Karena berabsis \( 2 \), maka titik singgungnya memiliki \( x=2 \). Nilai \( y \) di titik itu: \( y(2)=2(2^3)-3(2^2)-4(2)+5=2(8)-3(4)-8+5=16-12-8+5=1 \). Jadi titiknya \( (2,1) \).

Kemiringan garis singgung diperoleh dari turunan: \( y'= \frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-4x+5)=6x^2-6x-4 \). Substitusi \( x=2 \): \( y'(2)=6(2^2)-6(2)-4=6(4)-12-4=24-16=8 \).

Persamaan garis singgung melalui \( (2,1) \) dengan gradien \( 8 \): \( y-1=8(x-2) \Rightarrow y=8x-15 \Rightarrow 8x-y-15=0 \). Jawaban: E.

Misalkan sisi alas persegi \( a \) dan tinggi balok \( h \). Luas permukaan balok: \( S=2a^2+4ah \). Diketahui \( S=150 \), jadi \( 2a^2+4ah=150 \).

Nyatakan \( h \) terhadap \( a \): \( 4ah=150-2a^2 \Rightarrow h=\frac{150-2a^2}{4a}=\frac{75-a^2}{2a} \).

Volume: \( V=a^2h=a^2\cdot\frac{75-a^2}{2a}=\frac{a(75-a^2)}{2}=\frac{75a-a^3}{2} \).

Maksimum saat turunan nol: \( V'=\frac{75-3a^2}{2}=0 \Rightarrow 75=3a^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5 \) (karena \( a \gt 0 \)).

Jadi panjang sisi alas agar volume maksimum adalah \( 5 \) cm. Jawaban: B.

Hitung integralnya: \( \int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x + C \).

Substitusi batas: \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x\,dx=\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{1}{2}\cos \pi -\left(-\frac{1}{2}\cos 0\right) \).

Karena \( \cos \pi=-1 \) dan \( \cos 0=1 \), maka nilainya \( -\frac{1}{2}(-1)+\frac{1}{2}(1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \). Jadi hasilnya \( 1 \) (tidak muncul pada opsi A–E pada naskah ini).

Dua grafik \( y=7-x \) dan \( y=x-7 \) adalah dua garis yang berpotongan di titik \( (7,0) \). Jika hanya disebut “daerah antara” kedua garis itu saja, daerahnya tidak tertutup (tidak memiliki batas hingga), sehingga volumenya tidak terdefinisi sebagai nilai hingga.

Jadi, dengan informasi pada soal ini saja, volume benda putar tidak dapat ditentukan secara unik (diperlukan batas tambahan, misalnya dibatasi oleh sumbu \( Y \), sumbu \( X \), atau interval \( x \) tertentu).

Dari gambar, ada satu garis menurun yang melalui titik \( (0,4) \) (titik potong parabola dengan sumbu \( Y \)) dan melalui titik \( (2,0) \) (titik puncak parabola di sumbu \( X \)). Maka persamaan garis menurun itu: gradien \( m=\frac{0-4}{2-0}=-2 \), sehingga \( y=-2x+4 \).

Parabola: \( y=x^2-4x+4=(x-2)^2 \). Daerah diarsir (sesuai gambar) adalah daerah di antara garis \( y=-2x+4 \) (atas) dan parabola \( y=(x-2)^2 \) (bawah) dari \( x=0 \) sampai \( x=2 \), karena kedua kurva berpotongan di \( x=0 \) dan \( x=2 \).

Pastikan posisi atas-bawah dengan contoh \( x=1 \): \( y_{\text{garis}}=-2(1)+4=2 \) dan \( y_{\text{parabola}}=(1-2)^2=1 \), sehingga \( y_{\text{garis}} \gt y_{\text{parabola}} \) pada selang itu.

Luas: \( L=\int_{0}^{2}\Bigl[(-2x+4)-(x^2-4x+4)\Bigr]\,dx \). Sederhanakan integran: \( (-2x+4)-(x^2-4x+4)=-2x+4-x^2+4x-4=-x^2+2x \).

\( L=\int_{0}^{2}(-x^2+2x)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{0}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+4\right)-0=\frac{4}{3} \). Jawaban: E.