No 1
Soal
Perhatikan belah ketupat berikut ini:
\(D(x_D,9)\), \(A(x_A,8)\), \(B(17,y_B)\), dan \(C(4,2)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_A+y_B+x_D=100\)
(2) Titik \(M\) adalah titik tengah belah ketupat. Lokasi \(M\) adalah \((2,3)\)
(3) Keliling belah ketupat tersebut adalah \(12\) satuan
(4) \(y_B=1\)
Pilihan Jawaban
A. \(1,2,3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. semua benar
Kunci Jawaban
D
Pembahasan (detail untuk pemula)
Ide utama: Belah ketupat adalah jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Diagonal jajargenjang saling membagi dua, sehingga titik tengah diagonal \(AC\) sama dengan titik tengah diagonal \(BD\).
1) Cari titik tengah diagonal \(AC\)
Rumus titik tengah dua titik \((x_1,y_1)\) dan \((x_2,y_2)\) adalah \( \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \).
Untuk \(A(x_A,8)\) dan \(C(4,2)\):
\(M_{AC}=\left(\frac{x_A+4}{2},\frac{8+2}{2}\right)=\left(\frac{x_A+4}{2},5\right)\).
2) Samakan dengan titik tengah diagonal \(BD\)
Untuk \(B(17,y_B)\) dan \(D(x_D,9)\):
\(M_{BD}=\left(\frac{17+x_D}{2},\frac{y_B+9}{2}\right)\).
Karena \(M_{AC}=M_{BD}\), maka komponen \(y\)-nya sama:
\(\frac{y_B+9}{2}=5\)
\(y_B+9=10\)
\(y_B=1\)
Jadi pernyataan (4) benar.
3) (Tambahan agar lengkap) Tentukan \(x_A\) dan \(x_D\) dari sifat belah ketupat
Dari komponen \(x\) titik tengah:
\(\frac{x_A+4}{2}=\frac{17+x_D}{2}\Rightarrow x_A+4=17+x_D\Rightarrow x_A-x_D=13\).
Karena belah ketupat: \(DA=AB\).
\(DA^2=(x_A-x_D)^2+(8-9)^2=13^2+1^2=170\).
\(AB^2=(17-x_A)^2+(1-8)^2=(17-x_A)^2+49\).
Samakan \(AB^2=DA^2\):
\((17-x_A)^2+49=170\Rightarrow (17-x_A)^2=121\Rightarrow 17-x_A=\pm 11\).
Maka \(x_A=6\) atau \(x_A=28\). Karena bilangan bulat positif dan \(x_D=x_A-13\),
Jika \(x_A=6\Rightarrow x_D=-7\) (tidak positif), jadi ditolak.
Ambil \(x_A=28\Rightarrow x_D=15\) (positif).
4) Uji pernyataan (1), (2), (3)
(1) \(x_A+y_B+x_D=28+1+15=44\), bukan \(100\). Jadi (1) salah.
(2) Titik tengah belah ketupat sama dengan titik tengah diagonal \(AC\):
\(M=\left(\frac{28+4}{2},5\right)=(16,5)\), bukan \((2,3)\). Jadi (2) salah.
(3) Sisi belah ketupat \(=\sqrt{DA^2}=\sqrt{170}\), maka keliling \(=4\sqrt{170}\), bukan \(12\). Jadi (3) salah.
Kesimpulan: Yang benar hanya pernyataan (4), sehingga jawabannya D.
No 2
Perhatikan layang-layang \(ABCD\) berikut ini:
\(A(5,10)\), \(B(2,6)\), \(C(5,2)\), dan \(D(x_D,6)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_D = 8\)
(2) Titik potong kedua diagonalnya (\(M\)) berada pada koordinat \( (5,6) \)
(3) Luas layang-layang \(ABCD\) adalah \(24\) satuan luas
(4) Panjang diagonal terpanjangnya adalah \(8\) satuan
Pilihan Jawaban:
A. Jika pernyataan (1), (2), dan (3) benar
B. Jika pernyataan (1) dan (3) benar
C. Jika pernyataan (2) dan (4) benar
D. Jika hanya pernyataan (4) yang benar
E. Jika semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan nilai \(x_D\)
Karena \(ABCD\) adalah layang-layang, maka dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang.
Pada gambar, titik \(A(5,10)\) dan \(C(5,2)\) memiliki absis sama, sehingga diagonal \(AC\) tegak lurus sumbu-x (garis vertikal).
Titik \(B(2,6)\) memiliki ordinat \(6\), maka agar simetris terhadap garis \(x=5\), maka:
\(x_D = 2 + 2(5-2)\)
\(x_D = 2 + 6\)
\(x_D = 8\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Titik potong diagonal
Diagonal \(AC\) dari \(A(5,10)\) ke \(C(5,2)\).
Titik tengahnya:
\(M = \left(\frac{5+5}{2}, \frac{10+2}{2}\right)\)
\(M = (5,6)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Menghitung panjang diagonal
Panjang \(AC\):
\(AC = \sqrt{(5-5)^2 + (10-2)^2}\)
\(AC = \sqrt{0 + 8^2}\)
\(AC = 8\)
Panjang \(BD\):
\(BD = \sqrt{(8-2)^2 + (6-6)^2}\)
\(BD = \sqrt{6^2}\)
\(BD = 6\)
Diagonal terpanjang adalah \(AC = 8\).
Pernyataan (4) benar.
Langkah 4: Menghitung luas layang-layang
Rumus luas layang-layang:
\(L = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)
\(L = \frac{1}{2} \times 8 \times 6\)
\(L = 24\)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 3
Perhatikan trapesium siku-siku \(ABCD\) berikut ini (\(AB\) sejajar \(DC\) dan siku-siku di \(A\)):
\(A(2,2)\), \(B(10,2)\), \(C(10,6)\), dan \(D(x_D,6)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Jika \(x_D = 5\), maka panjang sisi \(DC\) adalah \(5\) satuan
(2) Luas trapesium tersebut adalah \(26\) satuan luas (jika \(x_D = 5\))
(3) Tinggi trapesium tersebut adalah \(4\) satuan
(4) \(x_D = 2\) jika trapesium tersebut berbentuk persegi panjang
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Memahami posisi sisi-sisi trapesium dari koordinat
Titik \(A(2,2)\) dan \(B(10,2)\) punya ordinat sama, jadi \(AB\) adalah garis mendatar (sejajar sumbu-\(x\)).
Titik \(C(10,6)\) dan \(D(x_D,6)\) juga punya ordinat sama, jadi \(DC\) juga garis mendatar. Maka memang \(AB \parallel DC\).
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
Jika \(x_D = 5\), maka \(D(5,6)\) dan \(C(10,6)\). Karena \(DC\) mendatar, panjangnya adalah selisih absis:
\(DC = |10-5| = 5\)
Jadi pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (3) (tinggi trapesium)
Tinggi trapesium adalah jarak tegak lurus antara dua garis sejajar \(AB\) dan \(DC\). Karena \(AB\) berada pada \(y=2\) dan \(DC\) berada pada \(y=6\), maka:
\(t = |6-2| = 4\)
Jadi pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (2) (luas saat \(x_D = 5\))
Jika \(x_D = 5\), maka:
\(AB = |10-2| = 8\)
\(DC = 5\) (dari pernyataan (1))
Tinggi \(t = 4\) (dari pernyataan (3))
Rumus luas trapesium:
\(L = \frac{1}{2}(a+b)\,t\)
Substitusi \(a=AB=8\), \(b=DC=5\), \(t=4\):
\(L = \frac{1}{2}(8+5)\cdot 4\)
\(L = \frac{1}{2}\cdot 13 \cdot 4\)
\(L = 26\)
Jadi pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (4)
Trapesium siku-siku di \(A\) berarti \(AB \perp AD\). Karena \(AB\) mendatar (sejajar sumbu-\(x\)), maka \(AD\) harus tegak (sejajar sumbu-\(y\)).
Garis tegak dari \(A(2,2)\) memiliki absis tetap \(x=2\). Agar \(D(x_D,6)\) berada tepat di atas \(A\) secara tegak, harus berlaku:
\(x_D = 2\)
Jika \(x_D = 2\), maka \(D(2,6)\) dan \(A(2,2)\) membentuk sisi tegak, serta \(AB\) dan \(DC\) mendatar, sehingga bangun menjadi persegi panjang. Sebaliknya, jika bangun persegi panjang, pasti sisi \(AD\) tegak, sehingga absis \(D\) harus sama dengan absis \(A\), yaitu \(2\).
Jadi pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Pernyataan (1), (2), (3), dan (4) semuanya benar.
Jawaban: E
No 4
Perhatikan jajaran genjang \(ABCD\) berikut ini:
\(A(1,2)\), \(B(7,2)\), \(C(9,6)\), dan \(D(x_D,6)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_D = 3\)
(2) Titik \(M\) adalah titik potong diagonal \(AC\) dan \(BD\). Lokasi \(M\) adalah \( (5,4) \)
(3) Luas jajaran genjang tersebut adalah \(24\) satuan luas
(4) Keliling jajaran genjang tersebut adalah \(20\) satuan
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Menentukan \(D(x_D,6)\) agar \(ABCD\) jajaran genjang
Pada jajaran genjang dengan urutan titik \(A \to B \to C \to D\), berlaku hubungan vektor:
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) dan \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Cara cepat yang umum dipakai di SMA: koordinat titik keempat memenuhi
\(D = A + C - B\)
Hitung:
\(D = (1,2) + (9,6) - (7,2)\)
\(D = (1+9-7,\; 2+6-2)\)
\(D = (3,6)\)
Jadi \(x_D = 3\). Maka pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Memeriksa titik potong diagonal \(M\)
Sifat jajaran genjang: kedua diagonal saling membagi dua sama panjang, artinya titik potong diagonal adalah titik tengah masing-masing diagonal.
Titik tengah diagonal \(AC\):
\(M = \left(\frac{1+9}{2}, \frac{2+6}{2}\right)\)
\(M = (5,4)\)
Jadi pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Menghitung luas jajaran genjang
Karena \(A(1,2)\) dan \(B(7,2)\) punya ordinat sama, maka \(AB\) mendatar. Panjang alas:
\(AB = |7-1| = 6\)
Garis \(CD\) berada pada \(y=6\) (karena \(C(9,6)\) dan \(D(3,6)\)). Jadi tinggi terhadap alas \(AB\) adalah jarak vertikal dari \(y=2\) ke \(y=6\):
\(t = |6-2| = 4\)
Luas jajaran genjang:
\(L = a \cdot t\)
\(L = 6 \cdot 4\)
\(L = 24\)
Jadi pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Memeriksa keliling (pernyataan (4))
Keliling jajaran genjang:
\(K = 2(AB + BC)\)
Kita sudah dapat \(AB = 6\). Sekarang hitung \(BC\) dengan rumus jarak dua titik:
\(BC = \sqrt{(9-7)^2 + (6-2)^2}\)
\(BC = \sqrt{2^2 + 4^2}\)
\(BC = \sqrt{20}\)
\(BC = 2\sqrt{5}\)
Maka:
\(K = 2(6 + 2\sqrt{5})\)
\(K = 12 + 4\sqrt{5}\)
Nilai ini bukan \(20\), bahkan \(12 + 4\sqrt{5} \gt 20\).
Jadi pernyataan (4) salah.
Kesimpulan
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jawaban: A
No 5
Perhatikan belah ketupat \(ABCD\) berikut ini:
\(A(x_A,6)\), \(B(6,y_B)\), \(C(10,6)\), dan \(D(6,10)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_A + y_B = 4\)
(2) Titik \(M\) adalah pusat belah ketupat yang berlokasi di \( (6,6) \)
(3) Luas belah ketupat tersebut adalah \(16\) satuan luas
(4) \(y_B = 2\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat belah ketupat (semua sisi sama panjang)
Belah ketupat berarti:
\(AB = BC = CD = DA\)
Agar lebih mudah, kita bandingkan kuadrat panjang (supaya tidak ribet akar):
\(AB^2 = BC^2 = CD^2 = DA^2\)
Langkah 2: Hitung \(CD^2\) (ini sisi yang sudah lengkap koordinatnya)
\(C(10,6)\) dan \(D(6,10)\).
\(CD^2 = (10-6)^2 + (6-10)^2\)
\(CD^2 = 4^2 + (-4)^2\)
\(CD^2 = 16 + 16 = 32\)
Langkah 3: Tentukan \(y_B\) dari syarat \(BC^2 = CD^2\)
\(B(6,y_B)\) dan \(C(10,6)\).
\(BC^2 = (10-6)^2 + (6-y_B)^2\)
\(BC^2 = 16 + (6-y_B)^2\)
Karena \(BC^2 = CD^2\), maka:
\(16 + (6-y_B)^2 = 32\)
\((6-y_B)^2 = 16\)
\(6 - y_B = 4\) atau \(6 - y_B = -4\)
Maka \(y_B = 2\) atau \(y_B = 10\).
Karena \(D\) sudah \( (6,10)\), maka \(y_B = 10\) membuat \(B\) sama dengan \(D\) (tidak boleh). Jadi:
\(y_B = 2\)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 4: Tentukan \(x_A\) dari syarat \(DA^2 = CD^2\)
\(D(6,10)\) dan \(A(x_A,6)\).
\(DA^2 = (6-x_A)^2 + (10-6)^2\)
\(DA^2 = (6-x_A)^2 + 16\)
Karena \(DA^2 = CD^2\), maka:
\((6-x_A)^2 + 16 = 32\)
\((6-x_A)^2 = 16\)
\(6 - x_A = 4\) atau \(6 - x_A = -4\)
Maka \(x_A = 2\) atau \(x_A = 10\).
Karena \(C\) sudah \( (10,6)\), maka \(x_A = 10\) membuat \(A\) sama dengan \(C\) (tidak boleh). Jadi:
\(x_A = 2\)
Langkah 5: Cek pernyataan (1)
\(x_A + y_B = 2 + 2 = 4\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 6: Cek pernyataan (2) (pusat \(M\))
Pusat belah ketupat adalah titik potong diagonal, yaitu titik tengah kedua diagonal.
Diagonal \(AC\): \(A(2,6)\) dan \(C(10,6)\). Titik tengahnya:
\(M = \left(\frac{2+10}{2}, \frac{6+6}{2}\right)\)
\(M = (6,6)\)
Diagonal \(BD\): \(B(6,2)\) dan \(D(6,10)\). Titik tengahnya:
\(M = \left(\frac{6+6}{2}, \frac{2+10}{2}\right)\)
\(M = (6,6)\)
Jadi pernyataan (2) benar.
Langkah 7: Cek pernyataan (3) (luas)
Luas belah ketupat:
\(L = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
Panjang diagonal \(AC\):
\(AC = |10-2| = 8\)
Panjang diagonal \(BD\):
\(BD = |10-2| = 8\)
Maka:
\(L = \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 8\)
\(L = 32\)
Karena \(32 \gt 16\), maka pernyataan (3) salah.
Kesimpulan akhir
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).
Catatan penting: Di pilihan jawaban tidak ada opsi yang tepat untuk kombinasi (1), (2), dan (4).
Jika dipaksa memilih dari opsi yang tersedia, yang paling mendekati adalah C karena memuat (2) dan (4), tetapi tetap kurang karena (1) juga benar.
Jawaban sebenarnya: (1), (2), dan (4) benar (tidak tersedia di opsi).
No 6
Perhatikan persegi \( ABCD \) berikut ini:
\( A(2,2) \), \( B(x_B,2) \), \( C(6,y_C) \), dan \( D(2,6) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_B + y_C = 12 \)
(2) Titik \( M \) adalah titik pusat persegi. Lokasi \( M \) adalah \( (4,4) \)
(3) Luas persegi tersebut adalah \( 16 \) satuan luas
(4) \( y_C = 4 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 benar |
| B | 1 dan 3 benar |
| C | 2 dan 4 benar |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan panjang sisi persegi
Karena diketahui \( A(2,2) \) dan \( D(2,6) \), maka panjang sisi persegi adalah:
\( AD = 6 - 2 = 4 \)
Jadi panjang sisi persegi \( = 4 \).
Langkah 2: Menentukan koordinat titik B dan C
Karena persegi memiliki semua sisi sama panjang dan sejajar sumbu, maka:
Titik \( B \) memiliki koordinat \( (6,2) \)
Titik \( C \) memiliki koordinat \( (6,6) \)
Sehingga:
\( x_B = 6 \)
\( y_C = 6 \)
Langkah 3: Memeriksa Pernyataan (1)
\( x_B + y_C = 6 + 6 = 12 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Memeriksa Pernyataan (2)
Rumus titik tengah diagonal:
\( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
Gunakan titik \( A(2,2) \) dan \( C(6,6) \):
\( M = \left( \frac{2+6}{2} , \frac{2+6}{2} \right) \)
\( M = (4,4) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa Pernyataan (3)
Rumus luas persegi:
\( L = s^2 \)
\( L = 4^2 = 16 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 6: Memeriksa Pernyataan (4)
Dari hasil sebelumnya:
\( y_C = 6 \)
Bukan \( 4 \), sehingga pernyataan (4) salah.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jawaban: A
No 7
Perhatikan persegi panjang \( ABCD \) berikut ini:
\( A(2,3) \), \( B(10,3) \), \( C(10,y_C) \), dan \( D(x_D,8) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_D + y_C = 10 \)
(2) Titik \( M \) adalah titik tengah persegi panjang. Lokasi \( M \) adalah \( (6,5.5) \)
(3) Luas persegi panjang tersebut adalah \( 40 \) satuan luas
(4) \( y_C = 8 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan nilai \( y_C \) dan \( x_D \)
Karena bangun adalah persegi panjang, maka sisi atas sejajar sisi bawah.
Titik \( A(2,3) \) dan \( B(10,3) \) memiliki \( y = 3 \). Berarti sisi bawah berada pada garis \( y = 3 \).
Titik \( D(x_D,8) \) memiliki \( y = 8 \), sehingga sisi atas berada pada garis \( y = 8 \).
Karena \( C \) sejajar horizontal dengan \( D \), maka:
\( y_C = 8 \)
Selain itu, karena \( AD \) tegak lurus sumbu \( x \), maka koordinat \( D \) memiliki \( x \) yang sama dengan \( A \), sehingga:
\( x_D = 2 \)
Langkah 2: Memeriksa Pernyataan (1)
\( x_D + y_C = 2 + 8 = 10 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa Pernyataan (2)
Rumus titik tengah diagonal:
\( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
Gunakan titik \( A(2,3) \) dan \( C(10,8) \):
\( M = \left( \frac{2+10}{2} , \frac{3+8}{2} \right) \)
\( M = (6,5.5) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Memeriksa Pernyataan (3)
Panjang:
\( p = 10 - 2 = 8 \)
Lebar:
\( l = 8 - 3 = 5 \)
Rumus luas persegi panjang:
\( L = p \times l \)
\( L = 8 \times 5 = 40 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Memeriksa Pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( y_C = 8 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 8
Perhatikan segitiga siku-siku \(ABC\) yang siku-siku di titik \(A\):
\(A(2,2)\), \(B(x_B,2)\), dan \(C(2,8)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Jika panjang \(AB = 8\), maka \(x_B = 10\)
(2) Luas segitiga \(ABC\) adalah \(24\) satuan luas (dengan asumsi \(x_B = 10\))
(3) Titik tengah sisi miring \(BC\) adalah \( (6,5) \)
(4) Panjang sisi miring \(BC\) adalah \(10\) satuan
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Menentukan bentuk segitiga dari koordinat
Karena \(A(2,2)\) dan \(B(x_B,2)\) memiliki ordinat sama, maka \(AB\) adalah garis mendatar.
Karena \(A(2,2)\) dan \(C(2,8)\) memiliki absis sama, maka \(AC\) adalah garis tegak.
Garis mendatar tegak lurus garis tegak, sehingga sudut di \(A\) memang siku-siku.
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
Panjang \(AB\) (jarak mendatar) adalah:
\(AB = |x_B - 2|\)
Jika \(AB = 8\), maka:
\(|x_B - 2| = 8\)
Sehingga:
\(x_B - 2 = 8\) atau \(x_B - 2 = -8\)
\(x_B = 10\) atau \(x_B = -6\)
Pada soal, asumsi yang dipakai adalah \(x_B = 10\), jadi pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (2) (luas segitiga)
Jika \(x_B = 10\), maka:
\(AB = |10-2| = 8\)
Panjang \(AC\):
\(AC = |8-2| = 6\)
Luas segitiga siku-siku:
\(L = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC\)
\(L = \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6\)
\(L = 24\)
Jadi pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (3) (titik tengah \(BC\))
Jika \(x_B = 10\), maka \(B(10,2)\) dan \(C(2,8)\).
Titik tengah ruas \(BC\) adalah:
\(T = \left(\frac{10+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)
\(T = (6,5)\)
Jadi pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (4) (panjang \(BC\))
Panjang \(BC\) dengan rumus jarak dua titik:
\(BC = \sqrt{(10-2)^2 + (2-8)^2}\)
\(BC = \sqrt{8^2 + (-6)^2}\)
\(BC = \sqrt{64 + 36}\)
\(BC = \sqrt{100} = 10\)
Karena \(10 \gt 8\) dan \(10 \gt 6\), maka \(BC\) memang sisi terpanjang (sisi miring).
Jadi pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 9
Perhatikan layang-layang \(PQRS\) dengan diagonal horizontal \(PR\):
\(P(1,4)\), \(Q(4,y_Q)\), \(R(9,4)\), dan \(S(4,10)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(y_Q = -2\)
(2) Titik tengah diagonal \(PR\) adalah \( (5,4) \)
(3) Panjang diagonal \(QS\) adalah \(12\) satuan
(4) Luas layang-layang tersebut adalah \(48\) satuan luas
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat layang-layang
Pada layang-layang dengan diagonal utama \(PR\), diagonal tersebut menjadi sumbu simetri. Artinya titik \(Q\) dan \(S\) simetris terhadap garis \(PR\).
Karena \(P(1,4)\) dan \(R(9,4)\) memiliki ordinat sama, maka \(PR\) adalah garis horizontal \(y=4\).
Jika \(S(4,10)\), maka titik simetrinya terhadap garis \(y=4\) memiliki absis sama dan jarak vertikal sama.
Jarak vertikal \(S\) ke garis \(y=4\):
\(10 - 4 = 6\)
Maka koordinat \(Q\):
\(y_Q = 4 - 6\)
\(y_Q = -2\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Periksa pernyataan (2)
Titik tengah diagonal \(PR\):
\(M = \left(\frac{1+9}{2}, \frac{4+4}{2}\right)\)
\(M = (5,4)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Periksa panjang diagonal \(QS\)
\(Q(4,-2)\) dan \(S(4,10)\).
Karena absis sama, panjangnya adalah selisih ordinat:
\(QS = |10 - (-2)|\)
\(QS = 12\)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Hitung luas layang-layang
Rumus luas layang-layang:
\(L = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
Panjang \(PR\):
\(PR = |9-1| = 8\)
Panjang \(QS = 12\)
Maka:
\(L = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12\)
\(L = 48\)
Karena \(48 \gt 0\), maka luas memang \(48\).
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 10
Diberikan trapesium sama kaki \( PQRS \) dengan \( PQ \) sejajar \( SR \).
Koordinat titik-titiknya adalah:
\( P(2,1) \), \( Q(12,1) \), \( R(9,5) \), dan \( S(x_S,y_S) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_S = 5 \)
(2) Tinggi trapesium tersebut adalah \( 4 \) satuan
(3) Luas trapesium \( PQRS \) adalah \( 28 \) satuan luas
(4) \( y_S = 5 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan sifat sejajar
Karena \( PQ \) sejajar \( SR \), maka kedua garis memiliki gradien yang sama.
Titik \( P(2,1) \) dan \( Q(12,1) \) memiliki nilai \( y \) yang sama, yaitu \( 1 \).
Artinya \( PQ \) adalah garis horizontal.
Agar sejajar, maka \( SR \) juga harus horizontal.
Karena \( R(9,5) \), maka:
\( y_S = 5 \)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 2: Menentukan sifat sama kaki
Trapesium sama kaki berarti:
\( PS = QR \)
Hitung panjang \( QR \) menggunakan rumus jarak dua titik:
\( QR = \sqrt{(12-9)^2 + (1-5)^2} \)
\( QR = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \)
\( QR = \sqrt{9 + 16} \)
\( QR = \sqrt{25} = 5 \)
Karena \( PS = 5 \), gunakan rumus jarak:
\( PS = \sqrt{(x_S-2)^2 + (5-1)^2} \)
\( PS = \sqrt{(x_S-2)^2 + 4^2} \)
\( PS = \sqrt{(x_S-2)^2 + 16} \)
Karena \( PS = 5 \):
\( \sqrt{(x_S-2)^2 + 16} = 5 \)
Kuadratkan kedua ruas:
\( (x_S-2)^2 + 16 = 25 \)
\( (x_S-2)^2 = 9 \)
\( x_S-2 = 3 \) atau \( x_S-2 = -3 \)
\( x_S = 5 \) atau \( x_S = -1 \)
Agar membentuk trapesium yang sesuai posisi gambar (di kanan titik P), dipilih:
\( x_S = 5 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menentukan tinggi trapesium
Karena alas bawah berada di \( y = 1 \) dan alas atas di \( y = 5 \), maka:
Tinggi = \( 5 - 1 = 4 \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Menghitung luas trapesium
Rumus luas trapesium:
\( L = \frac{1}{2} (a + b) \times t \)
Panjang \( PQ = 12 - 2 = 10 \)
Panjang \( SR = 9 - 5 = 4 \)
Tinggi \( = 4 \)
\( L = \frac{1}{2} (10 + 4) \times 4 \)
\( L = \frac{1}{2} (14) \times 4 \)
\( L = 7 \times 4 = 28 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 11
Perhatikan jajaran genjang \(PQRS\) berikut ini:
\(P(2,1)\), \(Q(10,1)\), \(R(12,5)\), dan \(S(x_S,y_S)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_S + y_S = 9\)
(2) Titik tengah diagonal \(PR\) adalah \( (7,3) \)
(3) Luas jajaran genjang \(PQRS\) adalah \(32\) satuan luas
(4) \(y_S = 5\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Menentukan koordinat \(S\) pada jajaran genjang
Pada jajaran genjang berlaku hubungan vektor:
\(S = P + R - Q\)
Hitung:
\(S = (2,1) + (12,5) - (10,1)\)
\(S = (2+12-10,\; 1+5-1)\)
\(S = (4,5)\)
Jadi:
\(x_S = 4\) dan \(y_S = 5\)
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
\(x_S + y_S = 4 + 5 = 9\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2)
Titik tengah diagonal \(PR\):
\(M = \left(\frac{2+12}{2}, \frac{1+5}{2}\right)\)
\(M = (7,3)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Periksa luas jajaran genjang
Karena \(P(2,1)\) dan \(Q(10,1)\) punya ordinat sama, maka \(PQ\) adalah alas mendatar.
Panjang alas:
\(PQ = |10-2| = 8\)
Tinggi adalah jarak vertikal dari garis \(y=1\) ke titik \(R(12,5)\):
\(t = |5-1| = 4\)
Luas jajaran genjang:
\(L = a \cdot t\)
\(L = 8 \cdot 4\)
\(L = 32\)
Karena \(32 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Kita sudah dapat:
\(y_S = 5\)
Jadi pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 12
Perhatikan belah ketupat \( PQRS \) berikut ini:
\( P(0,4) \), \( Q(3,y_Q) \), \( R(6,4) \), dan \( S(x_S,8) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_S + y_Q = 3 \)
(2) Titik tengah diagonal \( PR \) berada pada \( (3,4) \)
(3) Keliling belah ketupat tersebut adalah \( 20 \) satuan
(4) \( y_Q = 0 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan titik tengah diagonal
Pada belah ketupat, kedua diagonal saling membagi dua sama panjang.
Gunakan rumus titik tengah:
\( M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Diagonal \( PR \) dengan \( P(0,4) \) dan \( R(6,4) \):
\( M = \left( \frac{0+6}{2} , \frac{4+4}{2} \right) \)
\( M = (3,4) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 2: Menentukan koordinat \( Q \) dan \( S \)
Karena diagonal saling berpotongan di titik tengah yang sama, maka diagonal \( QS \) juga harus melalui \( (3,4) \).
Gunakan rumus titik tengah untuk \( Q(3,y_Q) \) dan \( S(x_S,8) \):
\( \left( \frac{3+x_S}{2} , \frac{y_Q+8}{2} \right) = (3,4) \)
Samakan komponen \( x \):
\( \frac{3+x_S}{2} = 3 \)
\( 3 + x_S = 6 \)
\( x_S = 3 \)
Samakan komponen \( y \):
\( \frac{y_Q+8}{2} = 4 \)
\( y_Q + 8 = 8 \)
\( y_Q = 0 \)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_S + y_Q = 3 + 0 = 3 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Menghitung keliling
Panjang sisi dihitung dengan rumus jarak dua titik.
Gunakan sisi \( PQ \):
\( PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} \)
\( PQ = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \)
\( PQ = \sqrt{9+16} \)
\( PQ = \sqrt{25} = 5 \)
Karena belah ketupat memiliki 4 sisi sama panjang:
Keliling \( = 4 \times 5 = 20 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 13
Diberikan segitiga sama kaki \(PQR\) dengan alas \(PQ\) mendatar.
Koordinat titik-titik tersebut adalah:
\(P(3,1)\), \(Q(9,1)\), dan \(R(6,y_R)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Panjang alas \(PQ\) adalah \(6\) satuan
(2) Jika tinggi segitiga adalah \(4\), maka \(y_R = 5\)
(3) Luas segitiga \(PQR\) adalah \(12\) satuan luas (dengan tinggi \(4\))
(4) Koordinat titik tengah \(PQ\) adalah \( (6,1) \)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Memeriksa panjang alas \(PQ\)
Karena \(P(3,1)\) dan \(Q(9,1)\) memiliki ordinat sama, maka \(PQ\) adalah garis mendatar.
Panjang alas:
\(PQ = |9-3|\)
\(PQ = 6\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Memeriksa tinggi segitiga
Karena segitiga sama kaki dengan alas \(PQ\), maka titik puncak \(R\) tepat di atas titik tengah \(PQ\).
Titik tengah \(PQ\):
\(M = \left(\frac{3+9}{2}, \frac{1+1}{2}\right)\)
\(M = (6,1)\)
Tinggi segitiga adalah jarak vertikal dari \(R\) ke garis \(y=1\).
Jika tinggi \(=4\), maka:
\(|y_R - 1| = 4\)
Sehingga:
\(y_R = 5\) atau \(y_R = -3\)
Pada konfigurasi biasa (titik di atas alas), diambil:
\(y_R = 5\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Memeriksa luas segitiga
Rumus luas segitiga:
\(L = \frac{1}{2}\cdot a \cdot t\)
Dengan alas \(a = 6\) dan tinggi \(t = 4\):
\(L = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4\)
\(L = 12\)
Karena \(12 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Memeriksa titik tengah \(PQ\)
Sudah dihitung sebelumnya:
\(M = (6,1)\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 14
Perhatikan persegi \( PQRS \) berikut ini:
\( P(x_P,1) \), \( Q(5,1) \), \( R(5,y_R) \), dan \( S(1,5) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_P + y_R = 10 \)
(2) Titik tengah diagonal \( PR \) adalah \( (3,3) \)
(3) Keliling persegi tersebut adalah \( 20 \) satuan
(4) \( y_R = 5 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 benar |
| B | 1 dan 3 benar |
| C | 2 dan 4 benar |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan panjang sisi persegi
Diketahui \( Q(5,1) \) dan \( S(1,5) \).
Karena bangun adalah persegi dengan sisi sejajar sumbu, maka:
Panjang sisi = \( 5 - 1 = 4 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat \( P \) dan \( R \)
Karena sisi bawah berada pada \( y = 1 \), maka:
\( P = (1,1) \)
Sehingga:
\( x_P = 1 \)
Karena sisi kanan berada pada \( x = 5 \) dan tinggi \( = 4 \), maka:
\( y_R = 1 + 4 = 5 \)
Sehingga:
\( R = (5,5) \)
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_P + y_R = 1 + 5 = 6 \)
Bukan \( 10 \), sehingga pernyataan (1) salah.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (2)
Rumus titik tengah:
\( M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Gunakan \( P(1,1) \) dan \( R(5,5) \):
\( M = \left( \frac{1+5}{2} , \frac{1+5}{2} \right) \)
\( M = (3,3) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (3)
Keliling persegi:
\( K = 4 \times s \)
\( K = 4 \times 4 = 16 \)
Bukan \( 20 \), sehingga pernyataan (3) salah.
Langkah 6: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( y_R = 5 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).
Jawaban: C
No 15
Perhatikan persegi panjang \(PQRS\) berikut ini:
\(P(-1,-2)\), \(Q(x_Q,-2)\), \(R(7,y_R)\), dan \(S(-1,2)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_Q + y_R = 9\)
(2) Titik potong diagonal berada pada koordinat \( (3,0) \)
(3) Keliling persegi panjang tersebut adalah \(24\) satuan
(4) \(y_R = 2\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat persegi panjang
Pada persegi panjang, sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
Karena \(P(-1,-2)\) dan \(S(-1,2)\) memiliki absis sama, maka \(PS\) adalah garis vertikal.
Tinggi persegi panjang:
\(PS = |2 - (-2)| = 4\)
Karena sisi atas sejajar dengan sisi bawah, maka titik \(R\) harus memiliki ordinat yang sama dengan \(S\).
Jadi:
\(y_R = 2\)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 2: Menentukan \(x_Q\)
Pada persegi panjang berlaku:
\(Q = P + R - S\)
Karena sudah diketahui \(y_R = 2\), maka:
\(Q = (-1,-2) + (7,2) - (-1,2)\)
\(Q = (-1+7+1,\; -2+2-2)\)
\(Q = (7,-2)\)
Jadi:
\(x_Q = 7\)
Langkah 3: Periksa pernyataan (1)
\(x_Q + y_R = 7 + 2 = 9\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Periksa titik potong diagonal
Titik potong diagonal adalah titik tengah \(PR\):
\(M = \left(\frac{-1+7}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\)
\(M = (3,0)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Periksa keliling
Panjang alas:
\(PQ = |7 - (-1)| = 8\)
Tinggi:
\(PS = 4\)
Keliling:
\(K = 2(p + l)\)
\(K = 2(8 + 4)\)
\(K = 24\)
Karena \(24 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 16
Perhatikan layang-layang \( KLMN \) berikut ini:
\( K(0,5) \), \( L(x_L,0) \), \( M(0,-3) \), dan \( N(4,0) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_L + 4 = 0 \)
(2) Titik potong kedua diagonal berada di pusat koordinat \( (0,0) \)
(3) Luas layang-layang tersebut adalah \( 32 \) satuan luas
(4) \( x_L = -4 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat layang-layang
Pada layang-layang, salah satu diagonal merupakan sumbu simetri dan membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang.
Perhatikan titik \( K(0,5) \) dan \( M(0,-3) \).
Keduanya memiliki \( x = 0 \), sehingga diagonal \( KM \) adalah garis vertikal.
Maka diagonal \( LN \) harus horizontal dan dipotong tegak lurus oleh \( KM \).
Langkah 2: Menentukan titik potong diagonal
Titik potong diagonal adalah titik tengah dari \( KM \).
Gunakan rumus titik tengah:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Untuk \( K(0,5) \) dan \( M(0,-3) \):
\( T = \left( \frac{0+0}{2} , \frac{5+(-3)}{2} \right) \)
\( T = (0,1) \)
Bukan \( (0,0) \), sehingga pernyataan (2) salah.
Langkah 3: Menentukan nilai \( x_L \)
Karena diagonal \( KM \) adalah sumbu simetri, maka titik \( L \) dan \( N \) harus simetris terhadap garis \( x = 0 \).
Diketahui \( N(4,0) \), maka:
\( L(-4,0) \)
Sehingga:
\( x_L = -4 \)
Pernyataan (4) benar.
Periksa pernyataan (1):
\( x_L + 4 = -4 + 4 = 0 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Menghitung luas layang-layang
Rumus luas layang-layang:
\( L = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
Panjang diagonal \( KM = 5 - (-3) = 8 \)
Panjang diagonal \( LN = 4 - (-4) = 8 \)
\( L = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 \)
\( L = \frac{1}{2} \times 64 \)
\( L = 32 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4).
Jadi jawaban yang sesuai adalah B.
No 17
Perhatikan trapesium \(KLMN\) dengan \(KL\) sejajar \(NM\):
\(K(0,0)\), \(L(12,0)\), \(M(9,4)\), dan \(N(x_N,4)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Jika \(x_N = 2\), maka panjang \(NM\) adalah \(7\) satuan
(2) Tinggi trapesium tersebut adalah \(4\) satuan
(3) Luas trapesium adalah \(38\) satuan luas (jika \(x_N = 2\))
(4) \(x_N + y_M = 6\) (jika \(x_N = 2\))
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Memahami posisi sisi sejajar
\(K(0,0)\) dan \(L(12,0)\) memiliki ordinat sama, sehingga \(KL\) mendatar.
\(M(9,4)\) dan \(N(x_N,4)\) memiliki ordinat sama, sehingga \(NM\) juga mendatar.
Karena \(KL\) dan \(NM\) sama-sama mendatar, maka memang sejajar.
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
Jika \(x_N = 2\), maka \(N(2,4)\).
Panjang \(NM\) adalah selisih absis:
\(NM = |9 - 2|\)
\(NM = 7\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2) (tinggi)
Tinggi adalah jarak vertikal antara garis \(y=0\) dan \(y=4\).
\(t = |4 - 0|\)
\(t = 4\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (3) (luas saat \(x_N = 2\))
Jika \(x_N = 2\):
\(KL = |12 - 0| = 12\)
\(NM = 7\)
Tinggi \(t = 4\)
Rumus luas trapesium:
\(L = \frac{1}{2}(a+b)\,t\)
\(L = \frac{1}{2}(12+7)\cdot 4\)
\(L = \frac{1}{2}\cdot 19 \cdot 4\)
\(L = 38\)
Karena \(38 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Jika \(x_N = 2\), maka:
\(x_N + y_M = 2 + 4\)
\(x_N + y_M = 6\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 18
Perhatikan jajaran genjang \( KLMN \) berikut ini:
\( K(-2,-1) \), \( L(4,-1) \), \( M(6,3) \), dan \( N(x_N,y_N) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_N \times y_N = 0 \)
(2) Titik pusat (titik potong diagonal) berada di \( (2,1) \)
(3) Panjang alas \( KL \) adalah \( 6 \) satuan
(4) \( x_N = 0 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat jajaran genjang
Pada jajaran genjang berlaku:
\( \vec{KN} = \vec{LM} \)
Hitung vektor \( LM \):
\( LM = (6-4 , 3-(-1)) \)
\( LM = (2 , 4) \)
Karena \( KN = LM \), maka:
\( N = K + LM \)
\( N = (-2,-1) + (2,4) \)
\( N = (0,3) \)
Sehingga:
\( x_N = 0 \)
\( y_N = 3 \)
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_N \times y_N = 0 \times 3 = 0 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (2)
Titik potong diagonal adalah titik tengah salah satu diagonal.
Gunakan diagonal \( KM \):
\( M = \left( \frac{-2+6}{2} , \frac{-1+3}{2} \right) \)
\( M = \left( \frac{4}{2} , \frac{2}{2} \right) \)
\( M = (2,1) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (3)
Panjang \( KL \):
\( KL = 4 - (-2) \)
\( KL = 6 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( x_N = 0 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 19
Perhatikan segitiga \(KLM\) yang siku-siku di \(L\):
\(K(x_K,1)\), \(L(10,1)\), dan \(M(10,5)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Jika luas segitiga adalah \(16\) satuan luas, maka \(x_K = 2\)
(2) Jarak titik \(K\) ke \(M\) adalah \(\sqrt{80}\) satuan (jika \(x_K = 2\))
(3) \(x_K + y_M = 7\) (jika \(x_K = 2\))
(4) Nilai \(y_M\) adalah \(5\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Memastikan sudut siku-siku di \(L\)
\(K(x_K,1)\) dan \(L(10,1)\) memiliki ordinat sama, sehingga \(KL\) mendatar.
\(L(10,1)\) dan \(M(10,5)\) memiliki absis sama, sehingga \(LM\) tegak.
Garis mendatar tegak lurus garis tegak, jadi benar sudut siku-siku di \(L\).
Langkah 2: Gunakan rumus luas segitiga siku-siku
Rumus luas:
\(L = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t\)
Panjang \(LM\):
\(LM = |5 - 1| = 4\)
Panjang \(KL\):
\(KL = |10 - x_K|\)
Jika luas \(= 16\), maka:
\(\frac{1}{2} \cdot |10 - x_K| \cdot 4 = 16\)
\(2 \cdot |10 - x_K| = 16\)
\(|10 - x_K| = 8\)
Sehingga:
\(10 - x_K = 8\) atau \(10 - x_K = -8\)
\(x_K = 2\) atau \(x_K = 18\)
Yang sesuai dengan gambar (titik di kiri \(L\)) adalah:
\(x_K = 2\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2)
Jika \(x_K = 2\), maka \(K(2,1)\).
Hitung jarak \(KM\):
\(KM = \sqrt{(10-2)^2 + (5-1)^2}\)
\(KM = \sqrt{8^2 + 4^2}\)
\(KM = \sqrt{64 + 16}\)
\(KM = \sqrt{80}\)
Karena \(\sqrt{80} \gt 0\), maka pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (3)
Jika \(x_K = 2\):
\(x_K + y_M = 2 + 5\)
\(x_K + y_M = 7\)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Dari koordinat \(M(10,5)\), jelas:
\(y_M = 5\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 20
Perhatikan belah ketupat \( KLMN \) berikut ini:
\( K(x_K,5) \), \( L(7,y_L) \), \( M(11,5) \), dan \( N(7,9) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_K + y_L = 4 \)
(2) Titik potong kedua diagonal adalah \( (7,5) \)
(3) Panjang diagonal horizontal \( KM \) adalah \( 8 \) satuan
(4) \( y_L = 1 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat belah ketupat
Pada belah ketupat, kedua diagonal saling membagi dua sama panjang.
Perhatikan titik \( L(7,y_L) \) dan \( N(7,9) \).
Keduanya memiliki \( x = 7 \), sehingga diagonal \( LN \) adalah garis vertikal.
Maka diagonal \( KM \) harus horizontal.
Langkah 2: Menentukan titik potong diagonal
Gunakan rumus titik tengah pada diagonal \( LN \):
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Untuk \( L(7,y_L) \) dan \( N(7,9) \):
\( T = \left( \frac{7+7}{2} , \frac{y_L+9}{2} \right) \)
Karena diagonal lain \( KM \) memiliki titik-titik \( K(x_K,5) \) dan \( M(11,5) \), maka titik tengahnya memiliki \( y = 5 \).
Berarti:
\( \frac{y_L+9}{2} = 5 \)
\( y_L + 9 = 10 \)
\( y_L = 1 \)
Sehingga titik potong diagonal:
\( T = (7,5) \)
Pernyataan (2) benar.
Pernyataan (4) benar.
Langkah 3: Menentukan nilai \( x_K \)
Gunakan rumus titik tengah pada diagonal \( KM \):
\( T = \left( \frac{x_K+11}{2} , \frac{5+5}{2} \right) \)
Karena titik tengah adalah \( (7,5) \):
\( \frac{x_K+11}{2} = 7 \)
\( x_K + 11 = 14 \)
\( x_K = 3 \)
Periksa pernyataan (1):
\( x_K + y_L = 3 + 1 = 4 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Menghitung panjang diagonal horizontal \( KM \)
Karena \( K(3,5) \) dan \( M(11,5) \), maka:
\( KM = 11 - 3 = 8 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 21
Perhatikan persegi panjang \(KLMN\) berikut ini:
\(K(-5,4)\), \(L(x_L,4)\), \(M(3,y_M)\), dan \(N(-5,-2)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_L + y_M = 1\)
(2) Pusat persegi panjang berada di \((-1,1)\)
(3) Panjang diagonal persegi panjang tersebut adalah \(10\) satuan
(4) \(x_L = 3\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Tentukan tinggi persegi panjang
\(K(-5,4)\) dan \(N(-5,-2)\) memiliki absis sama, sehingga sisi \(KN\) vertikal.
Tinggi:
\(KN = |4 - (-2)|\)
\(KN = 6\)
Karena persegi panjang, sisi atas sejajar sisi bawah, maka:
\(y_M = -2\)
(dan titik \(M\) berada pada garis bawah)
Langkah 2: Tentukan \(x_L\)
Sisi atas mendatar (karena \(K\) dan \(L\) punya ordinat sama).
Lebar persegi panjang adalah selisih absis antara sisi kiri dan kanan.
Karena titik \(M(3,-2)\) berada di sisi kanan bawah, maka sisi kanan memiliki absis \(3\).
Jadi:
\(x_L = 3\)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (1)
\(x_L + y_M = 3 + (-2)\)
\(x_L + y_M = 1\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Periksa pusat persegi panjang
Pusat adalah titik tengah diagonal, misalnya diagonal \(KM\):
\(T = \left(\frac{-5+3}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right)\)
\(T = (-1,1)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Periksa panjang diagonal
Gunakan rumus jarak dua titik:
\(KM = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-2 - 4)^2}\)
\(KM = \sqrt{8^2 + (-6)^2}\)
\(KM = \sqrt{64 + 36}\)
\(KM = \sqrt{100}\)
\(KM = 10\)
Karena \(10 \gt 6\) dan \(10 \gt 8\), diagonal memang \(10\).
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 22
Perhatikan persegi \( KLMN \) berikut ini:
\( K(-3,-3) \), \( L(x_L,-3) \), \( M(1,y_M) \), dan \( N(-3,1) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_L \times y_M = 1 \)
(2) Titik pusat persegi berada pada koordinat \( (-1,-1) \)
(3) Luas persegi tersebut adalah \( 16 \) satuan luas
(4) \( x_L = 1 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 benar |
| B | 1 dan 3 benar |
| C | 2 dan 4 benar |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan panjang sisi persegi
Perhatikan titik \( K(-3,-3) \) dan \( N(-3,1) \).
Karena keduanya memiliki \( x = -3 \), maka sisi \( KN \) vertikal.
Panjang sisi:
\( s = 1 - (-3) \)
\( s = 4 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat \( L \) dan \( M \)
Karena sisi bawah berada pada \( y = -3 \), maka:
\( L = (-3 + 4,-3) \)
\( L = (1,-3) \)
Sehingga:
\( x_L = 1 \)
Karena sisi kanan berada pada \( x = 1 \) dan tinggi \( = 4 \), maka:
\( M = (1,-3 + 4) \)
\( M = (1,1) \)
Sehingga:
\( y_M = 1 \)
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_L \times y_M = 1 \times 1 \)
\( = 1 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (2)
Gunakan rumus titik tengah diagonal:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Gunakan \( K(-3,-3) \) dan \( M(1,1) \):
\( T = \left( \frac{-3+1}{2} , \frac{-3+1}{2} \right) \)
\( T = (-1,-1) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (3)
Rumus luas persegi:
\( L = s^2 \)
\( L = 4^2 \)
\( L = 16 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 6: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( x_L = 1 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 23
Perhatikan trapesium \(EFGH\) yang siku-siku di \(E\) dan \(H\):
\(E(3,3)\), \(F(11,3)\), \(G(x_G,7)\), dan \(H(3,7)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Panjang \(EF = 8\) dan \(HG = x_G - 3\)
(2) Jika \(x_G = 7\), maka luas trapesium adalah \(24\) satuan luas
(3) Jarak titik \(E\) ke \(H\) (tinggi) adalah \(4\) satuan
(4) \(x_G = 7\) jika panjang \(HG\) adalah \(4\) satuan
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Memeriksa sisi-sisi sejajar
\(E(3,3)\) dan \(F(11,3)\) memiliki ordinat sama, sehingga \(EF\) mendatar.
\(H(3,7)\) dan \(G(x_G,7)\) juga memiliki ordinat sama, sehingga \(HG\) mendatar.
Jadi \(EF \parallel HG\).
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
Panjang \(EF\):
\(EF = |11 - 3|\)
\(EF = 8\)
Panjang \(HG\):
\(HG = |x_G - 3|\)
Karena \(G\) berada di kanan \(H\), maka:
\(HG = x_G - 3\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (3) (tinggi)
Tinggi trapesium adalah jarak vertikal antara garis \(y=3\) dan \(y=7\).
\(t = |7 - 3|\)
\(t = 4\)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (2)
Jika \(x_G = 7\), maka:
\(HG = 7 - 3 = 4\)
Alas bawah \(EF = 8\)
Tinggi \(t = 4\)
Rumus luas trapesium:
\(L = \frac{1}{2}(a+b)\,t\)
\(L = \frac{1}{2}(8 + 4)\cdot 4\)
\(L = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4\)
\(L = 24\)
Karena \(24 \gt 0\), maka pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Jika \(HG = 4\), maka:
\(x_G - 3 = 4\)
\(x_G = 7\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 24
Perhatikan layang-layang \( EFGH \) berikut ini:
\( E(10,15) \), \( F(7,12) \), \( G(10,5) \), dan \( H(x_H,12) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_H = 13 \)
(2) Titik potong diagonal berada di \( (10,12) \)
(3) Panjang diagonal horizontal \( FH \) adalah \( 6 \) satuan
(4) Luas layang-layang adalah \( 30 \) satuan luas
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat layang-layang
Pada layang-layang, salah satu diagonal menjadi sumbu simetri.
Perhatikan titik \( E(10,15) \) dan \( G(10,5) \).
Keduanya memiliki \( x = 10 \), sehingga diagonal \( EG \) adalah garis vertikal.
Maka diagonal \( FH \) harus horizontal dan dipotong tegak lurus oleh \( EG \).
Langkah 2: Menentukan titik potong diagonal
Gunakan rumus titik tengah pada diagonal \( EG \):
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Untuk \( E(10,15) \) dan \( G(10,5) \):
\( T = \left( \frac{10+10}{2} , \frac{15+5}{2} \right) \)
\( T = (10,10) \)
Jadi titik potong diagonal adalah \( (10,10) \), bukan \( (10,12) \).
Pernyataan (2) salah.
Langkah 3: Menentukan nilai \( x_H \)
Karena diagonal \( EG \) menjadi sumbu simetri, maka titik \( F \) dan \( H \) simetris terhadap garis \( x = 10 \).
Diketahui \( F(7,12) \).
Jarak ke garis \( x = 10 \):
\( 10 - 7 = 3 \)
Maka:
\( x_H = 10 + 3 \)
\( x_H = 13 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Menghitung panjang diagonal horizontal \( FH \)
\( F(7,12) \) dan \( H(13,12) \)
Karena memiliki \( y \) sama, maka:
\( FH = 13 - 7 \)
\( FH = 6 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Menghitung luas layang-layang
Rumus luas layang-layang:
\( L = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
Panjang diagonal \( EG = 15 - 5 = 10 \)
Panjang diagonal \( FH = 6 \)
\( L = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \)
\( L = 5 \times 6 \)
\( L = 30 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4).
Jawaban yang sesuai adalah B.
No 25
Perhatikan belah ketupat \(EFGH\) berikut ini:
\(E(1,4)\), \(F(5,y_F)\), \(G(9,4)\), dan \(H(x_H,10)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_H + y_F = 3\)
(2) Koordinat pusat belah ketupat adalah \( (5,4) \)
(3) Luas belah ketupat adalah \(48\) satuan luas
(4) \(y_F = -2\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat belah ketupat (semua sisi sama panjang)
Bandingkan kuadrat panjang sisi:
\(EF^2 = FG^2 = GH^2 = HE^2\)
Langkah 2: Hitung \(EG\) (diagonal mendatar)
\(E(1,4)\) dan \(G(9,4)\)
\(EG = |9-1| = 8\)
Diagonal \(EG\) mendatar.
Titik tengah diagonal:
\(M = \left(\frac{1+9}{2}, \frac{4+4}{2}\right)\)
\(M = (5,4)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Tentukan \(y_F\)
Gunakan syarat \(EF^2 = FG^2\).
\(E(1,4)\), \(F(5,y_F)\)
\(EF^2 = (5-1)^2 + (y_F-4)^2\)
\(EF^2 = 16 + (y_F-4)^2\)
\(F(5,y_F)\), \(G(9,4)\)
\(FG^2 = (9-5)^2 + (4-y_F)^2\)
\(FG^2 = 16 + (4-y_F)^2\)
Karena \((y_F-4)^2 = (4-y_F)^2\), maka syarat ini otomatis terpenuhi.
Sekarang gunakan diagonal saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang.
Karena pusat di \( (5,4) \), maka titik \(F\) dan \(H\) simetris terhadap titik ini.
Koordinat \(F(5,y_F)\) dan \(H(x_H,10)\).
Gunakan titik tengah:
\(\left(\frac{5 + x_H}{2}, \frac{y_F + 10}{2}\right) = (5,4)\)
Sehingga:
\(\frac{5 + x_H}{2} = 5 \Rightarrow 5 + x_H = 10 \Rightarrow x_H = 5\)
\(\frac{y_F + 10}{2} = 4 \Rightarrow y_F + 10 = 8 \Rightarrow y_F = -2\)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (1)
\(x_H + y_F = 5 + (-2)\)
\(x_H + y_F = 3\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 5: Periksa luas belah ketupat
Diagonal pertama \(EG = 8\)
Diagonal kedua \(FH = |10 - (-2)| = 12\)
Rumus luas:
\(L = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
\(L = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12\)
\(L = 48\)
Karena \(48 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 26
Perhatikan jajaran genjang \( EFGH \) berikut ini:
\( E(1,1) \), \( F(x_F,1) \), \( G(13,6) \), dan \( H(4,y_H) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_F + y_H = 16 \)
(2) Koordinat titik tengah diagonal \( EG \) adalah \( (7,3.5) \)
(3) Luas jajaran genjang adalah \( 45 \) satuan luas
(4) \( y_H = 6 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat jajaran genjang
Pada jajaran genjang berlaku:
\( \vec{EF} = \vec{HG} \)
Hitung vektor \( HG \):
\( HG = (13-4 , 6-y_H) \)
\( HG = (9 , 6-y_H) \)
Karena \( EF = (x_F-1 , 1-1) \), maka:
\( EF = (x_F-1 , 0) \)
Samakan komponen \( y \):
\( 6 - y_H = 0 \)
\( y_H = 6 \)
Pernyataan (4) benar.
Samakan komponen \( x \):
\( x_F - 1 = 9 \)
\( x_F = 10 \)
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_F + y_H = 10 + 6 \)
\( = 16 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (2)
Gunakan rumus titik tengah:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Untuk \( E(1,1) \) dan \( G(13,6) \):
\( T = \left( \frac{1+13}{2} , \frac{1+6}{2} \right) \)
\( T = (7,3.5) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Menghitung luas jajaran genjang
Panjang alas \( EF \):
\( EF = 10 - 1 \)
\( EF = 9 \)
Tinggi adalah selisih \( y \):
\( 6 - 1 = 5 \)
Rumus luas:
\( L = a \times t \)
\( L = 9 \times 5 \)
\( L = 45 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 27
Sebuah segitiga \(DEF\) memiliki koordinat \(D(0,0)\), \(E(x_E,0)\), dan \(F(0,6)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Segitiga \(DEF\) adalah segitiga siku-siku di \(D\)
(2) Jika \(x_E = 8\), maka keliling segitiga adalah \(24\) satuan
(3) Titik tengah \(EF\) adalah \( (4,3) \) (jika \(x_E = 8\))
(4) \(x_E + y_F = 14\) (jika \(x_E = 8\))
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Periksa apakah siku-siku di \(D\)
\(D(0,0)\) ke \(E(x_E,0)\) adalah garis mendatar.
\(D(0,0)\) ke \(F(0,6)\) adalah garis tegak.
Garis mendatar tegak lurus garis tegak, sehingga sudut di \(D\) adalah \(90^\circ\).
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Jika \(x_E = 8\), hitung panjang sisi
\(D(0,0)\), \(E(8,0)\), dan \(F(0,6)\).
\(DE = 8\)
\(DF = 6\)
Panjang \(EF\) dengan rumus jarak dua titik:
\(EF = \sqrt{(8-0)^2 + (0-6)^2}\)
\(EF = \sqrt{64 + 36}\)
\(EF = \sqrt{100}\)
\(EF = 10\)
Keliling:
\(K = 8 + 6 + 10\)
\(K = 24\)
Karena \(24 \gt 0\), maka pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Periksa titik tengah \(EF\)
Titik tengah:
\(T = \left(\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)\)
\(T = (4,3)\)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Periksa pernyataan (4)
Jika \(x_E = 8\), maka:
\(x_E + y_F = 8 + 6\)
\(x_E + y_F = 14\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 28
Perhatikan persegi \( EFGH \) berikut ini:
\( E(10,10) \), \( F(20,10) \), \( G(20,y_G) \), dan \( H(x_H,20) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_H + y_G = 30 \)
(2) Lokasi titik potong diagonal adalah \( (15,15) \)
(3) Keliling persegi adalah \( 40 \) satuan
(4) \( y_G = 15 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 benar |
| B | 1 dan 3 benar |
| C | 2 dan 4 benar |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan panjang sisi persegi
Perhatikan titik \( E(10,10) \) dan \( F(20,10) \).
Karena memiliki \( y \) sama, maka sisi \( EF \) horizontal.
Panjang sisi:
\( s = 20 - 10 \)
\( s = 10 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat \( G \) dan \( H \)
Karena bangun adalah persegi dan sisi sejajar sumbu, maka:
\( G = (20,20) \)
Sehingga:
\( y_G = 20 \)
Sisi kiri berada pada \( x = 10 \), maka:
\( H = (10,20) \)
Sehingga:
\( x_H = 10 \)
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_H + y_G = 10 + 20 \)
\( = 30 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (2)
Gunakan rumus titik tengah diagonal:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Gunakan \( E(10,10) \) dan \( G(20,20) \):
\( T = \left( \frac{10+20}{2} , \frac{10+20}{2} \right) \)
\( T = (15,15) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (3)
Keliling persegi:
\( K = 4 \times s \)
\( K = 4 \times 10 \)
\( K = 40 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 6: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( y_G = 20 \)
Bukan \( 15 \), sehingga pernyataan (4) salah.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jawaban: A
No 29
Perhatikan layang-layang \(ABCD\) dengan koordinat:
\(A(2,4)\), \(B(6,y_B)\), \(C(14,4)\), dan \(D(6,10)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(y_B = -2\)
(2) Titik potong kedua diagonal \((M)\) berada di \( (6,4) \)
(3) Panjang diagonal \(AC\) adalah \(12\) satuan
(4) Luas layang-layang adalah \(72\) satuan luas
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat layang-layang
Diagonal utama \(AC\) menjadi sumbu simetri.
Karena \(A(2,4)\) dan \(C(14,4)\) memiliki ordinat sama, maka \(AC\) adalah garis horizontal \(y=4\).
Titik \(D(6,10)\) berjarak:
\(10 - 4 = 6\) satuan di atas garis \(y=4\).
Maka titik \(B\) harus simetris terhadap garis \(y=4\).
Sehingga:
\(y_B = 4 - 6\)
\(y_B = -2\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Titik potong diagonal
Titik tengah diagonal \(AC\):
\(M = \left(\frac{2+14}{2}, \frac{4+4}{2}\right)\)
\(M = (8,4)\)
Karena \(8 \gt 6\), maka pernyataan (2) yang menyatakan \( (6,4) \) adalah salah.
Langkah 3: Panjang diagonal \(AC\)
\(AC = |14 - 2|\)
\(AC = 12\)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Hitung luas layang-layang
Diagonal pertama:
\(AC = 12\)
Diagonal kedua:
\(BD = |10 - (-2)|\)
\(BD = 12\)
Rumus luas:
\(L = \frac{1}{2} d_1 d_2\)
\(L = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\)
\(L = 72\)
Karena \(72 \gt 0\), maka pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4).
Pilihan yang paling sesuai dari opsi yang tersedia adalah B.
No 30
Perhatikan persegi panjang \( EFGH \) berikut ini:
\( E(x_E,5) \), \( F(12,5) \), \( G(12,15) \), dan \( H(4,y_H) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_E + y_H = 19 \)
(2) Koordinat titik tengah diagonal adalah \( (8,10) \)
(3) Luas persegi panjang adalah \( 80 \) satuan luas
(4) \( y_H = 15 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan sifat persegi panjang
Perhatikan \( F(12,5) \) dan \( G(12,15) \).
Karena memiliki \( x = 12 \), maka sisi \( FG \) vertikal.
Panjang tinggi:
\( t = 15 - 5 \)
\( t = 10 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat \( E \) dan \( H \)
Karena bangun adalah persegi panjang dengan sisi sejajar sumbu:
Sisi bawah berada pada \( y = 5 \), dan sisi kiri berada pada \( x = 4 \).
Maka:
\( E = (4,5) \)
Sehingga:
\( x_E = 4 \)
Dan:
\( H = (4,15) \)
Sehingga:
\( y_H = 15 \)
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_E + y_H = 4 + 15 \)
\( = 19 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (2)
Gunakan rumus titik tengah:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Gunakan \( E(4,5) \) dan \( G(12,15) \):
\( T = \left( \frac{4+12}{2} , \frac{5+15}{2} \right) \)
\( T = (8,10) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (3)
Panjang alas:
\( a = 12 - 4 \)
\( a = 8 \)
Tinggi:
\( t = 10 \)
Rumus luas:
\( L = a \times t \)
\( L = 8 \times 10 \)
\( L = 80 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 6: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( y_H = 15 \)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 31
Perhatikan jajaran genjang \(ABCD\) berikut ini:
\(A(0,0)\), \(B(8,0)\), \(C(11,4)\), dan \(D(x_D,y_D)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_D + y_D = 7\)
(2) Titik potong kedua diagonal adalah \( (5.5,2) \)
(3) Sisi miring \(BC\) memiliki panjang \(5\) satuan
(4) \(x_D = 3\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Tentukan koordinat \(D\)
Pada jajaran genjang berlaku:
\(D = A + C - B\)
Hitung:
\(D = (0,0) + (11,4) - (8,0)\)
\(D = (11-8,\; 4-0)\)
\(D = (3,4)\)
Jadi:
\(x_D = 3\) dan \(y_D = 4\)
Langkah 2: Periksa pernyataan (1)
\(x_D + y_D = 3 + 4\)
\(x_D + y_D = 7\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Periksa pernyataan (2)
Titik potong diagonal adalah titik tengah diagonal \(AC\):
\(M = \left(\frac{0+11}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
\(M = (5.5,2)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Periksa panjang \(BC\)
Gunakan rumus jarak dua titik:
\(BC = \sqrt{(11-8)^2 + (4-0)^2}\)
\(BC = \sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(BC = \sqrt{9 + 16}\)
\(BC = \sqrt{25}\)
\(BC = 5\)
Karena \(5 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Periksa pernyataan (4)
Dari hasil langkah 1:
\(x_D = 3\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 32
Diberikan trapesium sama kaki \( ABCD \) dengan koordinat \( A(-5,0) \), \( B(5,0) \), \( C(3,4) \), dan \( D(x_D,y_D) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_D = -3 \) dan \( y_D = 4 \)
(2) Panjang sisi miring \( BC \) adalah \( \sqrt{20} \) atau \( 2\sqrt{5} \) satuan
(3) Luas trapesium tersebut adalah \( 32 \) satuan luas
(4) Panjang sisi sejajar adalah \( 10 \) satuan dan \( 6 \) satuan
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan sisi sejajar
Titik \( A(-5,0) \) dan \( B(5,0) \) memiliki \( y = 0 \), sehingga \( AB \) horizontal.
Panjang \( AB \):
\( AB = 5 - (-5) \)
\( AB = 10 \)
Karena trapesium sama kaki, maka \( CD \) sejajar \( AB \) dan memiliki \( y \) sama dengan titik \( C \), yaitu \( 4 \).
Diketahui \( C(3,4) \), maka:
\( D(x_D,4) \)
Langkah 2: Menggunakan sifat sama kaki
Pada trapesium sama kaki berlaku:
\( AD = BC \)
Hitung panjang \( BC \):
\( BC = \sqrt{(3-5)^2 + (4-0)^2} \)
\( BC = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} \)
\( BC = \sqrt{4 + 16} \)
\( BC = \sqrt{20} \)
\( BC = 2\sqrt{5} \)
Pernyataan (2) benar.
Agar \( AD = BC \), maka titik \( D \) harus simetris terhadap garis \( x = 0 \).
Karena \( C(3,4) \), maka:
\( D(-3,4) \)
Sehingga:
\( x_D = -3 \) dan \( y_D = 4 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Menghitung panjang sisi sejajar atas
\( CD = 3 - (-3) \)
\( CD = 6 \)
Jadi sisi sejajar adalah \( 10 \) dan \( 6 \).
Pernyataan (4) benar.
Langkah 4: Menghitung luas trapesium
Rumus luas trapesium:
\( L = \frac{1}{2} (a + b) \times t \)
Dengan:
\( a = 10 \)
\( b = 6 \)
Tinggi \( = 4 \)
\( L = \frac{1}{2} (10 + 6) \times 4 \)
\( L = \frac{1}{2} (16) \times 4 \)
\( L = 8 \times 4 \)
\( L = 32 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 33
Perhatikan segitiga \(ABC\) dengan koordinat:
\(A(-2,1)\), \(B(4,1)\), dan \(C(x_C,7)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) Panjang alas \(AB\) adalah \(6\) satuan
(2) Tinggi segitiga tersebut adalah \(6\) satuan
(3) Luas segitiga \(ABC\) adalah \(18\) satuan luas
(4) Jika segitiga tersebut sama kaki (\(AC = BC\)), maka \(x_C = 1\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\)
B. \(1\) dan \(3\)
C. \(2\) dan \(4\)
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Hitung panjang alas \(AB\)
Karena \(A(-2,1)\) dan \(B(4,1)\) memiliki ordinat sama, maka:
\(AB = |4 - (-2)|\)
\(AB = 6\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 2: Hitung tinggi segitiga
Alas \(AB\) berada pada garis \(y=1\).
Titik \(C(x_C,7)\) memiliki ordinat \(7\).
Tinggi adalah jarak vertikal dari \(y=1\) ke \(y=7\):
\(t = |7 - 1|\)
\(t = 6\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 3: Hitung luas segitiga
Rumus luas:
\(L = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t\)
\(L = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\)
\(L = 18\)
Karena \(18 \gt 0\), maka pernyataan (3) benar.
Langkah 4: Syarat segitiga sama kaki (\(AC = BC\))
Gunakan rumus jarak dua titik.
\(AC^2 = (x_C + 2)^2 + (7 - 1)^2\)
\(AC^2 = (x_C + 2)^2 + 36\)
\(BC^2 = (x_C - 4)^2 + (7 - 1)^2\)
\(BC^2 = (x_C - 4)^2 + 36\)
Karena \(AC = BC\), maka:
\((x_C + 2)^2 = (x_C - 4)^2\)
Kembangkan:
\(x_C^2 + 4x_C + 4 = x_C^2 - 8x_C + 16\)
\(4x_C + 4 = -8x_C + 16\)
\(12x_C = 12\)
\(x_C = 1\)
Pernyataan (4) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 34
Perhatikan belah ketupat \( ABCD \) yang memiliki titik pusat di \( (0,0) \):
\( A(x_A,0) \), \( B(0,y_B) \), \( C(5,0) \), dan \( D(0,12) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_A + y_B = -17 \)
(2) Titik pusat belah ketupat berada di titik asal \( (0,0) \)
(3) Panjang sisi belah ketupat adalah \( 13 \) satuan
(4) \( y_B = -12 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 |
| B | 1 dan 3 |
| C | 2 dan 4 |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menggunakan sifat belah ketupat
Pada belah ketupat, kedua diagonal saling membagi dua sama panjang.
Diagonal \( AC \) berada pada sumbu \( x \) dan diagonal \( BD \) pada sumbu \( y \).
Karena titik pusat berada di \( (0,0) \), maka:
Titik tengah diagonal \( AC \) adalah \( (0,0) \).
Gunakan rumus titik tengah:
\( \left( \frac{x_A+5}{2} , \frac{0+0}{2} \right) = (0,0) \)
\( \frac{x_A+5}{2} = 0 \)
\( x_A + 5 = 0 \)
\( x_A = -5 \)
Untuk diagonal \( BD \):
\( \left( \frac{0+0}{2} , \frac{y_B+12}{2} \right) = (0,0) \)
\( \frac{y_B+12}{2} = 0 \)
\( y_B + 12 = 0 \)
\( y_B = -12 \)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_A + y_B = -5 + (-12) \)
\( = -17 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (2)
Diketahui sejak awal bahwa pusat belah ketupat adalah \( (0,0) \).
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Menghitung panjang sisi
Gunakan rumus jarak dua titik pada sisi \( AB \):
\( AB = \sqrt{(0-(-5))^2 + (-12-0)^2} \)
\( AB = \sqrt{5^2 + (-12)^2} \)
\( AB = \sqrt{25 + 144} \)
\( AB = \sqrt{169} \)
\( AB = 13 \)
Pernyataan (3) benar.
Kesimpulan:
Semua pernyataan benar.
Jawaban: E
No 35
Perhatikan persegi \(OABC\) yang salah satu titiknya di pusat koordinat:
\(O(0,0)\), \(A(x_A,0)\), \(B(4,y_B)\), dan \(C(0,4)\).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \(x_A + y_B = 8\)
(2) Titik tengah persegi adalah \( (2,2) \)
(3) Panjang diagonal \(OB\) adalah \(4\sqrt{2}\) satuan
(4) \(x_A = 4\)
Pilihan Jawaban:
A. \(1\), \(2\), dan \(3\) benar
B. \(1\) dan \(3\) benar
C. \(2\) dan \(4\) benar
D. \(4\) saja
E. Semua benar
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan detail
Langkah 1: Gunakan sifat persegi
Pada persegi, semua sisi sama panjang dan saling tegak lurus.
Diketahui \(O(0,0)\) dan \(C(0,4)\), sehingga:
\(OC = 4\)
Karena persegi, maka:
\(OA = 4\)
Sehingga:
\(x_A = 4\)
Pernyataan (4) benar.
Langkah 2: Tentukan koordinat \(B\)
Karena sisi atas sejajar sisi bawah, dan panjang sisi \(=4\), maka:
\(B = (4,4)\)
Sehingga:
\(y_B = 4\)
Langkah 3: Periksa pernyataan (1)
\(x_A + y_B = 4 + 4\)
\(x_A + y_B = 8\)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 4: Periksa titik tengah persegi
Titik tengah adalah titik tengah diagonal \(OB\):
\(M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
\(M = (2,2)\)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 5: Periksa panjang diagonal \(OB\)
Gunakan rumus jarak dua titik:
\(OB = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2}\)
\(OB = \sqrt{16 + 16}\)
\(OB = \sqrt{32}\)
\(OB = 4\sqrt{2}\)
Karena \(4\sqrt{2} \gt 4\), maka pernyataan (3) benar.
Kesimpulan
Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Jawaban: E
No 36
Perhatikan persegi panjang \( ABCD \) berikut ini:
\( A(10,10) \), \( B(x_B,10) \), \( C(30,20) \), dan \( D(10,y_D) \).
Tentukan pernyataan yang benar!
(1) \( x_B + y_D = 50 \)
(2) Lokasi titik pusat persegi panjang adalah \( (20,15) \)
(3) Keliling persegi panjang tersebut adalah \( 60 \) satuan
(4) \( y_D = 10 \)
Pilihan Jawaban:
| A | 1, 2, dan 3 benar |
| B | 1 dan 3 benar |
| C | 2 dan 4 benar |
| D | 4 saja |
| E | Semua benar |
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Menentukan koordinat \( B \) dan \( D \)
Karena bangun adalah persegi panjang dengan sisi sejajar sumbu:
Titik \( A(10,10) \) dan \( C(30,20) \) adalah sudut berhadapan.
Maka:
\( B = (30,10) \) sehingga \( x_B = 30 \)
\( D = (10,20) \) sehingga \( y_D = 20 \)
Langkah 2: Memeriksa pernyataan (1)
\( x_B + y_D = 30 + 20 \)
\( = 50 \)
Pernyataan (1) benar.
Langkah 3: Memeriksa pernyataan (2)
Gunakan rumus titik tengah diagonal:
\( T = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
Gunakan \( A(10,10) \) dan \( C(30,20) \):
\( T = \left( \frac{10+30}{2} , \frac{10+20}{2} \right) \)
\( T = (20,15) \)
Pernyataan (2) benar.
Langkah 4: Memeriksa pernyataan (3)
Panjang:
\( p = 30 - 10 = 20 \)
Lebar:
\( l = 20 - 10 = 10 \)
Rumus keliling:
\( K = 2(p + l) \)
\( K = 2(20 + 10) \)
\( K = 2(30) \)
\( K = 60 \)
Pernyataan (3) benar.
Langkah 5: Memeriksa pernyataan (4)
Telah diperoleh:
\( y_D = 20 \)
Bukan \( 10 \), sehingga pernyataan (4) salah.
Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jawaban: A