No 1
Soal.
Manakah pernyataan yang benar antara hubungan kuantitas \( P \) dan \( Q \) berikut?
Diketahui:
\( P = \sqrt{3\sqrt{12\sqrt{144}}} \)
\( Q = \sqrt{2\sqrt{15\sqrt{225}}} \)
Pilihan jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan hubungan \( P \) dan \( Q \)
E. \( 2P = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Bagian terdalam terlebih dahulu:
\( \sqrt{144} = 12 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{3\sqrt{12 \times 12}} \)
Hitung bagian dalam:
\( 12 \times 12 = 144 \)
\( \sqrt{144} = 12 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{3 \times 12} \)
\( 3 \times 12 = 36 \)
\( \sqrt{36} = 6 \)
Jadi diperoleh:
\( P = 6 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Bagian terdalam:
\( \sqrt{225} = 15 \)
Sehingga:
\( Q = \sqrt{2\sqrt{15 \times 15}} \)
Hitung bagian dalam:
\( 15 \times 15 = 225 \)
\( \sqrt{225} = 15 \)
Sehingga:
\( Q = \sqrt{2 \times 15} \)
\( 2 \times 15 = 30 \)
\( Q = \sqrt{30} \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 6 \)
\( Q = \sqrt{30} \)
Karena:
\( 6^2 = 36 \)
dan
\( 30 \lt 36 \)
Maka:
\( \sqrt{30} \lt 6 \)
Sehingga:
\( Q \lt P \)
Atau dapat ditulis:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar adalah:
A. \( P \gt Q \)
No 2
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{5\sqrt{25\sqrt{625}}} \)
\( Q = \sqrt{10\sqrt{100}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( 2P = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Menghitung nilai \( P \)
Kerjakan dari akar yang paling dalam (materi sifat akar kuadrat SMA).
\( \sqrt{625} = 25 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{5\sqrt{25 \times 25}} \)
Hitung bagian dalam:
\( 25 \times 25 = 625 \)
\( \sqrt{625} = 25 \)
Maka:
\( P = \sqrt{5 \times 25} \)
\( 5 \times 25 = 125 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{125} \)
Sederhanakan:
\( 125 = 25 \times 5 \)
\( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Maka:
\( \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)
Jadi:
\( P = 5\sqrt{5} \)
Langkah 2: Menghitung nilai \( Q \)
Hitung akar terdalam:
\( \sqrt{100} = 10 \)
Sehingga:
\( Q = \sqrt{10 \times 10} \)
\( 10 \times 10 = 100 \)
\( \sqrt{100} = 10 \)
Jadi:
\( Q = 10 \)
Langkah 3: Membandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 5\sqrt{5} \)
\( Q = 10 \)
Untuk membandingkan, kuadratkan keduanya (materi perbandingan bilangan akar SMA).
\( P^2 = (5\sqrt{5})^2 \)
Gunakan rumus:
\( (a\sqrt{b})^2 = a^2 b \)
Maka:
\( P^2 = 25 \times 5 = 125 \)
\( Q^2 = 10^2 = 100 \)
Karena:
\( 125 \gt 100 \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 3
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{18} + \sqrt{50} \)
\( Q = \sqrt{128} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Uraikan masing-masing akar.
\( 18 = 9 \times 2 \)
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} \)
\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
Kemudian:
\( 50 = 25 \times 2 \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} \)
\( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 8\sqrt{2} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Faktorkan:
\( 128 = 64 \times 2 \)
\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} \)
\( \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( Q = 8\sqrt{2} \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 8\sqrt{2} \)
\( Q = 8\sqrt{2} \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 4
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{32} + \sqrt{18} \)
\( Q = \sqrt{98} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat akar:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Uraikan masing-masing akar.
\( 32 = 16 \times 2 \)
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} \)
\( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
Kemudian:
\( 18 = 9 \times 2 \)
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} \)
\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 7\sqrt{2} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Faktorkan:
\( 98 = 49 \times 2 \)
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} \)
\( \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( Q = 7\sqrt{2} \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 7\sqrt{2} \)
\( Q = 7\sqrt{2} \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 5
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2} \times \sqrt{32} \)
\( Q = \sqrt{4} \times \sqrt{16} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat perkalian akar (materi SMA):
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)
Maka:
\( P = \sqrt{2} \times \sqrt{32} \)
\( P = \sqrt{2 \times 32} \)
\( 2 \times 32 = 64 \)
\( P = \sqrt{64} \)
\( \sqrt{64} = 8 \)
Jadi:
\( P = 8 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Gunakan sifat yang sama:
\( Q = \sqrt{4} \times \sqrt{16} \)
\( Q = \sqrt{4 \times 16} \)
\( 4 \times 16 = 64 \)
\( Q = \sqrt{64} \)
\( \sqrt{64} = 8 \)
Jadi:
\( Q = 8 \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 8 \)
\( Q = 8 \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 6
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{10}{\sqrt{5}} \)
\( Q = \sqrt{10} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Karena penyebut berbentuk akar, kita rasionalkan (materi SMA).
Gunakan sifat:
\( \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \)
Maka:
\( P = \frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \)
\( P = \frac{10\sqrt{5}}{5} \)
\( P = 2\sqrt{5} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( P = 2\sqrt{5} \)
\( Q = \sqrt{10} \)
Untuk membandingkan, kuadratkan keduanya (karena keduanya positif).
\( P^2 = (2\sqrt{5})^2 \)
Gunakan rumus:
\( (a\sqrt{b})^2 = a^2 b \)
\( P^2 = 4 \times 5 = 20 \)
\( Q^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \)
Karena:
\( 20 \gt 10 \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 7
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 5 + 5 \times 5 \)
\( Q = (5 + 5) \times 5 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q - 10 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan aturan urutan operasi (materi SMA):
Perkalian dikerjakan terlebih dahulu sebelum penjumlahan.
\( P = 5 + 5 \times 5 \)
Hitung perkalian terlebih dahulu:
\( 5 \times 5 = 25 \)
Sehingga:
\( P = 5 + 25 \)
\( P = 30 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Karena ada tanda kurung, kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu.
\( Q = (5 + 5) \times 5 \)
\( 5 + 5 = 10 \)
Sehingga:
\( Q = 10 \times 5 \)
\( Q = 50 \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 30 \)
\( Q = 50 \)
Karena:
\( 30 \lt 50 \)
Maka:
\( P \lt Q \)
Jawaban yang benar:
B. \( P \lt Q \)
No 8
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 16^{\frac{3}{4}} \)
\( Q = 8 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan sifat eksponen pecahan
Materi SMA:
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Maka:
\( 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3} \)
Namun lebih mudah menggunakan sifat:
\( a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \)
Sehingga:
\( 16^{\frac{3}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^3 \)
Hitung akar pangkat empat dari 16:
\( 16 = 2^4 \)
\( 16^{\frac{1}{4}} = 2 \)
Maka:
\( 16^{\frac{3}{4}} = 2^3 \)
\( 2^3 = 8 \)
Jadi:
\( P = 8 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 8 \)
Karena:
\( P = 8 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 9
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2} \times \sqrt{50} \)
\( Q = \sqrt{10} \times \sqrt{10} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 5 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat perkalian akar (materi SMA):
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)
Maka:
\( P = \sqrt{2} \times \sqrt{50} \)
\( P = \sqrt{2 \times 50} \)
\( 2 \times 50 = 100 \)
\( P = \sqrt{100} \)
\( \sqrt{100} = 10 \)
Jadi:
\( P = 10 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Gunakan sifat yang sama:
\( Q = \sqrt{10} \times \sqrt{10} \)
\( Q = \sqrt{10 \times 10} \)
\( Q = \sqrt{100} \)
\( Q = 10 \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
Diperoleh:
\( P = 10 \)
\( Q = 10 \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 10
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2} + \sqrt{3} \)
\( Q = \sqrt{5} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P^2 = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Bandingkan dengan cara mengkuadratkan
Karena \( P \) dan \( Q \) bernilai positif, kita boleh membandingkan kuadratnya (materi SMA).
Hitung \( P^2 \):
\( P = \sqrt{2} + \sqrt{3} \)
Gunakan rumus:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Maka:
\( P^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \)
\( P^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 \)
\( P^2 = 5 + 2\sqrt{6} \)
Langkah 2: Hitung \( Q^2 \)
\( Q = \sqrt{5} \)
\( Q^2 = 5 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P^2 = 5 + 2\sqrt{6} \)
\( Q^2 = 5 \)
Karena:
\( 2\sqrt{6} \gt 0 \)
Maka:
\( 5 + 2\sqrt{6} \gt 5 \)
Sehingga:
\( P^2 \gt Q^2 \)
Karena keduanya positif, maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 11
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{169} \)
\( Q = 13 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P^2 = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan definisi akar kuadrat (materi SMA):
\( \sqrt{a} \) adalah bilangan positif yang jika dikuadratkan menghasilkan \( a \).
Karena:
\( 13^2 = 169 \)
Maka:
\( \sqrt{169} = 13 \)
Sehingga:
\( P = 13 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 13 \)
Karena:
\( P = 13 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 12
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2^2\sqrt{2^4\sqrt{2^8}}} \)
\( Q = \sqrt{4\sqrt{16\sqrt{256}}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P^2 = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Kerjakan dari akar paling dalam.
\( \sqrt{2^8} = \sqrt{256} = 16 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{2^2\sqrt{2^4 \times 16}} \)
Karena:
\( 2^4 = 16 \)
Maka:
\( 2^4 \times 16 = 16 \times 16 = 256 \)
\( \sqrt{256} = 16 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{2^2 \times 16} \)
\( 2^2 = 4 \)
\( 4 \times 16 = 64 \)
\( \sqrt{64} = 8 \)
Jadi:
\( P = 8 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Kerjakan dari dalam.
\( \sqrt{256} = 16 \)
Sehingga:
\( Q = \sqrt{4\sqrt{16 \times 16}} \)
\( 16 \times 16 = 256 \)
\( \sqrt{256} = 16 \)
Maka:
\( Q = \sqrt{4 \times 16} \)
\( 4 \times 16 = 64 \)
\( \sqrt{64} = 8 \)
Jadi:
\( Q = 8 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 8 \)
\( Q = 8 \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 13
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 2\sqrt{27} \)
\( Q = 3\sqrt{12} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 3Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Faktorkan 27:
\( 27 = 9 \times 3 \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} \)
\( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = 2 \times 3\sqrt{3} \)
\( P = 6\sqrt{3} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Faktorkan 12:
\( 12 = 4 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} \)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( Q = 3 \times 2\sqrt{3} \)
\( Q = 6\sqrt{3} \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 6\sqrt{3} \)
\( Q = 6\sqrt{3} \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 14
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{75} - \sqrt{12} \)
\( Q = \sqrt{27} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Faktorkan 75:
\( 75 = 25 \times 3 \)
\( \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
Faktorkan 12:
\( 12 = 4 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 3\sqrt{3} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Faktorkan 27:
\( 27 = 9 \times 3 \)
\( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( Q = 3\sqrt{3} \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 3\sqrt{3} \)
\( Q = 3\sqrt{3} \)
Karena nilainya sama, maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 15
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} \)
\( Q = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( 2P = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan sifat pembagian akar
Materi SMA:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{\frac{108}{3}} \)
\( \frac{108}{3} = 36 \)
\( P = \sqrt{36} \)
\( P = 6 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Gunakan sifat yang sama:
\( Q = \sqrt{\frac{200}{2}} \)
\( \frac{200}{2} = 100 \)
\( Q = \sqrt{100} \)
\( Q = 10 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 6 \)
\( Q = 10 \)
Karena:
\( 6 \lt 10 \)
Maka:
\( P \lt Q \)
Jawaban yang benar:
B. \( P \lt Q \)
No 16
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \)
\( Q = \sqrt{3} + 1 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q^2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Rasionalkan penyebut \( P \)
Materi SMA: jika penyebut berbentuk \( a - b \), kalikan dengan sekawan \( a + b \).
Gunakan:
\( \frac{1}{a-b} \times \frac{a+b}{a+b} = \frac{a+b}{a^2 - b^2} \)
Maka:
\( P = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \)
\( P = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \)
Hitung penyebut:
\( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
\( 3 - 1 = 2 \)
Sehingga:
\( P = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} \)
Sederhanakan:
\( P = \sqrt{3} + 1 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = \sqrt{3} + 1 \)
Karena:
\( P = \sqrt{3} + 1 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 17
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{8 + 2\sqrt{15}} \)
\( Q = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q^2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan identitas bentuk akar kuadrat sempurna
Materi SMA:
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \)
Perhatikan bentuk di dalam akar \( P \):
\( 8 + 2\sqrt{15} \)
Kita cari dua bilangan \( a \) dan \( b \) sehingga:
\( a + b = 8 \)
dan
\( ab = 15 \)
Pasangan yang memenuhi adalah:
\( 3 \) dan \( 5 \)
Karena:
\( 3 + 5 = 8 \)
\( 3 \times 5 = 15 \)
Maka:
\( 8 + 2\sqrt{15} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \)
Langkah 2: Hitung \( P \)
\( P = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} \)
Karena nilai di dalam akar positif, maka:
\( P = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 18
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 24 \div 6 \times 2 \)
\( Q = 24 \div (6 \times 2) \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan aturan urutan operasi (materi SMA):
Perkalian dan pembagian dikerjakan dari kiri ke kanan.
\( P = 24 \div 6 \times 2 \)
Hitung dari kiri:
\( 24 \div 6 = 4 \)
Kemudian:
\( 4 \times 2 = 8 \)
Sehingga:
\( P = 8 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Karena ada tanda kurung, kerjakan isi kurung terlebih dahulu.
\( Q = 24 \div (6 \times 2) \)
\( 6 \times 2 = 12 \)
Sehingga:
\( Q = 24 \div 12 \)
\( Q = 2 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 8 \)
\( Q = 2 \)
Karena:
\( 8 \gt 2 \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 19
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 27^{\frac{2}{3}} \times 9^{\frac{1}{2}} \)
\( Q = 3^3 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat eksponen pecahan (materi SMA):
\( a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \)
Karena:
\( 27 = 3^3 \)
Maka:
\( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} \)
Gunakan sifat:
\( (a^m)^n = a^{mn} \)
Sehingga:
\( (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} \)
\( 3^{2} = 9 \)
Sekarang bagian kedua:
\( 9 = 3^2 \)
\( 9^{\frac{1}{2}} = (3^2)^{\frac{1}{2}} \)
\( 3^{2 \times \frac{1}{2}} = 3^1 = 3 \)
Sehingga:
\( P = 9 \times 3 \)
\( P = 27 \)
Langkah 2: Hitung \( Q \)
\( Q = 3^3 \)
\( Q = 27 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 27 \)
\( Q = 27 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 20
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{\sqrt{192}}{\sqrt{3}} \)
\( Q = 8 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan sifat pembagian akar
Materi SMA:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
Maka:
\( P = \sqrt{\frac{192}{3}} \)
Hitung pecahannya:
\( \frac{192}{3} = 64 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{64} \)
\( \sqrt{64} = 8 \)
Jadi:
\( P = 8 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 8 \)
Karena:
\( P = 8 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 21
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( Q = 0,7 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 1 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Rasionalkan \( P \)
Gunakan sifat rasionalisasi (materi SMA):
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Sehingga:
\( P = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan pendekatan kuadrat
Karena kedua bilangan positif, kita boleh membandingkan kuadratnya.
\( P^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \)
\( P^2 = \frac{2}{4} \)
\( P^2 = \frac{1}{2} = 0,5 \)
Sekarang:
\( Q = 0,7 \)
\( Q^2 = 0,49 \)
Karena:
\( 0,5 \gt 0,49 \)
Maka:
\( P^2 \gt Q^2 \)
Karena keduanya positif:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 22
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{144} + \sqrt{81} \)
\( Q = \sqrt{441} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan definisi akar kuadrat (materi SMA).
\( \sqrt{144} = 12 \)
\( \sqrt{81} = 9 \)
Sehingga:
\( P = 12 + 9 \)
\( P = 21 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
\( \sqrt{441} = 21 \)
Karena:
\( 21^2 = 441 \)
Maka:
\( Q = 21 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 21 \)
\( Q = 21 \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 23
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt[3]{8\sqrt{64}} \)
\( Q = \sqrt{4\sqrt{16}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P + Q = 10 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Kerjakan bagian dalam terlebih dahulu.
\( \sqrt{64} = 8 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt[3]{8 \times 8} \)
\( 8 \times 8 = 64 \)
\( P = \sqrt[3]{64} \)
Karena:
\( 4^3 = 64 \)
Maka:
\( P = 4 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Kerjakan bagian dalam.
\( \sqrt{16} = 4 \)
Sehingga:
\( Q = \sqrt{4 \times 4} \)
\( 4 \times 4 = 16 \)
\( Q = \sqrt{16} \)
\( Q = 4 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 4 \)
\( Q = 4 \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 24
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{75} - \sqrt{12} \)
\( Q = 5 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P^2 = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Faktorkan masing-masing bilangan.
\( 75 = 25 \times 3 \)
\( \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
\( 12 = 4 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 3\sqrt{3} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( P = 3\sqrt{3} \)
\( Q = 5 \)
Bandingkan dengan mengkuadratkan (keduanya positif).
\( P^2 = (3\sqrt{3})^2 \)
Gunakan rumus:
\( (a\sqrt{b})^2 = a^2 b \)
\( P^2 = 9 \times 3 = 27 \)
\( Q^2 = 5^2 = 25 \)
Karena:
\( 27 \gt 25 \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 25
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 3\sqrt{5} + \sqrt{20} \)
\( Q = \sqrt{125} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = P + \sqrt{5} \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Faktorkan 20:
\( 20 = 4 \times 5 \)
\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Sehingga:
\( P = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 5\sqrt{5} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Faktorkan 125:
\( 125 = 25 \times 5 \)
\( \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)
Sehingga:
\( Q = 5\sqrt{5} \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 5\sqrt{5} \)
\( Q = 5\sqrt{5} \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 26
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 2\sqrt{5} \times \sqrt{20} \)
\( Q = 3\sqrt{2} \times \sqrt{18} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)
Maka:
\( P = 2\sqrt{5} \times \sqrt{20} \)
\( P = 2\sqrt{5 \times 20} \)
\( 5 \times 20 = 100 \)
\( P = 2\sqrt{100} \)
\( \sqrt{100} = 10 \)
\( P = 2 \times 10 \)
\( P = 20 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Gunakan sifat yang sama.
\( Q = 3\sqrt{2} \times \sqrt{18} \)
\( Q = 3\sqrt{2 \times 18} \)
\( 2 \times 18 = 36 \)
\( Q = 3\sqrt{36} \)
\( \sqrt{36} = 6 \)
\( Q = 3 \times 6 \)
\( Q = 18 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 20 \)
\( Q = 18 \)
Karena:
\( 20 \gt 18 \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 27
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{12}{\sqrt{3}} - \sqrt{12} \)
\( Q = \sqrt{12} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 0 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Rasionalkan bagian pertama
Gunakan sifat rasionalisasi (materi SMA):
\( \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} \)
\( \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = 4\sqrt{3} - \sqrt{12} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( \sqrt{12} \)
Gunakan sifat:
\( 12 = 4 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 2\sqrt{3} \)
Langkah 3: Hitung \( Q \)
\( Q = \sqrt{12} \)
\( Q = 2\sqrt{3} \)
Langkah 4: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 2\sqrt{3} \)
\( Q = 2\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 28
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{4}}} \)
\( Q = 2 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P + Q = 5 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung dari akar paling dalam
\( \sqrt{4} = 2 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{2\sqrt{2 \times 2}} \)
Hitung bagian dalam:
\( 2 \times 2 = 4 \)
\( \sqrt{4} = 2 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{2 \times 2} \)
\( 2 \times 2 = 4 \)
\( \sqrt{4} = 2 \)
Jadi:
\( P = 2 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 2 \)
Karena:
\( P = 2 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 29
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 10 \times (8 - 3) \)
\( Q = 10 \times 8 - 3 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = P + 30 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Kerjakan yang di dalam tanda kurung terlebih dahulu (materi urutan operasi SMA).
\( 8 - 3 = 5 \)
Sehingga:
\( P = 10 \times 5 \)
\( P = 50 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Pada \( Q \), tidak ada tanda kurung, sehingga kerjakan perkalian terlebih dahulu.
\( Q = 10 \times 8 - 3 \)
\( 10 \times 8 = 80 \)
Kemudian:
\( 80 - 3 = 77 \)
Sehingga:
\( Q = 77 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 50 \)
\( Q = 77 \)
Karena:
\( 50 \lt 77 \)
Maka:
\( P \lt Q \)
Jawaban yang benar:
B. \( P \lt Q \)
No 30
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} \)
\( Q = 2^{\frac{7}{8}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2^{\frac{1}{2}} \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Ubah \( P \) ke bentuk pangkat dua
Gunakan sifat akar:
\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \)
Akar terdalam:
\( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)
Lapisan berikutnya:
\( \sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{2 \times 2^{\frac{1}{2}}} \)
\( = \sqrt{2^{1 + \frac{1}{2}}} \)
\( = \sqrt{2^{\frac{3}{2}}} \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a^m} = a^{\frac{m}{2}} \)
\( = 2^{\frac{3}{4}} \)
Lapisan paling luar:
\( P = \sqrt{2 \times 2^{\frac{3}{4}}} \)
\( = \sqrt{2^{1 + \frac{3}{4}}} \)
\( = \sqrt{2^{\frac{7}{4}}} \)
\( = 2^{\frac{7}{8}} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 2^{\frac{7}{8}} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 31
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 \)
\( Q = 10 + 2\sqrt{21} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 10 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan rumus kuadrat jumlah
Rumus SMA:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Ambil:
\( a = \sqrt{7} \)
\( b = \sqrt{3} \)
Maka:
\( P = (\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \)
Hitung satu per satu:
\( (\sqrt{7})^2 = 7 \)
\( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
\( (\sqrt{7})(\sqrt{3}) = \sqrt{21} \)
Sehingga:
\( P = 7 + 2\sqrt{21} + 3 \)
Gabungkan bilangan rasional:
\( P = 10 + 2\sqrt{21} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 10 + 2\sqrt{21} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 32
Soal.
Jika \( 0 \lt x \lt 1 \), manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = x^2 \)
\( Q = \sqrt{x} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q - 1 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan sifat bilangan antara 0 dan 1
Diketahui:
\( 0 \lt x \lt 1 \)
Sifat penting (materi SMA):
Jika \( 0 \lt x \lt 1 \), maka:
\( x^2 \lt x \)
Dan:
\( \sqrt{x} \gt x \)
Langkah 2: Bandingkan secara logis
Untuk bilangan antara 0 dan 1:
• Pangkat 2 membuat bilangan semakin kecil.
• Akar membuat bilangan semakin besar (mendekati 1).
Contoh sederhana (untuk membantu pemahaman siswa):
Misal \( x = \frac{1}{4} \)
\( x^2 = \frac{1}{16} \)
\( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \)
Terlihat:
\( x^2 \lt \sqrt{x} \)
Langkah 3: Kesimpulan umum
Karena selalu berlaku untuk setiap \( 0 \lt x \lt 1 \):
\( x^2 \lt \sqrt{x} \)
Maka:
\( P \lt Q \)
Jawaban yang benar:
B. \( P \lt Q \)
No 33
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{625} - \sqrt{225} \)
\( Q = \sqrt{100} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = 2P \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a^2} = a \)
\( \sqrt{625} = 25 \)
\( \sqrt{225} = 15 \)
Sehingga:
\( P = 25 - 15 \)
\( P = 10 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
\( \sqrt{100} = 10 \)
Sehingga:
\( Q = 10 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 10 \)
\( Q = 10 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 34
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = (81)^{\frac{1}{4}} \)
\( Q = \sqrt{\sqrt{81}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = 2P \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Ubah \( P \) ke bentuk yang lebih sederhana
Gunakan sifat pangkat pecahan:
\( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
Sehingga:
\( (81)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} \)
Karena:
\( 81 = 3^4 \)
Maka:
\( \sqrt[4]{81} = 3 \)
Jadi:
\( P = 3 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Kerjakan dari dalam:
\( \sqrt{81} = 9 \)
Kemudian:
\( \sqrt{9} = 3 \)
Sehingga:
\( Q = 3 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 3 \)
\( Q = 3 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 35
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{20 \times \sqrt{25}} \)
\( Q = \sqrt{45} : \sqrt{9} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Hitung bagian dalam terlebih dahulu:
\( \sqrt{25} = 5 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{20 \times 5} \)
\( 20 \times 5 = 100 \)
\( P = \sqrt{100} \)
\( P = 10 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
Gunakan sifat pembagian akar:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
\( Q = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{9}} \)
\( = \sqrt{\frac{45}{9}} \)
\( \frac{45}{9} = 5 \)
\( Q = \sqrt{5} \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 10 \)
\( Q = \sqrt{5} \)
Karena:
\( 10 \gt \sqrt{5} \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Jawaban yang benar:
A. \( P \gt Q \)
No 36
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{200} - \sqrt{18} \)
\( Q = \sqrt{72} + \sqrt{2} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 7\sqrt{2} \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Faktorkan bilangan di dalam akar.
\( 200 = 100 \times 2 \)
\( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \)
\( 18 = 9 \times 2 \)
\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = 10\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( P = 7\sqrt{2} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
\( 72 = 36 \times 2 \)
\( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( Q = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} \)
Gabungkan suku sejenis:
\( Q = 7\sqrt{2} \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 7\sqrt{2} \)
\( Q = 7\sqrt{2} \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 37
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{\sqrt{12} \times \sqrt{6}}{\sqrt{2}} \)
\( Q = \sqrt{3} \times \sqrt{12} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P^2 = Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
\( \sqrt{12} \times \sqrt{6} = \sqrt{72} \)
Sehingga:
\( P = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} \)
Gunakan sifat pembagian:
\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
\( P = \sqrt{\frac{72}{2}} \)
\( \frac{72}{2} = 36 \)
\( P = \sqrt{36} \)
\( P = 6 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
\( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} \)
\( Q = 6 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 6 \)
\( Q = 6 \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 38
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)
\( Q = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Rasionalkan penyebut pada \( P \)
Gunakan rumus sekawan (materi SMA):
\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( P = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \)
Sehingga:
\( P = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \)
Hitung penyebut:
\( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
\( (\sqrt{2})^2 = 2 \)
\( 3 - 2 = 1 \)
Maka:
\( P = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 39
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( Q = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 1 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan bentuk identitas
Gunakan rumus penting (materi SMA):
\( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \)
Perhatikan:
\( 7 - 2\sqrt{10} \)
Kita cari dua bilangan \( a \) dan \( b \) sehingga:
\( a + b = 7 \)
dan
\( ab = 10 \)
Bilangan yang memenuhi adalah:
\( a = 5 \) dan \( b = 2 \)
Karena:
\( 5 + 2 = 7 \)
\( 5 \times 2 = 10 \)
Maka:
\( 7 - 2\sqrt{10} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 \)
Langkah 2: Ambil akar
\( P = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
Karena \( \sqrt{5} \gt \sqrt{2} \), maka hasilnya positif:
\( P = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 40
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = 12 + 0 \times 5 - 2 \)
\( Q = (12 + 0) \times (5 - 2) \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 10 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \( P \)
Gunakan aturan urutan operasi (materi SMA): Perkalian dikerjakan terlebih dahulu.
\( 0 \times 5 = 0 \)
Sehingga:
\( P = 12 + 0 - 2 \)
\( 12 - 2 = 10 \)
Jadi:
\( P = 10 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( Q \)
Kerjakan bagian dalam kurung terlebih dahulu.
\( 12 + 0 = 12 \)
\( 5 - 2 = 3 \)
Sehingga:
\( Q = 12 \times 3 \)
\( Q = 36 \)
Langkah 3: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = 10 \)
\( Q = 36 \)
Karena:
\( 10 \lt 36 \)
Maka:
\( P \lt Q \)
Jawaban yang benar:
B. \( P \lt Q \)
No 41
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = (125)^{-\frac{1}{3}} \)
\( Q = 0,2 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 5 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Gunakan sifat pangkat negatif
Rumus SMA:
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
Sehingga:
\( (125)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{(125)^{\frac{1}{3}}} \)
Langkah 2: Hitung akar pangkat tiga
Karena:
\( 125 = 5^3 \)
Maka:
\( (125)^{\frac{1}{3}} = 5 \)
Sehingga:
\( P = \frac{1}{5} \)
Langkah 3: Ubah \( Q \) ke bentuk pecahan
\( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
Langkah 4: Bandingkan
Diperoleh:
\( P = \frac{1}{5} \)
\( Q = \frac{1}{5} \)
Maka:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 42
Soal.
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{72} \)
\( Q = 6\sqrt{2} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = 12 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah 1: Sederhanakan \( P \)
Faktorkan 72:
\( 72 = 36 \times 2 \)
Gunakan sifat:
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)
Sehingga:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36}\sqrt{2} \)
\( \sqrt{36} = 6 \)
Maka:
\( P = 6\sqrt{2} \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
Diketahui:
\( Q = 6\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Jawaban yang benar:
C. \( P = Q \)
No 43
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{0,9} \)
\( Q = 0,9 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 0,81 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus akar kuadrat
Rumus dasar yang digunakan adalah:
Jika \( 0 \lt a \lt 1 \), maka \( \sqrt{a} \gt a \).
Karena \( 0 \lt 0,9 \lt 1 \), maka berlaku:
\( \sqrt{0,9} \gt 0,9 \)
Langkah 2: Perhitungan numerik (untuk pemahaman siswa)
Hitung nilai \( \sqrt{0,9} \):
\( \sqrt{0,9} \approx 0,949 \)
Sedangkan:
\( Q = 0,9 \)
Karena \( 0,949 \gt 0,9 \), maka:
\( P \gt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah A.
Catatan Penting untuk Siswa:
Untuk bilangan desimal antara \( 0 \lt a \lt 1 \), nilai akar kuadratnya selalu lebih besar dari bilangan itu sendiri.
No 44
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{256} \)
\( Q = \sqrt{16} \times \sqrt{16} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus akar kuadrat
Rumus dasar:
\( \sqrt{a^2} = a \) untuk \( a \ge 0 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( P \)
\( P = \sqrt{256} \)
Karena \( 256 = 16^2 \), maka:
\( \sqrt{256} = 16 \)
Langkah 3: Hitung nilai \( Q \)
\( Q = \sqrt{16} \times \sqrt{16} \)
Karena \( \sqrt{16} = 4 \), maka:
\( Q = 4 \times 4 \)
\( Q = 16 \)
Langkah 4: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 16 \)
\( Q = 16 \)
Maka:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Perhatikan bahwa \( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \). Jadi bentuk tersebut sama dengan bilangan di dalam akar.
No 45
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} \)
\( Q = \sqrt{32} - \sqrt{18} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan sifat akar
Sifat yang digunakan:
\( \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \)
Hitung nilai \( P \)
\( P = \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} \)
\( P = \sqrt{\dfrac{80}{5}} \)
\( P = \sqrt{16} \)
\( P = 4 \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
\( Q = \sqrt{32} - \sqrt{18} \)
Faktorkan bilangan di dalam akar:
\( 32 = 16 \times 2 \)
\( 18 = 9 \times 2 \)
Sehingga:
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
Maka:
\( Q = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \)
\( Q = \sqrt{2} \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 4 \)
\( Q = \sqrt{2} \)
Karena \( \sqrt{2} \approx 1,414 \), maka:
\( 4 \gt 1,414 \)
Sehingga:
\( P \gt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah A.
Catatan penting untuk siswa pemula:
Selalu sederhanakan bentuk akar terlebih dahulu sebelum membandingkan. Gunakan sifat pembagian akar dan faktorkan bilangan agar lebih mudah dihitung.
No 46
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \dfrac{6}{3 - \sqrt{3}} \)
\( Q = 3 + \sqrt{3} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q - 3 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan teknik merasionalkan penyebut
Untuk bentuk \( \dfrac{a}{b - \sqrt{c}} \), kita kalikan dengan sekawan.
Sekawan dari \( 3 - \sqrt{3} \) adalah \( 3 + \sqrt{3} \).
Sehingga:
\( P = \dfrac{6}{3 - \sqrt{3}} \times \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \)
Langkah 2: Hitung pembilang dan penyebut
Pembilang:
\( 6(3 + \sqrt{3}) = 18 + 6\sqrt{3} \)
Penyebut (gunakan rumus selisih kuadrat):
\( (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 \)
\( = 9 - 3 \)
\( = 6 \)
Langkah 3: Sederhanakan
\( P = \dfrac{18 + 6\sqrt{3}}{6} \)
\( P = 3 + \sqrt{3} \)
Langkah 4: Bandingkan dengan \( Q \)
\( Q = 3 + \sqrt{3} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan penting untuk siswa pemula:
Jika terdapat akar di penyebut, gunakan sekawan dan rumus \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) untuk menghilangkan akar di penyebut.
No 47
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = (0,04)^{\frac{1}{2}} \)
\( Q = (0,008)^{\frac{1}{3}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 0,4 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus pangkat pecahan
Rumus dasar:
\( a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)
\( a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a} \)
Hitung nilai \( P \)
\( P = (0,04)^{\frac{1}{2}} \)
\( P = \sqrt{0,04} \)
Karena \( 0,04 = \dfrac{4}{100} \), maka:
\( \sqrt{0,04} = 0,2 \)
Hitung nilai \( Q \)
\( Q = (0,008)^{\frac{1}{3}} \)
Ubah ke bentuk pecahan:
\( 0,008 = \dfrac{8}{1000} \)
\( Q = \sqrt[3]{0,008} \)
Karena \( 0,2^3 = 0,008 \), maka:
\( Q = 0,2 \)
Langkah 2: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 0,2 \)
\( Q = 0,2 \)
Maka:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Ingat bahwa pangkat \( \frac{1}{2} \) berarti akar kuadrat, dan pangkat \( \frac{1}{3} \) berarti akar pangkat tiga.
No 48
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt[3]{64} \)
\( Q = \sqrt{16} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus akar pangkat tiga dan akar kuadrat
Rumus dasar:
\( \sqrt[3]{a} = b \) jika \( b^3 = a \)
\( \sqrt{a} = b \) jika \( b^2 = a \)
Hitung nilai \( P \)
\( P = \sqrt[3]{64} \)
Karena \( 4^3 = 64 \), maka:
\( P = 4 \)
Hitung nilai \( Q \)
\( Q = \sqrt{16} \)
Karena \( 4^2 = 16 \), maka:
\( Q = 4 \)
Langkah 2: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 4 \)
\( Q = 4 \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Akar pangkat tiga adalah kebalikan dari pangkat tiga, dan akar kuadrat adalah kebalikan dari pangkat dua.
No 49
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{3} \times \sqrt{12} + \sqrt{16} \)
\( Q = 10 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = 2Q \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan sifat perkalian akar
Rumus yang digunakan:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
Hitung bagian pertama
\( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} \)
Karena \( 36 = 6^2 \), maka:
\( \sqrt{36} = 6 \)
Hitung bagian kedua
\( \sqrt{16} = 4 \) karena \( 4^2 = 16 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( P \)
\( P = 6 + 4 \)
\( P = 10 \)
Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \)
\( Q = 10 \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Jika ada perkalian akar, gabungkan dulu menjadi satu akar. Kemudian hitung nilai akarnya sebelum melakukan operasi penjumlahan.
No 50
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{2\sqrt{16\sqrt{256}}} \)
\( Q = \sqrt{6\sqrt{36}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan bagian terdalam dari \( P \)
\( \sqrt{256} = 16 \) karena \( 16^2 = 256 \)
Maka:
\( \sqrt{16\sqrt{256}} = \sqrt{16 \times 16} \)
\( = \sqrt{256} \)
\( = 16 \)
Sehingga:
\( P = \sqrt{2 \times 16} \)
\( P = \sqrt{32} \)
\( P = 4\sqrt{2} \)
Langkah 2: Sederhanakan \( Q \)
\( \sqrt{36} = 6 \)
Maka:
\( Q = \sqrt{6 \times 6} \)
\( Q = \sqrt{36} \)
\( Q = 6 \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 4\sqrt{2} \)
Karena \( \sqrt{2} \approx 1,414 \), maka:
\( P \approx 4 \times 1,414 \)
\( P \approx 5,656 \)
Sedangkan:
\( Q = 6 \)
Karena \( 5,656 \lt 6 \), maka:
\( P \lt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah B.
Catatan untuk siswa pemula:
Kerjakan akar bertingkat dari bagian paling dalam terlebih dahulu. Sederhanakan langkah demi langkah agar tidak salah hitung.
No 51
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{48} + \sqrt{12} \)
\( Q = 5\sqrt{3} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q - \sqrt{3} \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan masing-masing akar
Gunakan rumus:
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} \)
Sederhanakan \( \sqrt{48} \)
\( 48 = 16 \times 3 \)
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} \)
\( = 4\sqrt{3} \)
Sederhanakan \( \sqrt{12} \)
\( 12 = 4 \times 3 \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} \)
\( = 2\sqrt{3} \)
Langkah 2: Hitung nilai \( P \)
\( P = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \)
\( P = 6\sqrt{3} \)
Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \)
\( Q = 5\sqrt{3} \)
Karena:
\( 6\sqrt{3} \gt 5\sqrt{3} \)
Maka:
\( P \gt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah A.
Catatan untuk siswa pemula:
Sederhanakan akar terlebih dahulu, lalu jumlahkan suku sejenis (jika memiliki akar yang sama).
No 52
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{0,5} \times \sqrt{8} \)
\( Q = \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( Q = 2P + 1 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan sifat perkalian akar
Rumus:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
Hitung nilai \( P \)
\( P = \sqrt{0,5} \times \sqrt{8} \)
\( P = \sqrt{0,5 \times 8} \)
\( P = \sqrt{4} \)
\( P = 2 \)
Langkah 2: Gunakan sifat pembagian akar
Rumus:
\( \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \)
Hitung nilai \( Q \)
\( Q = \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \)
\( Q = \sqrt{\dfrac{75}{3}} \)
\( Q = \sqrt{25} \)
\( Q = 5 \)
Langkah 3: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 2 \)
\( Q = 5 \)
Karena \( 2 \lt 5 \), maka:
\( P \lt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah B.
Catatan untuk siswa pemula:
Gabungkan akar terlebih dahulu sebelum menghitung nilainya. Gunakan sifat perkalian dan pembagian akar agar lebih cepat dan rapi.
No 53
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{11 - 2\sqrt{30}} \)
\( Q = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P \) adalah bilangan bulat
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan bentuk kuadrat sempurna
Gunakan rumus:
\( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \)
Perhatikan bahwa:
\( 11 - 2\sqrt{30} \)
Kita cari dua bilangan \( a \) dan \( b \) sehingga:
\( a + b = 11 \)
dan
\( ab = 30 \)
Pasangan yang memenuhi adalah:
\( a = 6 \) dan \( b = 5 \)
Karena:
\( 6 + 5 = 11 \)
dan
\( 6 \times 5 = 30 \)
Maka:
\( 11 - 2\sqrt{30} = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 \)
Langkah 2: Hitung nilai \( P \)
\( P = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2} \)
Karena \( \sqrt{x^2} = |x| \), dan \( \sqrt{6} \gt \sqrt{5} \), maka:
\( P = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \)
\( Q = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Sehingga:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Jika bentuk di dalam akar menyerupai pola \( a + b - 2\sqrt{ab} \), maka itu adalah kuadrat dari \( (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \).
No 54
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \dfrac{1}{2} \times 10 + 4 \)
\( Q = \dfrac{1}{2} \times (10 + 4) \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q + 3 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan aturan urutan operasi (prioritas pengerjaan)
Aturan dasar:
1. Kerjakan perkalian terlebih dahulu.
2. Jika ada tanda kurung, kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu.
Hitung nilai \( P \)
\( P = \dfrac{1}{2} \times 10 + 4 \)
Kerjakan perkalian terlebih dahulu:
\( \dfrac{1}{2} \times 10 = 5 \)
Sehingga:
\( P = 5 + 4 \)
\( P = 9 \)
Hitung nilai \( Q \)
\( Q = \dfrac{1}{2} \times (10 + 4) \)
Kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu:
\( 10 + 4 = 14 \)
Sehingga:
\( Q = \dfrac{1}{2} \times 14 \)
\( Q = 7 \)
Langkah 2: Bandingkan \( P \) dan \( Q \)
\( P = 9 \)
\( Q = 7 \)
Karena \( 9 \gt 7 \), maka:
\( P \gt Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah A.
Catatan untuk siswa pemula:
Perhatikan tanda kurung. Tanda kurung dapat mengubah hasil perhitungan karena harus dikerjakan terlebih dahulu.
No 55
Manakah hubungan yang benar antara \( P \) dan \( Q \) berikut?
\( P = \sqrt{1024} \)
\( Q = 32 \)
Pilihan Jawaban:
A. \( P \gt Q \)
B. \( P \lt Q \)
C. \( P = Q \)
D. Hubungan tidak dapat ditentukan
E. \( P = Q^2 \)
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus akar kuadrat
Rumus:
\( \sqrt{a} = b \) jika \( b^2 = a \)
Hitung nilai \( P \)
\( P = \sqrt{1024} \)
Kita cari bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan \( 1024 \).
Perhatikan bahwa:
\( 32^2 = 1024 \)
Maka:
\( \sqrt{1024} = 32 \)
Sehingga:
\( P = 32 \)
Langkah 2: Bandingkan dengan \( Q \)
\( Q = 32 \)
Maka:
\( P = Q \)
Kesimpulan:
Jawaban yang benar adalah C.
Catatan untuk siswa pemula:
Akar kuadrat adalah kebalikan dari pangkat dua. Jika \( a^2 = b \), maka \( \sqrt{b} = a \).