Soal 16
Nilai \( \lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4} \) adalah ....
A. \( \frac{-1}{4} \)
B. \( \frac{-1}{8} \)
C. \( \frac{1}{8} \)
D. \( 1 \)
E. \( \frac{5}{4} \)
Jawaban & Analisa
Substitusi langsung \(x=2\) memberi bentuk \( \frac{0}{0} \), sehingga perlu disederhanakan.
Faktorkan: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) dan \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Untuk \(x \ne 2\) (artinya \(x \lt 2\) atau \(x \gt 2\)), hasilnya menjadi: \[ \frac{x-3}{x+2}. \]
Substitusi \(x=2\): \[ \frac{2-3}{2+2}=\frac{-1}{4}. \]
Jawaban: A
Soal 17
Nilai \( \lim_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \) adalah ....
A. \( \infty \)
B. \( 0 \)
C. \( 1 \)
D. \( 2 \)
E. \( 3 \)
Jawaban & Analisa
Saat \(x\to\infty\), maka \( \frac{1}{x}\to 0 \) dan \( \sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim\frac{1}{x} \).
Sehingga: \[ \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\sim\frac{\frac{1}{x}}{x}=\frac{1}{x^2}. \] Karena \(x\to\infty\), maka hasilnya \(0\). Nilai ini jelas memenuhi \(0 \lt 1\).
Jawaban: B
Soal 18
Jika \( f(x)=\frac{x^2-3x}{x^2+2x+1} \), maka \( f'(2) \) adalah ....
A. \( \frac{-2}{9} \)
B. \( \frac{1}{9} \)
C. \( \frac{1}{8} \)
D. \( \frac{7}{27} \)
E. \( \frac{7}{4} \)
Jawaban & Analisa
Gunakan aturan hasil bagi: \[ f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \] Dengan \(u=x^2-3x\) dan \(v=x^2+2x+1\).
Substitusi \(x=2\): \[ f'(2)=\frac{9+12}{81}=\frac{21}{81}=\frac{7}{27}. \] Nilai ini berada pada \(0 \lt \frac{7}{27} \lt 1\).
Jawaban: D
Soal 19
Ditetapkan \( f(x)=2x^3-9x^2-12x \). Fungsi \(f\) naik dalam interval ....
A. \( -1 \lt x \lt 2 \)
B. \( 1 \lt x \lt 2 \)
C. \( -2 \lt x \lt -1 \)
D. \( x \lt -2 \text{ atau } x \gt 1 \)
E. \( x \lt 1 \text{ atau } x \gt 2 \)
Jawaban & Analisa
Fungsi naik saat \( f'(x) \gt 0 \).
Turunan: \[ f'(x)=6x^2-18x-12=6(x^2-3x-2). \] Akar: \[ x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}. \]
Sehingga \(f'(x)\gt 0\) untuk \[ x \lt \frac{3-\sqrt{17}}{2} \text{ atau } x \gt \frac{3+\sqrt{17}}{2}. \]
Soal 20
Nilai maksimum dari fungsi \( f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+9 \) pada interval \(0 \le x \le 3\) adalah ....
A. \( 9\frac{2}{3} \)
B. \( 9\frac{5}{6} \)
C. \( 10 \)
D. \( 10\frac{1}{2} \)
E. \( 10\frac{2}{3} \)
Jawaban & Analisa
Titik kritis saat \(f'(x)=0\). \[ f'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]
Evaluasi pada \(x=0,1,2,3\): \[ f(3)=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}. \] Karena \(10\frac{1}{2} \gt 9\frac{5}{6} \gt 9\frac{2}{3}\), maka maksimum terjadi di \(x=3\).
Jawaban: D