Soal 11
Akar-akar dari persamaan kuadrat \( 2x^2-3x-5=0 \) adalah ....
A. \( -\frac{5}{2} \) atau \( 1 \)
B. \( -\frac{5}{2} \) atau \( -1 \)
C. \( \frac{5}{2} \) atau \( -1 \)
D. \( \frac{2}{5} \) atau \( 1 \)
E. \( -\frac{2}{5} \) atau \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (faktorkan):
\( 2x^2-3x-5=(2x-5)(x+1) \).
Langkah 2 (nolkan tiap faktor):
\( 2x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2} \).
\( x+1=0 \Rightarrow x=-1 \).
Kesimpulan: akar-akarnya \( \frac{5}{2} \) dan \( -1 \), sesuai opsi C.
Soal 12
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat \( 2x^2-7x-6=0 \) adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \). Nilai \( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \) adalah ....
A. \( -3 \)
B. \( -\frac{7}{6} \)
C. \( \frac{3}{14} \)
D. \( \frac{4}{7} \)
E. \( \frac{6}{7} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (Vieta): untuk \( ax^2+bx+c=0 \), berlaku \( x_1+x_2=-\frac{b}{a} \) dan \( x_1x_2=\frac{c}{a} \).
Di sini \( a=2 \), \( b=-7 \), \( c=-6 \).
\( x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2} \) dan \( x_1x_2=\frac{-6}{2}=-3 \).
Langkah 2: gunakan identitas
\( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \).
Langkah 3:
\( \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{7}{2}}{-3}=-\frac{7}{6} \).
Kesimpulan: nilai yang benar \( -\frac{7}{6} \), yaitu opsi B.
Catatan penting: karena \( x_1x_2=-3 \lt 0 \), maka salah satu akar negatif, sehingga jumlah kebalikan wajar bernilai negatif.
Soal 13
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( x^2+5x \ge 2(2x+3) \) adalah ....
A. \( \{x\mid x \le -3 \ \text{atau}\ x \ge 2\} \)
B. \( \{x\mid x \le -2 \ \text{atau}\ x \ge 3\} \)
C. \( \{x\mid x \le 2 \ \text{atau}\ x \ge 3\} \)
D. \( \{x\mid -3 \le x \le 2\} \)
E. \( \{x\mid -2 \le x \le 3\} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Uraikan pertidaksamaan:
\( x^2+5x \ge 2(2x+3) \Rightarrow x^2+5x \ge 4x+6 \).
Langkah 2: Pindahkan ruas:
\( x^2+5x-4x-6 \ge 0 \Rightarrow x^2+x-6 \ge 0 \).
Langkah 3: Faktorkan:
\( x^2+x-6=(x+3)(x-2) \).
Langkah 4 (analisis tanda):
Produk \( (x+3)(x-2)\ge 0 \) terjadi jika \( x \le -3 \) atau \( x \ge 2 \).
Kesimpulan: himpunan penyelesaian \( \{x\mid x \le -3 \ \text{atau}\ x \ge 2\} \).
Soal 14
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier \( 2x-y=1 \) dan \( 4x+7y=11 \) adalah \( \{(x_0,y_0)\} \). Nilai dari \( x_0+y_0 \) adalah ....
A. \( -2 \)
B. \( -1 \)
C. \( 0 \)
D. \( 1 \)
E. \( 2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Dari \( 2x-y=1 \) diperoleh \( y=2x-1 \).
Langkah 2: Substitusi ke \( 4x+7y=11 \):
\( 4x+7(2x-1)=11 \Rightarrow 4x+14x-7=11 \Rightarrow 18x=18 \Rightarrow x=1 \).
Langkah 3: Hitung \( y \):
\( y=2(1)-1=1 \).
Langkah 4:
\( x_0+y_0=1+1=2 \).
Kesimpulan: jawabannya \( 2 \), yaitu opsi E.
Soal 15
Harga \( 3 \) kg beras dan \( 2 \) kg gula di Toko A adalah Rp\( 17.000,00 \), sedangkan di Toko B harga \( 4 \) kg beras dan \( 5 \) kg gula adalah Rp\( 32.000,00 \). Pada saat itu, harga beras dan gula di Toko A dan Toko B sama. Jika Budi membeli \( 1 \) kg beras dan setengah kilogram gula maka harga yang dibayar adalah ....
A. Rp\( 3.000,00 \)
B. Rp\( 4.000,00 \)
C. Rp\( 5.000,00 \)
D. Rp\( 5.500,00 \)
E. Rp\( 6.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Misalkan harga beras per kg \( =x \) dan harga gula per kg \( =y \).
Dari Toko A: \( 3x+2y=17000 \).
Dari Toko B: \( 4x+5y=32000 \).
Langkah 2: Eliminasi.
Kalikan persamaan pertama dengan \( 5 \): \( 15x+10y=85000 \).
Kalikan persamaan kedua dengan \( 2 \): \( 8x+10y=64000 \).
Kurangkan: \( (15x+10y)-(8x+10y)=85000-64000 \Rightarrow 7x=21000 \Rightarrow x=3000 \).
Langkah 3: Cari \( y \) dari \( 3x+2y=17000 \):
\( 3(3000)+2y=17000 \Rightarrow 9000+2y=17000 \Rightarrow 2y=8000 \Rightarrow y=4000 \).
Langkah 4: Budi membeli \( 1 \) kg beras dan \( \frac{1}{2} \) kg gula:
Biaya \( =x+\frac{1}{2}y=3000+\frac{1}{2}\cdot 4000=3000+2000=5000 \).
Kesimpulan: harga yang dibayar Rp\( 5.000,00 \).