Soal 21
Sebuah toko bunga menjual \(2\) macam rangkaian bunga. Rangkaian \(I\) memerlukan \(10\) tangkai bunga mawar dan \(15\) tangkai bunga anyelir, sedangkan rangkaian \(II\) memerlukan \(20\) tangkai bunga mawar dan \(5\) tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing \(200\) tangkai dan \(100\) tangkai. Jika rangkaian \(I\) dijual seharga Rp. \(200.000,00\) dan rangkaian \(II\) dijual seharga Rp. \(100.000,00\) per rangkaian, maka penghasilan maksimum yang dapat diperoleh adalah ....
A. Rp. \(1.400.000,00\)
B. Rp. \(1.500.000,00\)
C. Rp. \(1.600.000,00\)
D. Rp. \(1.700.000,00\)
E. Rp. \(1.800.000,00\)
Jawaban & Analisa
Kunci: C (Rp. \(1.600.000,00\))
Misalkan banyak rangkaian \(I\) adalah \(x\) dan banyak rangkaian \(II\) adalah \(y\).
Batas persediaan mawar: \(10x+20y \le 200 \Rightarrow x+2y \le 20\).
Batas persediaan anyelir: \(15x+5y \le 100 \Rightarrow 3x+y \le 20\).
Fungsi penghasilan: \(H=200000x+100000y=100000(2x+y)\). Jadi cukup memaksimumkan nilai \(2x+y\) dengan syarat \(x+2y \le 20\), \(3x+y \le 20\), dan \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).
Titik pojok penting didapat dari perpotongan garis: \[ \begin{cases} x+2y=20\\ 3x+y=20 \end{cases} \Rightarrow x=20-2y \Rightarrow 3(20-2y)+y=20 \Rightarrow 60-5y=20 \Rightarrow y=8 \Rightarrow x=4. \]
Nilai objektif pada titik \((x,y)=(4,8)\): \(2x+y=2(4)+8=16\). Maka \(H=100000 \cdot 16=1.600.000\).
Cek titik pojok lain yang memenuhi, misalnya \((0,10)\): \(2x+y=10\Rightarrow H=1.000.000\), lebih kecil dari Rp. \(1.600.000,00\). Jadi maksimum terjadi pada \((4,8)\).
Soal 22
Seorang ibu mempunyai \(5\) orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sekarang usia si bungsu \(15\) tahun dan si sulung \(23\) tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut \(10\) tahun yang akan datang adalah ....
A. \(95\) tahun
B. \(105\) tahun
C. \(110\) tahun
D. \(140\) tahun
E. \(145\) tahun
Jawaban & Analisa
Kunci: E (\(145\) tahun)
Karena ada \(5\) anak dalam barisan aritmetika, maka \(a_1=15\) dan \(a_5=23\). Beda barisan: \(d=\dfrac{a_5-a_1}{4}=\dfrac{23-15}{4}=2\).
Jadi usia sekarang: \(15,17,19,21,23\). Jumlah usia sekarang: \(15+17+19+21+23=95\).
Sepuluh tahun yang akan datang, masing-masing bertambah \(10\) tahun, sehingga jumlah bertambah \(5 \cdot 10=50\). Maka jumlah usia \(10\) tahun yang akan datang: \(95+50=145\).
Soal 23
Pak Hasan menabung uang di Bank sebesar Rp. \(10.000.000,00\) dengan bunga majemuk \(10\%\) per tahun. Besar uang Pak Hasan pada akhir tahun ke-\(5\) adalah ....
A. Rp. \(10.310.000,00\)
B. Rp. \(14.641.000,00\)
C. Rp. \(15.000.000,00\)
D. Rp. \(16.000.000,00\)
E. Rp. \(16.105.100,00\)
| \(n\) | \((1,1)^n\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1,1\) |
| \(2\) | \(1,21\) |
| \(3\) | \(1,331\) |
| \(4\) | \(1,4641\) |
| \(5\) | \(1,61051\) |
Jawaban & Analisa
Kunci: E (Rp. \(16.105.100,00\))
Bunga majemuk: \(A=P(1+i)^n\). Dengan \(P=10.000.000\), \(i=0,1\), dan \(n=5\), maka \(A=10.000.000(1,1)^5\).
Dari tabel, \((1,1)^5=1,61051\). Sehingga \(A=10.000.000 \times 1,61051=16.105.100\).
Jadi uang Pak Hasan pada akhir tahun ke-\(5\) adalah Rp. \(16.105.100,00\).
Soal 24
Diketahui \(A=\begin{pmatrix}x&y\\2&0\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\), dan \(C=\begin{pmatrix}-6&4\\-1&2\end{pmatrix}\). \(C'\) adalah transpose dari \(C\). Jika \(A \cdot B = C'\), maka nilai \(x+y\) adalah ....
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \(-1\)
E. \(-2\)
Jawaban & Analisa
Kunci: E (\(-2\))
Hitung \(C'\): \[ C'=\begin{pmatrix}-6&-1\\4&2\end{pmatrix}. \]
Hitung \(A\cdot B\): \[ \begin{pmatrix}x&y\\2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+0 & x+2y\\ 4+0 & 2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & x+2y\\ 4 & 2 \end{pmatrix}. \]
Samakan dengan \(C'\): \[ \begin{cases} 2x=-6\\ x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-3 \Rightarrow -3+2y=-1 \Rightarrow 2y=2 \Rightarrow y=1. \]
Maka \(x+y=-3+1=-2\).
Soal 25
Diketahui \(|a|=\sqrt{2}\), \(|b|=\sqrt{9}\), dan \(|a+b|=\sqrt{5}\). Besar sudut antara vektor \(a\) dan vektor \(b\) adalah ....
A. \(45^\circ\)
B. \(90^\circ\)
C. \(120^\circ\)
D. \(135^\circ\)
E. \(150^\circ\)
Jawaban & Analisa
Kunci: D (\(135^\circ\))
Gunakan rumus: \(|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2|a||b|\cos\theta\).
Substitusi: \((\sqrt{5})^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{9})^2+2(\sqrt{2})(\sqrt{9})\cos\theta\).
\(5=2+9+2(\sqrt{2})(3)\cos\theta=11+6\sqrt{2}\cos\theta\).
\(6\sqrt{2}\cos\theta=-6 \Rightarrow \cos\theta=\dfrac{-6}{6\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Jika \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), maka \(\theta=135^\circ\).