Soal 6
Diketahui kubus \(ABCD.EFGH\). Perhatikan pernyataan berikut.
(1) \(AG\) tegak lurus \(CE\)
(2) \(AH\) dan \(GE\) bersilangan
(3) \(EC\) tegak lurus bidang \(BDG\)
(4) Proyeksi \(DG\) pada bidang \(ABCD\) adalah \(CG\)
Pernyataan yang benar adalah ....
A. (1) dan (2)
B. (2) dan (3)
C. (3) dan (4)
D. (1) dan (3)
E. (2) dan (4)
Jawaban dan Analisa
Gunakan koordinat kubus satuan agar mudah: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), \(F(1,0,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(0,1,1)\).
(1) Cek tegak lurus dengan dot product. \( \vec{AG} = (1,1,1)\) dan \( \vec{CE} = E-C = (-1,-1,1)\). \( \vec{AG}\cdot\vec{CE} = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(1) = -1\). Karena hasilnya \(\neq 0\), maka (1) salah.
(2) Garis \(AH\) berarah \( \vec{AH}=(0,1,1)\) dan garis \(GE\) berarah \( \vec{GE}=E-G=(-1,-1,0)\). Keduanya tidak sejajar (arah tidak kelipatan), dan juga tidak berpotongan (berada pada “lapisan” berbeda), sehingga \(AH\) dan \(GE\) bersilangan. Jadi (2) benar.
(3) Bidang \(BDG\) punya vektor bidang \( \vec{BD}=D-B=(-1,1,0)\) dan \( \vec{BG}=G-B=(0,1,1)\). Normal bidang \( \vec{n}=\vec{BD}\times\vec{BG}=(1,1,-1)\). Sementara \( \vec{EC}=C-E=(1,1,-1)\) (searah dengan normal), maka \(EC\) tegak lurus bidang \(BDG\). Jadi (3) benar.
(4) Proyeksi \(DG\) pada bidang \(ABCD\) (bidang \(z=0\)): \(D\) sudah di bidang \(ABCD\), sedangkan \(G(1,1,1)\) diproyeksikan tegak lurus ke \(C(1,1,0)\). Maka proyeksi ruas \(DG\) adalah ruas \(DC\), bukan \(CG\). Jadi (4) salah.
Pernyataan benar: (2) dan (3), sehingga jawabannya B.
Soal 7
Diketahui kubus \(ABCD.EFGH\) dengan rusuk \(4\) cm. Jika \(\alpha\) adalah sudut antara bidang \(AFH\) dan bidang \(CFH\), maka \(\sin \alpha\) adalah ....
A. \(\dfrac{1}{3}\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{2}{3}\sqrt{2}\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D. \(-\dfrac{2}{3}\sqrt{2}\)
E. \(-\dfrac{1}{3}\)
Jawaban dan Analisa
Ambil koordinat kubus rusuk \(4\): \(A(0,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(F(4,0,4)\), \(H(0,4,4)\). Sudut antar bidang sama dengan sudut antar vektor normal bidang-bidang tersebut.
Bidang \(AFH\): \( \vec{AF}=(4,0,4)\) dan \( \vec{AH}=(0,4,4)\). Normal \( \vec{n}_1=\vec{AF}\times\vec{AH}\) searah dengan \((-1,-1,1)\).
Bidang \(CFH\): \( \vec{CF}=F-C=(0,-4,4)\) dan \( \vec{CH}=H-C=(-4,0,4)\). Normal \( \vec{n}_2=\vec{CF}\times\vec{CH}\) searah dengan \((-1,-1,-1)\).
Hitung \(\cos \alpha\): \( \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = (-1)(-1)+(-1)(-1)+(1)(-1)=1\), dan \( |\vec{n}_1|=|\vec{n}_2|=\sqrt{3}\). Maka \( \cos\alpha = \dfrac{1}{3}\).
Jadi \( \sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\). Jawabannya B.
Soal 8
Perhatikan gambar berikut ini!
Nilai ulangan matematika suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Median nilai tersebut adalah ....
A. \(64{,}5\)
B. \(65\)
C. \(65{,}5\)
D. \(66\)
E. \(66{,}5\)
Jawaban dan Analisa
Total data \(N = 4+8+10+8+4 = 34\), sehingga posisi median \(= \dfrac{N}{2} = 17\). Frekuensi kumulatif: sampai \(52\)–\(57\) adalah \(4\), sampai \(57\)–\(62\) adalah \(12\), sampai \(62\)–\(67\) adalah \(22\). Karena \(12 \lt 17 \le 22\), kelas median adalah \(62\)–\(67\).
Rumus median data berkelompok: \( \text{Me} = L + \left(\dfrac{\frac{N}{2}-F}{f}\right)\cdot p \), dengan \(L=62\) (batas bawah kelas median), \(F=12\) (kumulatif sebelum kelas median), \(f=10\), dan lebar kelas \(p=5\).
\( \text{Me} = 62 + \left(\dfrac{17-12}{10}\right)\cdot 5 = 62 + 2{,}5 = 64{,}5 \). Jadi jawabannya A.
Soal 9
Dari \(10\) butir telur terdapat \(2\) butir yang busuk. Seorang ibu membeli \(2\) butir telur tanpa memilih. Peluang mendapatkan \(2\) butir telur yang baik adalah ....
A. \(\dfrac{9}{45}\)
B. \(\dfrac{11}{45}\)
C. \(\dfrac{14}{45}\)
D. \(\dfrac{18}{45}\)
E. \(\dfrac{28}{45}\)
Jawaban dan Analisa
Telur baik ada \(8\) (karena \(10-2=8\)). Memilih \(2\) telur tanpa pengembalian. Peluang dua-duanya baik: \( \dfrac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} \).
\( \dfrac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{28}{45} \). Jadi jawabannya E.
Soal 10
Nilai dari \(\cos 465^\circ - \cos 165^\circ\) adalah ....
A. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
B. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\)
E. \(\sqrt{6}\)
Jawaban dan Analisa
\( \cos 465^\circ = \cos(360^\circ + 105^\circ) = \cos 105^\circ \). Selain itu \( \cos 165^\circ = \cos(180^\circ - 15^\circ) = -\cos 15^\circ \).
Maka \( \cos 465^\circ - \cos 165^\circ = \cos 105^\circ - (-\cos 15^\circ) = \cos 105^\circ + \cos 15^\circ \). Gunakan rumus jumlah cosinus: \( \cos A + \cos B = 2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \).
\( \cos 105^\circ + \cos 15^\circ = 2\cos 60^\circ \cos 45^\circ = 2\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \). Jadi jawabannya A.