No 1
Jika \( x \), \( 2x \), \( 3x \) adalah sudut segitiga dan \( y \) adalah setengah sudut persegi panjang.
(1) Sudut terbesar segitiga adalah \( 90^\circ \)
(2) \( y \gt 2x \)
(3) \( y = 45^\circ \)
(4) \( 3x \lt y \)
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1,2,3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Menentukan nilai \( x \) dari sudut segitiga
Jumlah sudut dalam segitiga adalah \( 180^\circ \). Karena sudut-sudutnya \( x \), \( 2x \), dan \( 3x \), maka:
\( x + 2x + 3x = 180^\circ \).
Gabungkan suku sejenis:
\( 6x = 180^\circ \).
Maka:
\( x = 30^\circ \).
Jadi sudut-sudut segitiga adalah: \( x = 30^\circ \), \( 2x = 60^\circ \), dan \( 3x = 90^\circ \).
Langkah 2: Menentukan nilai \( y \)
Sudut pada persegi panjang adalah \( 90^\circ \). Karena \( y \) adalah setengahnya, maka:
\( y = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ \).
Langkah 3: Memeriksa tiap pernyataan
(1) “Sudut terbesar segitiga adalah \( 90^\circ \)”
Sudut terbesar dari \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \) adalah \( 90^\circ \).
Benar.
(2) \( y \gt 2x \)
\( y = 45^\circ \) dan \( 2x = 60^\circ \). Bandingkan:
\( 45^\circ \gt 60^\circ \) adalah salah.
Salah.
(3) \( y = 45^\circ \)
Dari langkah 2, \( y = 45^\circ \).
Benar.
(4) \( 3x \lt y \)
\( 3x = 90^\circ \) dan \( y = 45^\circ \). Bandingkan:
\( 90^\circ \lt 45^\circ \) adalah salah.
Salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). Jadi jawaban yang sesuai adalah B.
Jawaban: B
No 2
Sebuah segitiga memiliki keliling \( 12 \) cm. Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat.
(1) Sisi terpanjang tidak mungkin \( 7 \) cm.
(2) Mungkin terbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi \( 4 \) cm.
(3) Mungkin terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi \( 3 \) cm, \( 4 \) cm, dan \( 5 \) cm.
(4) Salah satu sisinya boleh berukuran \( 1 \) cm.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Prinsip yang dipakai (materi SMA):
Untuk tiga sisi segitiga \( a \), \( b \), \( c \) (dengan \( c \) sisi terpanjang), syarat segitiga adalah:
\( a + b \gt c \).
Selain itu, kelilingnya:
\( a + b + c = 12 \).
(1) Sisi terpanjang tidak mungkin \( 7 \) cm.
Misalkan sisi terpanjang \( c = 7 \). Karena keliling \( 12 \), maka jumlah dua sisi lain:
\( a + b = 12 - 7 = 5 \).
Syarat segitiga harus memenuhi \( a + b \gt c \), berarti:
\( 5 \gt 7 \) (ini salah).
Jadi jika sisi terpanjang \( 7 \), segitiga tidak bisa terbentuk.
Pernyataan (1) benar.
(2) Mungkin terbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi \( 4 \) cm.
Segitiga sama sisi berarti semua sisi sama: \( 4 \), \( 4 \), \( 4 \).
Kelilingnya:
\( 4 + 4 + 4 = 12 \). Sesuai keliling yang diberikan.
Syarat segitiga juga pasti terpenuhi karena \( 4 + 4 \gt 4 \) yaitu \( 8 \gt 4 \).
Pernyataan (2) benar.
(3) Mungkin terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi \( 3 \) cm, \( 4 \) cm, dan \( 5 \) cm.
Cek keliling:
\( 3 + 4 + 5 = 12 \). Cocok.
Cek syarat segitiga:
\( 3 + 4 \gt 5 \) yaitu \( 7 \gt 5 \). Cocok.
Segitiga siku-siku juga benar karena memenuhi Teorema Pythagoras:
\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \) yaitu \( 9 + 16 = 25 \).
Pernyataan (3) benar.
(4) Salah satu sisinya boleh berukuran \( 1 \) cm.
Misalkan ada sisi \( 1 \) cm. Dua sisi lainnya bilangan bulat dan jumlahnya:
\( 12 - 1 = 11 \).
Agar membentuk segitiga, sisi terpanjang harus lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya.
Karena dua sisi selain \( 1 \) jumlahnya \( 11 \), sisi terpanjang pasti paling tidak \( 6 \) (misalnya \( 5 \) dan \( 6 \)) atau lebih.
Coba contoh yang paling “aman” dengan sisi kecil \( 1 \): ambil sisi lain \( 5 \) dan \( 6 \). Keliling:
\( 1 + 5 + 6 = 12 \).
Tapi syarat segitiga untuk sisi terpanjang \( 6 \) adalah:
\( 1 + 5 \gt 6 \) yaitu \( 6 \gt 6 \) (salah, karena harus lebih besar, bukan sama).
Jika dicoba pasangan lain, misal \( 1, 4, 7 \) maka \( 1 + 4 \gt 7 \) yaitu \( 5 \gt 7 \) (salah).
Polanya: jika salah satu sisi \( 1 \), maka dua sisi lain jumlahnya \( 11 \), dan sisi terpanjang minimal \( 6 \), sehingga \( 1 + \) (sisi sedang) cenderung \( \le \) sisi terpanjang.
Kesimpulannya, tidak ada triple bilangan bulat berjumlah \( 12 \) yang memenuhi syarat segitiga jika salah satu sisinya \( 1 \).
Pernyataan (4) salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka pilihan yang sesuai adalah A.
Jawaban: A
No 3
Diketahui sebuah segitiga memiliki panjang sisi \( 8 \) cm, \( 15 \) cm, dan \( 17 \) cm.
(1) Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
(2) Sisi terpanjangnya (hipotenusa) adalah \( 17 \) cm.
(3) Luas segitiga tersebut adalah \( 60 \) cm\( ^2 \).
(4) Ketiga sisi tersebut membentuk "Triple Pythagoras".
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Menentukan apakah segitiga siku-siku
Untuk memeriksa segitiga siku-siku (materi SMA), gunakan Teorema Pythagoras.
Jika sisi terpanjang \( c \), maka segitiga siku-siku memenuhi:
\( a^2 + b^2 = c^2 \).
Sisi terpanjang dari \( 8 \), \( 15 \), \( 17 \) adalah \( 17 \), jadi ambil: \( a = 8 \), \( b = 15 \), \( c = 17 \).
Hitung:
\( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \).
Sedangkan:
\( 17^2 = 289 \).
Karena \( 8^2 + 15^2 = 17^2 \), maka segitiga tersebut siku-siku.
Jadi, pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Memeriksa hipotenusa
Pada segitiga siku-siku, hipotenusa adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku dan merupakan sisi terpanjang.
Karena sisi terpanjangnya \( 17 \), maka hipotenusanya adalah \( 17 \) cm.
Jadi, pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Menghitung luas segitiga
Karena segitiga siku-siku, dua sisi yang saling tegak lurus adalah kaki-kakinya, yaitu \( 8 \) dan \( 15 \).
Rumus luas segitiga siku-siku:
\( L = \frac{1}{2} \times a \times b \).
Maka:
\( L = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60 \).
Jadi luasnya \( 60 \) cm\( ^2 \).
Jadi, pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Memeriksa "Triple Pythagoras"
Triple Pythagoras adalah tiga bilangan bulat \( a \), \( b \), \( c \) yang memenuhi:
\( a^2 + b^2 = c^2 \).
Karena sudah terbukti: \( 8^2 + 15^2 = 17^2 \), maka \( 8 \), \( 15 \), \( 17 \) adalah triple Pythagoras.
Jadi, pernyataan (4) benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), (3), dan (4).
Maka pilihan yang sesuai adalah E.
Jawaban: E
No 4
Dua sisi sebuah segitiga adalah \( 8 \) cm dan \( 10 \) cm, dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut adalah \( 30^\circ \).
(1) Luas segitiga tersebut adalah \( 20 \) cm\( ^2 \).
(2) Luas segitiga tersebut adalah \( 40 \) cm\( ^2 \).
(3) Jika sudut yang diapit berubah menjadi \( 90^\circ \), maka luasnya menjadi \( 40 \) cm\( ^2 \).
(4) Tinggi segitiga jika sisi \( 10 \) cm dianggap sebagai alas adalah \( 4 \) cm.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit
Jika dua sisi segitiga \( a \) dan \( b \) mengapit sudut \( \theta \), maka luas segitiga:
\( L = \frac{1}{2}ab\sin(\theta) \).
Pada soal: \( a = 8 \), \( b = 10 \), dan \( \theta = 30^\circ \).
Maka:
\( L = \frac{1}{2}\times 8 \times 10 \times \sin(30^\circ) \).
Karena \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), maka: \( L = \frac{1}{2}\times 8 \times 10 \times \frac{1}{2} \) \( = 40 \times \frac{1}{2} \) \( = 20 \).
Jadi luas segitiga adalah \( 20 \) cm\( ^2 \).
Maka (1) benar dan (2) salah.
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (3)
Jika sudut apit berubah menjadi \( 90^\circ \), maka \( \sin(90^\circ) = 1 \).
Luas baru:
\( L' = \frac{1}{2}\times 8 \times 10 \times 1 = 40 \).
Jadi luasnya menjadi \( 40 \) cm\( ^2 \).
(3) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (4) dengan rumus luas biasa
Jika sisi \( 10 \) cm dianggap sebagai alas, maka rumus luas:
\( L = \frac{1}{2}\times \text{alas} \times \text{tinggi} \).
Artinya:
\( 20 = \frac{1}{2}\times 10 \times t \).
Sederhanakan:
\( 20 = 5t \) sehingga:
\( t = 4 \).
Jadi tinggi terhadap alas \( 10 \) cm adalah \( 4 \) cm.
(4) benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4).
Namun pilihan jawaban yang tersedia tidak memuat kombinasi (1), (3), dan (4).
Karena tidak ada opsi yang sesuai dengan hasil perhitungan, maka jawaban yang benar tidak tersedia pada pilihan A–E yang diberikan.
Catatan untuk siswa: Jika soal tipe ini muncul di ujian resmi, biasanya pilihan yang benar akan tersedia. Jadi kemungkinan ada kesalahan cetak pada pilihan jawaban.
Jawaban seharusnya: (1), (3), dan (4)
No 5
Sebuah segitiga memiliki dua sisi dengan panjang \( 6 \) cm dan \( 11 \) cm. Sisi ketiga segitiga tersebut adalah \( x \) cm (bilangan bulat).
(1) Nilai \( x \) yang mungkin berada pada rentang \( 5 \lt x \lt 17 \).
(2) Nilai \( x \) minimum adalah \( 6 \).
(3) Nilai \( x \) maksimum adalah \( 16 \).
(4) Jika \( x = 5 \), segitiga tersebut tetap dapat terbentuk.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Gunakan Syarat Segitiga (materi SMA)
Untuk tiga sisi \( a \), \( b \), dan \( c \), berlaku:
\( |a - b| \lt c \lt a + b \).
Pada soal: \( a = 6 \), \( b = 11 \), dan \( c = x \).
Maka:
\( |6 - 11| \lt x \lt 6 + 11 \).
Hitung: \( 5 \lt x \lt 17 \).
Jadi nilai \( x \) harus lebih dari \( 5 \) dan kurang dari \( 17 \).
Karena \( x \) bilangan bulat, maka:
\( x = 6, 7, 8, \dots, 16 \).
Langkah 2: Periksa tiap pernyataan
(1) Rentang \( 5 \lt x \lt 17 \).
Ini sesuai hasil perhitungan.
Benar.
(2) Nilai minimum \( x \) adalah \( 6 \).
Karena \( x \) harus lebih dari \( 5 \) dan bilangan bulat, nilai terkecil adalah \( 6 \).
Benar.
(3) Nilai maksimum \( x \) adalah \( 16 \).
Karena \( x \) harus kurang dari \( 17 \) dan bilangan bulat, nilai terbesar adalah \( 16 \).
Benar.
(4) Jika \( x = 5 \), segitiga tetap dapat terbentuk.
Cek syarat:
\( 5 \lt x \). Jika \( x = 5 \), maka \( 5 \lt 5 \) salah.
Artinya tidak memenuhi syarat segitiga (jumlah dua sisi sama dengan sisi ketiga, bukan lebih besar).
Salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 6
Diketahui dua sisi sebuah segitiga adalah \( 7 \) cm dan \( 10 \) cm. Jika sisi ketiga adalah \( x \) cm (bilangan bulat).
(1) Nilai \( x \) terkecil yang mungkin adalah \( 3 \).
(2) Nilai \( x \) terbesar yang mungkin adalah \( 16 \).
(3) Ada tepat \( 13 \) variasi nilai \( x \) bulat yang bisa membentuk segitiga tersebut.
(4) Jika \( x = 10 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Gunakan syarat segitiga (materi SMA)
Jika tiga sisi segitiga adalah \( a \), \( b \), \( c \), maka harus memenuhi:
\( |a - b| \lt c \lt a + b \).
Pada soal: \( a = 7 \), \( b = 10 \), dan \( c = x \).
Maka:
\( |7 - 10| \lt x \lt 7 + 10 \).
Hitung: \( 3 \lt x \lt 17 \).
Karena \( x \) bilangan bulat, maka nilai \( x \) yang mungkin adalah: \( x = 4, 5, 6, \dots, 16 \).
Langkah 2: Periksa tiap pernyataan
(1) “Nilai \( x \) terkecil yang mungkin adalah \( 3 \)”
Dari syarat \( 3 \lt x \), nilai terkecil bilangan bulat adalah \( 4 \), bukan \( 3 \).
Salah.
(2) “Nilai \( x \) terbesar yang mungkin adalah \( 16 \)”
Dari syarat \( x \lt 17 \), nilai terbesar bilangan bulat adalah \( 16 \).
Benar.
(3) “Ada tepat \( 13 \) variasi nilai \( x \) bulat”
Nilai \( x \) yang mungkin adalah \( 4 \) sampai \( 16 \).
Banyaknya bilangan bulat dari \( 4 \) sampai \( 16 \) adalah:
\( 16 - 4 + 1 = 13 \).
Benar.
(4) “Jika \( x = 10 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki.”
Jika \( x = 10 \), maka sisi-sisinya \( 7 \), \( 10 \), \( 10 \).
Ada dua sisi yang sama panjang, yaitu \( 10 \) dan \( 10 \). Ini memenuhi definisi segitiga sama kaki.
(Cek syarat segitiga juga: \( 7 + 10 \gt 10 \) yaitu \( 17 \gt 10 \), benar).
Benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (2), (3), dan (4).
Namun pilihan jawaban yang tersedia tidak memuat kombinasi (2), (3), dan (4).
Jadi berdasarkan perhitungan, jawaban yang benar tidak tersedia pada pilihan A–E yang diberikan.
Jawaban seharusnya: (2), (3), dan (4)
No 7
Pada sebuah jajargenjang \( ABCD \), ditarik sebuah garis diagonal \( AC \) sehingga membentuk dua buah segitiga, yaitu \( \triangle ABC \) dan \( \triangle ADC \).
(1) \( \triangle ABC \) dan \( \triangle ADC \) adalah kongruen.
(2) Panjang \( AB \) sama dengan panjang \( CD \).
(3) Besar \( \angle ABC \) sama dengan besar \( \angle ADC \).
(4) Diagonal \( AC \) membagi jajargenjang menjadi dua daerah dengan luas yang sama.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Sifat-sifat jajargenjang (materi SMA)
Pada jajargenjang berlaku:
\( AB = CD \),
\( BC = AD \),
dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Selain itu, jika ditarik diagonal, maka diagonal tersebut membagi jajargenjang menjadi dua segitiga yang kongruen.
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
Perhatikan \( \triangle ABC \) dan \( \triangle ADC \).
Diketahui:
\( AB = CD \),
\( BC = AD \),
dan \( AC \) adalah sisi yang sama (sisi persekutuan).
Maka berdasarkan kriteria SSS (Sisi-Sisi-Sisi), kedua segitiga kongruen.
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2)
Pada jajargenjang berlaku sifat:
\( AB = CD \).
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (3)
Pada jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Maka:
\( \angle ABC = \angle ADC \).
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Karena kedua segitiga kongruen, maka luasnya sama.
Jadi diagonal \( AC \) membagi jajargenjang menjadi dua daerah dengan luas yang sama.
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan: Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 8
Diketahui tiga buah panjang sisi adalah \( 4 \) cm, \( 7 \) cm, dan \( k \) cm.
(1) Agar terbentuk segitiga lancip, \( k \) harus memenuhi \( k^2 \lt 4^2 + 7^2 \) (untuk \( k \) sisi terpanjang).
(2) Jika \( k = 9 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
(3) Jika \( k = 8 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
(4) Nilai \( k = 3 \) tidak dapat membentuk segitiga.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Syarat segitiga
Untuk membentuk segitiga berlaku:
\( |a-b| \lt c \lt a+b \).
Dengan sisi \( 4 \), \( 7 \), dan \( k \), maka:
\( |4-7| \lt k \lt 4+7 \).
\( 3 \lt k \lt 11 \).
Jadi agar terbentuk segitiga, \( k \) harus lebih dari \( 3 \) dan kurang dari \( 11 \).
Langkah 2: Jenis segitiga berdasarkan Teorema Pythagoras
Jika sisi terpanjang \( c \), maka:
Segitiga lancip: \( c^2 \lt a^2 + b^2 \)
Segitiga siku-siku: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
Segitiga tumpul: \( c^2 \gt a^2 + b^2 \)
Hitung: \( 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65 \).
Periksa (1)
Jika \( k \) adalah sisi terpanjang, maka agar segitiga lancip harus memenuhi:
\( k^2 \lt 4^2 + 7^2 \).
Ini sesuai teori segitiga lancip.
(1) benar.
Periksa (2)
Jika \( k = 9 \), maka sisi terpanjang adalah \( 9 \).
Hitung:
\( 9^2 = 81 \).
Karena \( 81 \gt 65 \), maka segitiga tumpul.
(2) benar.
Periksa (3)
Jika \( k = 8 \), maka sisi terpanjang adalah \( 8 \).
Hitung:
\( 8^2 = 64 \).
Karena \( 64 \lt 65 \), maka segitiga lancip, bukan tumpul.
(3) salah.
Periksa (4)
Dari syarat segitiga:
\( 3 \lt k \).
Jika \( k = 3 \), maka tidak memenuhi \( 3 \lt k \).
Jadi tidak dapat membentuk segitiga.
(4) benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).
Namun kombinasi tersebut tidak tersedia pada pilihan jawaban.
Jawaban seharusnya: (1), (2), dan (4)
No 9
Jika \( 2k \), \( 3k \), dan \( 5k \) adalah besar sudut-sudut dalam sebuah segitiga, dan \( m \) adalah sepertiga dari besar sudut lurus \( (180^\circ) \).
(1) Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
(2) Nilai \( m \gt 3k \).
(3) Sudut terkecil segitiga tersebut adalah \( 36^\circ \).
(4) Hasil dari \( m + k = 80^\circ \).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Gunakan jumlah sudut segitiga
Jumlah sudut dalam segitiga adalah \( 180^\circ \).
Maka:
\( 2k + 3k + 5k = 180^\circ \).
Gabungkan:
\( 10k = 180^\circ \).
Sehingga:
\( k = 18^\circ \).
Maka besar sudut-sudut segitiga:
\( 2k = 36^\circ \),
\( 3k = 54^\circ \),
\( 5k = 90^\circ \).
Langkah 2: Tentukan nilai \( m \)
Sudut lurus adalah \( 180^\circ \).
Karena \( m \) adalah sepertiganya:
\( m = \frac{1}{3}\times 180^\circ = 60^\circ \).
Langkah 3: Periksa tiap pernyataan
(1) Ada sudut \( 90^\circ \), maka segitiga tersebut siku-siku.
Benar.
(2) Bandingkan \( m \) dan \( 3k \).
\( m = 60^\circ \) dan \( 3k = 54^\circ \).
Karena \( 60^\circ \gt 54^\circ \), maka benar.
Benar.
(3) Sudut terkecil adalah \( 36^\circ \).
Benar, karena dari \( 36^\circ \), \( 54^\circ \), dan \( 90^\circ \), yang terkecil adalah \( 36^\circ \).
Benar.
(4) Hitung \( m + k \).
\( m + k = 60^\circ + 18^\circ = 78^\circ \), bukan \( 80^\circ \).
Salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 10
Dua buah segitiga, \( \triangle PQR \) dan \( \triangle PST \), saling berhimpit di titik \( P \) dengan \( ST \) sejajar \( QR \). Jika \( PS = 3 \) cm, \( PQ = 9 \) cm, dan \( ST = 5 \) cm.
(1) Faktor skala (perbandingan) antara \( \triangle PST \) dan \( \triangle PQR \) adalah \( 1 : 3 \).
(2) Panjang \( QR = 15 \) cm.
(3) Jika \( PR = 12 \) cm, maka panjang \( PT = 4 \) cm.
(4) \( \triangle PST \) dan \( \triangle PQR \) adalah kongruen (sama dan sebangun).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Gunakan konsep kesebangunan
Karena \( ST \) sejajar \( QR \), maka berlaku Teorema Perbandingan pada segitiga:
\( \triangle PST \sim \triangle PQR \).
Perbandingan sisi yang bersesuaian: \( \frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR} = \frac{ST}{QR} \).
Diketahui:
\( PS = 3 \) dan \( PQ = 9 \).
Maka:
\( \frac{PS}{PQ} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
Jadi faktor skala dari \( \triangle PST \) terhadap \( \triangle PQR \) adalah \( 1 : 3 \).
(1) benar.
Langkah 2: Mencari \( QR \)
Gunakan:
\( \frac{ST}{QR} = \frac{1}{3} \).
Karena \( ST = 5 \), maka:
\( \frac{5}{QR} = \frac{1}{3} \).
Kalikan silang:
\( 5 \times 3 = QR \).
Sehingga:
\( QR = 15 \) cm.
(2) benar.
Langkah 3: Jika \( PR = 12 \)
Gunakan:
\( \frac{PT}{PR} = \frac{1}{3} \).
Maka:
\( PT = \frac{1}{3} \times 12 = 4 \) cm.
(3) benar.
Langkah 4: Memeriksa kongruensi
Karena faktor skalanya \( 1 : 3 \), maka kedua segitiga hanya sebangun, bukan kongruen.
Kongruen harus memiliki perbandingan \( 1 : 1 \).
(4) salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 11
Diberikan empat buah lidi dengan panjang masing-masing \( 2 \) cm, \( 5 \) cm, \( 7 \) cm, dan \( 10 \) cm. Jika kita memilih \( 3 \) lidi secara acak untuk membuat segitiga:
(1) Kombinasi \( \{2,5,7\} \) dapat membentuk segitiga.
(2) Kombinasi \( \{5,7,10\} \) dapat membentuk segitiga.
(3) Ada \( 4 \) variasi segitiga berbeda yang dapat dibentuk dari keempat lidi tersebut.
(4) Hanya ada \( 1 \) variasi segitiga yang mungkin dibentuk.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Syarat terbentuk segitiga (materi SMA)
Jika tiga sisi adalah \( a \), \( b \), \( c \) dengan \( c \) sisi terpanjang, maka syarat segitiga:
\( a + b \gt c \).
Dari \( 4 \) lidi \( \{2,5,7,10\} \), banyak cara memilih \( 3 \) lidi adalah:
\( \binom{4}{3} = 4 \).
Jadi ada \( 4 \) kombinasi yang mungkin:
\( \{2,5,7\} \), \( \{2,5,10\} \), \( \{2,7,10\} \), \( \{5,7,10\} \).
Langkah 2: Periksa kombinasi satu per satu
Kombinasi \( \{2,5,7\} \)
Sisi terpanjang \( 7 \). Cek:
\( 2 + 5 \gt 7 \) yaitu \( 7 \gt 7 \) (salah, karena harus lebih besar).
Jadi kombinasi ini tidak membentuk segitiga.
Pernyataan (1) salah.
Kombinasi \( \{5,7,10\} \)
Sisi terpanjang \( 10 \). Cek:
\( 5 + 7 \gt 10 \) yaitu \( 12 \gt 10 \) (benar).
Jadi kombinasi ini dapat membentuk segitiga.
Pernyataan (2) benar.
Kombinasi \( \{2,5,10\} \)
Sisi terpanjang \( 10 \). Cek:
\( 2 + 5 \gt 10 \) yaitu \( 7 \gt 10 \) (salah).
Tidak membentuk segitiga.
Kombinasi \( \{2,7,10\} \)
Sisi terpanjang \( 10 \). Cek:
\( 2 + 7 \gt 10 \) yaitu \( 9 \gt 10 \) (salah).
Tidak membentuk segitiga.
Langkah 3: Menentukan jumlah variasi segitiga yang bisa dibentuk
Dari \( 4 \) kombinasi, yang berhasil membentuk segitiga hanya \( \{5,7,10\} \).
Jadi hanya ada \( 1 \) variasi segitiga yang dapat terbentuk.
Maka:
(3) “Ada \( 4 \) variasi segitiga berbeda” adalah salah.
(4) “Hanya ada \( 1 \) variasi segitiga” adalah benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).
Jadi jawaban yang sesuai adalah C.
Jawaban: C
No 12
Tiga buah lidi memiliki panjang \( a \), \( b \), dan \( c \). Manakah kombinasi berikut yang dapat membentuk sebuah segitiga?
(1) \( a = 5 \), \( b = 12 \), \( c = 13 \)
(2) \( a = 6 \), \( b = 6 \), \( c = 12 \)
(3) \( a = 8 \), \( b = 15 \), \( c = 17 \)
(4) \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 6 \)
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Gunakan syarat segitiga (materi SMA)
Jika tiga sisi adalah \( a \), \( b \), dan \( c \), maka harus memenuhi:
\( a + b \gt c \),
\( a + c \gt b \),
dan \( b + c \gt a \).
Periksa (1): \( 5, 12, 13 \)
Cek:
\( 5 + 12 \gt 13 \) yaitu \( 17 \gt 13 \) (benar).
\( 5 + 13 \gt 12 \) yaitu \( 18 \gt 12 \) (benar).
\( 12 + 13 \gt 5 \) yaitu \( 25 \gt 5 \) (benar).
Dapat membentuk segitiga.
(1) benar.
Periksa (2): \( 6, 6, 12 \)
Cek:
\( 6 + 6 \gt 12 \) yaitu \( 12 \gt 12 \) (salah, karena harus lebih besar).
Tidak membentuk segitiga.
(2) salah.
Periksa (3): \( 8, 15, 17 \)
Cek:
\( 8 + 15 \gt 17 \) yaitu \( 23 \gt 17 \) (benar).
\( 8 + 17 \gt 15 \) yaitu \( 25 \gt 15 \) (benar).
\( 15 + 17 \gt 8 \) yaitu \( 32 \gt 8 \) (benar).
Dapat membentuk segitiga.
(3) benar.
Periksa (4): \( 2, 3, 6 \)
Cek:
\( 2 + 3 \gt 6 \) yaitu \( 5 \gt 6 \) (salah).
Tidak membentuk segitiga.
(4) salah.
Kesimpulan: Kombinasi yang dapat membentuk segitiga adalah (1) dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah B.
Jawaban: B
No 13
Sebuah tiang yang tingginya \( 2 \) meter memiliki bayangan sepanjang \( 3 \) meter. Pada saat yang sama, sebuah pohon memiliki bayangan sepanjang \( 12 \) meter.
(1) Tinggi pohon tersebut adalah \( 8 \) meter.
(2) Perbandingan antara tinggi benda dan bayangannya adalah \( 2 : 3 \).
(3) Masalah ini dapat diselesaikan dengan prinsip kesebangunan segitiga.
(4) Jika tinggi tiang menjadi \( 4 \) meter, maka bayangannya menjadi \( 9 \) meter.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Ide utama (materi SMA)
Pada saat yang sama, sinar matahari membentuk sudut yang sama terhadap tanah.
Maka segitiga yang terbentuk oleh (tinggi benda) dan (panjang bayangan) adalah segitiga-segitiga yang sebangun.
Artinya perbandingan: \( \frac{\text{tinggi}}{\text{bayangan}} \) adalah tetap untuk semua benda pada saat itu.
Langkah 2: Tentukan perbandingan dari data tiang
Tinggi tiang \( = 2 \) dan bayangan \( = 3 \), sehingga:
\( \frac{2}{3} \).
Ini berarti perbandingan tinggi : bayangan adalah \( 2 : 3 \).
(2) benar.
Langkah 3: Hitung tinggi pohon
Bayangan pohon \( = 12 \). Karena:
\( \frac{\text{tinggi pohon}}{12} = \frac{2}{3} \),
maka:
\( \text{tinggi pohon} = 12 \times \frac{2}{3} \).
Hitung:
\( 12 \times \frac{2}{3} = 4 \times 2 = 8 \).
Jadi tinggi pohon \( 8 \) meter.
(1) benar.
Langkah 4: Prinsip yang digunakan
Penyelesaian di atas menggunakan kesebangunan segitiga karena sudut datang sinar matahari sama, sehingga segitiga-segitiga sebangun.
(3) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (4)
Jika tinggi tiang menjadi \( 4 \), dengan kondisi matahari sama, perbandingan tetap:
\( \frac{4}{\text{bayangan}} = \frac{2}{3} \).
Maka:
\( \text{bayangan} = 4 \times \frac{3}{2} = 2 \times 3 = 6 \).
Jadi bayangan seharusnya \( 6 \) meter, bukan \( 9 \) meter.
(4) salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 14
Pada segitiga \( ABC \), terdapat garis \( DE \) yang sejajar dengan \( BC \) (titik \( D \) pada \( AB \) dan titik \( E \) pada \( AC \)). Diketahui panjang \( AD = 4 \) cm, \( DB = 6 \) cm, dan \( DE = 8 \) cm.
(1) Segitiga \( ADE \) sebangun dengan segitiga \( ABC \).
(2) Perbandingan sisi \( AD : AB \) adalah \( 2 : 5 \).
(3) Panjang sisi \( BC \) adalah \( 20 \) cm.
(4) Perbandingan luas segitiga \( ADE \) dan segitiga \( ABC \) adalah \( 4 : 25 \).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Konsep kesebangunan
Karena \( DE \) sejajar \( BC \), maka berlaku Teorema Thales.
Artinya:
\( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
(1) benar.
Langkah 2: Hitung panjang \( AB \)
Diketahui:
\( AD = 4 \) dan \( DB = 6 \).
Maka:
\( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \).
Perbandingan:
\( AD : AB = 4 : 10 = 2 : 5 \).
(2) benar.
Langkah 3: Gunakan perbandingan sisi sebangun
Karena sebangun:
\( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \).
Substitusi: \( \frac{4}{10} = \frac{8}{BC} \).
Sederhanakan: \( \frac{2}{5} = \frac{8}{BC} \).
Kalikan silang:
\( 2 \times BC = 5 \times 8 \).
\( 2BC = 40 \).
\( BC = 20 \) cm.
(3) benar.
Langkah 4: Perbandingan luas segitiga
Pada segitiga sebangun, perbandingan luas adalah kuadrat perbandingan sisi.
Perbandingan sisi kecil terhadap besar: \( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5} \).
Maka perbandingan luas: \( \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \).
Jadi luas \( \triangle ADE : \triangle ABC = 4 : 25 \).
(4) benar.
Kesimpulan: Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 15
Pada segitiga siku-siku \( PQR \), besar \( \angle P = 90^\circ \) dan \( \angle Q = 30^\circ \). Jika panjang sisi di depan sudut \( 30^\circ \) (\( PR \)) adalah \( 5 \) cm.
(1) Panjang hipotenusa (\( QR \)) adalah \( 10 \) cm.
(2) Panjang sisi \( PQ \) adalah \( 5\sqrt{3} \) cm.
(3) Perbandingan sisi \( PR : PQ : QR \) adalah \( 1 : \sqrt{3} : 2 \).
(4) Keliling segitiga tersebut adalah \( 15 \) cm.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Gunakan sifat segitiga \( 30^\circ \)–\( 60^\circ \)–\( 90^\circ \) (materi SMA)
Pada segitiga siku-siku dengan sudut \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \), berlaku perbandingan sisi:
\( 1 : \sqrt{3} : 2 \), yaitu:
sisi di depan \( 30^\circ \) : sisi di depan \( 60^\circ \) : hipotenusa \( = 1 : \sqrt{3} : 2 \).
Pada soal, sisi di depan sudut \( 30^\circ \) adalah \( PR = 5 \), jadi “\( 1 \)” pada perbandingan menjadi \( 5 \).
Maka:
\( PR = 5 \),
\( PQ = 5\sqrt{3} \),
\( QR = 10 \).
Langkah 2: Periksa tiap pernyataan
(1) Hipotenusa \( QR = 10 \) cm.
Dari hasil di atas, \( QR = 10 \).
Benar.
(2) \( PQ = 5\sqrt{3} \) cm.
Dari hasil di atas, \( PQ = 5\sqrt{3} \).
Benar.
(3) Perbandingan \( PR : PQ : QR = 1 : \sqrt{3} : 2 \).
Secara bentuk perbandingan segitiga \( 30^\circ \)–\( 60^\circ \)–\( 90^\circ \) memang demikian.
(Jika dibagi \( 5 \): \( 5 : 5\sqrt{3} : 10 = 1 : \sqrt{3} : 2 \)).
Benar.
(4) Keliling segitiga adalah \( 15 \) cm.
Keliling:
\( PR + PQ + QR = 5 + 5\sqrt{3} + 10 = 15 + 5\sqrt{3} \).
Karena \( 5\sqrt{3} \neq 0 \), maka keliling bukan \( 15 \) cm.
Salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 16
Diketahui \( x \) adalah sepertiga dari sudut siku-siku, dan \( y \) adalah sudut terkecil dari sebuah segitiga siku-siku sama kaki.
(1) \( x = 30^\circ \).
(2) \( y = 45^\circ \).
(3) \( x \lt y \).
(4) \( x + y = 75^\circ \).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Menentukan nilai \( x \)
Sudut siku-siku besarnya \( 90^\circ \).
Karena \( x \) adalah sepertiga dari sudut siku-siku, maka:
\( x = \frac{1}{3}\times 90^\circ \).
Hitung:
\( x = 30^\circ \).
Jadi (1) benar.
Langkah 2: Menentukan nilai \( y \)
Segitiga siku-siku sama kaki memiliki satu sudut \( 90^\circ \), dan dua sudut lainnya sama besar.
Jumlah sudut segitiga adalah \( 180^\circ \), maka:
\( 90^\circ + y + y = 180^\circ \).
Maka:
\( 2y = 90^\circ \) sehingga:
\( y = 45^\circ \).
Jadi (2) benar.
Langkah 3: Bandingkan \( x \) dan \( y \)
\( x = 30^\circ \) dan \( y = 45^\circ \).
Karena \( 30^\circ \lt 45^\circ \), maka:
\( x \lt y \).
Jadi (3) benar.
Langkah 4: Hitung \( x + y \)
\( x + y = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \).
Jadi (4) benar.
Kesimpulan: Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Maka jawaban yang tepat adalah E.
Jawaban: E
No 17
Manakah di bawah ini yang merupakan syarat cukup untuk membuktikan bahwa dua buah segitiga pasti kongruen?
(1) Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (Sudut-Sudut-Sudut).
(2) Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (Sisi-Sisi-Sisi).
(3) Dua sisi sama panjang dan satu sudut di depan salah satu sisi tersebut sama besar (Sisi-Sisi-Sudut).
(4) Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar (Sisi-Sudut-Sisi).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Pahami arti kongruen
Dua segitiga kongruen berarti bentuk dan ukurannya sama persis.
Semua sisi dan sudut yang bersesuaian sama besar.
Langkah 2: Analisis tiap pernyataan
(1) Sudut-Sudut-Sudut (SSS sudut atau AAA).
Jika hanya tiga sudut yang sama besar, maka segitiga hanya sebangun, belum tentu sama ukuran.
Jadi belum tentu kongruen.
(1) salah.
(2) Sisi-Sisi-Sisi (SSS).
Jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang, maka segitiga pasti kongruen.
Ini adalah syarat cukup yang benar.
(2) benar.
(3) Sisi-Sisi-Sudut (SSA).
Jika dua sisi dan satu sudut yang tidak diapit diketahui sama, belum tentu kongruen.
Ini dikenal sebagai kasus ambigu (bisa terbentuk dua segitiga berbeda).
(3) salah.
(4) Sisi-Sudut-Sisi (SAS).
Jika dua sisi dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama, maka segitiga pasti kongruen.
(4) benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).
Maka jawaban yang tepat adalah C.
Jawaban: C
No 18
Jika \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dengan perbandingan \( 1 : 2 : 2 \), dan \( d \) adalah besar sudut dalam sebuah persegi.
(1) Segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki.
(2) \( c = 72^\circ \).
(3) Sudut terbesar segitiga tersebut adalah sudut tumpul.
(4) \( a + d = 126^\circ \).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Menentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \)
Karena perbandingan \( a : b : c = 1 : 2 : 2 \), misalkan:
\( a = x \), \( b = 2x \), dan \( c = 2x \).
Jumlah sudut segitiga adalah \( 180^\circ \), maka:
\( a + b + c = 180^\circ \).
Substitusi:
\( x + 2x + 2x = 180^\circ \).
\( 5x = 180^\circ \).
\( x = 36^\circ \).
Jadi: \( a = 36^\circ \), \( b = 72^\circ \), dan \( c = 72^\circ \).
Langkah 2: Menentukan nilai \( d \)
Sudut dalam persegi adalah \( 90^\circ \), sehingga:
\( d = 90^\circ \).
Langkah 3: Periksa tiap pernyataan
(1) Segitiga sama kaki jika ada dua sudut sama besar.
Karena \( b = 72^\circ \) dan \( c = 72^\circ \), maka segitiga tersebut sama kaki.
(1) benar.
(2) \( c = 72^\circ \).
Dari hasil perhitungan, \( c = 72^\circ \).
(2) benar.
(3) Sudut terbesar adalah \( 72^\circ \).
Sudut tumpul adalah sudut yang \( \gt 90^\circ \).
Karena \( 72^\circ \lt 90^\circ \), maka sudut terbesar bukan tumpul, tetapi lancip.
(3) salah.
(4) \( a + d = 126^\circ \).
\( a + d = 36^\circ + 90^\circ = 126^\circ \).
(4) benar.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).
Namun kombinasi tersebut tidak tersedia pada pilihan jawaban.
Jawaban seharusnya: (1), (2), dan (4)
No 19
Sebuah persegi memiliki panjang sisi \( 10 \) cm. Jika ditarik garis diagonal yang membagi persegi tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku sama kaki.
(1) Panjang diagonal persegi tersebut adalah \( 10\sqrt{2} \) cm.
(2) Sudut-sudut selain sudut siku-siku adalah \( 45^\circ \).
(3) Perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut adalah \( 1 : 1 : \sqrt{2} \).
(4) Luas salah satu segitiga tersebut adalah \( 100 \) cm\( ^2 \).
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Panjang diagonal persegi
Diagonal persegi adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku dengan kaki-kaki \( 10 \) dan \( 10 \).
Gunakan Teorema Pythagoras:
\( d^2 = 10^2 + 10^2 \).
\( d^2 = 100 + 100 = 200 \) sehingga:
\( d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).
Jadi (1) benar.
Langkah 2: Sudut pada segitiga
Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga dua sudut lancipnya sama besar dan jumlahnya \( 90^\circ \).
Maka masing-masing:
\( \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
Jadi (2) benar.
Langkah 3: Perbandingan sisi segitiga siku-siku sama kaki
Pada segitiga \( 45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ \), perbandingan sisi adalah:
\( 1 : 1 : \sqrt{2} \).
Jadi (3) benar.
Langkah 4: Luas salah satu segitiga
Luas persegi:
\( L_{\text{persegi}} = 10 \times 10 = 100 \) cm\( ^2 \).
Diagonal membagi persegi menjadi dua segitiga yang luasnya sama, sehingga luas satu segitiga:
\( \frac{100}{2} = 50 \) cm\( ^2 \).
Jadi pernyataan luas \( 100 \) cm\( ^2 \) adalah salah.
(4) salah.
Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Maka jawaban yang tepat adalah A.
Jawaban: A
No 20
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi-sisi \( 5 \) cm, \( 12 \) cm, dan \( 13 \) cm.
(1) Keliling segitiga tersebut adalah \( 30 \) cm.
(2) Luas segitiga tersebut adalah \( 30 \) cm\( ^2 \).
(3) Tinggi segitiga jika alasnya menggunakan sisi terpanjang (\( 13 \) cm) adalah \( \frac{60}{13} \) cm.
(4) Jika setiap sisi diperpanjang menjadi dua kali lipat, maka luasnya menjadi empat kali lipat dari luas semula.
Tentukan pernyataan yang benar!
A. \( 1, 2, \) dan \( 3 \)
B. \( 1 \) dan \( 3 \)
C. \( 2 \) dan \( 4 \)
D. \( 4 \) saja
E. Semua benar
Jawaban dan Analisa (klik)
Langkah 1: Keliling segitiga
Keliling adalah jumlah seluruh sisi:
\( K = 5 + 12 + 13 = 30 \).
Jadi (1) benar.
Langkah 2: Luas segitiga siku-siku
Karena segitiga siku-siku, dua sisi yang tegak lurus adalah \( 5 \) dan \( 12 \).
Rumus luas:
\( L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \).
Maka:
\( L = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \).
Jadi (2) benar.
Langkah 3: Tinggi jika alas \( 13 \)
Gunakan rumus luas:
\( L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \).
Substitusi:
\( 30 = \frac{1}{2} \times 13 \times t \).
Sehingga:
\( 30 = \frac{13}{2} t \).
Kalikan kedua sisi dengan \( 2 \):
\( 60 = 13t \).
\( t = \frac{60}{13} \).
Jadi (3) benar.
Langkah 4: Perubahan skala
Jika setiap sisi menjadi dua kali lipat, maka faktor skala panjang adalah \( 2 \).
Luas berubah menurut kuadrat faktor skala:
\( 2^2 = 4 \).
Jadi luas menjadi empat kali lipat.
(4) benar.
Kesimpulan: Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Maka jawaban yang tepat adalah E.
Jawaban: E
No 21
Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah \( x \), \( x + 2 \), dan \( 10 \).
(1) Agar segitiga terbentuk, nilai \( x \) harus lebih besar dari \( 4 \).
(2) Jika \( x = 4 \), segitiga tersebut tidak mungkin terbentuk.
(3) Jika \( x = 6 \), keliling segitiga tersebut adalah \( 24 \).
(4) Jika \( x = 8 \), segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang dipakai: syarat segitiga (ketaksamaan segitiga). Agar tiga panjang dapat membentuk segitiga, jumlah dua sisi harus lebih besar dari sisi ketiga.
Sisi-sisi: \( x \), \( x + 2 \), \( 10 \). Maka syarat segitiga:
1) \( x + (x + 2) \gt 10 \) \(\Rightarrow 2x + 2 \gt 10 \) \(\Rightarrow 2x \gt 8 \) \(\Rightarrow x \gt 4 \).
2) \( x + 10 \gt x + 2 \) \(\Rightarrow 10 \gt 2 \) (selalu benar).
3) \( (x + 2) + 10 \gt x \) \(\Rightarrow x + 12 \gt x \) (selalu benar).
Jadi satu-satunya syarat yang menentukan bisa/tidaknya segitiga terbentuk adalah \( x \gt 4 \). (Selain itu panjang sisi juga harus positif, dan jika \( x \gt 4 \) otomatis positif.)
Uji tiap pernyataan:
(1) “Agar segitiga terbentuk, \( x \) harus \( \gt 4 \).” Ini benar, karena hasil syarat segitiga memberi \( x \gt 4 \).
(2) Jika \( x = 4 \), maka sisi-sisinya \( 4 \), \( 6 \), \( 10 \). Cek: \( 4 + 6 \gt 10 \) menjadi \( 10 \gt 10 \) (salah, karena sama). Ini berarti bentuknya degenerat (garis lurus), bukan segitiga. Jadi (2) benar.
(3) Jika \( x = 6 \), sisi-sisinya \( 6 \), \( 8 \), \( 10 \). Keliling \( = 6 + 8 + 10 = 24 \). Jadi (3) benar.
(4) Jika \( x = 8 \), sisi-sisinya \( 8 \), \( 10 \), \( 10 \). Ada dua sisi sama (\( 10 \) dan \( 10 \)), maka segitiga sama kaki. Selain itu segitiga juga valid karena \( 8 + 10 \gt 10 \) yaitu \( 18 \gt 10 \). Jadi (4) benar.
Karena (1), (2), (3), dan (4) semuanya benar, maka jawaban yang tepat adalah E. Semua benar.
No 22
Sebuah tangga yang panjangnya \( 5 \) meter disandarkan pada dinding tegak lurus. Jika jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah \( 3 \) meter.
(1) Tinggi dinding yang dicapai tangga adalah \( 4 \) meter.
(2) Luas daerah yang dibentuk tangga, dinding, dan lantai adalah \( 6 \) m2.
(3) Jika tangga digeser sehingga jarak bawahnya \( 4 \) meter dari dinding, maka tinggi dinding yang dicapai adalah \( 3 \) meter.
(4) Masalah ini tidak bisa diselesaikan dengan Teorema Pythagoras.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan: Teorema Pythagoras. Jika sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku \( a \) dan \( b \), serta sisi miring \( c \), maka berlaku: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Pada soal, tangga adalah sisi miring sepanjang \( 5 \) meter. Jarak kaki tangga ke dinding adalah \( 3 \) meter (alas). Tinggi yang dicapai kita misalkan \( t \).
Maka berlaku: \( 3^2 + t^2 = 5^2 \) \( 9 + t^2 = 25 \) \( t^2 = 16 \) \( t = 4 \).
Jadi tinggi yang dicapai adalah \( 4 \) meter.
Periksa tiap pernyataan:
(1) Tinggi yang dicapai \( = 4 \) meter. Hasil perhitungan menunjukkan \( t = 4 \). Jadi (1) benar.
(2) Luas segitiga siku-siku: \( \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \) \( = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \). Jadi luasnya \( 6 \) m2. Maka (2) benar.
(3) Jika jarak bawah \( 4 \) meter, misalkan tinggi \( h \). Maka: \( 4^2 + h^2 = 5^2 \) \( 16 + h^2 = 25 \) \( h^2 = 9 \) \( h = 3 \). Jadi tinggi yang dicapai \( 3 \) meter. Maka (3) benar.
(4) Justru soal ini diselesaikan dengan Teorema Pythagoras. Jadi pernyataan (4) salah.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Maka jawaban yang tepat adalah A.
No 23
Pada segitiga \( ABC \), besar sudut \( \angle A = 70^\circ \) dan \( \angle B = 50^\circ \).
(1) Sisi \( BC \) adalah sisi terpanjang.
(2) Sisi \( AC \) adalah sisi terpendek.
(3) Sisi \( AB \) lebih panjang daripada sisi \( AC \).
(4) Segitiga \( ABC \) adalah segitiga sama kaki.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan: (i) jumlah sudut dalam segitiga \( = 180^\circ \), (ii) hubungan sudut dengan panjang sisi: sisi yang berhadapan dengan sudut lebih besar adalah sisi yang lebih panjang.
Karena \( \angle A = 70^\circ \) dan \( \angle B = 50^\circ \), maka: \( \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ \).
Urutan besar sudut: \( \angle A = 70^\circ \gt \angle C = 60^\circ \gt \angle B = 50^\circ \).
Maka urutan panjang sisi (berdasarkan sisi yang berhadapan dengan sudut):
- Sudut terbesar \( \angle A \) berhadapan dengan sisi \( BC \) \(\Rightarrow\) \( BC \) paling panjang.
- Sudut terkecil \( \angle B \) berhadapan dengan sisi \( AC \) \(\Rightarrow\) \( AC \) paling pendek.
- Sudut \( \angle C \) berhadapan dengan sisi \( AB \) \(\Rightarrow\) \( AB \) berada di tengah.
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( BC \) sisi terpanjang. Benar, karena \( BC \) berhadapan dengan sudut terbesar \( 70^\circ \).
(2) \( AC \) sisi terpendek. Benar, karena \( AC \) berhadapan dengan sudut terkecil \( 50^\circ \).
(3) \( AB \) lebih panjang daripada \( AC \). Benar, karena \( AB \) berhadapan dengan \( 60^\circ \) dan \( AC \) berhadapan dengan \( 50^\circ \), sehingga \( AB \gt AC \).
(4) Segitiga sama kaki berarti ada dua sudut yang sama besar. Di sini \( 70^\circ \), \( 60^\circ \), dan \( 50^\circ \) semuanya berbeda, jadi tidak ada dua sudut yang sama. Maka (4) salah.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.
No 24
Dalam sebuah segitiga, besar sudut-sudutnya adalah \( 3x \), \( 5x \), dan \( 10x \). Diketahui \( y \) adalah hasil dari \( 180^\circ \) dikurangi sudut terbesar segitiga tersebut.
(1) Nilai \( x = 10^\circ \).
(2) Segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
(3) Sudut terkecil segitiga tersebut adalah \( 30^\circ \).
(4) \( y = 2x \).
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan: Jumlah sudut dalam segitiga adalah \( 180^\circ \).
Karena sudut-sudutnya \( 3x \), \( 5x \), dan \( 10x \), maka:
\( 3x + 5x + 10x = 180^\circ \)
\( 18x = 180^\circ \)
\( x = 10^\circ \).
Maka besar sudut-sudutnya:
\( 3x = 30^\circ \)
\( 5x = 50^\circ \)
\( 10x = 100^\circ \).
Sudut terbesar adalah \( 100^\circ \). Karena \( 100^\circ \gt 90^\circ \), maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
Nilai \( y \) adalah:
\( y = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( x = 10^\circ \). Benar.
(2) Segitiga tersebut segitiga tumpul. Benar, karena \( 100^\circ \gt 90^\circ \).
(3) Sudut terkecil adalah \( 30^\circ \). Benar, karena sudut-sudutnya \( 30^\circ \), \( 50^\circ \), dan \( 100^\circ \).
(4) \( y = 2x \). Karena \( y = 80^\circ \) dan \( 2x = 20^\circ \), maka \( y \neq 2x \). Jadi (4) salah.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.
No 25
Diketahui \( \triangle PQR \) adalah segitiga sama kaki dengan \( PQ = PR \). Garis \( PS \) adalah garis tinggi yang ditarik dari titik \( P \) ke dasar \( QR \).
(1) \( \triangle PQS \) kongruen dengan \( \triangle PRS \).
(2) Titik \( S \) terletak tepat di tengah-tengah garis \( QR \) (\( QS = SR \)).
(3) Garis \( PS \) juga berperan sebagai garis bagi (membagi \( \angle QPR \) menjadi dua sama besar).
(4) \( \triangle PQS \) dan \( \triangle PRS \) hanya sebangun, tetapi tidak kongruen.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Segitiga sama kaki memiliki dua sisi sama panjang.
(ii) Garis tinggi membentuk sudut siku-siku (\( 90^\circ \)).
(iii) Kriteria kongruensi segitiga (SAS, SSS, atau RHS pada segitiga siku-siku).
Diketahui \( PQ = PR \). Karena \( PS \) adalah garis tinggi, maka:
\( PS \perp QR \) sehingga \( \angle PSQ = 90^\circ \) dan \( \angle PSR = 90^\circ \).
Perhatikan dua segitiga:
\( \triangle PQS \) dan \( \triangle PRS \).
Pada kedua segitiga:
\( PQ = PR \) (diketahui)
\( PS = PS \) (sisi yang sama)
\( \angle PSQ = \angle PSR = 90^\circ \)
Jadi kedua segitiga kongruen menurut kriteria RHS (Right angle-Hypotenuse-Side).
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( \triangle PQS \) kongruen dengan \( \triangle PRS \). Benar, karena memenuhi syarat RHS.
(2) Karena kedua segitiga kongruen, maka sisi yang bersesuaian sama panjang, sehingga \( QS = SR \). Jadi titik \( S \) adalah titik tengah \( QR \). Pernyataan (2) benar.
(3) Karena kedua segitiga kongruen, maka sudut di puncak terbagi sama besar, sehingga \( \angle QPS = \angle SPR \). Artinya \( PS \) juga garis bagi sudut. Pernyataan (3) benar.
(4) Dikatakan hanya sebangun tetapi tidak kongruen. Ini salah, karena sudah terbukti kedua segitiga kongruen.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.
No 26
Sebuah segitiga memiliki keliling \( 20 \) cm dan panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat.
(1) Sisi terpanjang segitiga tersebut tidak boleh lebih dari atau sama dengan \( 10 \) cm.
(2) Panjang sisi \( \{2,9,9\} \) mungkin membentuk segitiga tersebut.
(3) Panjang sisi \( \{1,9,10\} \) mungkin membentuk segitiga tersebut.
(4) Segitiga tersebut bisa berupa segitiga sama sisi.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Keliling segitiga \( = a + b + c \).
(ii) Syarat segitiga: jumlah dua sisi harus lebih besar dari sisi ketiga.
Secara umum, jika sisi terpanjang adalah \( c \), maka harus berlaku:
\( a + b \gt c \).
Karena keliling \( = 20 \), maka: \( a + b + c = 20 \).
Misalkan \( c \) sisi terpanjang. Maka:
\( a + b = 20 - c \).
Syarat segitiga:
\( a + b \gt c \)
\( 20 - c \gt c \)
\( 20 \gt 2c \)
\( 10 \gt c \).
Jadi sisi terpanjang harus memenuhi \( c \lt 10 \). Artinya sisi terpanjang tidak boleh \( \ge 10 \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) Sisi terpanjang tidak boleh lebih dari atau sama dengan \( 10 \) cm. Benar, karena sudah diperoleh \( c \lt 10 \).
(2) \( \{2,9,9\} \). Keliling: \( 2 + 9 + 9 = 20 \). Cek syarat segitiga: \( 2 + 9 \gt 9 \Rightarrow 11 \gt 9 \) (benar). Jadi bisa membentuk segitiga. Pernyataan (2) benar.
(3) \( \{1,9,10\} \). Keliling: \( 1 + 9 + 10 = 20 \). Cek syarat segitiga: \( 1 + 9 \gt 10 \Rightarrow 10 \gt 10 \) (salah, karena sama). Jadi tidak membentuk segitiga. Pernyataan (3) salah.
(4) Segitiga sama sisi berarti semua sisi sama panjang. Jika keliling \( 20 \), maka tiap sisi: \( \frac{20}{3} \), bukan bilangan bulat. Karena syarat soal sisi-sisinya bilangan bulat, maka tidak mungkin sama sisi. Pernyataan (4) salah.
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (2). Namun pada pilihan jawaban yang tersedia, kombinasi tersebut tidak ada. Berdasarkan analisis matematika yang benar, hanya (1) dan (2) yang benar.
No 27
Dua buah sudut \( P \) dan \( Q \) saling berpelurus (suplemen) dengan perbandingan \( 7 : 3 \). Sementara itu, \( R \) adalah besar sudut sebuah segitiga sama sisi.
(1) Selisih sudut \( P \) dan \( Q \) adalah \( 72^\circ \).
(2) Sudut \( Q \) adalah sudut lancip.
(3) Nilai \( R \) sama dengan \( 60^\circ \).
(4) \( P \lt 2R \).
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Sudut berpelurus berarti jumlahnya \( 180^\circ \).
(ii) Sudut segitiga sama sisi adalah \( 60^\circ \).
Karena perbandingan \( 7 : 3 \), misalkan:
\( P = 7x \)
\( Q = 3x \)
Karena berpelurus:
\( 7x + 3x = 180^\circ \)
\( 10x = 180^\circ \)
\( x = 18^\circ \).
Maka:
\( P = 7x = 126^\circ \)
\( Q = 3x = 54^\circ \).
Karena \( R \) adalah sudut segitiga sama sisi, maka \( R = 60^\circ \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) Selisih \( P \) dan \( Q \):
\( 126^\circ - 54^\circ = 72^\circ \).
Benar.
(2) \( Q = 54^\circ \). Karena \( 54^\circ \lt 90^\circ \), maka sudut lancip. Benar.
(3) \( R = 60^\circ \). Benar.
(4) Periksa \( P \lt 2R \):
\( 2R = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)
\( P = 126^\circ \)
Karena \( 126^\circ \gt 120^\circ \), maka pernyataan salah.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.
No 28
Diketahui sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi \( s = 6 \) cm.
(1) Keliling segitiga tersebut adalah \( 18 \) cm.
(2) Tinggi segitiga tersebut adalah \( 3\sqrt{3} \) cm.
(3) Luas segitiga tersebut adalah \( 9\sqrt{3} \) cm2.
(4) Jika sisi segitiga tersebut dijadikan \( 12 \) cm, maka kelilingnya menjadi \( 36 \) cm.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Keliling segitiga sama sisi: \( K = 3s \).
(ii) Tinggi segitiga sama sisi: \( t = \frac{\sqrt{3}}{2}s \).
(iii) Luas segitiga: \( L = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \).
Diketahui \( s = 6 \).
Keliling:
\( K = 3s = 3 \times 6 = 18 \).
Tinggi:
\( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 \)
\( t = 3\sqrt{3} \).
Luas:
\( L = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} \)
\( L = 9\sqrt{3} \).
Jika sisi menjadi \( 12 \):
\( K = 3 \times 12 = 36 \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( 18 \) cm. Benar.
(2) \( 3\sqrt{3} \) cm. Benar.
(3) \( 9\sqrt{3} \) cm2. Benar.
(4) Keliling menjadi \( 36 \) cm. Benar.
Semua pernyataan benar. Jadi jawaban yang tepat adalah E.
No 29
Perhatikan pernyataan mengenai perubahan ukuran pada sebuah segitiga sembarang:
(1) Jika alas tetap dan tinggi dijadikan \( 2 \) kali lipat, maka luasnya menjadi \( 2 \) kali lipat.
(2) Jika semua sisi segitiga dikali \( 3 \), maka kelilingnya menjadi \( 3 \) kali lipat.
(3) Jika semua sisi segitiga dikali \( 3 \), maka luasnya menjadi \( 9 \) kali lipat.
(4) Dua buah segitiga yang memiliki luas yang sama pasti memiliki bentuk yang kongruen.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Rumus luas segitiga: \( L = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \).
(ii) Keliling: \( K = a + b + c \).
(iii) Jika semua panjang dikali \( k \), maka keliling dikali \( k \), dan luas dikali \( k^2 \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) Jika alas tetap dan tinggi menjadi \( 2 \) kali:
Luas awal \( L = \frac{1}{2} a t \).
Luas baru \( L' = \frac{1}{2} a (2t) = 2 \left( \frac{1}{2} a t \right) \).
Jadi luas menjadi \( 2 \) kali lipat.
Pernyataan benar.
(2) Jika semua sisi dikali \( 3 \):
\( K = a + b + c \).
\( K' = 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c) \).
Jadi keliling menjadi \( 3 \) kali lipat.
Pernyataan benar.
(3) Jika semua sisi dikali \( 3 \), maka faktor skala \( k = 3 \).
Luas berubah menjadi \( k^2 = 3^2 = 9 \) kali.
Jadi luas menjadi \( 9 \) kali lipat.
Pernyataan benar.
(4) Dua segitiga bisa memiliki luas yang sama tetapi bentuk berbeda.
Contoh: segitiga dengan alas besar dan tinggi kecil bisa sama luasnya dengan segitiga alas kecil dan tinggi besar.
Jadi tidak harus kongruen.
Pernyataan salah.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.
No 30
Dua buah segitiga, \( \triangle ABC \) dan \( \triangle DEF \), dinyatakan kongruen (\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)).
(1) Sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama panjang.
(2) Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama besar.
(3) Luas \( \triangle ABC \) pasti sama dengan luas \( \triangle DEF \).
(4) Keliling \( \triangle ABC \) pasti sama dengan keliling \( \triangle DEF \).
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan: Dua segitiga kongruen berarti bentuk dan ukurannya sama persis. Akibatnya, semua unsur yang bersesuaian pada kedua segitiga adalah sama.
Jika \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \), maka ada korespondensi titik:
\( A \leftrightarrow D \), \( B \leftrightarrow E \), \( C \leftrightarrow F \).
Sehingga sisi dan sudut yang bersesuaian sama.
Periksa tiap pernyataan:
(1) Sisi-sisi bersesuaian sama panjang. Benar, karena kongruen berarti ukuran sama, sehingga \( AB = DE \), \( BC = EF \), dan \( AC = DF \).
(2) Sudut-sudut bersesuaian sama besar. Benar, sehingga \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \), dan \( \angle C = \angle F \).
(3) Luas kedua segitiga sama. Benar, karena segitiga kongruen memiliki ukuran identik sehingga luasnya sama.
(4) Keliling kedua segitiga sama.
Benar, karena keliling adalah jumlah sisi-sisi, dan setiap sisi bersesuaian sama panjang.
Jika \( K_{ABC} = AB + BC + AC \) dan \( K_{DEF} = DE + EF + DF \),
maka \( AB = DE \), \( BC = EF \), \( AC = DF \) sehingga \( K_{ABC} = K_{DEF} \).
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar. Jadi jawaban yang tepat adalah E.
No 31
Diketahui sebuah segitiga memiliki sisi sepanjang \( 5 \) cm dan \( 12 \) cm. Jika sisi ketiga adalah \( z \) (dalam cm dan merupakan bilangan bulat), tentukan pernyataan yang benar!
(1) Nilai \( z \) terkecil yang mungkin adalah \( 8 \).
(2) Nilai \( z \) terbesar yang mungkin adalah \( 17 \).
(3) Jika \( z = 13 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
(4) Ada \( 9 \) kemungkinan nilai \( z \) yang memenuhi.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Syarat segitiga: jumlah dua sisi harus lebih besar dari sisi ketiga.
(ii) Teorema Pythagoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Diketahui sisi \( 5 \), \( 12 \), dan \( z \).
Syarat segitiga:
\( 5 + 12 \gt z \Rightarrow 17 \gt z \)
\( 5 + z \gt 12 \Rightarrow z \gt 7 \)
\( 12 + z \gt 5 \) (selalu benar untuk \( z \gt 0 \)).
Jadi:
\( 7 \lt z \lt 17 \).
Karena \( z \) bilangan bulat, maka kemungkinan nilai:
\( z = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 \).
Jumlahnya ada \( 9 \) nilai.
Periksa tiap pernyataan:
(1) Nilai terkecil \( z \) adalah \( 8 \). Benar.
(2) Nilai terbesar \( z \) adalah \( 17 \). Salah, karena harus \( z \lt 17 \), jadi terbesar \( 16 \).
(3) Jika \( z = 13 \):
\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( 13^2 = 169 \)
Jadi memenuhi Teorema Pythagoras, maka segitiga siku-siku.
Benar.
(4) Ada \( 9 \) kemungkinan nilai \( z \). Benar.
Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4). Namun dari pilihan yang tersedia, yang paling mendekati adalah B.
No 32
Pada segitiga siku-siku \( ABC \) (siku-siku di \( A \)), ditarik garis tinggi \( AD \) ke sisi miring \( BC \). Diketahui \( BD = 4 \) cm dan \( CD = 9 \) cm.
(1) \( \triangle ABD \) sebangun dengan \( \triangle CAD \).
(2) Panjang \( AD \) adalah \( 6 \) cm.
(3) Panjang \( AB = \sqrt{52} \) cm.
(4) Luas \( \triangle ABC \) adalah \( 39 \) cm2.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Pada segitiga siku-siku, jika ditarik tinggi ke sisi miring, terbentuk tiga segitiga yang saling sebangun.
(ii) Rumus-rumus penting (akibat kesebangunan):
\( AD^2 = BD \cdot CD \),
\( AB^2 = BD \cdot BC \),
\( AC^2 = CD \cdot BC \).
Diketahui \( BD = 4 \) dan \( CD = 9 \), maka:
\( BC = BD + CD = 4 + 9 = 13 \).
Hitung \( AD \) dengan:
\( AD^2 = BD \cdot CD \)
\( AD^2 = 4 \cdot 9 = 36 \)
\( AD = 6 \).
Hitung \( AB \) dengan:
\( AB^2 = BD \cdot BC \)
\( AB^2 = 4 \cdot 13 = 52 \)
\( AB = \sqrt{52} \).
Hitung \( AC \) dengan:
\( AC^2 = CD \cdot BC \)
\( AC^2 = 9 \cdot 13 = 117 \)
\( AC = \sqrt{117} \).
Luas segitiga siku-siku \( ABC \):
\( L = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \)
\( L = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot \sqrt{117} \)
\( L = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6084} \).
Karena \( 6084 = 36 \cdot 169 \), maka:
\( \sqrt{6084} = \sqrt{36 \cdot 169} = 6 \cdot 13 = 78 \)
Jadi \( L = \frac{1}{2} \cdot 78 = 39 \).
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( \triangle ABD \) sebangun dengan \( \triangle CAD \). Benar, karena keduanya segitiga siku-siku di \( D \) dan masing-masing memiliki satu sudut lancip yang sama (akibat kesebangunan pada tinggi ke sisi miring).
(2) \( AD = 6 \). Benar, karena \( AD^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AD = 6 \).
(3) \( AB = \sqrt{52} \). Benar, karena \( AB^2 = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow AB = \sqrt{52} \).
(4) Luas \( \triangle ABC = 39 \) cm2. Benar, hasil perhitungan luas \( = 39 \).
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar. Jadi jawaban yang tepat adalah E.
No 33
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi \( 13 \) cm, \( 14 \) cm, dan \( 15 \) cm. Diketahui \( s \) adalah setengah dari keliling segitiga tersebut.
(1) Nilai \( s = 21 \) cm.
(2) Luas segitiga tersebut dapat dicari dengan rumus \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \).
(3) Luas segitiga tersebut adalah \( 84 \) cm2.
(4) Segitiga ini termasuk jenis segitiga tumpul.
Tentukan pernyataan yang benar!
Jawaban dan pembahasan (klik)
Konsep SMA yang digunakan:
(i) Keliling \( K = a + b + c \).
(ii) Setengah keliling \( s = \frac{K}{2} \).
(iii) Rumus Heron:
\( L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \).
(iv) Uji jenis segitiga dengan Teorema Pythagoras.
Hitung keliling:
\( K = 13 + 14 + 15 = 42 \).
Maka:
\( s = \frac{42}{2} = 21 \).
Hitung luas dengan Rumus Heron:
\( L = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \)
\( L = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \)
\( L = \sqrt{7056} \)
\( L = 84 \).
Uji jenis segitiga:
Sisi terpanjang \( = 15 \).
\( 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \)
\( 15^2 = 225 \).
Karena \( 365 \gt 225 \), maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip, bukan tumpul.
Periksa tiap pernyataan:
(1) \( s = 21 \). Benar.
(2) Luas dapat dicari dengan rumus \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \). Benar.
(3) Luas \( = 84 \) cm2. Benar.
(4) Segitiga tumpul. Salah, karena terbukti segitiga lancip.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). Jadi jawaban yang tepat adalah A.