Soal 6. Akar-akar persamaan kuadrat \( x^2+(p+1)x-18=0 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Jika \( \alpha+2\beta=0 \) dan \( p \ge 0 \), nilai \( p \) = ….
A. | \( 0 \) |
B. | \( 1 \) |
C. | \( 2 \) |
D. | \( 3 \) |
E. | \( 4 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 6
Langkah 1 (rumus Vieta): Untuk \( x^2+(p+1)x-18=0 \), berlaku:
\( \alpha+\beta=-(p+1) \) dan \( \alpha\beta=-18 \).
Langkah 2: Dari \( \alpha+2\beta=0 \) diperoleh \( \alpha=-2\beta \).
Langkah 3: Substitusi ke jumlah akar.
\( \alpha+\beta=(-2\beta)+\beta=-\beta \).
Karena \( \alpha+\beta=-(p+1) \), maka \( -\beta=-(p+1) \Rightarrow \beta=p+1 \).
Langkah 4: Gunakan hasil kali akar.
\( \alpha\beta=(-2\beta)\beta=-2\beta^2=-18 \Rightarrow \beta^2=9 \).
Karena \( p \ge 0 \Rightarrow p+1 \gt 0 \), maka \( \beta=p+1=3 \).
Jadi \( p=2 \).
Jawaban: C yaitu \( 2 \).
Soal 7. Persamaan \( (m-1)x^2+4x+2m=0 \) mempunyai dua akar real dan berlainan. Nilai \( m \) yang memenuhi adalah ….
A. | \( -1 \lt m \lt 2 \), \( m\ne 1 \) |
B. | \( -2 \lt m \lt 1 \) |
C. | \( 1 \lt m \lt 2 \) |
D. | \( m \lt -2 \) atau \( m \gt 1 \) |
E. | \( m \lt -1 \) atau \( m \gt 2 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 7
Syarat 1: Persamaan benar-benar kuadrat, sehingga \( m-1 \ne 0 \Rightarrow m\ne 1 \).
Syarat 2: Dua akar real berlainan berarti diskriminan \( \Delta \gt 0 \).
Dengan \( a=m-1 \), \( b=4 \), \( c=2m \), maka:
\( \Delta=b^2-4ac=16-4(m-1)(2m) \).
Langkah 1: Sederhanakan.
\( \Delta=16-8m(m-1)=16-8(m^2-m)=16-8m^2+8m \).
Langkah 2: Syarat \( \Delta \gt 0 \).
\( 16-8m^2+8m \gt 0 \Rightarrow 2-m^2+m \gt 0 \).
\( -m^2+m+2 \gt 0 \Rightarrow m^2-m-2 \lt 0 \).
Faktorkan: \( (m-2)(m+1) \lt 0 \Rightarrow -1 \lt m \lt 2 \).
Gabungkan: \( -1 \lt m \lt 2 \) dan \( m\ne 1 \).
Jawaban: A.
Soal 8. Ani, Cika, dan Desi membeli apel dan anggur di toko yang sama. Ani membeli \( 3 \) kg apel dan \( 1 \) kg anggur seharga \( 80.000,00 \). Cika membeli \( 1 \) kg apel dan \( 2 \) kg anggur seharga \( 85.000,00 \). Jika Desi membeli apel dan anggur masing-masing \( 1 \) kg, Desi harus membayar ….
A. | \( \text{Rp}70.000,00 \) |
B. | \( \text{Rp}66.000,00 \) |
C. | \( \text{Rp}64.000,00 \) |
D. | \( \text{Rp}60.000,00 \) |
E. | \( \text{Rp}50.000,00 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 8
Langkah 1: Misalkan harga \( 1 \) kg apel \( =a \) dan harga \( 1 \) kg anggur \( =g \).
Langkah 2: Buat sistem persamaan dari informasi pembelian.
Ani: \( 3a+g=80000 \).
Cika: \( a+2g=85000 \).
Langkah 3: Eliminasi.
Dari \( 3a+g=80000 \Rightarrow g=80000-3a \).
Substitusi ke \( a+2g=85000 \):
\( a+2(80000-3a)=85000 \Rightarrow a+160000-6a=85000 \).
\( -5a=-75000 \Rightarrow a=15000 \).
Langkah 4: Cari \( g \).
\( g=80000-3(15000)=80000-45000=35000 \).
Langkah 5: Desi membeli \( 1 \) kg apel dan \( 1 \) kg anggur: \( a+g=15000+35000=50000 \).
Jawaban: E yaitu \( \text{Rp}50.000,00 \).
Soal 9. Persamaan garis singgung pada lingkaran \( 2x^2+2y^2-4x+8y-8=0 \) yang sejajar dengan garis \( 5x+12y-15=0 \) adalah ….
A. |
\( 5x+12y-20=0 \) dan \( 5x+12y+58=0 \) |
B. |
\( 5x+12y-20=0 \) dan \( 5x+12y+20=0 \) |
C. |
\( 12x+5y-20=0 \) dan \( 12x+5y+20=0 \) |
D. |
\( 12x+5y=-20 \) dan \( 5x+12y=58 \) |
E. |
\( 5x+12y=-20 \) dan \( 5x+12y=58 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 9
Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran agar mudah dibaca pusat dan jari-jari.
Bagi \( 2 \): \( x^2+y^2-2x+4y-4=0 \).
Langkah 2: Lengkapi kuadrat.
\( x^2-2x=(x-1)^2-1 \) dan \( y^2+4y=(y+2)^2-4 \).
Maka \( (x-1)^2+(y+2)^2-1-4-4=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=9 \).
Pusat \( (1,-2) \) dan jari-jari \( r=3 \).
Langkah 3: Garis sejajar \( 5x+12y-15=0 \) punya bentuk \( 5x+12y+c=0 \).
Langkah 4: Syarat singgung: jarak pusat ke garis \( =r \).
\( \dfrac{|5(1)+12(-2)+c|}{\sqrt{5^2+12^2}}=3 \).
\( \sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13 \), sehingga:
\( \dfrac{|5-24+c|}{13}=3 \Rightarrow |c-19|=39 \).
Langkah 5: Pecah nilai mutlak.
\( c-19=39 \Rightarrow c=58 \) atau \( c-19=-39 \Rightarrow c=-20 \).
Jadi garis singgungnya: \( 5x+12y+58=0 \) dan \( 5x+12y-20=0 \).
Jawaban: A.
Soal 10. Suku banyak berderajat \( 3 \), jika dibagi \( (x^2+2x-3) \) bersisa \( (3x-4) \), jika dibagi \( (x^2-x-2) \) bersisa \( (2x+3) \). Suku banyak tersebut adalah ….
A. | \( x^3-x^2-2x-1 \) |
B. | \( x^3+x^2-2x-1 \) |
C. | \( x^3+x^2+2x-1 \) |
D. | \( x^3+2x^2-x-1 \) |
E. | \( x^3+2x^2+x+1 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 10
Langkah 1: Misalkan suku banyak berderajat \( 3 \) adalah \( P(x)=ax^3+bx^2+cx+d \).
Langkah 2: Gunakan sifat sisa: jika dibagi kuadrat yang dapat difaktorkan, maka nilai \( P \) di akar-akar pembagi sama dengan nilai sisa di akar-akar itu.
Faktorkan \( x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \).
Sisa pembagian \( =3x-4 \), maka:
\( P(1)=3(1)-4=-1 \) dan \( P(-3)=3(-3)-4=-13 \).
Faktorkan \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \).
Sisa pembagian \( =2x+3 \), maka:
\( P(2)=2(2)+3=7 \) dan \( P(-1)=2(-1)+3=1 \).
Langkah 3: Cek pilihan yang memenuhi keempat nilai tersebut. Ambil opsi \( P(x)=x^3+x^2-2x-1 \).
Hitung:
\( P(1)=1+1-2-1=-1 \) (sesuai).
\( P(-3)=-27+9+6-1=-13 \) (sesuai).
\( P(2)=8+4-4-1=7 \) (sesuai).
\( P(-1)=-1+1+2-1=1 \) (sesuai).
Jawaban: B yaitu \( x^3+x^2-2x-1 \).