Soal 36. Hasil dari \( \int 6x\sqrt{3x^2+5}\,dx \) = ....
A. \( \dfrac{2}{3}(6x^2+5)\sqrt{6x^2+5}+C \)
B. \( \dfrac{2}{3}(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}+C \)
C. \( \dfrac{2}{3}(x^2+5)\sqrt{x^2+5}+C \)
D. \( \dfrac{3}{2}(x^2+5)\sqrt{x^2+5}+C \)
E. \( \dfrac{3}{2}(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}+C \)
Jawaban & Analisis
Strategi: gunakan substitusi karena ada bentuk \( \sqrt{3x^2+5} \) dan ada faktor \( 6x \).
Langkah 1: Misalkan \( u=3x^2+5 \).
Maka \( du=6x\,dx \).
Langkah 2: Ubah integral.
\( \int 6x\sqrt{3x^2+5}\,dx=\int \sqrt{u}\,du \).
Langkah 3: Integralkan.
\( \int \sqrt{u}\,du=\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du=\dfrac{u^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}+C \).
Langkah 4: Kembalikan ke \( x \).
\( \dfrac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}(3x^2+5)^{\tfrac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}+C \).
Jawaban: B yaitu \( \dfrac{2}{3}(3x^2+5)\sqrt{3x^2+5}+C \).
Soal 37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=x^2 \), garis \( y=2x \) di kuadran \( I \) diputar \( 360^\circ \) terhadap sumbu \( X \) adalah ....
A. \( \dfrac{20}{15}\pi \) satuan volume
B. \( \dfrac{30}{15}\pi \) satuan volume
C. \( \dfrac{54}{15}\pi \) satuan volume
D. \( \dfrac{64}{15}\pi \) satuan volume
E. \( \dfrac{144}{15}\pi \) satuan volume
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (titik potong batas daerah): Cari perpotongan \( x^2=2x \).
\( x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \) atau \( x=2 \).
Langkah 2 (fungsi luar dan dalam): Pada \( 0\lt x\lt 2 \), \( 2x \gt x^2 \), sehingga jari-jari luar \( R=2x \) dan jari-jari dalam \( r=x^2 \).
Langkah 3 (rumus volume putar metode cincin):
\( V=\pi\int_{0}^{2}(R^2-r^2)\,dx=\pi\int_{0}^{2}\big((2x)^2-(x^2)^2\big)\,dx \).
Langkah 4 (hitung integral):
\( V=\pi\int_{0}^{2}(4x^2-x^4)\,dx=\pi\left[\dfrac{4}{3}x^3-\dfrac{1}{5}x^5\right]_{0}^{2} \).
\( V=\pi\left(\dfrac{4}{3}(2^3)-\dfrac{1}{5}(2^5)\right)=\pi\left(\dfrac{32}{3}-\dfrac{32}{5}\right) \).
\( V=\pi\cdot 32\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=\pi\cdot 32\left(\dfrac{2}{15}\right)=\dfrac{64}{15}\pi \).
Jawaban: D yaitu \( \dfrac{64}{15}\pi \).
Soal 38. Setiap \( 2 \) warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang khas apabila disediakan \( 5 \) warna yang berbeda adalah ....
A. \( 60 \)
B. \( 20 \)
C. \( 15 \)
D. \( 10 \)
E. \( 8 \)
Jawaban & Analisis
Ide utama: Warna baru terbentuk dari memilih \( 2 \) warna berbeda dari \( 5 \) warna, tanpa memperhatikan urutan. Itu kombinasi \( \binom{5}{2} \).
Langkah 1: Hitung \( \binom{5}{2} \).
\( \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10 \).
Jawaban: D yaitu \( 10 \).
Soal 39. Diberikan segiempat \( ABCD \) seperti pada gambar.
Panjang \( BC \) adalah ....
A. \( 4\sqrt{2} \) \( \text{cm} \)
B. \( 6\sqrt{2} \) \( \text{cm} \)
C. \( 7\sqrt{3} \) \( \text{cm} \)
D. \( 5\sqrt{6} \) \( \text{cm} \)
E. \( 7\sqrt{6} \) \( \text{cm} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (fokus ke \( \triangle ACD \)): Pada \( \triangle ACD \), diketahui \( \angle CDA=30^\circ \), \( \angle ACD=45^\circ \), sehingga
\( \angle CAD=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ \).
Langkah 2 (aturan sinus di \( \triangle ACD \)):
\( \dfrac{AD}{\sin 45^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 30^\circ} \Rightarrow AC=AD\cdot\dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} \).
\( AC=10\cdot\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2} \).
Langkah 3 (fokus ke \( \triangle ABC \)): Diketahui \( AB=10\sqrt{2} \), \( AC=5\sqrt{2} \), dan \( \angle BAC=60^\circ \). Gunakan aturan cosinus:
\( BC^2=AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos 60^\circ \).
Langkah 4 (hitung):
\( AB^2=(10\sqrt{2})^2=200 \), \( AC^2=(5\sqrt{2})^2=50 \).
\( (AB)(AC)=(10\sqrt{2})(5\sqrt{2})=100 \), dan \( \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} \).
\( BC^2=200+50-2(100)\left(\dfrac{1}{2}\right)=250-100=150 \).
\( BC=\sqrt{150}=5\sqrt{6} \).
Jawaban: D yaitu \( 5\sqrt{6} \) \( \text{cm} \).
Soal 40. Limas segitiga \( T.ABC \) dengan \( AB=7 \) \( \text{cm} \), \( BC=5 \) \( \text{cm} \), \( AC=4 \) \( \text{cm} \), dan tinggi \( =\sqrt{5} \) \( \text{cm} \). Volume limas \( T.ABC \) tersebut adalah ....
A. \( \dfrac{5}{3}\sqrt{30} \) \( \text{cm}^3 \)
B. \( \dfrac{4}{3}\sqrt{30} \) \( \text{cm}^3 \)
C. \( \dfrac{2}{3}\sqrt{30} \) \( \text{cm}^3 \)
D. \( \dfrac{2}{3}\sqrt{15} \) \( \text{cm}^3 \)
E. \( \dfrac{1}{3}\sqrt{15} \) \( \text{cm}^3 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (luas alas \( \triangle ABC \)): Gunakan rumus Heron.
Semiperimeter \( s=\dfrac{7+5+4}{2}=8 \).
Luas alas \( L=\sqrt{s(s-7)(s-5)(s-4)}=\sqrt{8\cdot 1\cdot 3\cdot 4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \).
Langkah 2 (rumus volume limas):
\( V=\dfrac{1}{3}\cdot L \cdot t \).
Langkah 3 (substitusi):
\( V=\dfrac{1}{3}\cdot (4\sqrt{6})\cdot (\sqrt{5})=\dfrac{4}{3}\sqrt{30} \).
Jawaban: B yaitu \( \dfrac{4}{3}\sqrt{30} \) \( \text{cm}^3 \).