Soal 6
Diketahui \( ^2\log 3=m \) dan \( ^2\log 5=n \). Nilai \( ^2\log 90 \) adalah ....
A. \( 2m+2n \)
B. \( 1+2m+n \)
C. \( 1+m^2+n \)
D. \( 2+2m+n \)
E. \( 2+m^2+n \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Uraikan \( 90 \) menjadi faktor prima.
\( 90=2\cdot 3^2\cdot 5 \).
Langkah 2: Gunakan sifat logaritma.
\( ^2\log 90=^2\log(2\cdot 3^2\cdot 5) \).
\( =^2\log 2+^2\log 3^2+^2\log 5 \).
Langkah 3: Sederhanakan.
\( ^2\log 2=1 \), \( ^2\log 3^2=2\,^2\log 3=2m \), dan \( ^2\log 5=n \).
Jadi \( ^2\log 90=1+2m+n \).
Catatan: karena \( 1 \lt 2 \) dan koefisien sesuai hasil perhitungan, maka jawaban yang benar adalah \( 1+2m+n \). Jika opsi berbeda penulisan, sesuaikan dengan pilihan yang tersedia.
Soal 7
Koordinat titik balik fungsi kuadrat dari persamaan \( 4y-4x^2+4x-7=0 \) adalah ....
A. \( \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \)
B. \( \left(-\frac{1}{2},\frac{7}{4}\right) \)
C. \( \left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
D. \( \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \)
E. \( \left(\frac{1}{2},\frac{7}{4}\right) \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Ubah ke bentuk fungsi \( y \).
\( 4y=4x^2-4x+7 \).
\( y=x^2-x+\frac{7}{4} \).
Langkah 2: Gunakan rumus absis puncak \( x_p=-\frac{b}{2a} \).
Di sini \( a=1 \), \( b=-1 \), sehingga \( x_p=\frac{1}{2} \).
Langkah 3: Substitusi ke fungsi.
\( y_p=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+\frac{7}{4} \).
\( =\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{7}{4}=\frac{1-2+7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \).
Kesimpulan: titik balik adalah \( \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \). Karena \( \frac{3}{2} \lt \frac{7}{4} \), pilihan yang benar adalah D sesuai hasil perhitungan.
Soal 8
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah ....
A. \( y=-2x^2+4x+3 \)
B. \( y=-2x^2+2x+3 \)
C. \( y=-x^2-2x+3 \)
D. \( y=-x^2+2x-3 \)
E. \( y=-x^2+2x+3 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Dari gambar terlihat parabola terbuka ke bawah, sehingga \( a \lt 0 \).
Langkah 2: Titik puncak tampak di sekitar \( (1,4) \).
Gunakan bentuk puncak \( y=a(x-1)^2+4 \).
Langkah 3: Grafik memotong sumbu \( Y \) di \( (0,3) \).
Substitusi \( (0,3) \):
\( 3=a(0-1)^2+4 \Rightarrow 3=a+4 \Rightarrow a=-1 \).
Langkah 4: Bentuk umumnya.
\( y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3 \).
Soal 9
Fungsi \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dan \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) ditentukan oleh \( f(x)=2x+1 \) dan \( g(x)=3x+2 \). Maka rumus fungsi \( (f\circ g)(x) \) adalah ....
A. \( 6x+3 \)
B. \( 6x-3 \)
C. \( 6x+5 \)
D. \( 6x-5 \)
E. \( -6x+5 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Komposisi \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \).
\( =f(3x+2) \).
Langkah 2: Substitusi ke \( f(x)=2x+1 \).
\( f(3x+2)=2(3x+2)+1 \).
\( =6x+4+1=6x+5 \).
Soal 10
Diketahui fungsi \( f(x)=\frac{1-2x}{3x+4} \), dengan \( x\ne -\frac{4}{3} \). Jika \( f^{-1} \) adalah invers dari \( f \), maka \( f^{-1}(x) \) adalah ....
A. \( \frac{1+4x}{3x+2},\; x\ne -\frac{2}{3} \)
B. \( \frac{1-4x}{3x+2},\; x\ne -\frac{2}{3} \)
C. \( \frac{4x-1}{3x-2},\; x\ne \frac{2}{3} \)
D. \( \frac{4x-1}{3x+2},\; x\ne -\frac{2}{3} \)
E. \( \frac{1-4x}{3x-2},\; x\ne \frac{2}{3} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan \( y=\frac{1-2x}{3x+4} \).
Langkah 2: Tukar \( x \) dan \( y \).
\( x=\frac{1-2y}{3y+4} \).
Langkah 3: Selesaikan terhadap \( y \).
\( x(3y+4)=1-2y \).
\( 3xy+4x=1-2y \).
\( 3xy+2y=1-4x \).
\( y(3x+2)=1-4x \).
\( y=\frac{1-4x}{3x+2} \).
Kesimpulan: \( f^{-1}(x)=\frac{1-4x}{3x+2} \) dengan \( 3x+2\ne 0 \Rightarrow x\ne -\frac{2}{3} \).