Soal 1
Bentuk sederhana dari \( \sqrt{8}+\sqrt{75}-(\sqrt{32}+\sqrt{243}) \) adalah ....
A. \( 2\sqrt{2}+14\sqrt{3} \)
B. \( -2\sqrt{2}-4\sqrt{3} \)
C. \( -2\sqrt{2}+14\sqrt{3} \)
D. \( -2\sqrt{2}+4\sqrt{3} \)
E. \( 2\sqrt{2}-4\sqrt{3} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Sederhanakan masing-masing akar.
\( \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \).
\( \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \).
\( \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2} \).
\( \sqrt{243}=\sqrt{81\cdot 3}=9\sqrt{3} \).
Langkah 2: Substitusi ke bentuk semula.
\( 2\sqrt{2}+5\sqrt{3}-(4\sqrt{2}+9\sqrt{3}) \).
Langkah 3: Gabungkan suku sejenis.
Bagian \( \sqrt{2} \): \( 2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-2\sqrt{2} \).
Bagian \( \sqrt{3} \): \( 5\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-4\sqrt{3} \).
Kesimpulan: hasilnya \( -2\sqrt{2}-4\sqrt{3} \).
Soal 2
Jika diketahui \( {}^{a}\log b=m \) dan \( {}^{b}\log c=n \) maka \( {}^{ab}\log (bc) \) = ....
A. \( m+n \)
B. \( mn \)
C. \( \frac{m(1+n)}{1+m} \)
D. \( \frac{n(1+m)}{1+n} \)
E. \( \frac{1+mn}{1+m} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (ubah ke bentuk pangkat):
Dari \( {}^{a}\log b=m \) berarti \( b=a^{m} \). Agar log terdefinisi, \( a \gt 0 \) dan \( a\ne 1 \), serta \( b \gt 0 \).
Dari \( {}^{b}\log c=n \) berarti \( c=b^{n} \), dengan \( b \gt 0 \), \( b\ne 1 \), dan \( c \gt 0 \).
Langkah 2: Nyatakan \( c \) dalam basis \( a \).
\( c=b^{n}=(a^{m})^{n}=a^{mn} \).
Langkah 3: Hitung basis dan argumen yang diminta.
\( ab=a\cdot b=a\cdot a^{m}=a^{m+1} \).
\( bc=b\cdot c=a^{m}\cdot a^{mn}=a^{m(1+n)} \).
Langkah 4 (pakai sifat log):
\( {}^{ab}\log (bc) = {}^{a^{m+1}}\log \left(a^{m(1+n)}\right)=\frac{m(1+n)}{m+1} \).
Kesimpulan: \( {}^{ab}\log (bc)=\frac{m(1+n)}{1+m} \).
Soal 3
Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar-akar persamaan \( x^2-x+2=0 \), persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( 2x_1-2 \) dan \( 2x_2-2 \) adalah ....
A. \( 8x^2+2x+1=0 \)
B. \( x^2+8x+2=0 \)
C. \( x^2+2x+8=0 \)
D. \( x^2-8x-2=0 \)
E. \( x^2-2x+8=0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (transformasi akar): Akar baru didefinisikan oleh \( y=2x-2 \), sehingga \( x=\frac{y+2}{2} \).
Langkah 2: Substitusikan \( x=\frac{y+2}{2} \) ke persamaan awal \( x^2-x+2=0 \).
\( \left(\frac{y+2}{2}\right)^2-\left(\frac{y+2}{2}\right)+2=0 \).
Langkah 3: Hilangkan penyebut dengan mengalikan \( 4 \).
\( (y+2)^2-2(y+2)+8=0 \).
Langkah 4: Sederhanakan.
\( y^2+4y+4-2y-4+8=0 \Rightarrow y^2+2y+8=0 \).
Langkah 5: Ganti kembali variabel \( y \) menjadi \( x \) (hanya nama variabel).
Persamaan kuadrat barunya \( x^2+2x+8=0 \).
Soal 4
Perhatikan gambar.
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah ....
A. \( y=-2x^2+4x+3 \)
B. \( y=-2x^2+4x+2 \)
C. \( y=-x^2+2x+3 \)
D. \( y=-2x^2+4x-6 \)
E. \( y=-x^2+2x-5 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (baca informasi dari grafik): Dari gambar, puncak parabola berada di \( (1,4) \) dan parabola membuka ke bawah (koefisien \( a \lt 0 \)).
Langkah 2 (cek kandidat yang punya puncak \( (1,4) \)):
Untuk opsi C: \( y=-x^2+2x+3 \).
Koordinat puncak \( x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(-1)}=1 \) (sesuai).
Nilai \( y \) saat \( x=1 \): \( y=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \) (sesuai).
Langkah 3 (cek titik potong sumbu-\( y \)):
Untuk opsi C, \( y(0)=3 \) dan pada gambar kurva memotong sumbu-\( y \) di sekitar \( 3 \), sehingga konsisten.
Kesimpulan: persamaan grafik adalah \( y=-x^2+2x+3 \).
Soal 5
Diketahui \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dan \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dirumuskan oleh \( f(x)=x^2-4 \) dan \( g(x)=2x-6 \). Jika \( (f\circ g)(x)=-4 \), nilai \( x \) = ....
A. \( -6 \)
B. \( -3 \)
C. \( 3 \)
D. \( 3 \) atau \( -3 \)
E. \( 6 \) atau \( -6 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Susun komposisi \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \).
\( g(x)=2x-6 \) sehingga \( f(g(x))=(2x-6)^2-4 \).
Langkah 2: Gunakan syarat \( (f\circ g)(x)=-4 \).
\( (2x-6)^2-4=-4 \Rightarrow (2x-6)^2=0 \).
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadratnya.
Karena kuadrat bernilai \( 0 \) hanya jika isinya \( 0 \), maka \( 2x-6=0 \Rightarrow x=3 \).
Kesimpulan: \( x=3 \) dan \( 3 \gt 0 \).