Soal 26. Seorang anak menabung untuk membeli sepeda idolanya. Jika pada bulan pertama menabung Rp\( 10.000{,}00 \), bulan ke-\( 2 \) menabung Rp\( 12.000{,}00 \), bulan ke-\( 3 \) menabung Rp\( 14.000{,}00 \), dan seterusnya setiap bulan dengan kenaikan Rp\( 2.000{,}00 \) dari bulan sebelumnya. Pada akhir tahun ke-\( 2 \) jumlah tabungan anak tersebut adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 26
Jawaban: B
Tabungan per bulan membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama \( a=10000 \), beda \( d=2000 \), dan banyak bulan selama \( 2 \) tahun adalah \( n=24 \).
Jumlah \( n \) suku pertama barisan aritmetika:
\( S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right) \).
Substitusi:
\( S_{24}=\dfrac{24}{2}\left(2(10000)+23(2000)\right)=12(20000+46000)=12(66000)=792000 \).
Jadi jumlah tabungan \( = \) Rp\( 792.000{,}00 \).
Analisis opsi:
A salah karena melebihi hasil penjumlahan \( 24 \) bulan.
B benar karena sama dengan \( S_{24}=792000 \).
C, D, E salah karena lebih kecil dari hasil yang benar.
Soal 27. Turunan pertama dari \( f(x)=(3x^2-7)^4 \) adalah \( f'(x) \) = ....
Jawaban & Analisis Soal 27
Jawaban: C
Gunakan aturan rantai. Jika \( f(x)=(u)^4 \), maka \( f'(x)=4u^3\cdot u' \).
Ambil \( u=3x^2-7 \), sehingga \( u'=6x \).
Maka:
\( f'(x)=4(3x^2-7)^3\cdot 6x=24x(3x^2-7)^3 \).
Analisis opsi:
A dan B salah karena koefisiennya kurang (belum mengalikan \( 4 \) dan \( 6x \) dengan benar).
C benar karena sesuai hasil aturan rantai.
D dan E salah karena koefisiennya terlalu besar.
Soal 28. Nilai dari \( \lim_{x \to 6}\left(\sqrt{x^2-4x+3}-x+1\right) \) = ....
Jawaban & Analisis Soal 28
Jawaban (hasil limit): \( \sqrt{15}-5 \)
Fungsi akar kontinu untuk \( x \) yang membuat isi akar \( \ge 0 \), sehingga limit dapat dihitung dengan substitusi langsung.
Hitung isi akar saat \( x=6 \):
\( 6^2-4(6)+3=36-24+3=15 \), sehingga \( \sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{15} \).
Maka:
\( \lim_{x \to 6}\left(\sqrt{x^2-4x+3}-x+1\right)=\sqrt{15}-6+1=\sqrt{15}-5 \).
Catatan opsi:
Hasil limit tepat adalah \( \sqrt{15}-5 \), yang bukan bilangan bulat. Jika harus memilih dari opsi bulat yang tersedia, nilai \( \sqrt{15}-5 \) berada di sekitar \( -1 \) karena \( \sqrt{15}\approx 3{,}87 \) sehingga \( \sqrt{15}-5\approx -1{,}13 \).
Soal 29. Nilai dari \( \lim_{x \to -3}\dfrac{x^2-3x-18}{x^2+2x-3} \) = ....
Jawaban & Analisis Soal 29
Jawaban: E
Faktorkan pembilang dan penyebut:
\( x^2-3x-18=(x-6)(x+3) \).
\( x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \).
Sederhanakan (untuk \( x\ne -3 \)):
\( \dfrac{(x-6)(x+3)}{(x+3)(x-1)}=\dfrac{x-6}{x-1} \).
Substitusi \( x=-3 \):
\( \dfrac{-3-6}{-3-1}=\dfrac{-9}{-4}=\dfrac{9}{4}=2\dfrac{1}{4} \).
Analisis opsi:
A, B, C, D salah karena bukan \( \dfrac{9}{4} \).
E benar karena \( 2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4} \).
Soal 30. Grafik fungsi \( f(x)=x^3-3x^2-9x+15 \) turun dalam interval ....
Jawaban & Analisis Soal 30
Jawaban: D
Fungsi turun saat \( f'(x) \lt 0 \).
Turunan:
\( f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1) \).
Titik kritis saat \( f'(x)=0 \) adalah \( x=3 \) dan \( x=-1 \).
Uji tanda \( (x-3)(x+1) \):
Jika \( -1 \lt x \lt 3 \), maka \( x+1 \gt 0 \) dan \( x-3 \lt 0 \) sehingga \( (x-3)(x+1) \lt 0 \), akibatnya \( f'(x) \lt 0 \).
Jadi grafik turun pada \( -1 \lt x \lt 3 \).
Analisis opsi:
A, B, C salah karena intervalnya tidak sesuai daerah \( f'(x) \lt 0 \).
D benar karena tepat menunjukkan daerah turunnya fungsi.
E salah karena hanya sebagian dari interval turun yang benar.