Soal 26
Perhatikan gambar.
Garis memotong sumbu \( Y \) di \( 3 \) dan memotong sumbu \( X \) di \( 5 \). Titik \( T(x,y) \) terletak pada garis tersebut dan menjadi sudut kanan-atas persegi panjang yang sisinya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Luas daerah yang diarsir akan mencapai maksimum jika koordinat \( T \) adalah ....
A. \( \left(3,\frac{6}{5}\right) \)
B. \( \left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right) \)
C. \( \left(2,\frac{9}{5}\right) \)
D. \( \left(\frac{3}{2},\frac{21}{10}\right) \)
E. \( \left(1,\frac{12}{5}\right) \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Persamaan garis dari dua titik potong.
Garis melalui \( (0,3) \) dan \( (5,0) \) sehingga kemiringan \( m=\frac{0-3}{5-0}=-\frac{3}{5} \).
Maka persamaan garis \( y=3-\frac{3}{5}x \).
Langkah 2: Luas persegi panjang \( L=x\cdot y \).
Karena \( T(x,y) \) di garis, maka \( y=3-\frac{3}{5}x \). Jadi \( L(x)=x\left(3-\frac{3}{5}x\right)=3x-\frac{3}{5}x^2 \).
Langkah 3: Maksimum terjadi di puncak parabola \( L(x)=ax^2+bx+c \).
Di sini \( a=-\frac{3}{5} \lt 0 \) sehingga parabola membuka ke bawah dan memiliki maksimum.
Absis puncak \( x_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\left(-\frac{3}{5}\right)}=\frac{5}{2} \).
Langkah 4: Cari \( y \) pada \( x=\frac{5}{2} \).
\( y=3-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \).
Kesimpulan: \( T=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right) \).
Soal 27
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh \( y=x^2 \) dan \( y=5x-4 \) adalah .... satuan luas.
A. \( \frac{11}{6} \)
B. \( \frac{8}{3} \)
C. \( \frac{9}{2} \)
D. \( \frac{11}{2} \)
E. \( \frac{15}{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Tentukan titik potong kedua kurva.
\( x^2=5x-4 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow (x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x=1 \) atau \( x=4 \).
Langkah 2: Tentukan fungsi atas-bawah pada \( 1 \le x \le 4 \).
Ambil \( x=2 \): \( 5x-4=6 \) dan \( x^2=4 \), maka garis berada di atas parabola pada interval itu.
Langkah 3: Hitung luas dengan integral.
\( L=\int_{1}^{4}\left((5x-4)-x^2\right)\,dx=\int_{1}^{4}\left(-x^2+5x-4\right)\,dx \).
Langkah 4: Integralkan dan substitusi batas.
\( \int\left(-x^2+5x-4\right)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-4x \).
\( L=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-4x\right]_{1}^{4} =\left(24-\frac{64}{3}\right)-\left(-\frac{11}{6}\right) =\frac{8}{3}+\frac{11}{6}=\frac{9}{2}. \)
Kesimpulan: luas \( =\frac{9}{2} \).
Soal 28
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis \( y=2x \) dan parabola \( y=x^2 \) diputar sejauh \( 360^\circ \) mengelilingi sumbu \( X \) adalah .... satuan volume.
A. \( \frac{32}{5}\pi \)
B. \( \frac{64}{15}\pi \)
C. \( \frac{52}{15}\pi \)
D. \( \frac{48}{15}\pi \)
E. \( \frac{32}{15}\pi \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Titik potong \( y=2x \) dan \( y=x^2 \).
\( x^2=2x \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \) atau \( x=2 \).
Langkah 2: Pada \( 0 \le x \le 2 \), berlaku \( 2x \gt x^2 \), sehingga jari-jari luar \( R=2x \) dan jari-jari dalam \( r=x^2 \).
Langkah 3: Metode cincin.
\( V=\pi\int_{0}^{2}\left(R^2-r^2\right)\,dx=\pi\int_{0}^{2}\left((2x)^2-(x^2)^2\right)\,dx \).
\( V=\pi\int_{0}^{2}\left(4x^2-x^4\right)\,dx=\pi\left[\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{2} \).
Langkah 4: Substitusi \( x=2 \).
\( V=\pi\left(\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{1}{5}\cdot 32\right)=\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\pi\cdot \frac{64}{15} \).
Kesimpulan: \( V=\frac{64}{15}\pi \).
Soal 29
Pada sebuah lemari pakaian tersimpan \( 5 \) baju putih dan \( 3 \) baju biru. Jika diambil dua baju secara acak satu per satu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah ....
A. \( \frac{15}{64} \)
B. \( \frac{15}{56} \)
C. \( \frac{5}{14} \)
D. \( \frac{8}{15} \)
E. \( \frac{3}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Peluang baju pertama putih.
Total baju \( 8 \), putih \( 5 \), jadi \( P(\text{putih pertama})=\frac{5}{8} \).
Langkah 2: Karena tanpa pengembalian, sisa baju \( 7 \). Jika pertama putih, sisa biru tetap \( 3 \).
\( P(\text{biru kedua}|\text{putih pertama})=\frac{3}{7} \).
Langkah 3: Kalikan peluang berurutan.
\( P=\frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56} \).
Kesimpulan: peluangnya \( \frac{15}{56} \).
Soal 30
Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar.
Kuartil bawah data tersebut adalah ....
A. \( 76 \)
B. \( 74,5 \)
C. \( 73,5 \)
D. \( 72,5 \)
E. \( 71,5 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Baca frekuensi tiap kelas dari histogram.
Kelas \( 65\text{–}70 \) frekuensi \( 3 \), kelas \( 70\text{–}75 \) frekuensi \( 5 \), kelas \( 75\text{–}80 \) frekuensi \( 10 \), kelas \( 80\text{–}85 \) frekuensi \( 9 \), kelas \( 85\text{–}90 \) frekuensi \( 8 \), dan kelas \( 90\text{–}95 \) frekuensi \( 5 \).
Langkah 2: Jumlah data \( N \).
\( N=3+5+10+9+8+5=40 \).
Langkah 3: Letak kuartil bawah \( Q_1 \) adalah data ke-\( \frac{1}{4}N \).
\( \frac{1}{4}N=\frac{1}{4}\cdot 40=10 \). Jadi \( Q_1 \) adalah data ke-\( 10 \).
Langkah 4: Tentukan kelas yang memuat data ke-\( 10 \) dengan kumulatif.
Frekuensi kumulatif: \( 3 \), \( 8 \), \( 18 \), .... Karena \( 8 \lt 10 \le 18 \), maka data ke-\( 10 \) berada pada kelas \( 75\text{–}80 \).
Langkah 5: Gunakan rumus kuartil data berkelompok.
\( Q_1=L+\left(\frac{\frac{1}{4}N-F}{f}\right)\cdot p \).
Langkah 6: Substitusi nilai.
Untuk kelas \( 75\text{–}80 \): \( L=75 \), \( F=8 \) (kumulatif sebelum kelas), \( f=10 \), dan \( p=5 \).
\( Q_1=75+\left(\frac{10-8}{10}\right)\cdot 5=75+1=76 \).
Kesimpulan: kuartil bawah \( Q_1=76 \).