Soal 1. Bentuk sederhana dari \( \dfrac{24a^{-7}b^{-2}c}{6a^{-2}b^{-3}c^{-6}} \) adalah ....
A. \( \dfrac{4c^5}{a^3b^5} \)
B. \( \dfrac{4b}{a^5c^5} \)
C. \( \dfrac{4b}{a^3c} \)
D. \( \dfrac{4bc^7}{a^5} \)
E. \( \dfrac{4c^7}{a^3b} \)
Jawaban & Analisis Soal 1
Jawaban: D
Sederhanakan koefisien dan pangkat dengan aturan \( \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n} \).
Koefisien: \( \dfrac{24}{6}=4 \).
Untuk \( a \): \( \dfrac{a^{-7}}{a^{-2}} = a^{-7-(-2)} = a^{-5} \).
Untuk \( b \): \( \dfrac{b^{-2}}{b^{-3}} = b^{-2-(-3)} = b^{1} \).
Untuk \( c \): \( \dfrac{c^{1}}{c^{-6}} = c^{1-(-6)} = c^{7} \).
Maka hasilnya:
\( 4 \cdot a^{-5}\cdot b \cdot c^7 = \dfrac{4bc^7}{a^5} \).
Analisis opsi:
A salah karena pangkat \( c \) seharusnya \( 7 \), bukan \( 5 \).
B salah karena hasil memuat \( c^7 \) di pembilang, bukan \( c^5 \) di penyebut.
C salah karena pangkat \( a \) seharusnya \( 5 \) di penyebut dan pangkat \( c \) seharusnya \( 7 \).
D benar karena sama dengan hasil penyederhanaan \( \dfrac{4bc^7}{a^5} \).
E salah karena variabel \( b \) seharusnya berada di pembilang, bukan di penyebut.
Soal 2. Dalam kantong terdapat \( 4 \) kelereng merah dan \( 5 \) kelereng biru. Jika dari kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarna merah dan satu berwarna biru adalah ....
A. \( \dfrac{9}{81} \)
B. \( \dfrac{20}{81} \)
C. \( \dfrac{4}{9} \)
D. \( \dfrac{5}{9} \)
E. \( \dfrac{4}{5} \)
Jawaban & Analisis Soal 2
Jawaban: D
Pengambilan \( 2 \) kelereng sekaligus berarti tanpa urutan (kombinasi).
Total cara mengambil \( 2 \) dari \( 9 \):
\( \binom{9}{2} = \dfrac{9\cdot 8}{2} = 36 \).
Cara mendapatkan \( 1 \) merah dan \( 1 \) biru:
\( \binom{4}{1}\binom{5}{1} = 4\cdot 5 = 20 \).
Peluang:
\( \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9} \).
Analisis opsi:
A salah karena bukan \( \dfrac{9}{81} \).
B salah karena penyebut seharusnya \( \binom{9}{2}=36 \), bukan \( 81 \).
C salah karena \( \dfrac{4}{9} \neq \dfrac{5}{9} \).
D benar karena hasil tepat \( \dfrac{5}{9} \).
E salah karena peluang selalu \( \lt 1 \), sedangkan \( \dfrac{4}{5} \) tidak sesuai perhitungan.
Soal 3. Diketahui:
Premis 1: Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian.
Premis 2: Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN.
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN.
B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN.
C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN.
D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian.
E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN.
Jawaban & Analisis Soal 3
Jawaban: A
Misalkan:
\( p \): Adi rajin belajar
\( q \): Adi lulus ujian
\( r \): Adi diterima di PTN
Premis 1: \( p \rightarrow q \).
Premis 2: \( q \rightarrow r \).
Dengan kaidah silogisme hipotetik, dari \( p \rightarrow q \) dan \( q \rightarrow r \) diperoleh:
\( p \rightarrow r \), yaitu “Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN”.
Analisis opsi:
A benar karena tepat sama dengan hasil \( p \rightarrow r \).
B tidak harus benar dari premis yang diberikan (bukan kesimpulan langsung yang dijamin).
C bertentangan dengan arah premis (premis mengarah ke diterima PTN, bukan ditolak).
D tidak dapat dipastikan dari premis (bisa saja rajin, bisa saja tidak, premis tidak menyatakan itu terjadi).
E salah karena itu bukan akibat logis dari premis (bahkan berlawanan arah).
Soal 4. Diketahui segitiga \( ABC \) dengan \( A(2,1,2) \), \( B(6,1,2) \), dan \( C(6,5,2) \). Jika \( \vec{u} \) mewakili \( \overrightarrow{AB} \) dan \( \vec{v} \) mewakili \( \overrightarrow{AC} \), maka sudut yang dibentuk oleh vektor \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah ....
A. \( 30^\circ \)
B. \( 45^\circ \)
C. \( 60^\circ \)
D. \( 90^\circ \)
E. \( 120^\circ \)
Jawaban & Analisis Soal 4
Jawaban: B
Tentukan vektor:
\( \overrightarrow{AB} = (6-2,\;1-1,\;2-2) = (4,0,0) \).
\( \overrightarrow{AC} = (6-2,\;5-1,\;2-2) = (4,4,0) \).
Gunakan rumus sudut antar vektor:
\( \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert} \).
Hasil kali titik:
\( \vec{u}\cdot\vec{v} = (4,0,0)\cdot(4,4,0) = 16 \).
Panjang vektor:
\( \lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4^2} = 4 \).
\( \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).
Maka:
\( \cos\theta = \dfrac{16}{4\cdot 4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ \).
Analisis opsi:
A salah karena \( 30^\circ \) memberi \( \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \), bukan \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \).
B benar karena \( \theta = 45^\circ \).
C salah karena \( 60^\circ \) memberi \( \cos\theta=\dfrac{1}{2} \).
D salah karena \( 90^\circ \) memberi \( \cos\theta=0 \).
E salah karena \( 120^\circ \) memberi \( \cos\theta=-\dfrac{1}{2} \).
Soal 5. Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( \left(\,^{2}\log(2x-2)\right)^{2} - \,^{2}\log(2x-2) = 2 \) adalah ....
A. \( x = 6 \) atau \( x = 2\dfrac{1}{2} \)
B. \( x = 6 \) atau \( x = 3 \)
C. \( x = 3 \) atau \( x = 4 \)
D. \( x = 3 \) atau \( x = 1\dfrac{1}{4} \)
E. \( x = 4 \) atau \( x = 6 \)
Jawaban & Analisis Soal 5
Jawaban: D
Langkah 1 (domain): Karena ada \( \,^{2}\log(2x-2) \), maka \( 2x-2 \gt 0 \Rightarrow x \gt 1 \).
Langkah 2 (substitusi): Misalkan \( t = \,^{2}\log(2x-2) \).
Persamaan menjadi \( t^{2} - t = 2 \), atau \( t^{2}-t-2=0 \).
Langkah 3 (faktorkan):
\( t^{2}-t-2 = (t-2)(t+1)=0 \).
Jadi \( t=2 \) atau \( t=-1 \).
Langkah 4 (kembalikan ke \( x \)):
Jika \( t=2 \): \( \,^{2}\log(2x-2)=2 \Rightarrow 2x-2 = 2^{2} = 4 \Rightarrow x=3 \).
Jika \( t=-1 \): \( \,^{2}\log(2x-2)=-1 \Rightarrow 2x-2 = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x=\dfrac{5}{2} \Rightarrow x=\dfrac{5}{4}=1\dfrac{1}{4} \).
Keduanya memenuhi domain \( x \gt 1 \).
Analisis opsi:
A salah karena memuat \( x=6 \) dan \( x=2\dfrac{1}{2} \) yang tidak berasal dari \( t=2 \) atau \( t=-1 \).
B salah karena hanya salah satu nilai yang benar seharusnya \( x=3 \), bukan \( x=6 \).
C salah karena \( x=4 \) tidak memenuhi persamaan.
D benar karena solusi \( x=3 \) dan \( x=1\dfrac{1}{4} \).
E salah karena memuat nilai yang tidak memenuhi persamaan.