi kaleng, maka ukuran tabung ditentukan langsung oleh diameter dan jumlah bola. Setelah itu, tinggal mengurangi volume tabung dengan total volume bola.
No 2
Soal 2
Seorang pengrajin membuat corong minyak berbentuk kerucut tanpa tutup dari selembar seng berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari \( R = 21 \) cm. Seng tersebut dilipat sehingga kedua sisi lurusnya bertemu tepat pada satu garis.
Tentukan kapasitas (volume) maksimum minyak yang dapat ditampung oleh corong tersebut. Gunakan \( \pi = \dfrac{22}{7} \). Jika diperlukan, biarkan jawaban dalam bentuk akar.
Jawaban dan Analisa
Ketika setengah lingkaran dibentuk menjadi kerucut, maka:
• Jari-jari setengah lingkaran menjadi garis pelukis kerucut.
• Panjang busur setengah lingkaran menjadi keliling alas kerucut.
Langkah 1: Tentukan garis pelukis kerucut.
Karena jari-jari setengah lingkaran \( R = 21 \) cm, maka garis pelukis kerucut:
\( s = 21 \text{ cm} \)
Langkah 2: Tentukan jari-jari alas kerucut.
Panjang busur setengah lingkaran:
\( L = \pi R \)
Karena keliling alas kerucut adalah \( 2\pi r \), maka:
\( \pi R = 2\pi r \)
Substitusi \( R = 21 \):
\( \pi (21) = 2\pi r \)
Coret \( \pi \):
\( 21 = 2r \)
\( r = 10{,}5 \text{ cm} \)
Langkah 3: Tentukan tinggi kerucut.
Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk oleh tinggi \( t \), jari-jari alas \( r \), dan garis pelukis \( s \):
\( s^2 = r^2 + t^2 \)
\( 21^2 = (10{,}5)^2 + t^2 \)
\( 441 = 110{,}25 + t^2 \)
\( t^2 = 441 - 110{,}25 \)
\( t^2 = 330{,}75 \)
\( t = \sqrt{330{,}75} \)
Langkah 4: Hitung volume kerucut.
Rumus volume kerucut:
\( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 t \)
Substitusi:
\( V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{22}{7} \times (10{,}5)^2 \times \sqrt{330{,}75} \)
Karena \( (10{,}5)^2 = 110{,}25 \), maka:
\( V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 110{,}25 \times \sqrt{330{,}75} \)
Bentuk eksak dapat dituliskan sebagai:
\( V = \dfrac{22}{21} \times 110{,}25 \times \sqrt{330{,}75} \text{ cm}^3 \)
Atau dapat disederhanakan lebih lanjut jika diinginkan.
Intuisi penting untuk siswa: Setengah lingkaran yang digulung menjadi kerucut selalu menghasilkan garis pelukis sama dengan jari-jari awal, dan keliling alas berasal dari panjang busurnya. Setelah itu tinggal menggunakan Pythagoras dan rumus volume kerucut.
No 3
Soal 3
Sebuah gelas ukur berbentuk tabung memiliki diameter \( 14 \) cm dan berisi air setinggi \( 10 \) cm. Ke dalam gelas tersebut dimasukkan \( 5 \) buah kelereng identik berbentuk bola hingga seluruhnya tenggelam. Setelah kelereng dimasukkan, tinggi air naik menjadi \( 12 \) cm.
Tentukan jari-jari \( r \) dari satu buah kelereng tersebut.
Jawaban dan Analisa
Masalah ini menggunakan konsep volume perpindahan air (displacement). Ketika benda tenggelam seluruhnya, volume air yang naik sama dengan volume benda yang dimasukkan.
Langkah 1: Tentukan kenaikan tinggi air.
Tinggi awal \( = 10 \) cm
Tinggi akhir \( = 12 \) cm
Kenaikan tinggi air:
\( \Delta h = 12 - 10 = 2 \text{ cm} \)
Langkah 2: Hitung volume air yang bertambah.
Diameter gelas \( = 14 \) cm, maka jari-jari tabung:
\( R = 7 \text{ cm} \)
Rumus volume tabung:
\( V = \pi R^2 h \)
Volume air yang bertambah:
\( V_{naik} = \pi (7)^2 (2) \)
\( V_{naik} = \pi (49)(2) \)
\( V_{naik} = 98\pi \)
Langkah 3: Hubungkan dengan volume 5 bola.
Karena ada \( 5 \) kelereng:
\( 5 \times V_{bola} = 98\pi \)
Rumus volume bola:
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)
Maka:
\( 5 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 98\pi \)
Coret \( \pi \):
\( \dfrac{20}{3} r^3 = 98 \)
Kalikan kedua ruas dengan \( 3 \):
\( 20 r^3 = 294 \)
\( r^3 = \dfrac{294}{20} \)
\( r^3 = 14{,}7 \)
\( r = \sqrt[3]{14{,}7} \)
Nilai mendekati:
\( r \approx 2{,}45 \text{ cm} \)
Jadi, jari-jari satu kelereng adalah:
\( r = \sqrt[3]{14{,}7} \text{ cm} \approx 2{,}45 \text{ cm} \)
Intuisi penting: Volume air yang naik sama dengan total volume benda yang dimasukkan. Karena bentuk gelas tabung, kenaikan tinggi langsung dapat dihitung dengan rumus volume tabung.
No 4
Soal 4
Sebuah tangki penyimpanan air berbentuk tabung dengan panjang \( 2 \) meter dan jari-jari \( 70 \) cm diletakkan secara mendatar (horizontal). Jika tinggi air di dalam tangki tersebut adalah \( 35 \) cm (tepat setengah dari jari-jari), tentukan volume air yang terdapat di dalam tangki tersebut.
Jawaban dan Analisa
Karena tabung diletakkan mendatar, penampang air berbentuk tembereng lingkaran.
Diketahui:
Panjang tabung \( = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm} \)
Jari-jari \( R = 70 \text{ cm} \)
Tinggi air \( h = 35 \text{ cm} \)
Karena \( h = \dfrac{1}{2}R \), maka tinggi air tepat setengah jari-jari.
Langkah 1: Luas penampang lingkaran penuh.
\( L_{lingkaran} = \pi R^2 \)
\( L_{lingkaran} = \pi (70)^2 \)
\( L_{lingkaran} = 4900\pi \)
Langkah 2: Karena tinggi air tepat setengah jari-jari, maka air mengisi setengah luas lingkaran.
\( L_{air} = \dfrac{1}{2} \times 4900\pi \)
\( L_{air} = 2450\pi \)
Langkah 3: Hitung volume air.
Rumus volume tabung:
\( V = L_{penampang} \times panjang \)
\( V = 2450\pi \times 200 \)
\( V = 490000\pi \)
Jika ingin dalam bentuk numerik:
\( V = 490000\pi \text{ cm}^3 \)
Atau dapat dikonversi ke meter kubik jika diperlukan.
Intuisi penting: Jika tinggi air tepat setengah jari-jari pada tabung horizontal, maka penampang air adalah setengah lingkaran. Volume tinggal dikalikan panjang tabung.
No 5
Soal 5
Sebuah bola besi berdiameter \( 21 \) cm dilebur seluruhnya untuk dibuat menjadi beberapa kerucut kecil yang identik. Jika setiap kerucut memiliki jari-jari \( 3{,}5 \) cm dan tinggi \( 7 \) cm, tentukan jumlah maksimum kerucut yang dapat dibuat dari bola tersebut.
Jawaban dan Analisa
Karena bola dilebur seluruhnya, maka berlaku prinsip kekekalan volume:
\( \text{Volume bola} = \text{jumlah kerucut} \times \text{volume satu kerucut} \)
Langkah 1: Hitung volume bola.
Diameter bola \( = 21 \) cm, maka jari-jari bola:
\( r = \dfrac{21}{2} = 10{,}5 \text{ cm} \)
Rumus volume bola:
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi (10{,}5)^3 \)
\( (10{,}5)^3 = 1157{,}625 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi (1157{,}625) \)
Langkah 2: Hitung volume satu kerucut.
Rumus volume kerucut:
\( V_{kerucut} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 t \)
\( V_{kerucut} = \dfrac{1}{3}\pi (3{,}5)^2 (7) \)
\( (3{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( V_{kerucut} = \dfrac{1}{3}\pi (12{,}25)(7) \)
\( V_{kerucut} = \dfrac{1}{3}\pi (85{,}75) \)
Langkah 3: Tentukan jumlah kerucut.
Misalkan banyak kerucut \( = n \), maka:
\( \dfrac{4}{3}\pi (1157{,}625) = n \times \dfrac{1}{3}\pi (85{,}75) \)
Coret \( \dfrac{1}{3}\pi \):
\( 4(1157{,}625) = n (85{,}75) \)
\( 4630{,}5 = 85{,}75 n \)
\( n = \dfrac{4630{,}5}{85{,}75} \)
\( n = 54 \)
Jadi jumlah maksimum kerucut yang dapat dibuat adalah:
\( 54 \text{ buah} \)
Intuisi penting: Karena seluruh bola dilebur, maka total volume tetap sama. Cukup bagi volume bola dengan volume satu kerucut.
No 6
Soal 6
Sebuah pipa beton untuk saluran air memiliki panjang \( 5 \) meter. Diameter luar pipa adalah \( 100 \) cm dan ketebalan beton \( 10 \) cm. Tentukan volume beton yang diperlukan untuk membuat satu buah pipa tersebut.
Jawaban dan Analisa
Bentuk pipa adalah tabung berongga. Maka volume beton diperoleh dari:
\( \text{Volume beton} = \text{Volume tabung luar} - \text{Volume tabung dalam} \)
Langkah 1: Samakan satuan.
Panjang pipa \( = 5 \text{ m} = 500 \text{ cm} \)
Diameter luar \( = 100 \text{ cm} \), maka jari-jari luar:
\( R = 50 \text{ cm} \)
Ketebalan beton \( = 10 \text{ cm} \)
Jari-jari dalam:
\( r = 50 - 10 = 40 \text{ cm} \)
Langkah 2: Hitung volume tabung luar.
Rumus volume tabung:
\( V = \pi r^2 t \)
\( V_{luar} = \pi (50)^2 (500) \)
\( V_{luar} = \pi (2500)(500) \)
\( V_{luar} = 1250000\pi \)
Langkah 3: Hitung volume tabung dalam.
\( V_{dalam} = \pi (40)^2 (500) \)
\( V_{dalam} = \pi (1600)(500) \)
\( V_{dalam} = 800000\pi \)
Langkah 4: Hitung volume beton.
\( V_{beton} = 1250000\pi - 800000\pi \)
\( V_{beton} = 450000\pi \text{ cm}^3 \)
Jika ingin dalam bentuk numerik:
\( V_{beton} = 450000\pi \text{ cm}^3 \)
Atau dapat dikonversi ke meter kubik jika diperlukan.
Intuisi penting: Karena pipa berongga, kita cukup mengurangkan volume tabung besar dengan volume tabung kecil di dalamnya.
No 7
Soal 7
Sebuah bola kayu dimasukkan ke dalam sebuah kotak berbentuk kubus yang panjang rusuknya \( 14 \) cm. Bola tersebut tepat menyentuh seluruh sisi dalam kubus.
Tentukan volume ruang kosong di sudut-sudut kubus yang tidak terisi oleh bola tersebut.
Jawaban dan Analisa
Karena bola tepat menyentuh semua sisi kubus, maka diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus.
Rusuk kubus \( = 14 \text{ cm} \)
Maka diameter bola:
\( d = 14 \text{ cm} \)
Jari-jari bola:
\( r = \dfrac{14}{2} = 7 \text{ cm} \)
Langkah 1: Hitung volume kubus.
Rumus volume kubus:
\( V_{kubus} = s^3 \)
\( V_{kubus} = (14)^3 \)
\( V_{kubus} = 2744 \text{ cm}^3 \)
Langkah 2: Hitung volume bola.
Rumus volume bola:
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi (7)^3 \)
\( (7)^3 = 343 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3}\pi (343) \)
Langkah 3: Hitung volume ruang kosong.
\( V_{kosong} = V_{kubus} - V_{bola} \)
\( V_{kosong} = 2744 - \dfrac{4}{3}\pi (343) \)
Itulah bentuk eksak volume ruang kosong.
Jika ingin pendekatan numerik dengan \( \pi = \dfrac{22}{7} \):
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 343 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times 22 \times 49 \)
\( V_{bola} = \dfrac{4}{3} \times 1078 \)
\( V_{bola} = 1437{,}33 \text{ cm}^3 \)
Maka:
\( V_{kosong} \approx 2744 - 1437{,}33 \)
\( V_{kosong} \approx 1306{,}67 \text{ cm}^3 \)
Jadi volume ruang kosong di sudut-sudut kubus adalah:
\( 2744 - \dfrac{4}{3}\pi (343) \text{ cm}^3 \)
Intuisi penting: Ruang kosong adalah selisih antara volume kubus dan volume bola yang berada di dalamnya.
No 8
Soal 8
Sebuah ember berbentuk kerucut terpancung dengan bagian bawah rata. Jari-jari lingkaran atas adalah \( 14 \) cm, jari-jari lingkaran bawah \( 7 \) cm, dan tinggi ember \( 15 \) cm.
Tentukan kapasitas air (dalam liter) yang dapat ditampung oleh ember tersebut.
Jawaban dan Analisa
Bentuk ember adalah kerucut terpancung (frustum).
Diketahui:
\( R = 14 \text{ cm} \)
\( r = 7 \text{ cm} \)
\( t = 15 \text{ cm} \)
Rumus volume kerucut terpancung:
\( V = \dfrac{1}{3}\pi t (R^2 + Rr + r^2) \)
Langkah 1: Hitung bagian dalam kurung.
\( R^2 = (14)^2 = 196 \)
\( r^2 = (7)^2 = 49 \)
\( Rr = 14 \times 7 = 98 \)
Jumlah:
\( 196 + 98 + 49 = 343 \)
Langkah 2: Substitusi ke rumus.
\( V = \dfrac{1}{3}\pi (15)(343) \)
\( V = 5\pi (343) \)
\( V = 1715\pi \text{ cm}^3 \)
Jika menggunakan \( \pi = \dfrac{22}{7} \):
\( V = 1715 \times \dfrac{22}{7} \)
\( V = 245 \times 22 \)
\( V = 5390 \text{ cm}^3 \)
Konversi ke liter:
\( 1 \text{ liter} = 1000 \text{ cm}^3 \)
\( V = 5{,}39 \text{ liter} \)
Jadi kapasitas ember tersebut adalah:
\( 5{,}39 \text{ liter} \)
Intuisi penting: Volume frustum diperoleh dari rumus khusus \( R^2 + Rr + r^2 \), bukan sekadar selisih dua kerucut biasa.