Jawaban: A

Pada limas segiempat beraturan, titik puncak \( T \) tepat di atas pusat alas \( O \), sehingga \( TO \perp \) bidang alas.

Sudut antara garis \( TA \) dan bidang alas sama dengan sudut antara \( TA \) dan proyeksinya pada bidang alas, yaitu garis \( AO \).

Rusuk alas \( 6 \) cm, maka diagonal alas \( = 6\sqrt{2} \).

Jadi \( AO = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \).

Karena \( \cos(\angle(TA,\text{alas})) = \dfrac{\text{proyeksi } TA \text{ pada alas}}{TA} \), maka:

\( \cos = \dfrac{AO}{TA} = \dfrac{3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \).

Analisis opsi:

A benar karena \( \dfrac{\sqrt{2}}{4} \) sama dengan hasil.

B salah karena berarti \( AO=6 \), padahal \( AO=3\sqrt{2} \).

C salah karena melibatkan \( \sqrt{3} \) yang tidak muncul dari diagonal persegi.

D salah karena nilainya \( 2 \) kali hasil yang benar.

E salah karena tidak sesuai perbandingan \( \dfrac{AO}{TA} \).

Jawaban: E

Gunakan identitas:

\( \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B \).

\( \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B \).

Karena \( A+B=\dfrac{\pi}{3} \), maka:

\( \cos(A+B)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} \).

Substitusi \( \sin A\sin B=\dfrac{1}{4} \):

\( \dfrac{1}{2}=\cos A\cos B-\dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos A\cos B=\dfrac{3}{4} \).

Maka:

\( \cos(A-B)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1 \).

Analisis opsi:

A dan B salah karena negatif, sedangkan hasil \( 1 \).

C dan D salah karena lebih kecil dari \( 1 \).

E benar karena \( \cos(A-B)=1 \).

Jawaban: C

Misalkan harga per kg: mangga \( = m \), jeruk \( = j \), anggur \( = g \).

Dari soal:

\( 2m+2j+g=70000 \) .... \( (1) \)

\( m+2j+2g=90000 \) .... \( (2) \)

\( 2m+2j+3g=130000 \) .... \( (3) \)

Kurangkan \( (3)-(1) \):

\( 2g=60000 \Rightarrow g=30000 \).

Substitusi ke \( (1) \):

\( 2m+2j+30000=70000 \Rightarrow 2m+2j=40000 \Rightarrow m+j=20000 \) .... \( (4) \)

Substitusi ke \( (2) \):

\( m+2j+60000=90000 \Rightarrow m+2j=30000 \) .... \( (5) \)

Kurangkan \( (5)-(4) \):

\( (m+2j)-(m+j)=30000-20000 \Rightarrow j=10000 \).

Jadi harga \( 1 \) kg jeruk Rp\( 10.000{,}00 \).

Analisis opsi:

A dan B salah karena \( j \) yang benar \( 10000 \).

C benar karena Rp\( 10.000{,}00 \).

D dan E salah karena terlalu besar dan tidak memenuhi sistem.

Jawaban: E

Gunakan substitusi \( u=\sin 3x \).

Maka \( du=3\cos 3x\,dx \Rightarrow \cos 3x\,dx=\dfrac{1}{3}du \).

Integral menjadi:

\( \int \sin^3 3x \cos 3x \, dx = \int u^3 \left(\dfrac{1}{3}du\right)=\dfrac{1}{3}\int u^3\,du \).

\( \dfrac{1}{3}\int u^3\,du=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{u^4}{12}+C \).

Kembalikan \( u=\sin 3x \): \( \dfrac{1}{12}\sin^4 3x + C \).

Analisis opsi:

A salah karena lupa faktor \( \dfrac{1}{3} \).

B dan C salah karena koefisien terlalu besar.

D salah karena seharusnya \( \dfrac{1}{12} \), bukan \( \dfrac{1}{3} \).

E benar karena sesuai hasil substitusi.

Jawaban: C

Gunakan identitas jumlah-selisih sudut.

\( \sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).

\( \sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \).

Pembilang:

\( \sin 75^\circ+\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \).

\( \cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \).

\( \cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).

Penyebut:

\( \cos 105^\circ-\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{-2\sqrt{6}}{4}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \).

Nilai pecahan:

\( \dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{-\frac{\sqrt{6}}{2}}=-1 \).

Analisis opsi:

A dan B salah karena hasil bukan bentuk akar.

C benar karena hasilnya \( -1 \).

D dan E salah karena bertanda positif.