Soal 16
Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyak bakteri adalah \( 400 \). Banyak bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah ....
A. \( 640 \) bakteri
B. \( 3.200 \) bakteri
C. \( 6.400 \) bakteri
D. \( 12.800 \) bakteri
E. \( 32.000 \) bakteri
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Bakteri berlipat dua setiap \( 5 \) menit, artinya mengikuti pola \( N(t)=N_0\cdot 2^k \) untuk setiap \( k \) kali periode \( 5 \) menit.
Langkah 2: Diketahui pada \( t=15 \) menit jumlah bakteri \( 400 \). Ditanya pada \( t=35 \) menit.
Langkah 3: Selisih waktu \( 35-15=20 \) menit, berarti banyak periode \( 5 \) menit adalah \( k=\frac{20}{5}=4 \) (jelas \( k \gt 0 \)).
Langkah 4: Jumlah bakteri pada \( 35 \) menit: \( 400\cdot 2^4=400\cdot 16=6.400 \).
Soal 17
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1: Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas.
Premis 2: Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.
Kesimpulan yang sah adalah ....
A. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan dibelikan baju.
B. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan dibelikan baju.
C. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan baju.
D. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju.
E. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan baju.
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (simbolisasi): Misal \( p \): “Dodi rajin belajar”, \( q \): “Dodi naik kelas”, \( r \): “Dodi dibelikan baju”.
Langkah 2 (bentuk premis): Premis 1: \( p \rightarrow q \). Premis 2: \( q \rightarrow r \).
Langkah 3 (silogisme hipotetik): Dari \( p \rightarrow q \) dan \( q \rightarrow r \) diperoleh \( p \rightarrow r \).
Langkah 4 (ubah ke bentuk disjungsi): \( p \rightarrow r \) ekuivalen dengan \( \neg p \vee r \).
Langkah 5 (cocokkan opsi): \( \neg p \vee r \) berarti “Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju”, yaitu opsi D.
Catatan: Opsi C (\( p \vee r \)) tidak selalu benar karena bisa saja \( p \) salah dan \( r \) salah, sedangkan \( p \rightarrow r \) masih bisa benar.
Soal 18
Perhatikan gambar kubus.
Jarak bidang \( ACH \) dan bidang \( BEG \) adalah ....
A. \( 3\sqrt{3} \) cm
B. \( 3\sqrt{2} \) cm
C. \( 2\sqrt{3} \) cm
D. \( 3 \) cm
E. \( 2\sqrt{2} \) cm
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (model koordinat): Ambil kubus sisi \( 6 \) cm: \( A(0,0,0) \), \( B(6,0,0) \), \( C(6,6,0) \), \( E(0,0,6) \), \( G(6,6,6) \), \( H(0,6,6) \).
Langkah 2 (bidang \( ACH \)): Vektor \( \overrightarrow{AC}=(6,6,0) \) dan \( \overrightarrow{AH}=(0,6,6) \). Normal bidang searah \( (1,-1,1) \), sehingga persamaan bidang dapat ditulis \( x-y+z=0 \).
Langkah 3 (bidang \( BEG \)): Titik \( B(6,0,0) \) memenuhi \( x-y+z=6 \) karena \( 6-0+0=6 \). Titik \( E(0,0,6) \) juga memenuhi \( 0-0+6=6 \), dan \( G(6,6,6) \) memenuhi \( 6-6+6=6 \). Jadi bidang \( BEG \) adalah \( x-y+z=6 \).
Langkah 4 (jarak dua bidang sejajar): Untuk bidang \( x-y+z=d \), jarak antar bidang \( d_1 \) dan \( d_2 \) adalah \( \frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} \) dengan penyebut \( \gt 0 \).
Langkah 5 (hitung): Jarak \( =\frac{|6-0|}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \) cm.
Soal 19
Perhatikan gambar limas beraturan \( T.ABCD \).
Besar sudut antara bidang \( TAD \) dan bidang \( TBC \) adalah ....
A. \( 90^\circ \)
B. \( 75^\circ \)
C. \( 60^\circ \)
D. \( 45^\circ \)
E. \( 30^\circ \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (pemodelan): Karena limas beraturan, alas \( ABCD \) berbentuk persegi dan puncak \( T \) tepat di atas pusat alas.
Langkah 2 (koordinat sederhana): Ambil alas pada \( z=0 \) dengan sisi \( 2 \) dm: \( A(-1,-1,0) \), \( B(1,-1,0) \), \( C(1,1,0) \), \( D(-1,1,0) \). Puncak \( T(0,0,h) \).
Langkah 3 (gunakan panjang rusuk sisi): Dari gambar, panjang \( TC=\sqrt{3} \) dm. Maka \( TC=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(0-h)^2}=\sqrt{2+h^2}=\sqrt{3} \Rightarrow h^2=1 \Rightarrow h=1 \).
Langkah 4 (normal bidang): Bidang \( TAD \) memiliki vektor \( \overrightarrow{TA}=(-1,-1,-1) \) dan \( \overrightarrow{TD}=(-1,1,-1) \), normalnya searah \( (1,0,-1) \).
Bidang \( TBC \) memiliki vektor \( \overrightarrow{TB}=(1,-1,-1) \) dan \( \overrightarrow{TC}=(1,1,-1) \), normalnya searah \( (1,0,1) \).
Langkah 5 (sudut antar bidang): Sudut antar bidang sama dengan sudut antar vektor normalnya.
Dot product: \( (1,0,-1)\cdot(1,0,1)=1+0-1=0 \), sehingga normal saling tegak lurus dan sudutnya \( 90^\circ \).
Soal 20
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan \( A \) ke pelabuhan \( B \) sejauh \( 60 \) mil dengan arah \( 40^\circ \) dari \( A \), kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan \( C \) sejauh \( 90 \) mil, dengan arah \( 160^\circ \) dari \( B \). Jarak terdekat dari pelabuhan \( A \) ke \( C \) adalah ....
A. \( 30\sqrt{2} \) mil
B. \( 30\sqrt{5} \) mil
C. \( 30\sqrt{7} \) mil
D. \( 30\sqrt{10} \) mil
E. \( 30\sqrt{30} \) mil
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (sudut antar lintasan): Arah \( AB \) adalah \( 40^\circ \) dan arah \( BC \) adalah \( 160^\circ \), maka sudut antara vektor \( AB \) dan \( BC \) adalah \( 160^\circ-40^\circ=120^\circ \) (jelas \( 0^\circ \lt 120^\circ \lt 180^\circ \)).
Langkah 2 (aturan cosinus): Segitiga \( ABC \) memiliki \( AB=60 \), \( BC=90 \), dan sudut apit \( \angle ABC=120^\circ \).
\( AC^2=AB^2+BC^2-2(AB)(BC)\cos 120^\circ \).
Langkah 3 (hitung): \( \cos 120^\circ=-\frac{1}{2} \).
\( AC^2=60^2+90^2-2(60)(90)\left(-\frac{1}{2}\right)=3600+8100+5400=17100 \) adalah salah jika tanda tidak hati-hati, sehingga cek ulang:
Dengan \( \cos 120^\circ=-\frac{1}{2} \), maka \( AC^2=60^2+90^2+2(60)(90)\left(-\frac{1}{2}\right)=3600+8100-5400=6300 \).
Langkah 4 (akar): \( 6300=900\cdot 7 \Rightarrow AC=\sqrt{900\cdot 7}=30\sqrt{7} \).