Soal 11. Nilai \( b \) yang memenuhi sistem persamaan \( \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}=6 \) dan \( \dfrac{3}{a}-\dfrac{6}{b}=2 \) adalah ....
A. \( 3 \)
B. \( \dfrac{5}{2} \)
C. \( 2 \)
D. \( \dfrac{3}{2} \)
E. \( \dfrac{1}{2} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Misalkan \( u=\dfrac{1}{a} \) dan \( v=\dfrac{1}{b} \). Maka sistem menjadi:
\( 2u+3v=6 \)
\( 3u-6v=2 \)
Langkah 2: Dari \( 2u+3v=6 \) diperoleh \( u=3-\dfrac{3}{2}v \).
Langkah 3: Substitusi ke \( 3u-6v=2 \):
\( 3\left(3-\dfrac{3}{2}v\right)-6v=2 \)
\( 9-\dfrac{9}{2}v-6v=2 \)
\( 9-\dfrac{21}{2}v=2 \Rightarrow \dfrac{21}{2}v=7 \Rightarrow v=\dfrac{2}{3} \)
Langkah 4: Karena \( v=\dfrac{1}{b} \), maka \( \dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow b=\dfrac{3}{2} \).
Jawaban: D yaitu \( \dfrac{3}{2} \).
Soal 12. Nilai maksimum fungsi \( f(x,y)=300x+400y \) yang memenuhi sistem pertidaksamaan \( x+y\le 80 \), \( 5x+3y\le 300 \), \( x\ge 0 \), \( y\ge 0 \) adalah ....
A. \( 14.000 \)
B. \( 18.000 \)
C. \( 29.000 \)
D. \( 32.000 \)
E. \( 37.000 \)
Jawaban & Analisis
Ide utama: Nilai maksimum program linear terjadi di titik pojok daerah feasible.
Langkah 1 (titik pojok):
Dari \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \) ada titik \( (0,0) \).
Jika \( x=0 \), maka \( y\le 80 \) dan \( 3y\le 300 \Rightarrow y\le 100 \), jadi titik \( (0,80) \).
Jika \( y=0 \), maka \( x\le 80 \) dan \( 5x\le 300 \Rightarrow x\le 60 \), jadi titik \( (60,0) \).
Langkah 2 (potong dua garis batas):
\( x+y=80 \) dan \( 5x+3y=300 \).
Substitusi \( y=80-x \) ke \( 5x+3y=300 \):
\( 5x+3(80-x)=300 \Rightarrow 5x+240-3x=300 \Rightarrow 2x=60 \Rightarrow x=30 \)
\( y=80-30=50 \), jadi titik \( (30,50) \).
Langkah 3 (nilai \( f \) di titik pojok):
\( f(0,0)=300(0)+400(0)=0 \)
\( f(60,0)=300(60)+400(0)=18.000 \)
\( f(30,50)=300(30)+400(50)=9.000+20.000=29.000 \)
\( f(0,80)=300(0)+400(80)=32.000 \)
Kesimpulan: Nilai maksimum adalah \( 32.000 \).
Jawaban: D yaitu \( 32.000 \).
Soal 13. Akar-akar persamaan kuadrat \( 2x^2+3x-5=0 \) adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \). Jika \( x_2 \gt x_1 \), maka nilai dari \( 4x_1+3x_2 \) = ....
A. \( 7 \)
B. \( 5 \)
C. \( -3 \)
D. \( -5 \)
E. \( -7 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (rumus kuadrat):
\( x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4(2)(-5)}}{2\cdot 2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+40}}{4}=\dfrac{-3\pm 7}{4} \).
Langkah 2 (tentukan \( x_1 \) dan \( x_2 \)):
\( x_1=\dfrac{-3-7}{4}=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2} \)
\( x_2=\dfrac{-3+7}{4}=\dfrac{4}{4}=1 \) karena \( x_2 \gt x_1 \).
Langkah 3:
\( 4x_1+3x_2=4\left(-\dfrac{5}{2}\right)+3(1)=-10+3=-7 \).
Jawaban: E yaitu \( -7 \).
Soal 14. Akar-akar persamaan kuadrat dari \( 3x^2+x-5=0 \) adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \). Nilai dari \( \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1} \) = ....
A. \( -\dfrac{43}{15} \)
B. \( -\dfrac{33}{15} \)
C. \( -\dfrac{31}{15} \)
D. \( -\dfrac{26}{15} \)
E. \( -\dfrac{21}{15} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (ubah bentuk):
\( \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} \).
Langkah 2 (Vieta): Untuk \( 3x^2+x-5=0 \),
\( x_1+x_2=-\dfrac{1}{3} \) dan \( x_1x_2=-\dfrac{5}{3} \).
Langkah 3 (hitung \( x_1^2+x_2^2 \)):
\( x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2-2\left(-\dfrac{5}{3}\right) \)
\( =\dfrac{1}{9}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{30}{9}=\dfrac{31}{9} \).
Langkah 4 (bagi dengan \( x_1x_2 \)):
\( \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{\tfrac{31}{9}}{-\tfrac{5}{3}}=\dfrac{31}{9}\cdot\dfrac{3}{-5}=-\dfrac{31}{15} \).
Jawaban: C yaitu \( -\dfrac{31}{15} \).
Soal 15. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( (x+2)^2+3(x-2)-6\lt 0 \) adalah ....
A. \( \{x\mid -1\lt x\lt 8,\ x\in \mathbb{R}\} \)
B. \( \{x\mid -8\lt x\lt 1,\ x\in \mathbb{R}\} \)
C. \( \{x\mid -8\lt x\lt -1,\ x\in \mathbb{R}\} \)
D. \( \{x\mid x\lt -1 \ \text{atau}\ x\gt 8,\ x\in \mathbb{R}\} \)
E. \( \{x\mid x\lt -8 \ \text{atau}\ x\gt 1,\ x\in \mathbb{R}\} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (sederhanakan):
\( (x+2)^2+3(x-2)-6=x^2+4x+4+3x-6-6=x^2+7x-8 \).
Jadi pertidaksamaan menjadi \( x^2+7x-8\lt 0 \).
Langkah 2 (faktorkan):
\( x^2+7x-8=(x+8)(x-1) \).
Langkah 3 (tanda hasil kali):
\( (x+8)(x-1)\lt 0 \) bernilai negatif jika \( x \) berada di antara akar-akarnya, yaitu \( -8\lt x\lt 1 \).
Jawaban: B yaitu \( \{x\mid -8\lt x\lt 1,\ x\in \mathbb{R}\} \).