Kecepatan tiap jam membentuk barisan geometri, karena setiap jam berikutnya menjadi \(1\dfrac{1}{2}\) kali sebelumnya. Ambil \(a=300\) dan \(r=\dfrac{3}{2}\).

Karena yang ditanya lintasan dalam \(4\) jam pertama, maka jarak total sama dengan jumlah \(4\) suku pertama: \( S_4=a\left(\dfrac{r^4-1}{r-1}\right) \).

Hitung: \( r^4=\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{81}{16} \), sehingga \( S_4=300\left(\dfrac{\dfrac{81}{16}-1}{\dfrac{3}{2}-1}\right) =300\left(\dfrac{\dfrac{65}{16}}{\dfrac{1}{2}}\right) =300\left(\dfrac{65}{16}\cdot 2\right) =300\cdot \dfrac{65}{8} =2437,5 \).

Jadi panjang lintasan seluruhnya adalah \(2.437,50\) km.

Jawaban: A

Misalkan panjang rusuk kubus \(a=\sqrt{6}\). Gunakan koordinat: \(A(0,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(F(a,0,a)\).

Vektor arah garis \(CF\): \( \overrightarrow{CF}=F-C=(a,0,a)-(a,a,0)=(0,-a,a) \).

Vektor \( \overrightarrow{CA}=A-C=(0,0,0)-(a,a,0)=(-a,-a,0) \).

Jarak titik ke garis: \( d=\dfrac{\left\lVert \overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CF}\right\rVert}{\left\lVert \overrightarrow{CF}\right\rVert} \).

Hitung: \( \overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CF}= (-a,-a,0)\times(0,-a,a)=(-a^2,a^2,a^2) \), sehingga \( \left\lVert \overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CF}\right\rVert =\sqrt{(-a^2)^2+(a^2)^2+(a^2)^2} =a^2\sqrt{3} \).

Selain itu, \( \left\lVert \overrightarrow{CF}\right\rVert=\sqrt{0^2+(-a)^2+a^2}=a\sqrt{2} \). Maka \( d=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{\dfrac{3}{2}} \).

Substitusi \( a=\sqrt{6} \): \( d=\sqrt{6}\cdot \sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{9}=3 \).

Jawaban: E

Gunakan koordinat kubus: \(A(0,0,0)\), \(F(4,0,4)\), \(H(0,4,4)\), \(E(0,0,4)\). Bidang \(AFH\) melalui \(A\), \(F\), \(H\).

Vektor \( \overrightarrow{AF}=(4,0,4) \) dan \( \overrightarrow{AH}=(0,4,4) \). Vektor normal bidang \(AFH\) searah dengan \( \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AF}\times\overrightarrow{AH} \), yang searah dengan \( (1,1,-1) \). Jadi normal bidang dapat diambil \( \overrightarrow{n}=(1,1,-1) \).

Arah garis \(AE\) searah sumbu \(z\), ambil vektor arah \( \overrightarrow{u}=(0,0,1) \).

Sudut antara garis dan bidang \( \alpha \) memenuhi \( \sin \alpha=\dfrac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{u}\|\ \|\overrightarrow{n}\|} \).

Hitung: \( \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=(0,0,1)\cdot(1,1,-1)=-1 \Rightarrow |\cdot|=1 \). Lalu \( \|\overrightarrow{u}\|=1 \) dan \( \|\overrightarrow{n}\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3} \).

Jadi \( \sin \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \).

Jawaban: C

Dari gambar: \(AD=10\) cm, \(DC=10\sqrt{2}\) cm, sudut \( \angle DAB=30^\circ \), sudut \( \angle ABD=45^\circ \), dan sudut \( \angle BDC=60^\circ \). Garis diagonal \(DB\) membentuk dua segitiga: \( \triangle ABD \) dan \( \triangle BDC \).

Pada \( \triangle ABD \): \( \angle A=30^\circ \), \( \angle B=45^\circ \) sehingga \( \angle D=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ \). Dengan aturan sinus: \( \dfrac{BD}{\sin 30^\circ}=\dfrac{AD}{\sin 45^\circ} \).

Maka \( BD=AD\cdot \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} =10\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} =10\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} =5\sqrt{2} \).

Pada \( \triangle BDC \) diketahui \(BD=5\sqrt{2}\), \(DC=10\sqrt{2}\), dan sudut apit \( \angle BDC=60^\circ \). Gunakan aturan cosinus: \( BC^2=BD^2+DC^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot \cos 60^\circ \).

Hitung: \( BD^2=(5\sqrt{2})^2=50 \), \( DC^2=(10\sqrt{2})^2=200 \), dan \( 2\cdot BD\cdot DC\cdot \cos 60^\circ =2\cdot (5\sqrt{2})(10\sqrt{2})\cdot \dfrac{1}{2} =100 \).

Maka \( BC^2=50+200-100=150 \Rightarrow BC=\sqrt{150}=5\sqrt{6} \).

Jawaban: D

Dari \( 2\cos(2x-60^\circ)=1 \) diperoleh \( \cos(2x-60^\circ)=\dfrac{1}{2} \).

Untuk \( \cos \theta=\dfrac{1}{2} \), solusi umumnya: \( \theta=60^\circ+360^\circ k \) atau \( \theta=300^\circ+360^\circ k \), dengan \(k\) bilangan bulat. Ambil \( \theta=2x-60^\circ \).

Kasus \(1\): \( 2x-60^\circ=60^\circ+360^\circ k \Rightarrow 2x=120^\circ+360^\circ k \Rightarrow x=60^\circ+180^\circ k \). Dalam \( 0^\circ \le x \le 180^\circ \) memberi \( x=60^\circ \).

Kasus \(2\): \( 2x-60^\circ=300^\circ+360^\circ k \Rightarrow 2x=360^\circ+360^\circ k \Rightarrow x=180^\circ+180^\circ k \). Dalam \( 0^\circ \le x \le 180^\circ \) memberi \( x=180^\circ \).

Jadi himpunan penyelesaiannya \( \{60^\circ,180^\circ\} \).

Jawaban: D