Latihan Soal PM SNBT: Geometri dan Pengukuran Ruang

Soal 1.

Sebuah lampu jalan dipasang di puncak tiang yang tingginya \( 6 \) meter. Di dekat tiang tersebut terdapat sebuah pagar tembok vertikal yang tingginya \( 2 \) meter. Jarak antara tiang lampu dan pagar tersebut adalah \( 3 \) meter. Jika cahaya lampu membentuk bayangan pagar di permukaan tanah yang rata, tentukan panjang bayangan pagar tersebut.

Soal 2.

Aplikasi pada Tangki Air (Geometri Ruang)

Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (puncak di bawah) memiliki tinggi total \( 12 \) meter dan jari-jari lubang atas \( 4 \) meter. Jika tangki tersebut diisi air hingga ketinggian air mencapai \( 9 \) meter dari puncak bawah, berapakah jari-jari permukaan air tersebut?

Soal 3.

Aplikasi pada Optik (Kamera Lubang Jarum)

Seorang siswa membuat kamera lubang jarum sederhana untuk memotret sebuah menara yang tingginya \( 60 \) meter. Jarak antara lubang jarum ke layar film di dalam kamera adalah \( 15 \) cm. Jika bayangan menara yang terbentuk pada layar film memiliki tinggi \( 12 \) cm, berapakah jarak menara tersebut dari kamera?

Soal 4.

Aplikasi pada Pemantulan Cahaya (Cermin Datar)

Andi ingin mengukur tinggi sebuah tiang listrik menggunakan bantuan cermin datar yang diletakkan di atas tanah. Andi berdiri sehingga ia dapat melihat puncak tiang listrik pada cermin. Diketahui jarak mata Andi ke tanah adalah \( 160 \) cm, jarak Andi ke cermin adalah \( 2 \) meter, dan jarak cermin ke pangkal tiang listrik adalah \( 5 \) meter. Tentukan tinggi tiang listrik tersebut.

Soal 5.

Aplikasi pada Layar Proyektor (Optika)

Sebuah proyektor diletakkan di depan layar. Cahaya keluar dari lensa proyektor melalui sebuah lubang berbentuk persegi dengan panjang sisi \( 5 \) cm. Jarak dari lensa ke lubang tersebut adalah \( 20 \) cm. Jika layar diletakkan sejauh \( 4 \) meter dari lensa proyektor, tentukan panjang sisi persegi yang terbentuk di layar.

Soal 6.

Aplikasi pada Survey Lapangan (Lebar Sungai)

Seorang pramuka ingin mengukur lebar sebuah sungai tanpa menyeberanginya. Ia menancapkan tongkat di titik \( A \) tepat di seberang sebuah pohon \( P \) di tepi lawan. Kemudian ia berjalan sejauh \( 10 \) meter ke titik \( B \) yang tegak lurus arah \( AP \), dan menancapkan tongkat lagi. Ia melanjutkan berjalan \( 5 \) meter lagi ke titik \( C \) (searah \( AB \)). Dari titik \( C \) ia berjalan tegak lurus menjauhi sungai sejauh \( 4 \) meter ke titik \( D \) hingga ia melihat titik \( D \), \( B \), dan \( P \) berada dalam satu garis lurus. Berapakah lebar sungai \( (AP) \) tersebut?

Soal 7.

Aplikasi pada Arsitektur (Rangka Atap)

Sebuah rangka atap berbentuk segitiga sama kaki memiliki tinggi \( 3 \) meter dan lebar alas \( 8 \) meter. Untuk memperkuat rangka, akan dipasang dua tiang penyangga vertikal tambahan di sisi kiri dan kanan. Jika masing-masing tiang penyangga tersebut dipasang sejauh \( 2 \) meter dari titik tengah alas, berapakah tinggi masing-masing tiang penyangga tersebut?

Soal 8.

Aplikasi pada Tangga dan Hambatan

Sebuah tangga panjang bersandar pada dinding melalui sebuah peti kayu berbentuk kubus yang menempel pada dinding. Peti tersebut memiliki panjang sisi \( 60 \) cm. Jika ujung bawah tangga di tanah berjarak \( 90 \) cm dari dinding, tentukan ketinggian ujung atas tangga yang menyentuh dinding.

Soal 9.

Aplikasi pada Fotografi (Skala Model)

Seorang fotografer ingin memotret sebuah mobil mainan sehingga pada hasil foto ukurannya tampak sama dengan mobil aslinya. Mobil mainan tersebut memiliki panjang \( 20 \) cm, sedangkan mobil asli memiliki panjang \( 4 \) meter. Jika mobil asli difoto dari jarak \( 20 \) meter, pada jarak berapakah mobil mainan tersebut harus diletakkan dari kamera agar memiliki ukuran sudut (perspektif) yang sama dengan mobil asli?

Soal 10.

Aplikasi pada Area Parkir (Pantulan Fasad Kaca)

Di sebuah area parkir, terdapat lampu penerangan jalan setinggi \( 8 \) m. Sejauh \( 12 \) m dari tiang lampu tersebut, terdapat sebuah gedung dengan dinding kaca vertikal yang bertindak sebagai cermin.

Misalkan titik \( A \) adalah dasar tiang lampu dan titik \( B \) adalah dasar dinding kaca. Seorang petugas keamanan berdiri di ruas \( AB \). Diketahui bayangan ujung kepala petugas tersebut oleh sinar langsung lampu tepat jatuh di titik \( B \). Jika petugas tersebut memiliki tinggi \( 160 \) cm, tentukan jarak petugas tersebut dari titik \( A \) (tiang lampu).

Soal 11.

Aplikasi pada Kolam Renang (Pantulan Permukaan Air)

Sebuah lampu hias dipasang pada dinding area kolam renang indoor dengan ketinggian \( 4 \) m dari permukaan air. Di seberang lampu, terdapat dinding vertikal yang membatasi kolam. Jarak horizontal antara lampu dan dinding seberang adalah \( 10 \) m.

Permukaan air kolam yang tenang bertindak sebagai cermin datar. Seorang atlet renang berdiri di tepi kolam (tepat di bawah lampu). Seorang pelatih berdiri di antara lampu dan dinding seberang. Bayangan kepala pelatih akibat pantulan permukaan air jatuh tepat pada garis batas antara air dan dinding seberang. Jika pelatih berdiri \( 2 \) m dari dinding seberang, tentukan tinggi pelatih tersebut.

Soal 12.

Aplikasi pada Panggung Teater (Efek Bayangan Ganda)

Dalam sebuah pertunjukan teater, sebuah lampu sorot (spotlight) berada pada ketinggian \( 9 \) m di atas panggung. Di salah satu sisi panggung terdapat dekorasi berupa dinding cermin besar.

Titik \( O \) adalah titik di lantai panggung tepat di bawah lampu, dan titik \( M \) adalah titik terbawah dinding cermin. Jarak \( OM \) adalah \( 15 \) m. Seorang aktor berdiri di garis \( OM \).

Tinggi aktor adalah \( 180 \) cm. Aktor berdiri sedemikian sehingga bayangan kedua (hasil pantulan cermin) dari kepala aktor jatuh tepat di titik \( O \). Hitunglah jarak aktor tersebut dari titik \( M \) (dinding cermin).

Soal 13.

Aplikasi pada Showroom Mewah

Di sebuah showroom mobil, terdapat lampu hias yang terpasang pada langit-langit dengan ketinggian \( 5 \) m dari lantai. Salah satu sisi dinding showroom menggunakan material stainless steel yang sangat mengkilap sehingga berfungsi sebagai cermin vertikal.

Titik \( A \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu, dan titik \( B \) adalah titik pada batas bawah dinding mengkilap tersebut. Jarak \( A \) ke \( B \) adalah \( 8 \) m. Seorang teknisi berdiri di jalur \( AB \) sehingga bayangan kepalanya yang terbentuk oleh sinar langsung dari lampu jatuh tepat pada titik \( B \). Jika teknisi tersebut berdiri sejauh \( 2 \) m dari dinding (titik \( B \)), berapakah tinggi badan teknisi tersebut dalam satuan cm?

Soal 14.

Aplikasi pada Studio Fotografi (Bayangan Kedua)

Dalam sebuah studio foto, sebuah lampu softbox diletakkan pada ketinggian \( 4 \) m di atas lantai. Di ujung ruangan terdapat cermin besar yang menempel pada dinding. Jarak horizontal antara lampu (titik di lantai tepat di bawahnya) dan dinding cermin tersebut adalah \( 6 \) m.

Seorang model berdiri di antara lampu dan cermin. Model tersebut berdiri pada posisi sedemikian rupa sehingga bayangan kedua kepala (bayangan hasil pantulan cahaya dari cermin) jatuh tepat pada titik di lantai yang berada di bawah lampu. Jika tinggi model tersebut adalah \( 160 \) cm, tentukan jarak model tersebut dari dinding cermin.

Soal 15.

Aplikasi pada Proyek Konstruksi (Pantulan Air)

Sebuah lampu kerja pada area proyek dipasang pada tiang setinggi \( 9 \) m. Di depan tiang tersebut, pada jarak \( 15 \) m, terdapat dinding bangunan yang permukaannya sangat tenang dan mengilap sehingga berfungsi sebagai cermin vertikal.

Misalkan titik \( P \) adalah dasar tiang lampu dan titik \( Q \) adalah dasar dinding pemantul. Seorang pengawas proyek berdiri di ruas \( PQ \). Diketahui tinggi pengawas adalah \( 180 \) cm. Pengawas berdiri pada posisi sehingga ujung bayangan kepalanya yang berasal dari sinar langsung lampu dan ujung bayangan kepalanya yang berasal dari sinar pantulan cermin (bayangan kedua) berjarak tepat \( 3 \) m satu sama lain di lantai. Hitunglah jarak pengawas dari titik \( P \) (tiang lampu).

Soal 16.

Aplikasi pada Gelanggang Olahraga (GOR)

Di sebuah GOR, terdapat lampu penerangan yang terpasang pada plafon dengan ketinggian \( 8 \) m dari lantai. Salah satu dinding GOR tersebut dilapisi cermin setinggi \( 4 \) meter dari lantai.

Misalkan titik \( P \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu dan titik \( Q \) adalah titik pada garis pertemuan cermin dan lantai. Jarak \( P \) ke \( Q \) adalah \( 16 \) m. Seorang atlet berdiri di sepanjang garis \( PQ \) sedemikian sehingga bayangan kedua kepala (yang dibentuk oleh pantulan sinar dari cermin) jatuh tepat di titik \( P \). Jika tinggi atlet tersebut adalah \( 160 \) cm, tentukan jarak atlet tersebut dari titik \( Q \) (dinding cermin).

Soal 17.

Aplikasi pada Pameran Interior

Dalam sebuah ruang pameran, sebuah lampu gantung berada pada ketinggian \( 6 \) m dari lantai. Di ujung ruangan terdapat dinding kaca hitam yang bersifat seperti cermin.

Titik \( A \) adalah proyeksi lampu di lantai dan titik \( B \) adalah dasar dinding kaca tersebut. Jarak \( AB \) adalah \( 10 \) m. Seorang desainer berdiri di garis \( AB \) sehingga ujung bayangan langsung dari kepalanya jatuh tepat di titik \( B \). Pada saat yang sama, ujung bayangan kedua kepalanya (hasil pantulan cermin) jatuh pada jarak \( 2 \) m dari titik \( B \) ke arah lampu. Tentukan tinggi desainer tersebut.

Soal 18.

Aplikasi pada Studio Tari

Sebuah studio tari memiliki lampu utama di langit-langit dengan ketinggian \( 5{,}4 \) m. Di salah satu sisi terdapat cermin rias besar yang menempel di dinding hingga ke lantai.

Misalkan titik \( R \) adalah titik di lantai tepat di bawah lampu dan titik \( S \) adalah titik dasar cermin. Jarak \( RS \) adalah \( 9 \) m. Seorang penari berdiri di atas garis \( RS \) dan memiliki tinggi badan \( 180 \) cm.

Penari tersebut bergeser sehingga bayangan langsung kepalanya berada di titik \( S \) sejauh \( 1 \) meter mendekati lampu. Tentukan jarak antara ujung bayangan langsung dan ujung bayangan kedua kepalanya yang terbentuk di lantai.

Soal 19.

Pengamatan Pelabuhan dari Mercusuar

Seorang petugas navigasi berada di puncak mercusuar yang lantainya setinggi \( 38{,}20 \) m di atas permukaan laut. Saat berdiri, jarak mata petugas tersebut ke lantai adalah \( 1{,}80 \) m. Ruang pengamatan memiliki pagar pembatas setinggi \( 1{,}2 \) m yang mengelilingi balkon.

Untuk melihat sebuah kapal yang sedang bersandar di dermaga, petugas tersebut berdiri di balkon sehingga garis pandang matanya tepat melewati tepi atas pagar pembatas. Jika petugas tersebut berdiri sejauh \( 2 \) m dari pagar, berapakah jarak horizontal kapal tersebut dari kaki mercusuar?

Soal 20.

Kontrol Keamanan di Gudang Logistik

Sebuah kamera pemantau (CCTV) dipasang pada dinding gudang di ketinggian \( 14{,}50 \) m dari permukaan tanah. Lensa kamera dianggap sebagai titik sudut pandang.

Di depan kamera, sejauh \( 1{,}5 \) m, terdapat sebuah sekat pembatas setinggi \( 2{,}5 \) m dari tanah yang digunakan untuk area parkir forklift.

Pihak keamanan ingin mengetahui area blind spot (area yang tidak tertangkap kamera) di permukaan tanah. Jika garis pandang terendah kamera tepat melewati ujung atas sekat pembatas tersebut, berapakah jarak horizontal dari dinding gudang ke titik terdekat di tanah yang mulai dapat terlihat oleh kamera?

Soal 21.

Pengamatan Air Terjun dari Jembatan Pandang

Seorang wisatawan berada di sebuah jembatan pandang yang lantainya setinggi \( 23{,}40 \) m di atas dasar lembah. Tinggi mata wisatawan tersebut dari lantai jembatan adalah \( 1{,}60 \) m. Jembatan tersebut memiliki pagar pelindung setinggi \( 1{,}10 \) m.

Wisatawan tersebut ingin melihat bebatuan di dasar air terjun melalui celah di bawah pagar (tepat di permukaan lantai jembatan). Jika wisatawan tersebut berdiri sejauh \( 1{,}25 \) m dari pagar dan pandangannya tepat melewati celah lantai tersebut, berapakah jarak horizontal bebatuan di air terjun itu dari posisi tegak lurus di bawah jembatan?

Soal 22.

Pengamatan Stadion dari Ruang VIP

Seorang penonton berada di ruang VIP sebuah stadion yang lantainya terletak \( 13{,}40 \) m di atas permukaan lapangan. Saat berdiri, tinggi mata penonton tersebut dari lantai adalah \( 1{,}60 \) m. Ruangan tersebut dibatasi oleh pagar kaca setinggi \( 1 \) m.

Agar dapat melihat garis tepi lapangan (touchline), penonton tersebut berdiri sehingga garis pandang matanya tepat bersinggungan dengan tepi atas pagar kaca. Jika jarak horizontal antara penonton dan pagar kaca adalah \( 1{,}5 \) m, berapakah jarak horizontal dari garis tepi lapangan tersebut ke dinding gedung tribun VIP?

Soal 23.

Pengamatan Pelampung dari Dek Kapal Pesiar

Seorang penumpang kapal pesiar berdiri di dek observasi yang ketinggian lantainya adalah \( 22{,}25 \) m di atas permukaan air laut. Tinggi mata penumpang tersebut dari lantai dek adalah \( 1{,}75 \) m. Di pinggir dek terdapat pagar pengaman setinggi \( 1{,}20 \) m.

Penumpang tersebut berdiri pada posisi tertentu sehingga ia dapat melihat sebuah pelampung kuning di permukaan laut melalui tepi atas pagar. Jika jarak horizontal antara penumpang dan pagar adalah \( 2{,}2 \) m, tentukan jarak horizontal pelampung tersebut dari lambung kapal.

Soal 24.

Pengamatan Landasan dari Menara Kontrol (ATC)

Seorang petugas air traffic control (ATC) berada di ruang kontrol yang lantainya setinggi \( 43{,}30 \) m dari permukaan landasan pacu. Tinggi mata petugas saat berdiri adalah \( 1{,}70 \) m dari lantai. Jendela ruang kontrol memiliki bingkai bawah yang tingginya \( 0{,}90 \) m dari lantai.

Petugas tersebut berdiri di sebuah titik sehingga ia dapat melihat ujung landasan pacu tepat melalui bingkai bawah jendela tersebut. Jika jarak antara petugas dan jendela adalah \( 2 \) m, berapakah jarak horizontal dari menara kontrol ke ujung landasan pacu tersebut?

Soal 25.

Bayangan pada Dinding (Shadow on Wall)

Sebuah lampu sorot dipasang pada tiang setinggi \( 6 \) meter. Sebuah tiang pancang setinggi \( 2 \) meter ditancapkan secara vertikal pada jarak \( 4 \) meter dari tiang lampu tersebut. Di belakang tiang pancang, terdapat dinding gedung vertikal yang berjarak \( 1 \) meter dari tiang pancang.

Pertanyaan: Berapakah tinggi bayangan tiang pancang yang terbentuk pada dinding gedung tersebut?

Soal 26.

Kesebangunan Dua Arah (Double Light Source)

Dua buah tiang lampu, Lampu \( A \) dengan tinggi \( 3 \) meter dan Lampu \( B \) dengan tinggi \( 5 \) meter, berdiri terpisah sejauh \( 12 \) meter. Seorang anak dengan tinggi badan \( 1 \) meter berjalan di sepanjang garis lurus yang menghubungkan kedua tiang lampu tersebut.

Pertanyaan: Pada jarak berapakah anak tersebut harus berdiri dari Lampu \( A \) agar panjang bayangan yang dihasilkan oleh Lampu \( A \) dan panjang bayangan yang dihasilkan oleh Lampu \( B \) memiliki panjang yang tepat sama?

Soal 27.

Bayangan pada Anak Tangga (Step Geometry)

Sebuah tiang lampu setinggi \( 5 \) meter berdiri tepat di depan anak tangga pertama sebuah gedung. Di antara tiang lampu dan tangga, diletakkan sebuah papan vertikal setinggi \( 1 \) meter pada jarak \( 4 \) meter dari tiang lampu.

Tangga tersebut memiliki desain khusus di mana setiap anak tangga memiliki tinggi \( 25 \) cm dan lebar (pijakan) \( 25 \) cm. Pertanyaan: Jika ujung bayangan papan tersebut jatuh pada salah satu anak tangga, pada anak tangga ke-berapa ujung bayangan tersebut berada? (Asumsikan anak tangga pertama dimulai tepat setelah posisi papan.)

Soal 28.

Bayangan pada Permukaan Miring (Tanggul)

Sebuah lampu jalan setinggi \( 9 \) meter berdiri tegak di atas tanah datar. Sejauh \( 4 \) meter dari tiang lampu, terdapat sebuah pagar vertikal setinggi \( 3 \) meter.

Tepat \( 1 \) meter di belakang pagar (atau \( 5 \) meter dari lampu), tanah mulai menanjak membentuk tanggul miring dengan sudut kemiringan \( 45^\circ \). Artinya, setiap maju \( 1 \) meter secara horizontal, ketinggian tanah naik \( 1 \) meter.

Pertanyaan: Tentukan panjang total bayangan pagar tersebut yang diukur sepanjang permukaan tanah (hitung bagian di tanah datar dan bagian yang merambat naik di permukaan tanggul).

Soal 29.

Proyeksi Cahaya melalui Lubang (Geometri Ruang)

Sebuah lampu sorot kecil (titik cahaya) dipasang pada plafon gudang setinggi \( 12 \) meter. Di bawah lampu tersebut, pada ketinggian \( 4 \) meter dari lantai, terdapat sebuah plat besi horizontal yang memiliki lubang berbentuk persegi dengan panjang sisi \( 20 \) cm. Pusat lubang tersebut berada tepat secara vertikal di bawah lampu.

Pertanyaan: Berapakah luas daerah cahaya berbentuk persegi yang terbentuk di lantai gudang tersebut? (Nyatakan dalam satuan \( cm^2 \) atau \( m^2 \)).

Soal 30.

Titik Temu Bayangan (Dua Sumber Cahaya)

Dua tiang lampu, Lampu \( P \) dengan tinggi \( 6 \) meter dan Lampu \( Q \) dengan tinggi \( 9 \) meter, berdiri terpisah sejauh \( 15 \) meter. Seorang pengawas dengan tinggi \( 1{,}5 \) meter berdiri di antara kedua tiang tersebut.

Pengawas ingin mencari posisi berdiri yang sangat spesifik, yaitu di mana ujung bayangan kepalanya yang dibentuk oleh Lampu \( P \) dan ujung bayangan kepalanya yang dibentuk oleh Lampu \( Q \) jatuh di satu titik yang sama di tanah.

Pertanyaan: Pada jarak berapakah pengawas tersebut harus berdiri dari Lampu \( P \)?